河北高一高中数学期中考试带答案解析

河北高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知三点在同一条直线上，则的值为（）
A．B．C．D．
2.设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．则
D．若且，则
3.已知是不同的直线，是不重合的平面，下列命题中正确的个数为（）
①若则
②若则
③若则
④则
A．1B．2C．3D．4 4.若图，直线的斜率分别为，则（）
A．B．
C．D．
5.已知是不重合的平面，是不同的直线，则下列命题不正确的个数是（）
①若，则
②若则
③若，则
④若，则
A．0B．1C．2D．3
6.设是不重合的平面，是不同的直线，下列命题不能推导出线面垂直的是（）A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7.平面截球所得截面的面积为，球心到截面的距离为，此球的体积为（）A．B．C．D．
8.下列命题正确的是（）
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
④过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
A．①②③B．①②C．①④D．②③④
9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
10.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）
A．
B．
C．
D．
11.已知若平面内存在一点满足：且，则点坐标为（）A．B．C．D．
12.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最小的是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.直线经过点，则直线的倾斜角为；
2.已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积为____ ____；
3.已知三点，若过点的直线与线段总有公共点，则
直线的斜率的取值范围是；
4.如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在原正方体中，
①平面；
②平面；
③CN与BM成角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是____ ____。

（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
1.（本小题满分10分）已知线段的两个端点，直线,且直线的倾斜角为。

求的值。

2.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中
点．
（1）求证：平面;
（2）设求三棱锥的体积。

3.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，
底面.
（1）求证：；
（2）若求三棱锥的高。

4.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，
，侧面底面. 若.
（1）求证：平面；
（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由。

5.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求四棱锥的体积。

河北高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知三点在同一条直线上，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】确定的直线方程为，代入点得
【考点】直线方程
2.设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．则
D．若且，则
【答案】D
【解析】由线面平行的判定定理可知A正确；B中则内存在直线，所以平行平行,正确；C中由两面平行，线面平行的性质可证明，正确；D中当都与两面交线平行
时也成立，但此时两面相交
【考点】空间线面平行垂直的判定和性质
3.已知是不同的直线，是不重合的平面，下列命题中正确的个数为（）
①若则
②若则
③若则
④则
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】①由面面平行的判定定理可知命题正确；②两平面可能平行也可能相交；③两平面可能平行也可能相交；④两直线可能平行可能异面
【考点】空间线面平行垂直的判定与性质
4.若图，直线的斜率分别为，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以
【考点】直线倾斜角与斜率的关系
5.已知是不重合的平面，是不同的直线，则下列命题不正确的个数是（）
①若，则
②若则
③若，则
④若，则
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】①中由公理：平行于同一直线的两直线平行可知该命题正确；②中由定理：垂直于同一平面的两直线平行可知该命题正确；③中两直线可能平行，也可能异面，命题错误；④中由线面垂直的性质可知命题正确
【考点】线面平行垂直的判定与性质
6.设是不重合的平面，是不同的直线，下列命题不能推导出线面垂直的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】由面面平行的性质可知A是正确的；只有是两条相交直线时命题才能成立，，所以D错误；由线面垂直的判定定理可知命题B正确；由面面垂直的性质定理可知C正确
【考点】线面平行垂直的判定与性质
7.平面截球所得截面的面积为，球心到截面的距离为，此球的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】截面小圆
【考点】球的截面圆问题
8.下列命题正确的是（）
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
④过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
A．①②③B．①②C．①④D．②③④
【答案】B
【解析】①②显然是正确的；③中过平面外一点有无数条直线与已知平面平行；④中过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直
【考点】线面平行垂直的判定
9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体上部是半径为1的球，下部是边长为2的正方体，因此体积为
【考点】三视图与柱体球的体积
10.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【考点】直线倾斜角与斜率的关系
11.已知若平面内存在一点满足：且，则点坐标为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设且
【考点】向量平行垂直的坐标运算
12.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最小的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是边长为4的正方体内的三棱锥，如图所示：
由图形可知面积最小，其中底边和高分别为，所以面积为8
【考点】三视图
二、填空题
1.直线经过点，则直线的倾斜角为；
【答案】
【解析】直线斜率
【考点】直线倾斜角和斜率的关系
2.已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积为____ ____；
【答案】
【解析】圆的面积为，所以
【考点】球的截面圆问题
3.已知三点，若过点的直线与线段总有公共点，则
直线的斜率的取值范围是；
【答案】
【解析】,结合图形可知
【考点】直线斜率
4.如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在原正方体中，
①平面；
②平面；
③CN与BM成角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是____ ____。

（写出所有正确命题的序号）
【答案】①③④
【解析】以正方形为底面还原成正方体后，中为体对角线与平面垂直；②中与平面垂直的直线是；③将两异面直线平移相交后可构成等边三角形，因此所成角为；④中由三垂线定理可知DM与BN垂直
【考点】1.空间线面位置关系；2.翻折问题
三、解答题
1.（本小题满分10分）已知线段的两个端点，直线,且直线的倾斜角为。

求的值。

【答案】
【解析】由两点坐标求得直线斜率，由直线的倾斜角求得斜率，两斜率相等建立等式关系，解出的值
试题解析：∵直线的倾斜角为∴
∵∴
∴即。

解之得或.
经检验，时，与重合，不合题意，舍去。

∴.
【考点】直线斜率与倾斜角，直线上点的坐标之间的联系
2.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中
点．
（1）求证：平面;
（2）设求三棱锥的体积。

【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）证明线面平行的一般思路是证明直线平行于平面内的直线，本题中连接,交于点,连接，只需证明（2）中求棱锥的体积首先找到底面积和高，本题中底面积和高都不易求解，因此可采用等体积
转换的思路求解
试题解析：（1）证明：连接,交于点,连接.
∵四边形为矩形
∴为的中点。

又∵为的中点．
∴.
∵平面，平面
∴平面
（2）解：∵四边形为矩形，。

∴
∴
【考点】1.线面平行的判定；2.棱锥体积的求解
3.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，
底面.
（1）求证：；
（2）若求三棱锥的高。

【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）中，借助于余弦定理将已知条件代入可得到,又底面.因此可得（2）中求棱锥的高即求点到面的距离，求解思路有两种：1.过点做面的垂线，求垂线段长度或采用等体
积转化为另一棱锥的高
试题解析：（1）证明：令则。

∵
∴
∴
即.
∵底面
∴
∵
∴底面.
∴.
（2）解：∵则。

过点作垂足为，连接。

过点作垂足为
∵底面∴.
∵. ∴平面。

∴
又∵
∴平面
∴线段的长就是三棱锥的高。

在中，由得
∵
∴
由得
∴三棱锥的高为。

【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.点到面的距离
4.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，
，侧面底面. 若.
（1）求证：平面；
（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由。

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）存在侧棱的中点
【解析】（Ⅰ）要证平面可以证明垂直于，已用已知条件中的侧面底面可
以转化出直线间的垂直关系（Ⅱ）中寻找点E的位置可采用几何法：猜测加证明的思路求解，或者用向量法，建
立空间坐标系，设出E的坐标，使直线的方向向量与平面的法向量垂直得到点E的位置
试题解析：（Ⅰ）证明：令则.
在直角梯形中，
∴, ∴即
又∵,∴
∵侧面底面，且交线为，平面.
∴平面，
∵平面. ∴平面
（2）解：存在侧棱的中点，使得平面.证明如下：
取的中点，的中点，连接可知
又∴
∴四边形为平行四边形。

∴∵平面，平面.
∴平面。

∴存在侧棱的中点，使得平面.
注：其他方法酌情给分。

【考点】1.线面平行的判定；2.线面垂直的判定与性质
5.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求四棱锥的体积。

【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）由可得底面从而平面平面（2）求棱锥的体积需要找到底面积和顶点到底面的距离的长度，代入体积公式即可
试题解析：（1）证明：∵四边形为菱形。

∴
∴平面
∴底面
∵平面.
∴平面平面
（2）解：连接。

∵四边形为菱形。

∴为的中点。

∵
∴
在菱形中，
∴为等边三角形,
∴
∴即.
∵平面平面
∴面.
∴.
∴四棱锥的体积为。

【考点】1.线面垂直的判定和性质；2.棱锥的体积。