北京市朝阳区届高三数学(文)第一次综合练习(一模)试题(含解析)

北京市朝阳区2016届高三数学（文）第一次综合练习（一模）试题
（含解析）
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1. 已知全集U =R ，集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则()
U B A =ð
A ．{}2x x ≤
B ．{}13x x ≤≤ C. {}23x x <≤ D ．{}23x x ≤≤ 答案：D
解析：考查补集与交集的运算。

因为{}
U C B ≥＝x|x 2，所以，()U B A =ð{}23x x ≤≤。

2.已知i 为虚数单位,则复数
2i
1i
+= A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 答案：A
解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：
2
22(1)111i i i i i i -==++-。

3.已知非零平面向量,a b ，“+
=-a b a b ”是“⊥a b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：C
解析：因为||||a b a b +=-，平方：22()()a b a b +=-， 展开，合并同类项，得：0a b =， 所以，a b ⊥。

4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A. 42
B. 19
C. 8
D. 3 答案：B
解析：依次执行结果如下：
S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4； S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4；
S ＝2×8＋1＝19，i ＝3＋1＝4，i ≥4； 所以，S ＝19，选B 。

5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin 0B b A +=，则B = A.
π6
B.
π3 C. 2π3
D.
5π
6
答案：C
解析cos sin 0B b A +=cos sin sin 0A B B A +=
sin 0B B +=，即2sin()3
B π
+
＝0，所以，B ＝
2π3。

6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是
A. 3 C. 1+ D.
1+答案：B
解析：四棱锥如下图所示，
7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．
的是
A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1
B. 结余最高的月份是7月份
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出） 答案：D
解析：读图可知A 、B 、C 均正确，对于D ，前6 个月的平均收入＝45万元．
8. 若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是
A ．0r <<
B ．0r <<
C ．0r <<
D ．0r << 答案：C
解析：只需求圆心（0，1）到曲线11y x =
-上的点的最短距离，取曲线上的点1
(,
)1
a a -，1a ≠，
距离d =
所以，若圆与曲线无公共点，则0＜r
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知函数22
log (3),0,(), 0,x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩
则((1))f f -= . 答案：2
解析：因为(1)f -＝1，所以，f （f （－1））＝2log 4＝2。

10.已知双曲线2
21x y m
-=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 . 答案：12
y x =±
解析：抛物线2
8y x =的焦点抛物线2
8y x =的焦点为（2,0），代入双曲线方程， 所以，
41m
=，所以，4m =，渐近线方程为：1
2y x =±
11.已知递增的等差数列}{n a ()
n *
∈N 的首项11=a ，且1a ,2a ,4a 成等比数列，则数列
}{n a 的通项公式n a = ；48124+4+
n a a a a +++=____.
答案：n a n =，2264n n ++ 解析：
，即
12.已知不等式组
0,
,
290
y
y x
x y
≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+-≤
⎩
表示的平面区域为D.若直线()1
y a x
=+与区域D有公
共点，则实数a的取值范围是 .
答案：
3
[0,]
4
解析：画出不等式表示的平面区域，如图所示，
即B（3,3），A（1,1），
13.已知圆22
:(3)(5)5
C x y
-+-=，过圆心C的直线l交圆C于,A B两点，交y轴于点P. 若A恰为PB的中点，则直线l的方程为 .
答案：210
x y
--=或2110
x y
+-=
解析：由｜PA｜＝｜PB｜
则｜AC｜＝
1
2
｜PA｜，即 A是PC的三等分点
x A＝2，代入圆方程 5
即 A(2，3)或(2，7)，故直线l 的方程为：210
x y
--=或2110
x y
+-=
14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 .
答案：1，2，3，
4
解析：1，2，3，4
甲先报1，2，3，4，然后不管乙报几个数，甲只需要每次报的数的个数与乙的个数 和为8（显然这可以做到），因为100－4＝96＝8×12 ，于是12轮过后，甲获胜． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数()2sin cos()3
f x x x ωωπ
=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62
ππ-上的最大值和最小值. 解析：解：（Ⅰ）()2sin cos()3
f x x x ωωπ=+
12sin (cos )22
x x x ωωω=-
2sin cos x x x ωωω=
1sin 2222
x x ωω=
+-
sin(2)3x ωπ
=+. 因为()f x 的最小正周期为2T ω
2π
=
=π，则1ω=. …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()sin(2)3f x x π=+. 因为,6x ππ-
≤≤2所以0233
x π4π≤+≤.
则sin(2)13
x π
≤+≤.
当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值是1；
当233
x π4π
+
=，即2x π=时，()f x 取得最小值是
()f x 在区间[,]62ππ-的最大值为1…………………13分
16.(本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-,n *
∈N .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若()1n
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
解析：（Ⅰ）由22n S n n =-，
当2n ≥时，()()2
2
1=22114 3.-⎡⎤=------=-⎣⎦
n n n a S S n n n n n
当1n =时，111,a S ==而4131⨯-=，
所以数列{}n a 的通项公式43n a n =-，n *
∈N . ………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()(1)(1)43,=-=--n n n n b a n
当n 为偶数时，()159********,2
n n
T n n =-+-+-+
+-=⨯
= 当n 为奇数时，1n +为偶数，112(1)(41)2 1.n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+ 综上，2,,
21,.
n n n T n n ⎧=⎨
-+⎩为偶数为奇数 …………………………13分
17. (本小题满分13分)
某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:
（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数;
（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率； （Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小
（只需写出结论）．（注：方差2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-++-，其中x 为
1x 2x ，…… n x 的平均数）
解析：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数11323314+25
310
x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
=本.
…………………………3分 （Ⅱ）设事件A ={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}.
男生阅读5本名著的3人分别记为123,,a a a ，女生阅读5本名著的2人分别记为12,.b b
从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是： {}12,a a ，{}13,a a ，{}23,a a ，{}12,b b ，{}11,a b ，{}12,a b ，
{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b .
其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：
{}11,a b ，{}12,a b ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b .
则63
105
P
A ==（）. …………………………10分 （III ）2212s s >. …………………………13分 18.（本小题共14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，
1AA ,M N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面11BBC C ；
（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ； （Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直.
若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．
解析：（Ⅰ）由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥．
又因为11//BB AA ，且1AA ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥底面ABC ． 因为AM ⊂底面ABC ，所以1BB AM ⊥，
又1
BB BC B =，
所以AM ⊥平面11BBC C ． 又因为AM ⊂平面APM ，
N
A
M
P
C
B
A 1
C 1
B 1
所以平面APM ⊥平面11BBC C ． ……………………5分
（Ⅱ）
取11C B 中点D ，连结1A D ，DN ，DM ，1B C . 由于D ，M 分别为11C B ，CB 的中点，
所以DM //1A A ,且
DM =1A A . 则四边形1A AMD 为平行四边形，所以1A D
//AM . 又1A D ⊄平面APM ，AM ⊂平面APM ， 所以1A D //平面APM .
由于D ，N 分别为11C B ，1C C 的中点， 所以DN //1B C .
又P ，M 分别为1B B ，CB 的中点， 所以MP //1B C . 则DN //MP .
又DN ⊄平面APM ，MP ⊂平面APM ， 所以DN //平面APM . 由于1A D
=DN D ,所以平面1A DN //平面APM .
由于1A N ⊂平面1A DN ，
所以1//A N 平面APM . ……………10分 （III ）假设1BC 与平面APM 垂直， 由PM ⊂平面APM ，
则1BC PM ⊥． 设PB x =
，x ∈．
当1BC PM ⊥时，11BPM
BC B ∠=∠，
N
A
M
P
C
B
A 1
C 1
B 1 D
所以Rt PBM ∆∽11Rt B C B ∆∠，所以
11
1
C B PB MB BB =．
由已知111MB C B BB ==
=
，得3x =．
由于3
x =
∉， 因此直线1BC 与平面APM 不能垂直． …………………………………………14分
19.(本小题共14分）
已知椭圆:C 22
142
x y +=的焦点分别为12,F F . （Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点
Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明
理由.
解析：（I ）因为24a =，22b =，所以22c =.
所以以线段12F F 为直径的圆的方程为2
2
2x y +=.……………………………3分 （II ）若存在点(,0)Q m ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒， 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.
依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.
由22(4)
142
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=.
因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>.
即2222
(16)4(21)(324)0k k k -+->，解得2
16
k <
.
设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则21221621k x x k +=+，2122324
21
k x x k -=+，
11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.
令12
12120y y k k x m x m
+=
+=--， 1221()()0,x m y x m y -+-=
1221()(4)()(4)0x m k x x m k x --+--=,
当0k ≠时，12122(4)()80x x m x x m -+++=，
所以22324221
k k -⨯
+2
216(4)8021k m m k -+⨯+=+， 化简得，
2
8(1)
021
m k -=+， 所以1m =.
当0k =时，也成立.
所以存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒.……………………………14分
20. （本题满分13分） 已知函数()e x
k x f x k x
+=
⋅-()k ∈R . （Ⅰ）若1,k =求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）设0k ≤，若函数()f x
在区间
上存在极值点，求k 的取值范围.
解析：(Ⅰ)若1k =，函数()f x 的定义域为{}1x x ≠，22
e (3)
()=1)
x x f x x -'-（. 则曲线()y f x =在点()0(0)f ，处切线的斜率为(0)=3f '.
而(0)=1f ，则曲线()y f x =在点()0(0)f ，处切线的方程为31y x =+. ……………3分
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}x x k ≠，222
e (2)
()=)x k k x f x k x +-'-（.
（1）当0k >时，由x k ≠,
k >
，可得k <<
令()0f x '<，解得x <或x >，函数()f x 为减函数；
令()0f x '>，解得x <<x k ≠，
所以当x k <，k x <<()f x 也为增函数.
所以函数()f x 的单调减区间为
∞（-，，)∞，
单调增区间为
)k （，k （. （2）当0k =时，函数()f x 的单调减区间为∞（-,0)，
+∞（0,). 当2k =-时，函数()f x 的单调减区间为2∞（-,-)，2+∞（-，).
当20k -<<时，由220k k +<，所以函数()f x 的单调减区间为k ∞（-,)，+k ∞（,).
即当20k -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为
k ∞（-,)，+k ∞（,).
（3）当2k <-时，此时k >.
令()0f x '<，解得x <或x ，但x k ≠，所以当x k <，
k x <<，x 时，函数()f x 为减函数；
令()0f x '>，解得x <<()f x 为增函数.
所以函数()f x 的单调减区间为k ∞（-,)，k （，)+∞，
函数()f x 的单调增区间为
（. …………9分
（Ⅲ）（1）当20k -≤≤时，由（Ⅱ）问可知，函数()f x 在上为减函数，
所以不存在极值点;
（2）当2k <-时，由（Ⅱ）可知，()f x 在（上为增函数，
在
)+∞上为减函数.
若函数()f x 在区间<， 解得43k -<<-或12k <<,
所以43k -<<-.
综上所述，当43k -<<-时，函数()f x 在区间
上存在极值点.
…………13分。