高级中学数学三角函数复习资料专业题材

高中数学三角函数复习专题
一、知识点整理:
1、角的概念的推广：
正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：
①终边为一射线的角的集合：⇔{}Z k k x x ∈+=,2απ={}
|360,k k Z ββα=+⋅∈o
②终边为一直线的角的集合：⇔{}
Z k k x x ∈+=,απ；
③两射线介定的区域上的角的集合：⇔{}
Z k k x k x ∈+≤<+,22απβπ ④两直线介定的区域上的角的集合：⇔{}Z k k x k x ∈+≤<+,απβπ；
3、任意角的三角函数：
（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2） 扇形的面积公式：lR S 2
1
= R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：
,cos ,sin r x r y ==αα x
y =αtan r=
22b a + 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα比如：公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 的证明
（6）
如图，角α 垂足为M 过点A(1,0)作x （7 ①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a
a cos tan =
③平方关系：1cos sin 22=+a a
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;
即：函数名改变，符号看象限:
比如sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
4.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
βββαsin sin cos cos )cos(a a μ=± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±
β
β
βtan tan 1tan tan )(tan a a a a μ±=
± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：
a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a
a a
a 2
tan 1tan 22tan -=
(3)几个派生公式： ①辅助角公式：)cos()sin(cos sin 2222ϕϕ-+=++=+x b a x b a x b x a
例如：sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
±4πα＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πα．
sin α±3cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛±3πα＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛
±3πα等．
②降次公式：
ααα2sin 1)cos (sin 2
±=± 221cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-==
③)
tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα⋅-+=+
5
6、.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π
2=
T
（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π
=
T （3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、
2π、π、2
3π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。

切记每一个变换总
是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w
1倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长）
②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<<A 缩短） 函数的对称变换：
①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像沿y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像沿x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
7、解三角形
()1正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， ()2余弦定理：222
2222
22222
222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .
2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩
()3推论：正余弦定理的边角互换功能
① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c
C R
= ③
sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C
++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = (4)面积公式：S=21ab*sinC=21bc*sinA=2
1
ca*sinB 二、练习题
1、sin330︒等于 （ ） A
．2-
B ．12-
C ．12 D
．2
2、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
3、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ( )
A ．1
sin0.5 B ．sin0.5 C ．2sin0.5 D ．tan0.5
4、在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞1
2”的 ( )
A ．仅充分条件
B ．仅必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、角α的终边过点
b b 则且（,5
3
cos ),4,--=α的值（ ）
,.
A 、3
B 、-3
C 、3±
D 、5 6、已知2π
θπ<<,3
sin()25
πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ）
A ．34
B ．43
C ．34-
D ．43
-
7、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
8、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为 （ ） A ．1
B
C
D ．2
9、为得到函数πcos 3y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）
A ．向左平移π6个长度单位
B ．向右平移π
6个长度单位
C ．向左平移5π6个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
10、正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则该函数的表达式是( )
A. y = 2sin(x -4π)
B. y = 2sin(x +4π
) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8π) 11、函数)3
2cos(π
--=x y 的单调递增区间是（ ）
A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-ππππ
C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++ππππ
12、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
已知,13
A a b π
===，则c = （ ）
A.1
B.2
1
13、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）
A.
223 B.2
3
3 C.23 D.33
14、 在ABC △中，已知222sin sin sin sin B C A A C --=，则B ∠的大小为 （ ） .A 150︒ .B 30︒ .C 120︒ .D 60︒
15、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =， 则cos B = ( )
A. 14
B. 34
C. 4
D. 3
16、若2cos sin =+θθ，则=θθcos sin .2
1
17、已知函数)(x f 是周期为6的奇函数，且1)1(=-f ，则=-)5(f ．
18、在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆
x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝________.
19、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域 ___________
20、已知=++++∈=)100()...4()3(21),(4
sin )(*f f f f f N n n x f ）（）（则π
_________
21、关于函数f(x)=4sin(2x+π
3 ) (x ∈R)，其中正确的命题序号是___________．
（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-π
6 ); （2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；
（3）y=f(x ) 的图象关于点(-π
6 ,0)对称;
（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-π
6 对称;
22、给出下列四个命题，则其中正确命题的序号为 _________ （1）存在一个△ABC ，使得sinA+cosA=1 （2）在△ABC 中，A>B ⇔sinA>sinB
（3）终边在y 轴上的角的集合是{|,2
k k Z π
αα=
∈} （4）在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象与函数y=x 的图象有三个公共点
（5）函数sin()2
y x π
=-在[0，π]上是减函数
23、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos
25
A =， 3A
B A
C ⋅=u u u r u u u r
． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．
24、已知函数()f x 2cos 2cos 1()x x x x R +-∈．
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若06()5f x =，0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值．
参考答案：1-5BCABA 6-10BDBCB 11-15CBBAB
16、21 17、-1 18、45
19、]23
4,23[ππππk k ++- 20、21+
21、(1)(3) 22、（1)(2)(4)
23、（1）由25
cos
25A =得552sin
=A ,54sin ,53cos =
=A A
因3AB AC ⋅=u u u r u u u r
，所以bc=5,故2=∆ABC S
（2）由（1）bc=5,且c=1，所以b=5, 由余弦定理易得52=a
24、（Ⅰ）解：由2
()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，得
2()3(2sin cos )(2cos 1)3sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+.
所以函数()f x 的最小正周期为π.
因为()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间0,
6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又 (0)1,2,
162f f f ππ⎛⎫
⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2，最小值为-1. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知00()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 又因为06()5f x =
，所以03sin 265x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
由0,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.。