辽宁省沈阳市第一七O中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试卷

数学试题
试卷说明：
本套试题主要考察了人教B 版必修五的解三角形、数列、不等式及选
修2-1的常用逻辑用语等相关知识，本套试题参考教学大纲及近几年高考命题趋势。

本套试题难、中、易比率为2：3：5来设置的。

其中考察重点在于基本知识、基本技能、基本技巧。

本套试卷共分两卷其中Ⅰ卷为客观题共60分，Ⅱ卷为主观卷共90分。

考试时间120分钟，满分150分。

Ⅰ卷（客观题）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是( )
A ．a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a 2＞b 2
B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞b
d
C ．a ，b ∈R ，且ab ≠0，则a b ＋b
a ≥2
D ．a ，b ∈R ，且a ＞|b |，则a n ＞b n (n ∈N *)
2．在等差数列{}n a 中，已知10202=+a a ，则S 21等于（ ） A ．100 B ．105 C ．200 D ．0 3．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝⎛⎭
⎫－12，1
3，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．－14
D ．14
4．已知x ，y ∈R ＋
，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( )
A ．1 B.12 C.22 D.1
4
5．在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于 （ ）
A ．60
B ．60或 120
C ．30
D ．30或150
6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2
7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒
===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
9．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中
项为5
4
，则S 5＝( )
A ．35
B ．33
C ．31
D ．29
10．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是3
2
，则△ABC 的面积是( )
A.154
B.1543
C.214 3
D.354 3 11．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 009的值是( )
A ．2 0092
B ．2 008×2 007
C ．2 009×2 010
D ．2 008×2 009
12．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( )
A.
5＋12 B.5－12 C.1－52 D .1
2
Ⅱ卷（主观卷）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{ a n }满足条件a 1 = –2 , a n + 1 =2 +
n
n
a 1a 2-, 则a 3 = ． 14. 数列}{n a 的通项公式1
1++=n n a n ，其前n 项和时9=n S ，则n 等于
_________
15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，
x ≥0，y ≥0，
若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大
值为8，则a ＋b 的最小值为________
16、已知命题:p R x ∈∃，0122≤++ax ax ．若命题p 是假命题，
则实数a 的取值范围是
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项； (2)求数列
{}n
a 2的前n 项和S n
.
18．(本小题满分12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m 的C 、D 两地(A ，B ，C ，D 在同一平面上)测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)．假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A 、B 两地之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到0.1 m)？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)
19．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋(3＋a －2a 2)<0的解集中的一个元素为0，求实数a 的取值范围，并用a 表示该不等式的解集．
20．(本小题满分12分)设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
2sin a b A =
（1）求角B 的大小； （2）求cos sin A C +的范围
21．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这
两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
22．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1， b 2(a 2－a 1)＝b 1.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
数学试题答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B. 9．C 10．B. 11．D 12．B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13． 6 14． 99 15 4 16．
[)10，
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
解析： (1)由题设知公差d ≠0，
由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d
1＋2d
，
解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .----------------------------------
（5分）
(2)由(1)知n
a 2
＝2n ，由等比数列前n 项和公式得 S n
＝
2＋2
2
＋2
3
＋…＋2
n
＝
2(1－2n )
1－2
＝
2n
＋1
－
2.---------------------------------------------------------（10分）
18．解析： 在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°， CD ＝6 000，∠ACD ＝45°， 根据正弦定理，得AD ＝CD sin 45°sin 60°
＝
2
3
CD ----------------------------------------（3分） 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°， 根据正弦定理，得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22
CD .------------------------------------------（6分）
又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝
23＋1
2
CD ＝1 00042，-----------------（9分） 而1.2AB ≈7 425.6，则实际所需电线长度约为7 425.6 m.---------------------------（12分） 19．
解析： 原不等式即(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0，适合不等式，故(0－a －1)(2a －3)<0，
即(a ＋1)(2a －3)>0，∴a >3
2或a <－1.------------------------------------------------------（5分）
若a >32，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )<－5
4
，
∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12； -----------------------------------------------------（8分）
若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝5
2(1－a )>5，
∴不等式的解集为⎝⎛
⎭
⎫a ＋1
2，3－2a .--------------------------------------------------------（11分） 综上，a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫3
2，＋∞. 当a >3
2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12.
当a <－1时，不等式的解集为⎝⎛⎭
⎫a ＋1
2，3－2a .-----------------------------------------（12分） 20. 由题知 s i n 2s i n s i
n A B A =∙ 又sin 0A ≠ 1
s i n 2
B ∴=
又为锐角三角形 6
π
=
∴B ----------------------------------------------------------------------------------------（5分）
（2）cos sin cos sin()6A C A A π+=++=3
cos 2
2A A +
)3
A π
+
---------------------------------------------( 7分) 又02
A π
<<
且
2
A B π
π<+< 3
2
A π
π
∴
<<
--------------------------------------------(9分 )
25336
A πππ
∴
<+<
1sin()23A π∴<+< ---------------------------------------(11分)
故cos sin A C +的取值范围是3
(
)22
-----------------------------------------------(12分)
21．
解析： 设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧
30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，
x ≥0，
y ≥0，x ，y 均为整数．----------------------------------------------(6
分
)
由图知直线y ＝－34x ＋1
8z 过M (4,9)时，纵截距最大．---------------------------------------（8
分）
这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．--------------------------------------------（10分）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．-------------（12分）
22．
解析： (1)当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，------------------------------------------------------------（2分）
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，-----------------------------------------------------------------（3分）
故{a n }的通项式为a n ＝4n －2.------------------------------------------------------------------------（4分）
设{b n }的公比为q ，由已知条件b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，
∴b n ＝b 1q n －
1＝2×
1
4
n －1，即
b n ＝
2
4
n －1.-----------------------------------------------------------------
（6分）
(2)∵c n＝a n
b n＝
4n－2
2
4n－1
＝(2n－1)4n－1，-------------------------------------------------------------------
（7分）
∴T n＝c1＋c2＋…＋c n＝[1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1]．
4T n＝[1×4＋3×42＋5×42＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n]．
两式相减得：
3T n＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n -----------------------------------------（9分）
＝1
3[(6n－5)4
n＋5]．----------------------------------------------------------------------------------
（11分）
∴T n＝1
9[(6n－5)4
n＋5].---------------------------------------------------------------------------------
（12分）。