江苏省泰州市泰兴中学附属实验学校2020年高二数学文联考试卷含解析

江苏省泰州市泰兴中学附属实验学校2020年高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. (原创)设,其中.那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
参考答案：
B
略
2. 集合，则=（）
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
参考答案：
B
3. 设（1+i）（x+yi）=2，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|2x+yi|=（）
A．1 B．C．D．
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，然后代入模的公式求模．
【解答】解：由（1+i）（x+yi）=2，得：x﹣y+（x+y）i=2，
则，解得x=1，y=﹣1．
∴|2x+yi|=|2﹣i|==．
故选：D．
4. 已知函数= ，=，若至少存在一个∈[1，e]，使得
成立，则实数a的范围为
A．[1，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(1，+∞)
参考答案：
B
5. 若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则这个圆锥的体积为（）
A、 B、 C、 D、
[来源:]
参考答案：
A
略
6. 已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点
也在椭
参考答案：
A
略
7. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的大小是
A． B． C．
D．
参考答案：
D
略
8. 抛物线的焦点到准线的距离为
（ ***** ）
A. B.
C. D. 1
参考答案：
B
9. 已知平行直线，则的距离
A. B. C.
D.
参考答案：
A
10. 数列的一个通项公式是
A．B．
C．D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，用数学归纳法证明时，等
于
．
参考答案：
12. 已知点M 是抛物线上的一点，F 为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________. 参考答案：
4
略
13. 随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）获得身高数据的茎叶图如下图甲，在样本的20人中，记身高在，的人数依次为、、、．图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是班；图乙输出的．（用数字作答）
参考答案：
乙，18
14. 若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为．
参考答案：
16
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．
【解答】解：∵x，y＞0，且，
∴x+3y==10+≥10+6=16，当且仅当x+3y=1，即=y取等号．
因此x+3y 的最小值为16． 故答案为16．
15. 已知若不等式恒成立，则的最大值是_________
参考答案：
9
16. 正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为a ，则正三棱台的侧面积
为
．
参考答案：
a 2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】作出三棱台的直观图，还原成三棱锥，利用图中的相似及直角三角形关系求出棱台的侧棱，再求出侧面梯形的高即可算出答案．
【解答】解：作出三棱台的直观图，还原成三棱锥如图：
取BC 中点D ，连接OD ，OB ，则BD==a ，∠ODB=90°，∠OBD=30°．
∴OB=2OD ∵OD 2+BD 2=OB 2
∴OB=
∵
=
==
=
∴SO=2SO'=， ∴SB==， ∴B'B=
．
过B'作B'E⊥BC 于E ， 则BE=（BC ﹣B'C'）=．
∴B'E=
=a ．
即棱台侧面梯形的高为a ．
∴S 侧面积=（a+2a ）?a?3=．
故答案为．
【点评】本题考查了棱台的结构特征，面积计算，属于基础题．
17. 以棱长为1的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为__________。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D ，E 分别为AC 、AB 上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2． （1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；
（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出DE⊥AC，DE⊥A1D，DE⊥CD，从而DE⊥A1C．再由A1C⊥CD，能证明A1C⊥平面BCDE．
（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM与平面A1BE所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC．
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC．
∴DE⊥A1C．
又∵A1C⊥CD，
∴A1C⊥平面BCDE．
解：（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A1（0，0，3），D（0，3，0），M（0，，），B（6，0，0），E（4，3，0），
=（0，），=（﹣6，0，3），=（﹣2，3，0），
设平面A1BE的法向量=（x，y，z），
则，取x=1， =（1，，），
设CM与平面A1BE所成角为θ，
sinθ===．
∴CM与平面A1BE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．
19. （本题满分10分）
过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（Ⅰ）x2＝4y;（Ⅱ）存在一点或(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，∴1＋＝2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y．
(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，
设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，
由方程组消去y得，x2＝4(2x＋1)，
即x2－8x－4＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4．
∵MA⊥MB，∴·＝0，
∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0，
∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0．
∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，
∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，
∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0．
∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点或，使得MA⊥MB．
20.
参考答案：
解:由已知得:中有且仅有一个为真,一个为假. ………………….2分
………………………4分
……………………….6分
(1)若则;…………………………8分
(2)若则…………………………10分
综上所述:……………………………….12分
21. 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
参考答案：
【考点】等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是3×5=15，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，
要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且，即2b≤a
若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分
由得交点坐标为，
∴所求事件的概率为．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．
22. 某早餐店的早点销售价格如下：
（1）求小明的早餐价格最多为3元的概率；
（2）求小明不喝牛奶且不吃油条的概率.
参考答案：
解：设豆浆，牛奶，粥依次用字母表示，油条，面包，包子依次用字母表示，则小明早晨所有可能的搭配如下：
总共有9种不同的搭配方式。

（1）明的早餐价格最多为3元包含的结果为：，共有4种，其概率为
（2）小明不喝牛奶且不吃油条包含的结果为：，共有4种，其概率为
略。