2021-2022学年广东省广州市美术中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省广州市美术中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，则（）
A. B. 5 C. 7 D. 25
参考答案：
B
【分析】
直接利用复数模的公式求解即可.
【详解】因为，所以，故选B.
2. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以，你认为这个推理（）
A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的
参考答案：
C
略
3. 数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，可得a n+1﹣a n=1+n，利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，
∴a n+1﹣a n=1+n，
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=n+（n﹣1）+…+2+1
=．
∴=．
则=2++…+=2=．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，则年价格为元的计算机到年价格应为
A.元
B.元
C.元
D.元
参考答案：
C
略
5. 若椭圆过点（－2，），则其焦距为（）
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
参考答案：
C
6. 在中，，，，则最短边的长等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 在命题“方程x2=4的解为x=±2”中使用的联结词是（）
A．且B．或C．非D．无法确定
参考答案：
B
【考点】逻辑联结词“或”．
【分析】将复合命题与成“p或q”的形式，可得答案．
【解答】解：命题“方程x2=4的解为x=±2”，
即命题“若x为方程x2=4的解，则x=2，或x=﹣2”，
故命题中使用的联结词是“或”，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是逻辑联结词，复合命题，难度不大，属于基础题．
8. 已知是两个平面，是两条直线，以下四个命题正确的个数为（）①若
②若
③若④若
A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
A
9. =
A.1
B.-1
C.-i
D.i
参考答案：
B
略
10. 已知集合则A∩B为
A.(1,2]
B. (1,2)
C. [2,+∞)
D. (1,+∞)
参考答案：C
【分析】
由题，先分别求得集合A、B，再求其交集即可.
【详解】由题，因为集合
集合
所以为
故选C
【点睛】本题考查的集合的交集，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过两点P1(,)，P2(0,)的椭圆的标准方程为__________．
参考答案：
解：设方程为，代入，得，，
解得，，
故方程为．
12. 为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：
则表中的
，。

参考答案：
6 0.45
略
13. 已知则cos α＝________.
参考答案：
14. 若
在区间上是增函数，则的范围是___________．（用区间来表示）
参考答案：
略
15. 已知
，则
的最小值是
参考答案：
1
16. 函数的定义域是则函数的定义域
是
参考答案：
[0,2）（2，
]
略
17. 已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则a=_______. 参考答案：
0或
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，给出定点A(, 0) (>0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∆BOA 的角平分线交AB 于点C. 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系.（14分）
参考答案：
解析：设B （－1，
b ），：
y=0, :y=－bx,设C （x,y ），则有<a ，由OC 平分∆BOA ，知点C 到OA ，
OB 距离相等，
①及C 在直线AB: ②上，由①②及
得，得
若y=0,则b=0 满足
.
19. （12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=
，AA 1=2，AD=1，E 、F 分别是AA 1和
BB 1的中点，G 是DB 上的点，且DG=2GB ．
（I ）作出长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1被平面EB 1C 所截的截面（只需作出，说明结果即可）； （II ）求证：GF ∥平面EB 1C ；
（III ）设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1被平面EB 1C 所截得的两部分几何体体积分别为V 1、V 2（V 1＞
V 2），求的值．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连结EM ，MC ，则EMCB 1即为所求截面． （Ⅱ）设MC∩DB=N ，连结B 1N ，推导出FG ∥B 1N ，由此能证明GF ∥平面EB 1C ． （Ⅲ）延长B 1E 、CM 必相交于BA 延长线于点O ，由
=
﹣V O ﹣AME ，
=﹣，能求出的值．
【解答】解：（Ⅰ）取AD 的中点M ，连结EM ，MC ，
则EMCB1即为长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面．
证明：（Ⅱ）设MC∩DB=N，连结B1N，
依题意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，
∴，
∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，
∵B1F=FB，∴FG∥B1N，
∵FG?平面EB1C，B1N?平面EB1C，
∴GF∥平面EB1C．
解：（Ⅲ）延长B1E、CM必相交于BA延长线于点O，
∵AM∥BC，∴△OAM∽△OBC，∴，
∴OA=AB=，
∴=﹣V O﹣AME=﹣=，
=﹣=，
∴===．
故的值为．
【点评】本题考查截面的作法，考查线面平行的证明，考查两个几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20. 已知椭圆C：的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点
的距离为．
（1）求椭圆C的方程；（2）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ面积的最大值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）写出直线方程的截距式，化为一般式，由点到直线的距离公式得到关于a，b的方程，结合椭圆离心率及隐含条件求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设直线方程，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P、Q的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得△F1PQ面积的最大值．
【解答】解：（1）直线AB的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0，
原点到直线AB的距离为，即3a2+3b2=4a2b2…①，
…②，
又a2=b2+c2…③，
由①②③可得：a2=3，b2=1，c2=2．
故椭圆方程为；
（2），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为：，
联立直线与椭圆方程：．
则…④，
…⑤，
将④代入⑤得：，
令，则≤，
当且仅当，即，即k=±1时，△PQF1面积取最大值．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
21. 在中，的对边分别为且成等差数列．
（1）求B的值；
（2）求的取值范围．
参考答案：
解：（1）成等差数列，
∴．
由正弦定理得，
代入得，，
即，．
又在中，或．
，. …………………………………7分
（2），∴．
，，∴．
的取值范围是略
22. 已知f（x）=1﹣lnx﹣x2
（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角α的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=1﹣lnx﹣x2，
∴f′（x）=﹣﹣x，
x=1时，f′（1）=﹣，f（1）=，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即10x+8y﹣17=0；
（2）x＞0，f′（x）=﹣﹣x≤﹣1，
∴曲线C在点P处切线的斜率为﹣﹣x，倾斜角α的取值范围为（，]．。