字典学习与图像处理

字典学习与图像处理
字典学习与图像处理
字典学习应用于图像处理的方法，简单的来说就是：用待处理图像或与待处理图像类似的图像训练出字典，然后利用这个字典处理待处理图像，以达到某种目的。

对于如何利用字典学习进行图像处理，我们主要需要解决两个问题：
I.如何用待处理图像训练出字典？
II.如何利用这个字典处理图像？
对带噪声的图像X 去噪过程如下：
对于第一个问题，我们可以用算子j i E 将图像中第i 行第j 列为左上角的N N ?的小块取出，并将这个N N ?的矩阵的每一列依次排列，组成一个N 维的列向量，将这些向量放在一起，看作一族用于训练字典的N 维的信号，就可以用前边的方法训练出
一个字典，并且得到每一个信号的稀疏表示，即
∑+-j
i ij ij ij ij D X E D ,02
2
,)
||||||||min αμαα
这样就得到了每一个小块的一个估计，现在的问题就是如何由这些块估计得到一副完整的图像，可以解优化问题：
(
)()
∑∑∑++=-+-=-ij
T
ij
ij
T
i ij ij Y
D E
X E E I E D Y X Y αλλαλ1
,22
22||Y ||||||min arg
综合来看，对带噪声的图像X 去噪过程就是求解以下优化问题：{}0
,2
222,,||||||Y ||||||min arg ,,ij ij j
i ij ij Y
D E D Y X Y D αμαλαα+-+-=∑
字典学习与图像分离（MCA ）
假设一幅图像由三部分组成：
v y y ,,21，即
v y y y ++=21，其中前两项为能被两个字典21,D D 稀疏表示的图像，v 为噪声。

因此，图像分离的过程可以归结为优化问题：
δ≤--+||||||||||||min 22110
201,2
1x D x D y to subject x x x x
早期的图像处理假设图像是分片光滑的；如今大家普遍认为，图像是由低频的背景和高频的纹理构成。

下面，我们就用MCA 方法将图像分为背景和纹理两部分。

全局MCA
假设图像由三部分组成，即：
v y y v y y t c ++=+=0
假设这两部分图像可以由字典t c D D ,稀疏表示，则原问题可以转化为优化问题：
{}2
2100,||
||)
||||||(||min ,t t c c t c x
x t c x D x D y x x x x t
c
--++=λ
将上式中的零范数用一范数代替，就可以用前边讲过的方法对t c x x ,分别迭代求解。

局部MCA
和上边一样，假设图像由三部分组成，即：
v y y v y y t c ++=+=0
首先，与图像去噪处理类似，求解优化问题：
{}0,2
222,||||||||||||min arg ,ij ij j
i ij ij D
u E D u y D αμαλαα+-+-=∑ 从而确定字典和稀疏表示系数。

我们可以认为上边求解出的字典由两部分构成：t c
D D ,，
这两部分分别用于稀疏表示图像的低频部分和纹理部分。

由于图像的低频部分比较平滑，所以表示这一部分的字典也会比较平滑，也就是他的全变分比较小。

因此，我们可以通过下式的大小将这两部分字典分开：
∑∑---+-=||||)(1,,,1,j i j i j i j i d d d d d TV
这样，这个为问题就可以转化为：
{}∑∑-+--+--≈--++--=j
i t ij t ij t c ij c ij c t c u u j
i t ij c ij t ij t c ij c t c u u t
c
u E D u E D u u y u E u E D D u u
c t
c ,2
2
22,,2
222
,||||||||||||min arg ||||||||min arg ,ααλααλ令上式梯度为零即可得到：
++
++=∑∑∑∑-ij t ij
t T ij ij
c
ij c T ij ij ij T ij ij ij
T ij t c D E y D E y E E I I I
E E I y y αλαλλλλλ*1
如果0=λ
，则上式变为：
∑∑∑∑--?
=?
=ij
t
ij t T
ij ij ij T
ij t ij c
ij
c T
ij
ij c D E E E y D E
E E y αα1
1
对于带有伪影和噪声的图像，即v y y y a ++=t ，也可以
通过类似的处理去除伪影和噪声。

首先，通过一个不含伪影结构的类似图像训练出一个字典，即求解优化问题：
{}0,2
2,||||||||min arg ,ij ij j
i ij ij D
t u E D D αμααα+-=∑ 上式得到的字典可以用于表示图像原有的结构，我们还需要一个字典用于表示图像的伪影结构，可以求解下述优化问题：
{}0,22,||||||||min arg ,ij ij j
i ij a ij a t ij t D
a y E D D D a
αμαααα+-+=∑ 用类似的方法，就可以求解出去除伪影和噪声的图像。