2023届贵州省六校联盟高三上学期高考实用性联考(一)数学(文)试题(PDF版)

文科数学参考答案·第1页（共8页） 2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷（一）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C D A B D B B C A C C D
【解析】
1．{|12}M x x =-
<<
，12N x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≥，故122M N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
≤，故选C ． 2．由题设有22(1i)11i 1i (1i)(1i)z --+=
==---+-+--，故2i z =--，故||z ==，故选D ． 3．因为点D 在边AC 上，2DC DA =，所以223CD DA CA == ，即23
BD BC CD BC CA =+=+= 221()333BC BA BC BA BC +-=+ ，所以2133
BD m n =+ ，故选A ． 4．从6张卡片中无放回抽取2张，共有121314151()()()()62324()()()，，，，，，，，，，，，，，
()()()()()252634353(6454)(66()5)，，，，，，，，，，，，，，，，15种情况，其中数字之和为3的倍数的有121524()()()(36)5)4(，，，，，，，，，，5种情况，故概率为51153
=，故选B ． 5．∵(22)()1||1x x x f x x x --=≠±-，∴(22)(22)()()||1||1x x x x x x f x f x x x ------===---，定义域关于原点对称，故()f x 是偶函数，排除A ；当
0x >时，22x x ->，即220x x -->，当1x >时，又有||10x ->，因此()0f x >，排除B ，C ，故选D ．
6．由题意可知，双曲线的渐近线方程为22
0169
y x -=，即430x y ±=，结合对称性，不妨考虑点(20)，到直线430x y +=的距离：85
d ==，故选B ． 7．将式子进行齐次化处理得：22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ
-+-==-- 2222sin (sin cos )tan tan 422sin (sin cos )sin cos 1tan 145
θθθθθθθθθθθ----====+++，故选B ．
文科数学参考答案·第2页（共8页）
8．12a =∵，122n n n a a a ++++=，20231234567()()S a a a a a a a =++++++++ ∴
2021202220231()67421350a a a a ++=+⨯=，故选C ．
9．∵球的体积为36π，所以球的半径3R =，如图，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，
则22292l a h ==+，22232(3)a h =+-，所以269h l ==，222229a l h h =-=-，所以2278a =，32h =，所以正四棱锥的体积21112732744333824
V Sh a h ==⨯⨯=⨯⨯⨯=，故选A ． 10．由题意，函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭，因为[01]x ∈，，可得πππ333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 的图象在区间[01]，上恰有3个最高点，所以πππ4π6π232
ω++<+≤，解得25π37π66ω<≤，即实数ω的取值范围是25π37π6
6⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选C ． 11．(0)A a ，，设11()P x y ，，则11()Q x y -，，则1111AP AQ y a y a k k x x ---=
=，故AP AQ k k = 22111211143y a y a a y x x x ----== ，又2211221y x a b +=，则2222112()b a y x a -=，所以
2221222212
4()3a y a b a y b a -==-，即2234b a =，所以椭圆C
的离心率12
c e a ===，故选C ． 12．显然，a b c ，，皆为正数．欲比较b 和c 的大小，只需比较ln b 和ln c 的大小．ln b =
1.3ln1.3 1.3ln1.3=，0.39ln ln e 0.39c ==，即比较0.39和1.3ln1.3的大小即可．下面先证明ln 1(0x x x <->且1)x ≠．记()(1)ln f x x x --=，则1()1f x x
'=-．令()0f x '>，得：01x <<；令()0f x '<，得：1x >；函数()f x 在(01)，
上单增，在(1)+∞，上单减，所以对任意0x >，都有1(0)()f f x =≤，即ln 1x x -≤恒成立，所以对任意0x >且1x ≠，都有1(0)()f f x <=，即ln 1x x <-恒成立，故1.3ln1.3 1.3(1.31)0.39<⨯-=，故c b >．构造函数()e x g x =，故当x ∈R 时，()g x 单调递增，故 1.30.39e e >，即a c >，综上a c b >>，故选D ．
文科数学参考答案·第3页（共8页）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号
13 14 15 16 答案
7
1- 31y x =- 1 【解析】 13．{}n a ∵是等差数列，26172a a a a +=+=，根据等差数列前n 项和公式：
*1()2n n n a a S n +=∈N ，可得：77272
S ⨯==，∴77S =． 14．因为((e )e )x x x a f x -=- ，故()(e e )x x x a f x --=-- ，因为()f x 为奇函数，故
()()f x f x --=，所以(e e )(e e )x x x x x a x a ---=- ，整理得到(1)(e e )0x x a -+-=，故1a =-.
15．对函数12e x y x -=+求导得1e 2x y x -'=+，故当1x =时，斜率11e 23k -=+=，又切线过点
(12)，，故切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-．
16．因为(1)(1)0f x f x ++-=①；令1x =，由①得：(2)(0)20f f a b b +=++=，所以0a b +=，
即(1)0f =，因为(0)(1)2f f +=，所以(0)2f b ==，则2a =-，又因为(1)f x -关于1x =对称，所以()f x 关于y 轴对称．由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以
71122122221f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
文科数学参考答案·第4页（共8页）
18．（本小题满分12分） （1）证明：在四边形ABCD 中，因为2460CD AB AD AB DAB ==∠=︒∥，，，，
由余弦定理得，2222cos60BD AD AB AD AB =+-︒ ，解得212BD
=，
…………………………………………………………………（2分）
所以222AD BD AB +=
，即BD AD
⊥，
………………………………………（3分） 因为PAD ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD AD = 平面平面，BD ABCD ⊂平面， 所以
BD PAD ⊥平面，
…………………………………………………（6分）
又因为PA ⊂平面PAD ，
所以BD PA
⊥. ……………………………………………………………（7分） （2）解：由（1）知，BD PAD ⊥平面，
所以角BPD 就是PB 与平面P AD 所成的角.
…………………………………（8分） 又212BD =，即BD =，2PD =，
……………………………………（10分） 所以tan 2
BD BPD PD ∠===. ………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）
解：（1）由22cos 2
b c ab C -+=， 可得22222
22a b c b c ab ac ab +--=- ， ……………………………………………（2分）
文科数学参考答案·第5页（共8页）
得222a c b +-=， …………………………………………………（3分）
则222cos 22
a c
b B a
c +-==， …………………………………………………（5分） 由于0πB <<，所以π6B =． …………………………………………………（6分）
（2）由2BD BA BC =+
，可得2224BD c a =++
，即224c a +=，
…………………………………………………………………（8分）
因为222c a ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）
，
所以2242c a ac +=-≥， …………………………………………………（9分）
则8ac -≤
（当且仅当a c ==-时等号成立）， ………………………（10分）
则111sin (82222
ABC S ac B =⨯-⨯=≤△
（当且仅当a c ==， 即ABC △
面积的最大值为2
…………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分） 解：（1）设点()P x y ，，由题，有||1|4|2
PF x =-
12=， …………………………………………………………………（3分） 解得223412x y +=，
所以所求P 点轨迹方程为22
143x y +=． …………………………………………（5分） （2）由题，直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为(1)y k x =-，
与曲线C 联立方程组得22(1)14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 解得2222(43)84120k x k x k +-+-=，
………………………………………（6分） 设1122()()A x y B x y ，，，， 则有2212122284124343k k x x x x k k -+==++，． …………………………………………（7分）
文科数学参考答案·第6页（共8页）
依题意有直线2l 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为1(1)y x k
=--． 令x m =，则有M 点的坐标为1m m k -⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ……………………………（8分） 由题，11(1)MF m k k m k -==--， …………………………………………………（9分） 121212*********MA MB m m y y y y m m k k k k x m x m x m x m k x m x m --++⎛⎫--+=+=+++ ⎪------⎝⎭ 121212(1)(1)111k x k x m m x m x m k x m x m ⎛⎫----=+++ ⎪----⎝⎭ 22222222222228624(1)2431434128412843434343
k m m m k k k k k k k k m m m m k k k k ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭+=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++， ………………………………………………………………………（10分） 因为2MF MA MB k k k =+， 所以22222222222228624(1)24312434128412843434343
k m m m k k k k k k k k k m m m m k k k k ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭+⨯+⨯=----⨯+-⨯+++++， ………………………………………………………………………（11分） 解得2(4)(1)0m k -+=，则必有40m -=，
所以4m =．
……………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分） （1）解：()f x 的定义域为(0)+∞，，
()2ln 22f x x mx =+-'， …………………………………………………（1分）
令()()h x f x '=，则22(1)()2mx h x m x x -'=-=， ………………………………（2分）
因为1m ≥，所以当10x m <<时，0()h x '>，()f x '在10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增；
文科数学参考答案·第7页（共8页） 当1x m >时，0()h x '<，()f x '在1m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． ………………………（3分） 则11()2ln 222ln 0f x f m m m ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭''≤≤． ………………………………（4分）
所以函数()f x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间．
………………………………………………………………………（5分）
（2）证明：欲证2242ln
a b ab a b a b +<--， 只要证22
()()2ln ()()
a b a b a b a b a b a b ++--<-+-， 即证2ln a b a b a b a b a b a b ++-<---+． …………………………………………………（7分） 令a b x a b +=-，由于0a b >>，则1x >． ………………………………………（8分） 故只要证12ln x x x
<-，即证22ln 10x x x -+<． …………………………（9分） 当1m =时，2()2ln 1f x x x x =-+，
由（1）有，此时，()f x 在(0)+∞，上单调递减．
故1x >时，()(1)0f x f <=，即22ln 10x x x -+<．
……………………………（10分） 所以12ln x x x <-
成立， …………………………………………………（11分） 即22
42ln a b ab a b a b +<--成立． ……………………………………………（12分） 22．
（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（1
）由cos sin x y ββββ
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得229x y +=， ………………………………（2分） 由πcos 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
得1cos sin 2022ρθρθ+-=， 因为cos sin x y ρθρθ==，
40y +-=， …………………………（4分） 所以，C 的普通方程是229x y +=，l
40y +-=．
…………………………………………………（5分）
文科数学参考答案·第8页（共8页） （2）由（1）知(04)P ，，
设m 的参数方程为cos (4sin x t t y t θθ=⎧⎨=+⎩ ， 为参数）， …………………………………（6分）
代入C 的普通方程得28sin 70t t θ++= ， ……………………………………（8分） 由题，0∆>，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，则127t t = ，
……………………………………………………………………………（9分）
所以，12||||||7PA PB t t == ，所以||||PA PB 为定值．
……………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）当1a =时，由()3f x ≥，得|1||2|3x x -+-≥，
………………………（1分） 当1x <时，123x x -+-≥，解得0x ≤；
………………………………………（2分） 当12x <≤时，123x x -+-≥，解得x ∈∅；
…………………………………（3分） 当2x ≥时，123x x -+-≥，解得3x ≥，
………………………………………（4分） 综上，不等式的解集为(0][3)-∞+∞ ，，. ………………………………（5分）
（2）()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =-+----=-≥，
…………………（6分） 因为()21f x a -≥，所以|2|21a a --≥，
……………………………………（7分） 所以2(21)a a ---≤或221a a --≥，
………………………………………（8分） 解得1a ≤或1a -≤，
………………………………………（9分） 综上1a ≤，即a 的取值范围为(1]-∞，. …………………………………………（10分）。