北京市房山区普通高中2022届高三毕业班上学期期末考试数学答案
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所以直线 的方程为 ，即
所以直线 经过定点 ．….…………...….…...….…………...….………1
②当直线 的斜率不存在时，设 ， ， ，
则
解得 ，
此时直线 也经过定点 …...….…...….…………...….………1
综上直线 经过定点 ．
（20）（本小题15分）
（Ⅰ） ………...….…...….…………...….………2
…...…………1
从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为 ，
则 的可能取值为 ，…………...….………………...…………1
….………………4
所以 的分布列为：
0
1
2
3
……...….………………..………1
所以 ……………………………2
（Ⅲ） ………………...….………………...…………2
所以当 ，即 时，………….…………………...………………2
取得最小值 ……………...………………...………………2（14）
选择条件②：
由 的一个对称中心为 ，可知 ，
所以 ……………...………………...…………………………...…………2
所以
因为 ，所以 …...………………...………………1
绝密★启用前
北京市房山区普通高中
2022届高三毕业班上学期期末教学质量检测考试
数学试题参考答案
2022年1月
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
A
C
D
A
B
C
D
C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） （12） （13）
（14）答案不唯一，如 ；等比数列中，
令 则 ，所以 ，…...……………...………………1
则 .………………...…………………...………………2
易知二面角 为锐二面角
所以二面角 的余弦值为 .….…………...………………1
（Ⅲ）由 ， 得
因为
所以 与平面 不平行，所以直线 与平面 相交.………...……………1
在四边形 中延长 交 的延长线于点 .
当 时，令，解得
与 的变化情况如下：
0
↘
↗
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
故 有且仅有一个零点 ，符合题意．…...….…………...….…...….………3
当 时，令 ，解得 ．
与 的变化情况如下：
0
↘
↗
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，
因为 ， ，且 在 上单调递增，
（Ⅲ）令 ，
则 ．
因为 ，
，
，
所以
因为 ，所以 为偶数 ，
所以 为偶数．
所以要使 ，必须使 为偶数，即 整除 ，
亦即 或 ．
当 时，
数列 的项满足 ， ， 时，
有 ， ；
所以当 ，即 时，……...…………………...………………2
取得最小值 ………...………………...………………2（14）
（17）（本小题14分）
（Ⅰ）证明：因为 ，所以
又 ， ， ，
所以 平面 ．………...………………...………3
（Ⅱ）证明：因为 平面 ，
所以
又
所以 两两互相垂直.………...………………1
（Ⅱ）必要性：因为 数列 是递减数列，
所以 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ...…...….…………...….…………...….…...….3
充分性：由于 ， ，…，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以数列 是递减数列.
综上，结论得证．..…...….…………...….…………...….…...….3
点 就是直线 与平面 的交点
易知 ，所以 .…………...…………1
（18）（本小题14分）
（Ⅰ）由实验园的频率分布直方图得：
所以估计实验园的“大果”率为 ………………...………………...…………3
（Ⅱ）由对照园的频率分布直方图得：这 个果实中大果的个数为：
个.
采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有 个
如图以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.……………...………………...………………1
由 ,
可知 ， ， ， ， ，
， , ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，….….….….….1
令 则 ，所以 ，…..………...………………………………1
（19）（本小题14分）
（Ⅰ）由离心率为 ，可得 ….…………………...….……………………………1
因为 为椭圆的上、下顶点，且 ，所以 即 ,…………1
又
解得 …...….…………………...….……………………………1
所以椭圆 的标准方程为 ……………...….……………………………1（4）
（Ⅱ）直线 经过定点 ，证明如下：…...….…………...….……………………………1
（15）①③④
三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
（Ⅰ）
函数 的最小正周期 ………...………………3（7）
（Ⅱ）选择条件①：
由 的最大值为 ，可知 ，所以 ……………………2（9）
所以
因为 ，所以 ……………...………………...……………1
由题意，公共切线的斜率 ，即 .….…………...….………1
又因为 ，所以切线方程为 ．.…………...….………1（4）
（Ⅱ）设函数 ．
“曲线 与 有且仅有一个公共点”等价于“函数 有且仅有一个零点”．
当 时，
当 时， ，所以 在 单调递增．
又因为 ，所以 有且仅有一个零点 ，符合题意．.….…………...….………3
①当直线 的斜率存在时，设 ，( )，
由 ，得 ，.…………...….………1
则 ….…………...….…...….…………...….………1
设
则 ， ，………...….…...….…………...….………2
则 …...….…………...….………2
所以 …………...….…...….…………...….………1
所以
又因为存在 ，
使得
所以存在 使得 ，
所以函数 存在两个零点 ，与题意不符.…..……...….…...….…4
综上，曲线 与 有且仅有一个公共点时，
的范围是 或 ....……...….…...….…………...….1
（21）（本小题14分）
（Ⅰ） （或 ）…...….…………...….…………...….…...….3
所以直线 经过定点 ．….…………...….…...….…………...….………1
②当直线 的斜率不存在时，设 ， ， ，
则
解得 ，
此时直线 也经过定点 …...….…...….…………...….………1
综上直线 经过定点 ．
（20）（本小题15分）
（Ⅰ） ………...….…...….…………...….………2
…...…………1
从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为 ，
则 的可能取值为 ，…………...….………………...…………1
….………………4
所以 的分布列为：
0
1
2
3
……...….………………..………1
所以 ……………………………2
（Ⅲ） ………………...….………………...…………2
所以当 ，即 时，………….…………………...………………2
取得最小值 ……………...………………...………………2（14）
选择条件②：
由 的一个对称中心为 ，可知 ，
所以 ……………...………………...…………………………...…………2
所以
因为 ，所以 …...………………...………………1
绝密★启用前
北京市房山区普通高中
2022届高三毕业班上学期期末教学质量检测考试
数学试题参考答案
2022年1月
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
1
2
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6
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8
9
10
B
C
A
C
D
A
B
C
D
C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） （12） （13）
（14）答案不唯一，如 ；等比数列中，
令 则 ，所以 ，…...……………...………………1
则 .………………...…………………...………………2
易知二面角 为锐二面角
所以二面角 的余弦值为 .….…………...………………1
（Ⅲ）由 ， 得
因为
所以 与平面 不平行，所以直线 与平面 相交.………...……………1
在四边形 中延长 交 的延长线于点 .
当 时，令，解得
与 的变化情况如下：
0
↘
↗
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
故 有且仅有一个零点 ，符合题意．…...….…………...….…...….………3
当 时，令 ，解得 ．
与 的变化情况如下：
0
↘
↗
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，
因为 ， ，且 在 上单调递增，
（Ⅲ）令 ，
则 ．
因为 ，
，
，
所以
因为 ，所以 为偶数 ，
所以 为偶数．
所以要使 ，必须使 为偶数，即 整除 ，
亦即 或 ．
当 时，
数列 的项满足 ， ， 时，
有 ， ；
所以当 ，即 时，……...…………………...………………2
取得最小值 ………...………………...………………2（14）
（17）（本小题14分）
（Ⅰ）证明：因为 ，所以
又 ， ， ，
所以 平面 ．………...………………...………3
（Ⅱ）证明：因为 平面 ，
所以
又
所以 两两互相垂直.………...………………1
（Ⅱ）必要性：因为 数列 是递减数列，
所以 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ...…...….…………...….…………...….…...….3
充分性：由于 ， ，…，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以数列 是递减数列.
综上，结论得证．..…...….…………...….…………...….…...….3
点 就是直线 与平面 的交点
易知 ，所以 .…………...…………1
（18）（本小题14分）
（Ⅰ）由实验园的频率分布直方图得：
所以估计实验园的“大果”率为 ………………...………………...…………3
（Ⅱ）由对照园的频率分布直方图得：这 个果实中大果的个数为：
个.
采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有 个
如图以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.……………...………………...………………1
由 ,
可知 ， ， ， ， ，
， , ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，….….….….….1
令 则 ，所以 ，…..………...………………………………1
（19）（本小题14分）
（Ⅰ）由离心率为 ，可得 ….…………………...….……………………………1
因为 为椭圆的上、下顶点，且 ，所以 即 ,…………1
又
解得 …...….…………………...….……………………………1
所以椭圆 的标准方程为 ……………...….……………………………1（4）
（Ⅱ）直线 经过定点 ，证明如下：…...….…………...….……………………………1
（15）①③④
三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
（Ⅰ）
函数 的最小正周期 ………...………………3（7）
（Ⅱ）选择条件①：
由 的最大值为 ，可知 ，所以 ……………………2（9）
所以
因为 ，所以 ……………...………………...……………1
由题意，公共切线的斜率 ，即 .….…………...….………1
又因为 ，所以切线方程为 ．.…………...….………1（4）
（Ⅱ）设函数 ．
“曲线 与 有且仅有一个公共点”等价于“函数 有且仅有一个零点”．
当 时，
当 时， ，所以 在 单调递增．
又因为 ，所以 有且仅有一个零点 ，符合题意．.….…………...….………3
①当直线 的斜率存在时，设 ，( )，
由 ，得 ，.…………...….………1
则 ….…………...….…...….…………...….………1
设
则 ， ，………...….…...….…………...….………2
则 …...….…………...….………2
所以 …………...….…...….…………...….………1
所以
又因为存在 ，
使得
所以存在 使得 ，
所以函数 存在两个零点 ，与题意不符.…..……...….…...….…4
综上，曲线 与 有且仅有一个公共点时，
的范围是 或 ....……...….…...….…………...….1
（21）（本小题14分）
（Ⅰ） （或 ）…...….…………...….…………...….…...….3