状态空间表达式的解

x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
，
t
0
当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t )Bu( )d
t0
tБайду номын сангаас
第一部分是在初始状态 第二部分为在系统输入
作用下的自由运动， 的作用下的强制运动。
的作用下运动。要求系统在任意 ,则必须求解上述微分方程。
采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，上式可写成：
控制系统状态空间表达式的解
两边同时左乘
，得：
根据矩阵微积分知识，上式进一步有： 两边同时在 区间积分，得：
两边同时左乘 即：
并整理得：
控制系统状态空间表达式的解
当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t0)=x(0)时,其解为:
2 1 n 1 1 1
e 1t 2 t e ... n t e
控制系统状态空间表达式的解
(2) A的特征值为重根时:
1 n 1 1 t t e 1 1 0 0 0 ... 0 ( n 1)! 0 ( t ) (n - 1)1 1 0 0 0 ... 1 n 2 1 t t e 1 ( t ) .......... ( n 2)! .......... .......... .. ... (n - 1)(n- 2) n 3 ... 21 n 3 ( t ) 0 0 1 ... 1 21 1t 2 ( t ) t e n 3 n 2 ( n 1)1 2! n 2 0 1 21 ...(n- 2)1 1t n 1 n1 ( t ) 1 2 ... n- 2 1 1 1 1 t e 1 t e
1 0 ... 0 0 1 ... 0 A J .......... .......... ...... 0 0 0 ...
1 2 1 n 1 t ... t 1 t 2! (n - 1)! 1 n 2 0 1 t ... t (n - 2)! Jt t ( t ) e e .......... .......... .......... .......... ...... 则 0 0 0 .... t 0 0 0 ... 1 证明过程见现代2—P9
2. 若A能够通过非奇异变换对角化,即:存在T使
T 1 AT diag(1 , 2 ,...,n )
则
(t ) e At T * diag(e1t , e2t ,...,ent ) * T 1
证明过程见现代2—P9
控制系统状态空间表达式的解
3.若A为Jordan矩阵.即:
x(t ) e At x0 A1 (e At 1)BK
3.斜坡函数
u(t ) Kt 1(t ), x(0 ) x0
x(t ) e At x0 { A2 (e At 1) A1t }BK
控制系统状态空间表达式的解
1 脉冲信号输入，即：
时
即：
控制系统状态空间表达式的解
e At e Bt e ( A B ) t
证明过程见现代2--P6
控制系统状态空间表达式的解
***几个特殊的状态转移矩阵**** 1. 若A为对角阵 则
A diag(1 , 2 ,...,n )
证明过程见现代2—P8
(t ) e At diag(e 1t , e 2t ,...,e nt )
控制系统状态空间表达式的解
***状态转移矩阵的基本性质**** 性质1：组合性质
e At e A e A( t ) (t )( ) (t )
性质2：
e A( t t ) e 0 I (t t ) (t )(t ) I
性质3： 转移矩阵的逆意味着时间的逆转
第二章 控制系统状态空间表达式的解 --------
控制系统状态空间表达式的解
(见第三章和第四章)
控制系统状态空间表达式的解
控制系统状态空间表达式的解
控制系统状态空间表达式的解
控制系统状态空间表达式的解
§2-1
线性定常齐次状态方程的解---- 自由解
所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没 有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动， 其状态方程为： AX ; X(t ) X X 0 0 其唯一确定的解为: X (t ) e A( t t0 ) X 0 ; t t0 若t0=0,则有 eAt 为一矩阵指数函数， 它是一个n×n的方阵
控制系统状态空间表达式的解
§2-4 线性时变系统状态方程的解 线性时变系统:
( t ) A( t ) x( t ) B( t )u( t ) x x ( t 0 ) x0
1.齐次方程的解:
x(t ) (t , t0 ) x(t0 )
2.状态转移矩阵的基本性质:
(1) (t 2 , t1 )(t1 , t0 ) (t 2 , t0 )
3. 变换A为Jordan标准型 (1) A的特征根互异:存在非奇异变换阵T使A成为对角阵
T 1 AT diag(1 , 2 ,...,n ) e At TetT 1
( t ) e At T * diag(e 1t , e 2 t ,...,e n t ) * T 1 e 1 t 0 2t e T* .......... . n t 0 e * T 1
te t e t e 2 t
t t 2t te 2e 2e te t 3e t 4e 2 t
控制系统状态空间表达式的解
§2-3 线性定常系统非齐次方程的解
线性定常非齐次状态方程为：
从物理意义上看，系统从 开始，在外界控制 时刻的状态 时刻的初始状态
e
At 1
e At (t ) ( t )
1
控制系统状态空间表达式的解
性质4：
证明过程见现代2--P6
可用来从给定的 矩阵中求出系统矩阵A
d At ( t ) A( t ) ( t ) A e Ae At e At A dt
性质5： 对于n阶方阵A和 B, 当 且仅当AB=BA:即A,B 、 可交换时,有:
X (t ) e At X 0 ; t 0
控制系统状态空间表达式的解
§2-2 矩阵指数函数---- 状态转移矩阵 矩阵指数函数:
e
At
1 2 2 1 3 3 1 k k I At A t A t ... A t .... 2! 3! k!
从
可看出:
形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元 素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将 时刻的系统状态矢量 转移到t时刻的状态矢量 也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之 …… 为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记： 由此若已知状态转移矩阵和初始状 态,即可求的任意时刻的状态.
控制系统状态空间表达式的解
(2) A的特征根有重根:存在非奇异变换阵T使A成为Jordan型
T 1 AT diag(1 , 2 ,...,n ) J e At Te jtT 1
( t ) e At T * diag(e 1t , e 2 t ,...,e n t ) * T 1 1 0 t T*e 0 0 1 n 1 t ... t (n - 1)! 1 1 t ... t n 2 .. (n - 2)! * T 1 .......... .......... ........ 0 0 .... t 0 0 ... 1 控制系统状态空间表达式的解 1 2 t 2!
控制系统状态空间表达式的解
***状态转移矩阵的计算**** 1. 根据定义直接计算:
e
At
1 2 2 1 3 3 1 k k 1 At A t A t ... A t .... 2! 3! k!
2. 利用拉普拉斯反变换 对 两边取拉氏变换，得：
拉氏反变换，得：
控制系统状态空间表达式的解
控制系统状态空间表达式的解
Example: 1.
0 A - 2
1 - 3
e
At
2e t e 2 t t 2t 2 e 2 e
e t e 2 t
t 2t - e 2e
Example: 2.
0 1 A 0 0 2 - 5
( 2) (t,t) I
(3) (t,t 0 ) 1 (t0 , t ) 或 (t,t 0 )(t0 , t ) I (t , t ) A(t )(t , t ) 一般不可交换 (4) 0 0
0 1 4
e At
2te t 2e2t 2t 2(e te t - et ) 2te t 4e t 4e2t
3te t 2e t 2e 2 t 3te t 5e t 4e 2 t 3te t 8e t 8e 2 t
控制系统状态空间表达式的解
在特定控制作用下,如脉冲函数,阶跃函数和斜坡函数的 激励下,系统的全响应解可以简化为一些公式: 1. 脉冲函数
u(t ) K (t ), x(0 ) x0
x(t ) e At x0 e At BK
2.阶跃函数
u(t ) K 1(t ), x(0 ) x0
2 阶跃信号输入，即
……
控制系统状态空间表达式的解
【例2－8】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：
解：根据上面的式子
其中
， K=1
控制系统状态空间表达式的解
在例2－6中已求的：
控制系统状态空间表达式的解
其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示： %Example Example 2-8 grid; xlabel('时间轴'); ylabel('x代表x1，----*代表x2'); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x',t,x2,'*') end
由此可得:
e At n1 (t ) An1 n2 (t ) An2 ... 1 (t ) A1 0 (t )I
其中αi(t) 可计算如下:
控制系统状态空间表达式的解
(1)A的特征值互异时:
0 ( t ) 1 1 ... 2 n 1 1 ( t ) 1 2 2 ... 2 ... .......... .......... .......... .. 2 n 1 1 ... n1 ( t ) n n n
4. 应用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley－Hamilton)求eAT 考虑nXn维矩阵A及其特征方程:
I A n an1n1 ... a1 a0 0
凯莱-哈密尔顿定理指出: 矩阵A满足其自身的特征方程,即:
An an1 An1 ... a1 A a0 I 0