高一数学期中复习及考前模拟苏教版知识精讲

高一数学期中复习及考前模拟苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
期中复习及考前模拟
二. 本周教学目标：
复习：1. 集合的含义及其表示2.函数概念与基本初等函数
三. 知识要点：
第一章：集合的含义及其表示
（一）集合的有关概念： 1. 集合的含义：
一般地，一定X 围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。

集合中的每一个对象称为该集合的元素。

2. 集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。

空集：不含任何元素的集合，记作Φ。

3. 集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}
（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P （x ）}的形式
4. 常用数集的字母表示 常用数集及记法
（1）自然数集： 记作N （2）正整数集： 记作*N N +或 （3）整数集： 记作Z （4）有理数集： 记作Q （5）实数集： 记作R
（二）集合之间的关系：
1. 子集：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中则称集合A 为集合B 的子集，
记作：A ⊆B B A ⊇或 特别的：A A
A ⊆∅⊆
2. 真子集：如果A B A B ⊆≠并且，则称集合A 为集合B 的真子集
3. 集合相等
（三）集合之间的运算： 1. 交 交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集；记作：A ∩B 2. 并
并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集；记作：A ∪B 3. 补 补集：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：S C ＝{x∣ x ∈S 且x ∉A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集。

第二章 函数概念与基本初等函数
一、函数的基本概念 （一）函数的概念 1. 函数定义
一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f 对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的一个函数(function)，通常记为y ＝f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合叫做函数y ＝f(x)的定义域(domain)。

注： 给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。

在函数定义中，所有能输入的值x 组成的集合A 叫做y ＝f （x ）的定义域，而对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成集合称为函数的值域。

映射：一般地，设A ，B 是两个集合，如果按某种对应法则f 对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的一个映射，记作：:f A B →
注：函数是映射，但映射不是函数。

2. 函数的表示方法
（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。

（2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法。

这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。

（3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法。

（二）函数的性质 1. 单调性
一般地，设函数y ＝f(x)定义域为A ，区间I ⊆A.如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调递增函数，I 称为
()y f x =单调递增区间。

如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说
()y f x =在区间I 上是单调递减函数，I 称为()y f x =单调递减区间。

判断函数单调性的方法：
①定义法，即比差法；②图象法；③复合函数单调性判断法则。

2. 奇偶性
（1）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=那么称函数()y f x =是偶函数。

（2）如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么称函数
()y f x =是奇函数。

说明：
⎧⎪
⎪⎨
⎪
⎪⎩
奇函数偶函数
1.根据奇偶性，函数可以分为四类非奇非偶函数既奇又偶函数
2. 用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴ 先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵ 再判断f(－x)＝ －f(x)或f(－x)＝f(x) 是否恒成立。

（三）函数的图象
函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。

图象作法：①描点法；②图象变换。

二、基本初等函数 1. 指数函数：
一般地，函数y ＝a x
(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。

指数函数的图象和性质：
一般地，函数y ＝log a x （a ＞0，且 a ≠1）叫做对数函数；它的定义域是(0，+∞)对数函数的图象与性质
3. 幂函数的定义
一般地，我们把形如a
y x =的函数称为幂函数(power function)，其中x 是自变量，a 是常数。

幂函数a
y x =的性质 幂函数a y x =（a>0）的性质
（1）函数的图象都过（0，0），（1，1）；
（2）在第一象限内，函数的图象随x 的增大而上升，函数在区间[)0,+∞上是单调增函数。

幂函数a y x =（a<0）的性质 （1）图象过（1，1）点。

（2）在第一象限内，函数的图象随x 的增大而下降，函数在区间(0,)+∞上是单调减函数。

三. 函数与方程
1. 方程的根与函数的零点
对于函数y ＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x ，叫做函数y ＝f(x)的零点.函数的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标. 2. 关系图
方程f(x)＝0有实数根
↓
函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点↓
函数y ＝f(x)有零点
3. 定理：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)的图象在区间(a ，b)内必然至少穿越x 轴一次，即至少有一个零点，亦即存在c ∈(a ，b) ，使得f(c)＝0。

【典型例题】
例1. 已知集合A ＝{1，3，a}， B ＝{a 2
}，并且B 是A 的真子集，某某数a 的取值。

分析：∵B 是A 的真子集， ∴a 2
∈A ， 则有：
（1）a 2
＝1⇒a ＝±1，当a ＝1时与元素的互异性不符，∴a ＝－1；
（2）a 2
＝3⇒a ＝ （3）a 2
＝a ⇒a ＝0， a ＝1，舍去a ＝1，则a ＝0
综上：a ＝－1， a ＝a ＝0。

注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论。

例2. （1）已知：M ＝{x|x ≥2}，P ＝{x|x 2
－x －2＝0}，求M ∪P 和M ∩P ；
（2）已知：A ＝{y|y ＝3x 2}， B ＝{y|y ＝－x 2
+4}， 求：A ∩B ，A ∪B ；
（3）已知集合A ＝{－3， a 2 ，1+a}， B ＝{a －3， a 2
+1， 2a －1}， 其中a ∈R ，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B 。

解：（1）P ＝{2，－1}，M ∪P ＝{x|x ≥2或x ＝－1}，M ∩P ＝{2}。

（2）∵A ＝{y|y ≥0}， B ＝{y|y ≤4}， A ∩B ＝{y|0≤y ≤4}， A ∪B ＝R 。

（3）∵A ∩B ＝{－3}，－3∈B ，则有：
①a －3＝－3⇒a ＝0， A ＝{－3，0，1}， B ＝{－3，1，－1}⇒A ∩B ＝{－3，1}，与已知不符，∴a ≠0；
②2a －1＝－3⇒a ＝－1， ∴ A ＝{－3，1，0}， B ＝{－4，2，－3}， 符合题设条件，∴A ∪B ＝{－4，－3，0，1，2}。

小结：此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性。

其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点－1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件。

例3. 利用单调函数的定义证明：函数2
()f x x x
=+
在区间上是减函数。

证明：设21,x x 是区间)2,0(上的任意两个实数，且21x x <， 则)2()2()()(2
21121x x x x x f x f +-+
=-
)11(
2)(2
121x x x x -+-= 2
12112)
2)((x x x x x x --=
由单调函数的定义可知，函数)2,0(2
)(在区间x
x x f +=上是减函数。

【模拟试题】
一、选择题
1. 若集合{}|10M x x =≤，2
a π=，下面结论中正确的是（ ）
A. a M ∉
B. {}a M ∈
C. a M
D. {}
a M
2. 若1)(+=
x x f ，则=)3(f （ ）
A. 2
B. 4
C. ±2
D. 223. 集合8|,,3M y y x y x ⎧⎫
==∈∈⎨⎬+⎩⎭
Z Z 的元素个数是 （ ） A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
4. 集合{}(0,1),(1,1),(1,0)的非空真子集的个数是 （ ） A. 1个
B. 4个
C. 6个
D. 62个
5. 已知,3log 2
1-=x 则x ＝ （ ） A.
8
1
B. 8
C. －8
D. 3 6. 已知2
1
21
31
)3
4(,)53(,)53(---===c b a ，则a ，b ，c 三个数的大小关系是 （ ）
A. c<a<b
B. c<b<a
C. a<b<c
D. b<a<c
7. 已知),(y x 在映射f 的作用下的像是（x +y ，xy ），则像(2，－3)的原像是 （ ） A. (－1，6)B. (3，－1)C. (－1，3)D. )3,1()1,3(--或
8. 方程x x -=3log 3的解所在区间是（ ） A. (0，2)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4)
9. 已知全集{}{}{}
I x x x N A B =≤∈==|101352379，，，，，，，，，那么集合{}
46810，，，是（ ）
A A
B B A B
C A B
D A B
....⋃⋂⋃⋂
10. 计算(
)2
12
2-
⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡-的结果是（ ）
A.2
B. 2-
C.2
2- D.22
11. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0
,0
,2)(2x x x x x f ，则=-)]2([f f （ ）
A. 16
B. －8
C. 8
D. 8或－8
二、填空题
12. 已知{}
2|1,,A y y x x y ==+∈∈R R ，全集U =R ，则N A U C 。

13 设{}
22,4,1U a a =-+，{}2,|1|A a =+，}7{=A U C ，则a =． 14. 函数)21ln(x y -=的定义域是__________________
15 已知指数函数f （x ）＝a x
的图像经过点（3，8），则)1(-f 的值为____________
16. 设⎩⎨⎧>≤-=-0
,log 0,12)(2x x x x f x 函数，若,1)(0>x f 则x 0的取值X 围是 ______________。

三、解答题 17. 计算：3
23
1
0641833)1(416
-
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---π
18. 已知{}
{}
A x y y x
B x y y x ==-==()|()|，，，322，求A B ⋂
19. 已知集合{}
{}
A a a d a d
B a aq aq =++=，，，，，22，其中a ，d ，q R ∈，若A ＝B ，求q 的值。

20. 已知)10(11log )(≠>-+=a a x
x
x f a
且其中。

（1）求)(x f 的定义域； （2）讨论)(x f 的奇偶性；
（3）求使0)(>x f 的x 的取值X 围。

21. 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部。

已知年销售收入为
2
2
1500)(x x x H -
=，其中x 是产品售出的数量()N x x ∈≤≤,5000。

（1）若x 为年产量．．．
，y 表示年利润，求)(x f y =的表达式。

（年利润＝年销售收入－投资成本（包括固定成本）
（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
试题答案
一、选择题
1、D
2、A
3、D
4、C
5、B
6、C
7、D
8、C
9、D 10、D 11、C 二、填空题 12、{}0
13、3
14、1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
； 15、
1
2
； 16、()(),12,-∞-⋃+∞
三、解答题 17
123
3
031(1)3864π-
⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
13
2
3
331642⎡⎤
⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦ ＝
53
11622
--+ ＝16
18、解：2
32()y x A B x y y x ⎧⎫⎛=-⎧⎪⎪⋂= ⎨⎨⎬ =⎩⎪⎪⎝⎩⎭
，{}(11)(24)=，，，
19、解：2
2(1)(2)22a a a a
a d aq a d aq a d aq a d aq =⎧⎧=⎪⎪+=+=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩
或
解(1)得：q ＝1，这样集合B 中元素重复，不合题意。

解(2)得：1
12
q q =-=或(舍)
1
2
q ∴=-
20、解：(1) 由
101x x +>-，得1
01
x x +<-， 进而得1010
1010x x x x +>+<⎧⎧⎨
⎨
-<->⎩⎩
或 解得11x -<<
∴函数f(x)的定义域为(－1，1)
(2)∵函数f(x)的定义域为(－－1，1)，它关于原点对称，
且1
11()log log 11a a x x f x x x --+⎛⎫
-== ⎪+-⎝⎭
1log ()1a
x
f x x
+=-=-- ∴函数f(x)是奇函数
（3）由11og 0,log log 111l a
a a x x
x x ++>>--得 当a>1时，得111x x +>-且－1<x<1，即201x
x >-且－1<x<1，解得0<x<1，
当0<a<1时，111x x +<-且－1<x<1，即201x
x
<-且－1<x<1，解得－1<x<0
∴当a>1时，a 的取值X 围是（0，1），当0<a<1时，a 的取值X 围是（－1，0）
21、解：由题意得
（1）2
14755000,0500,()212000025,500,x x x x N
f x x x x N
⎧-+-≤≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩
（2）当0≤x ≤500时
21
()47550002f x x x =-+-
21
(950)50002x x =---
21
(475)107812.52
x =--+
当475x =时，max ()107812.5f x =元。

当x>500时，f(x)＝120000－25x 是减函数，故f(x)在（500，+∞）上无最大值。

综上，当475x =时，max ()107812.5f x =元。