高中不等式知识点总结
高中不等式知识点的归纳总结
高中不等式知识点的归纳总结高中不等式知识点的归纳总结引言：不等式是高中数学中的重要内容，它在数学问题和实际应用中具有广泛的应用。
掌握不等式的基本概念和解题方法对于学生的数学能力发展至关重要。
本篇文章将对高中不等式的各个知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和实例，帮助读者在学习和应用不等式时更加深入理解。
一、不等式基本概念1. 不等式符号：大于、小于、大于等于、小于等于符号的含义和表示方法。
2. 不等式的解集：解集表示不等式中使不等式成立的数值范围。
3. 解不等式的方法：加减法、乘除法、绝对值法等常用的解不等式的方法。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义和性质：介绍一元一次不等式形式、性质和解集的概念。
2. 一元一次不等式的解法：从加减法、乘除法到绝对值法的详细解题步骤和注意事项。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为一元一次不等式，并求解实际问题。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义和性质：介绍一元二次不等式形式、性质和解集的概念。
2. 一元二次不等式的解法：使用图像法、符号法、区间法等方法解一元二次不等式。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为一元二次不等式，并求解实际问题。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义和性质：介绍多项式不等式的定义、性质和解集的概念。
2. 多项式不等式的解法：使用图像法、符号法、区间法等方法解多项式不等式。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为多项式不等式，并求解实际问题。
五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义和性质：介绍绝对值不等式的定义、性质和解集的概念。
2. 绝对值不等式的解法：使用绝对值定义、分情况讨论、不等式的性质等方法解绝对值不等式。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为绝对值不等式，并求解实际问题。
结论：高中不等式知识点的归纳总结对于学生的数学学习和应用具有重要的指导意义。
通过本文的介绍，读者可以清晰地了解不等式的基本概念、解题方法和实际应用，并通过解题实例加深对不等式知识点的理解和掌握。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3 …BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳什么是不等式一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
高中数学基本不等式知识点数学知识点1．不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0数学知识点2．算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、b∈R＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：如果为实数，则重要结论(1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。
数学知识点3．证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点在高中数学的学习中，不等式是一个重要的内容板块，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也对我们培养逻辑思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
下面我们就来详细梳理一下高中数学不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法法则：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，需要牢记并能熟练运用。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤为：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1 ，注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 7 ，移项得到 2x ＞ 7 5 ，即 2x ＞ 2 ，系数化为 1 得 x ＞ 1 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。
解一元二次不等式的关键是求出其对应的二次方程的根。
通过判断二次函数图象的开口方向以及与x 轴的交点情况来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＜ 0 ，先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，即（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
因为二次函数开口向上，所以不等式的解集为－1 ＜ x ＜ 3 。
四、简单的绝对值不等式1、当|x| ＜ a （a ＞ 0）时，a ＜ x ＜ a 。
数学高中不等式知识点总结
数学高中不等式知识点总结高中不等式是数学中的重要内容，在数学学习中有着重要的地位。
不等式作为数学中的一个概念，与等式类似，是数学中一种重要的推理等式。
不等式能够用来描述数的大小关系，包含等于、大于、小于、不等于等关系。
高中不等式的知识点主要包括：不等式的定义、解不等式的方法、不等式的性质、不等式方程的解法以及不等式的应用等。
1.不等式的定义：不等式是数学中用不等号表示的一种数的大于或小于关系。
不等式中的”不等号“主要包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）、不等于号（≠）等。
2.不等式的解法：解不等式的方法主要有图形法和代数法两种。
（1）图形法：可以借助图形来得到不等式的解集。
如在数轴上标明不等式的解集。
（2）代数法：借助数学运算的性质，对不等式进行等价变形，得出不等式的解集。
解不等式时常用的运算性质有：加减、乘除等。
- 加减性：如果将一个不等式的两边都加上或减去一个相同的数，不等式的大小关系保持不变。
即如果a > b，则有a + c > b + c（其中c为常数），同样，如果a < b，则有a + c < b+ c。
- 乘除性：如果将一个不等式的两边都乘以或除以一个正数，不等式的大小关系保持不变。
即如果a > b 且c > 0，则有ac > bc，同样，如果a > b 且c < 0，则有ac < bc。
3.不等式的性质：不等式在数学中有一些特殊的性质。
（1）加法性：如果一个不等式两边都加上相同的正数，不等式的大小关系不变。
（2）乘法性：如果一个不等式两边都乘以相同的正数，不等式的大小关系不变。
但若两边都乘以或除以一个负数，则不等号方向会发生改变。
（3）传递性：如果a > b 且 b > c，则有a > c。
同样，如果a < b 且 b < c，则有a < c。
4.不等式方程的解法：不等式方程是不等式和等式相结合的方程，解不等式方程时可以先将不等式方程转化为等式方程，再根据等式方程的解法求解。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高中不等式知识点总结（最新最全）
高中不等式知识点总结（最新最全）不等式的定义a^2+b^2≥2ab，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。
1.不等式的解法（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2．一元一次不等式情况分别解之。
3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)6．指数不等式；；8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。
特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结
一、不等式的性质
1、非负性：对任意实数$a$，有 $a\geq0$；
2、对称性：对任意实数$a, b$，有 $a \gt b$ 等价于 $-a\lt -b$；
4、抽象性：不等式也是数的一种，即式子的值既可以是数，也可以是不等式；
1、绝对值不等式：$|x|\gt a$；
2、分组不等式：$\frac{x-a}{b} \gt c$；
1、速算不等式：
(3) $x-ay+by^2 \gt c$；
(1) 无穷不等式：$x \lt +\infty$；
(3) 大于等于零的不等式：$x \ge 0$；
(1) 确定不等式的种类；
(2) 求解出不等式的解集；
(3) 对不等式的解集进行分析。
(1) 速算不等式的解法：将不等式化简，然后在图表中求解；
(2) 特殊不等式的解法：如无穷不等式的解法为将不等式化简，根据此不等式轴线上的点，选择合适的区间，在该区间上求出不等式的解。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、高中不等式的基本概念二、高中不等式的性质1.对称性2.传递性3.可加性4.可积性三、高中不等式的比较大小方法1.作差比较法2.作商比较法四、高中不等式的应用1.解不等式2.不等式的证明正文：一、高中不等式的基本概念不等式是数学中一种表示大小关系的方式，它用符号">"、"<"或">="、"<="连接。
在高中数学中，我们主要学习如何运用不等式的性质来比较大小和解决实际问题。
二、高中不等式的性质高中不等式具有以下基本性质：1.对称性：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
这意味着不等式的方向可以随意改变，大小关系不变。
2.传递性：如果a>b，且b>c，那么a>c。
这意味着如果一个数大于另一个数，那么这两个数中的较大的数必定也大于第三个数。
3.可加性：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d。
这意味着两个不等式相加，不等号的方向不变。
4.可积性：如果a>b，且c>d，那么ac>bd。
这意味着两个不等式相乘，不等号的方向不变。
三、高中不等式的比较大小方法在高中数学中，我们通常运用以下两种方法来比较大小：1.作差比较法：比较两个数的大小，可以先将它们相减，如果差值大于0，那么被减数大于减数；如果差值小于0，那么被减数小于减数。
2.作商比较法：比较两个数的大小，可以先将它们相除，如果商大于1，那么被除数大于除数；如果商小于1，那么被除数小于除数。
四、高中不等式的应用高中不等式在实际应用中十分广泛，主要包括解不等式和证明不等式。
1.解不等式：解不等式是求解不等式所表示的数学问题的过程，通常需要运用不等式的性质，将不等式转化为等式，从而求得解集。
2.不等式的证明：不等式的证明是运用不等式的性质和已知条件，论证某个不等式是否成立的过程。
高中数学不等式知识点汇总
不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：〔1〕a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< 〔反对称性〕 〔2〕c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, 〔传递性〕 〔3〕c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ 〔移项法那么〕 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, 〔同向不等式相加〕 〔4〕bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。
3、常用的根本不等式和重要的不等式〔1〕0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a 〔2〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则 〔3〕+∈R b a ,，那么ab b a 2≥+〔4〕222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由〔1〕如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=〔2〕如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：假设a>b,b>c, 那么a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。
高中数学不等式公式 高一数学不等式知识点总结
高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结1. 不等式的基本性质：- 两边加（减）一个相同的数，不等式的不等关系不变。
- 两边乘（除）一个正数，不等式的不等关系不变。
- 两边乘（除）一个负数，不等式的不等关系反向。
2. 不等式的解集表示：- 不等式的解集可以用区间表示，例如：(a, b)表示大于a小于b的所有实数。
- 不等式的解集也可以用集合表示，例如：{x|x > a}表示大于a的所有实数。
3. 常见的不等式公式：- 两个数的大小关系：若 a < b，则有 a + c < b + c, a - c < b - c, ac < bc (若 c > 0), ac > bc (若 c < 0), a/c < b/c (若 c > 0), a/c > b/c (若 c < 0)。
- 平方不等式：若 a > b，则有 a^2 > b^2。
- 乘方不等式：若 a > b > 0 且 n > 0，则有 a^n > b^n。
- AM-GM 不等式：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an)/n ≥√(a1a2...an)。
4. 不等式的证明方法：- 利用性质证明法：利用前述不等式的基本性质进行推导，将不等式化为已知的形式。
- 利用数轴法：将不等式的解集在数轴上表示出来，通过移动自变量的位置来判断不等式的成立性。
- 利用函数法：将不等式视为一个函数的性质，通过证明函数的单调性来得出不等式的结论。
- 利用数学归纳法：当不等式涉及到自然数时，可以使用数学归纳法来证明不等式的成立性。
以上是高一数学不等式的一些基本知识点总结，希望对你有帮助。
高中数学不等式知识点
不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
高一不等式知识点归纳总结
高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。
在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。
本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。
2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。
即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。
3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
如果a<b，且c<0，那么ac>bc。
也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。
4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。
当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。
二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。
- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。
- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。
- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。
2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。
三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。
- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点一、概述不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。
在高中阶段，学生需要掌握不等式的基本概念、性质及解不等式的方法。
本文将对高中数学不等式的知识点进行详细介绍。
二、不等式的定义及表示方式1. 不等式的定义：不等式是两个数或两个式子之间的大小关系的描述。
2. 不等式的表示方式：不等式可以用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）来表示。
例如，x < y 表示x小于y，x ≤ y 表示x小于等于y。
三、不等式的基本概念1. 大于与小于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于零，则称a大于b，表示为a > b；如果a-b小于零，则称a小于b，表示为a < b。
2. 大于等于与小于等于：对于任意两个实数a和b，如果a-b大于等于零，则称a大于等于b，表示为a ≥ b；如果a-b小于等于零，则称a小于等于b，表示为a ≤ b。
四、不等式的性质1. 加减法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b，则a + c > b + c；- 若a < b，则a + c < b + c；- 若a > b，则a - c > b - c；- 若a < b，则a - c < b - c。
2. 乘除法性质：对于任意实数a、b和正数c，有以下性质：- 若a > b且c > 0，则ac > bc；- 若a > b且c < 0，则ac < bc；- 若a < b且c > 0，则ac < bc；- 若a < b且c < 0，则ac > bc。
3. 反方向性质：对于任意实数a和b，有以下性质：- 若a > b，则-b > -a；- 若a < b，则-b < -a；- 若a > b，则1/b > 1/a（a、b为正数）；- 若a < b，则1/b < 1/a（a、b为正数）。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 不等式的概念和性质：不等式是数学中比较基础的概念，它表示两个数之间的大小关系。
不等式的性质包括：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等。
这些性质在解决不等式问题时非常重要。
2. 一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，将其转化为一元一次方程，然后求解。
3. 一元二次不等式：一元二次不等式是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过因式分解、配方、判别式等方法，将其转化为一元二次方程，然后求解。
4. 分式不等式：分式不等式是含有分式的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过通分、分子分母同号或异号等方法，将其转化为整式不等式，然后求解。
5. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过绝对值的定义，将其转化为分段函数，然后分别求解每一段的情况。
6. 不等式的应用：不等式在实际生活中有广泛的应用，如优化问题、最值问题、范围问题等。
在解决这些问题时，需要根据问题的实际情况，建立相应的不等式模型，然后求解。
以上是高中数学不等式知识点的主要归纳，希望对你有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．不等式的解法
（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；
（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解，
m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；
（3）f x g x ()
()
>0与f x g x g x ()()(()⋅>≠00同解）； 2．一元一次不等式
ax b a a a >⇒>=<⎧⎨⎪
⎩⎪
分()()()102030
情况分别解之。
3．一元二次不等式
ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠⇒()分a >0
及a <0情况分别解之，还要注意∆=-b ac 2
4的三种情况，即∆>0或
∆=0或∆<0，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式
分式不等式的等价变形：
)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)
()
(x g x f ≥0⇔⎩⎨
⎧≠≥⋅0
)(0
)()(x g x g x f 。
5．简单的绝对值不等式
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|<a ⇔x 2<a 2⇔－a<x<a(a>0)， |x|>a ⇔x 2>a 2⇔x>a 或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。
6．指数不等式a
a f x g x ()
()>⇒()()()11当时，a f x g x >>；
()()()201当时，<<<a f x g x ；
7．对数不等式log ()log ()a a f x g x >⇒（1）当a >1时，
g x f x g x ()()()>>⎧⎨
⎪⎩⎪0；（2）当01<<a 时，f x f x g x ()()()
><⎧⎨⎪⎩⎪0。
8．线性规划
（1）平面区域
一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚
线以表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式
0Ax By C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把
直线画成实线。
说明：由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入
Ax By C ++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特
殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域。
特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念
引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满
足条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最
小值。
由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些
平面区域的公共区域。
由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当
0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，
作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方
时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。
由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以，
max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=。
在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
2z x y
=+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。
又由于2z x y =+是,x y 的一次解析式，所以又
叫线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可
行域。
在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
O
y
x
A C
B
430x y -+=
1x = 35250x y +-=。