中考数学 第一部分 考点研究 第三章 函数 课时16 二次函数的综合习题 新人教版(2021学年)

江西省２017年中考数学第一部分考点研究第三章函数课时16 二次函数的综合习题新人教版
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第三章函数
课时16 二次函数的综合
玩转江西９年中考真题(２00８~201６年）
命题点二次函数的综合（必考）
１.（２０09江西2４题9分)如图,抛物线ｙ＝-ｘ2＋２x＋３与x轴相交于A，Ｂ两点（点A 在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
（1）直接写出A，Ｂ，Ｃ三点的坐标和抛物线的对称轴;
(２）连接BC，与抛物线的对称轴交于点Ｅ,点P为线段BＣ上的一个动点,过点P作PF∥DＥ交抛物线于点Ｆ,设点Ｐ的横坐标为ｍ．
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形?
②设△BＣＦ的面积为S,求Ｓ与m的函数关系式.
第１题图
2. （2012江西2３题1０分)如图，已知二次函数Ｌ1：y=ｘ2－4x＋３与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左边）,与ｙ轴交于点Ｃ.
(1)写出A、B两点的坐标;
(2)二次函数Ｌ2:y＝kｘ2-4ｋx+３k(k≠0)，顶点为P。

①直接写出二次函数L2与二次函数L１有关图象的两条相同的性质;
②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如存在,请求出k的值;如不存在，请说明理由;
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化？如果不会,请求出EF的长度；如果会,请说明理由.
第２题图
3。

（２01１江西24题１0分)将抛物线Ｃ1:y＝-3ｘ2+错误!沿x轴翻折，得抛物线Ｃ
２,如图所示．
（1)请直接写出抛物线C2的表达式；
(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为m,与x轴的
交点从左到右依次为Ａ,Ｂ;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的
顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当Ｂ，D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中，是否存在以点A，Ｎ,E,m为顶点的四边形是矩形的情形？若存在,请求
出此时m的值;若不存在,请说明理由.
４。

（２０１5江西23题1０分)如图,已知二次函数L1:y=ａｘ2－２ax+ａ＋3(a＞0)和二次函数L2:y＝－a（x＋1）２＋1(A＞0)图象的顶点分别为ｍ，N,与y轴分别交于点E，F.
（1）函数ｙ＝ax2-2ax＋a＋3(A>0)的最小值为__＿_＿_;当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是＿____＿_＿;
（2）当ＥF=mN时,求A的值,并判断四边形ＥNFm的形状(直接写出,不必证明);
(3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为Ａ（m,0），当△AmN为等腰三角形时,求方程－a(x＋1）2+1＝0的解.
第4题图
【试题链接】201６年２3题见P11９,201４年2４题见P125,2013年２4题见P1１8，
2０1０年2４题见121，２00８年２4题见Ｐ11７。

【答案】
命题点二次函数的综合(必考)
1。

解:(1)A（-1，０),B(3，０),C（0,３)．(2分)
抛物线的对称轴是直线ｘ=1;（3分)
第1题解图
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+Ｂ。

把B（3，0)、C(０,３)分别代入得：
错误!,解得:错误!，
∴直线BC的函数关系式为：y=-x＋3。

当x＝1时,y＝-1+３＝2,
∴E（1,2),
当x=m时,y＝－m+3，
∴P（m,－m＋3),(4分)
在y=－x2+2ｘ+3中,
当x=1时,y＝4,
∴D(1，４),
当ｘ=ｍ时,ｙ＝－m2＋2m＋3，
∴F（m,－ｍ2+2m＋３)，(５分)
∴线段DE＝4－2＝2,线段ＰF＝－m２＋２ｍ+3－（-m＋３）＝－m2＋3m.(６分)
∵PF∥DＥ,
∴当ＰＦ=EＤ时,四边形ＰＥDF为平行四边形．
由-m２+３m＝2,解得:m１＝2,m2=１(不合题意,舍去).
因此，当m＝2时，四边形PＥDＦ为平行四边形;（7分)
②设直线ＰF与x轴交于点m,由Ｂ（3，0),O（0,0),可得：O B=OM＋MB=3。

∵S=S△ＢPF＋S△CPF.（8分)
即Ｓ＝错误!ＰF·ＢM+错误!PF·OM
=＼f(1,2）PF·（BM+OＭ）＝错误!PF·OB．
∴S=错误!×(－ｍ２＋3m)×3
＝－错误!m2＋错误!m(0〈m<3).（9分)
２。

解：（1）A(１,0）,Ｂ(3，０)；(2分）
(2）如解图,①二次函数L2与二次函数L１有关图象的两条相同的性质:
第2题解图
(ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；(３分)
(ⅱ)都经过A（１,0),B(3,0)两点;(４分）
②存在实数k，使△ABP为等边三角形.
∵y=kx2-4kx+3k＝k(x－2）2-k，
∴顶点Ｐ(２,-k),（5分)
∵A(1,0),Ｂ（3,0)，∴ＡB=2，
要使△ＡＢP为等边三角形，必满足|－k|=3,(６分）
∴k ＝±3;(７分)
③线段E Ｆ的长度不会发生变化．（8分)
∵直线y =8k 与抛物线Ｌ2交于E ，F 两点，
∴kx ２－４kx ＋3ｋ＝8ｋ，(9分)
∵k ≠0,∴ｘ２－4x +3=8,∴ｘ1＝-１,x 2＝５,
∴E Ｆ=x ２－x 1=6,
∴线段E Ｆ的长度不会发生变化.（10分)
3. 解:（1）y ＝错误!x 2-错误!;（2分）
(2）①令－错误!x 2＋错误!=0，得:x 1＝-1,x 2=１,
则抛物线C 1与x 轴的两个交点坐标为（－1,0），(1，0)，
∴A (-１-m ，０),Ｂ(1-m ,０)．
同理可得：D (-1+m ，0),E (1＋ｍ,0).
当A Ｄ＝1
3ＡE 时,如解图①,
(－1+m ）－（-1－m )＝错误![(1+m )-（－1-ｍ）],
∴ｍ＝1
2。

(4分)
当AB ＝错误!AE 时，如解图②，
(１－m ）－(－1－ｍ)=错误![(1＋m )-(-１－m ）］，
∴ｍ＝2。

∴当m =1
2或2时,B ,Ｄ是线段ＡE 的三等分点；（6分)
第3题解图
②存在.（7分)
理由：连接AＮ，NE,EM,MＡ．依题意可得:M(-m,３),Ｎ(m，-＼r(3)），即M，N关于原点O对称,
∴OM＝ON,
∵A(-１-m，0)，E(1＋ｍ，0)，
∴A,E关于原点O对称，
∴O A=O E，
∴四边形ＡNEＭ为平行四边形.
要使平行四边形ANＥM为矩形，必须要满足O M＝O A。

即m2＋（错误!）2＝[-（－1-m)］２，
∴ｍ＝1．
∴当m=１时，以点A，N,E，M为顶点的四边形是矩形．(10分)
4。

解:(1）3，-１≤x≤1(或-1<x〈1或－1≤ｘ〈1或－1〈x≤1);(2分)
【解法提示】二次函数L1解析式为y=ａｘ2－2ax＋a+3（a〉0），
∴M点的坐标为(-错误!,错误!)，
即（-＼ｆ(-2ａ,２a），＼f（4a(a＋3）－4ａ２，4a))，化简得(1，3）,
∴M点坐标为(1,3），
函数Ｌ１的最小值为3;
观察图象可知当x在N，M横坐标区域内时,函数L1，Ｌ2的ｙ值同时随着x的增大而减小，二次函数Ｌ2解析式为ｙ＝-A（x＋1)２＋1（Ａ>0)，
∴根据二次函数的顶点式可得Ｎ点坐标为(－１,1),
∴当函数L1，L2的y值同时随着ｘ的增大而减小时，x的取值范围为－1≤x≤1（或-1〈x<１或-1≤x〈１或-１<x≤１)；
第４题解图①
(2)如解图①,过点M作MB⊥ｘ轴,垂足为Ｂ，过点N作NＣ⊥MB,垂足为C,连接MN。

∵y＝Ａx2-2Aｘ＋A+3＝A（ｘ-1)2+３(Ａ>0）,
∴点Ｍ的坐标为（1,３）,MB＝3,ＯB=1.
又∵y＝－A（ｘ+1)2＋１(A>0)，
∴点N的坐标为（-１,1)．
在Ｒt△MＮC中，MＣ=2,NC=2,
∴MＮ＝＼r(MＣ2+NC2)=错误!=2错误!。

(３分)
∵当ｘ＝0时,y E=ａ（0－１)2+3=a＋3,yＦ=-ａ(0＋１）2+1=1－ａ，
∴E，Ｆ两点的坐标分别为(0,A+3),(0,１－ａ）,
∴EF＝a+3－（1-ａ）=2ａ＋2。

∵EF=ＭN,
∴2ａ+2＝2错误!，即a＝错误!-１。

(5分）
且四边形EＮFＭ为矩形；(６分)
【解法提示】如解图②，连接EＮ,NＦ，FM，ME,设NC交y轴于点H,过点M作MP⊥y轴,
交y轴于点P,
∵A＝＼r（2)-1,
∴E(0,2＋2), F(0，２－2）,
∴EP=错误!－1,MＰ＝1，FＨ＝错误!-1,ＮH＝１,ＥH＝错误!+1,ＰＦ＝ＥF-EＰ=错误!+１，在Rt△ＭEP和Rt△NＦH中，
ME=错误!＝错误!=错误!,
NＦ＝＼r(NH2+FＨ2）=错误!=错误!,
第４题解图②
∴ME=NF，
在Ｒt△ENH和Rt△FMP中，
NE＝NＨ2＋ＥＨ2=错误!,
ＭＦ=错误!＝错误!,
∴NE＝ＭF,
∵EF=MＮ,
∴四边形ＥＮFM为矩形．
（３）由△AMN为等腰三角形，可分如下三种情况:
第4题解图③
（Ⅰ)如解图③,当MN＝NA时,
过点N作ND⊥ｘ轴,垂足为点D。

在Rｔ△ＮＤA中，NA2＝DＡ2+NＤ2,
即(2错误!）2=（m＋１)2+12，
∴m1=错误!-1，m2=-错误!－1(不合题意，舍去），
∴A(错误!－1,0),
∴抛物线y=-a（ｘ＋1)2＋1（ａ〉0）的左交点坐标为(－错误!－1,０）,
∴方程－a(x+1)2+１＝0的解为x１＝错误!－1,ｘ2＝－错误!－1;(7分）
第４题解图④
(Ⅱ)如解图④，当MA＝NA时,过点Ｍ作M G⊥x轴,垂足为点G，
则有OG＝1,M G＝3,
G A＝｜m－1｜。

∴在Rt△M G A中,MＡ2=M G２+ＧA2,即MＡ2=3２+（m－1）2。

又∵ＮA２＝(m+1)2+１2，
∴（ｍ＋1)2＋12＝32+(m-1)２，解得ｍ＝２,
∴A(2,0），
∴抛物线y=－A(ｘ+1)２＋１（A〉0）的左交点坐标为(－４，0)，
∴方程-A(x＋1）2＋1＝0的解为ｘ１=2,x2=-４;(8分）
(Ⅲ）当MN＝MＡ时,3２+(m－1)２＝(2＼r（2)）２,
∴ｍ无实数解，舍去.（9分）
综上所述,当△AMN为等腰三角形时，方程－ａ(x+１）2+１=０的解为x1＝＼r(７)－1，x2=
－错误!－1或x1=2,ｘ2=-4．（1０分）
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