实变函数期末考试卷A卷完整版

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实变函数度(A)(解答)

实变函数度(A)(解答)

华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷(A 卷)(解答)课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题(判断正确、错误,请在括号中填“对”或“错”。

共5小题,每题3分,共5×3=15分)1、可数个可数集的并集是可数集。

( 对 )2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。

( 错 )3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。

( 错 )4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。

( 对 )5、若()n f x (1n =,2,)和()f x 都为可测集E 上的可测函数,且lim ()()n n f x f x →∞=,..a e E ,则()()n f x f x ⇒,x E ∈。

( 错 )二、叙述题 (共5小题 , 每题3分,共5×3 =15分)1、单调收敛定理(即Levi 定理)答:设E 是Lebesgue 可测集,()n f x (1n =,2,)为E 上的非负可测函数,若{()n f x }是单调递增的,记()lim ()n n f x f x →∞=,则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。

2、R n中开集的结构定理答:R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

(或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

)3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义(即C .Caratheodory 定义)答:设n E R ⊂,如果对任意nT R ⊂,总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集,或称E 是Lebesgue 可测的。

4、F .Riesz 定理(黎斯定理)答:设E 为Lebesgue 可测集,()n f x (1n =,2,)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数,如果()()n f x f x ⇒ x E ∈,则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x },使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。

(完整版)实变函数试卷及答案

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8、由于 ,故不存在使 之间 对应的映射.
( )
9、 收敛的函数列必依测度收敛.( )
10、连续函数一定是有界变差函数.( )
二、填空题(每空2分)
1、设 , , ,则集列 的上限集为________________.
2、设 为Cantor集,则 _____.
3、设 为有理数集,则 ________________.
2、设 是 上绝对连续函数,则下面不成立的是( ).
(A) 在 上的一致连续函数;(B) 在 上处处可导;
(C) 在 上L可积;(D) 是有界变差函数.
3、设 是 上的 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ).
(A)若 , 则 ;(B) 是可测函数;
(C) 是可测函数;(D)若 ,则 可测.
4、若 ,则下列断言( )是正确的.
邯郸学院2009-2010学年第一学期
2007级数学与应用数学专业本科期末考试试卷(A)
课程名称:实变函数任课教师:刘文菡考试时间:120分钟
考试性质(学生填写“√”):正常考试()缓考补考()重修()提前修读()
题号





总分
满分
20
10
10
20
40
100
得分
阅卷人
复核人
一、判断正误(每小题2分)
(A) 在 可积 在 可积;
(B) ;
(C) ;
(D) .
5、设 是 上有界变差函数,则下面不成立的是( ).
(A) 在 上有界;(B) 在 上几乎处处存在导数;
(C) 在 上L可积;(D) .
满分
20
得分
四、计算题(每小题10分)

实变函数期末考试题库

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实变函数06-07年度_A_(解答)

实变函数06-07年度_A_(解答)


[0, ]
f ( x)dx 。
解:由题设 f ( x) sin x , a.e. 于 [0, ] ,而 sin x 在 [0, ] 上连续, 于是由积分的惟一性和 L 积分与 R 积分的关系得


[0, ]
f ( x)dx
[0, ]
sin xdx ( R) sin xdx ( cos x)
n n n n n n n
n
m*T m* (T E ) m* (T E c )
则称 E 为 R 中的 Lebesgue 可测集,或称 E 是 Lebesgue 可测的。
n
4、F.Riesz 定理(黎斯定理) 答:设 E 为 Lebesgue 可测集, f n ( x ) (n 1 , 2 , ) 和 f ( x ) 都是 E 上的几乎处处有 限的可测函数, 如 果 f n ( x ) f ( x)
华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期 期末考试试卷(A 卷) (解答)
课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 题型 分值 得分
一、判断题(判断正确、错误,请在括号中填“对”或“错” 。 共 5 小题,每题 3 分,共
5×3=15 分) 1、可数个可数集的并集是可数集。 2、可测集 E 上的非负可测函数必 Lebesgue 可积。 3、 R 上全体 Lebesgue 可测集所组成的集类具有连续势。 4、非空开集的 Lebesgue 测度必大于零。
n
(2)由题设 lim Fn ( x) 2 f ( x ) ,再由 Fatou 引理得
2 f ( x)dx lim Fn ( x )dx lim [ f n ( x) f ( x) f n ( x) f ( x) ]dx

《实变函数》试卷A题目 2006 夏(060522)

《实变函数》试卷A题目 2006 夏(060522)
——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————
石 家 庄 铁 道 学 院 2005-2006 学 年 第 二 学 期
2004
课程名称: 实变函数
级本科班期末考试试卷A
考试时间: 120 分钟
考试性质(学生填写) :正常考试()缓考补考()重修()提前修读() 题 满 得 号 分 分 范 瑞 琴 一 32 二 14 三 8 四 18 五 8 六 10 七 10 总分 100
五、 (本题 8 分)证明:可数点集可测。
六、(本题 10 分)设在 E 上 f n ( x) ⇒ f ( x) ,并且 f n ( x) = g n ( x) 几乎处处 成立, n = 1,2,... ,则几乎处处有 g n ( x) ⇒ f ( x)
5
七、(本题 10 分)设 A 是平面上以有理点为中心,有理数为半径的圆的 全体,则 A 为可数集。
班级:
改卷人
一、
填空题(每小题 4 分,共 32 分) ∞ 1 1 1. 设 Fn = [ ,1 − ] , 则 Fn = n n n =3

2. 设 Q 表示[0,1]中的有理数全体,则
姓名:
Q0 =
,
Q′ =
3. 有界变差函数的不连续点有
个。
4. 康托尔集的测度为

5. 设 {E k } 为[0,1]中的一列可测集,并且 mE k = 1, k = 1,2,
6
学号:
∞ 则 m Ek = k =1
Hale Waihona Puke 。16. 设 G1 , F1 ⊂ R p , G2 , F2 ⊂ R q ,其中 G1 , G2 为开集, F 1, F2 为闭集,

A上海海事大学--实变函数试卷--2012 - 答案

A上海海事大学--实变函数试卷--2012 - 答案
n →∞
n →∞ n →∞
(
)
2. 举例说明测度收敛不一定几乎处处收敛.
解:对每一 n≥1,把[0, 1] n 等分,得到 n 个小区间[(k−1)/n, k/n],k=1, 2, …n, 这些小 区间上的特征函数用χn, k 表示,1≤k≤n, n≥1. 令
f=0, f1=χ1,1, f2=χ2,1, f3=χ2,2, f4=χ3,1, f5=χ3,2, f6=χ3,3, ……
--------------------------------------------------------------------------------------装 订 线 ------------------------------------------------------------------------------------
二、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)请将正确答案写在括号内。
1. 为使 x 属于集 E 的闭包(即 x ∈ E ) ,充分必要条件是有 E 中的点列{xk}k≥1 使

xk→x, k→∞
).
2. Rn 中任一( 开集 )是可数个两两不相交的半开方体的并. 3. 对于 Rn 中的任一集 E,记 E 的内核为 Eo. 则对任意 A, B⊆Rn 有
第 3 页 共 6 页

[0,1]
f ( x)dx = ∫
(0,1]
g ( x)dx = lim ∫
n →∞ (0,1]
g n ( x)dx
⎛ ⎞ = lim ⎜ ∫ 1 g n ( x)dx + ∫ 1 g n ( x)dx ⎟ [ ,1] n →∞ n ⎝ (0, n ) ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 = lim ∫ 1 x −α dx = lim 1 − 1−α ⎟ = . ⎜ n →∞ [ ,1] n →∞ 1 − α ⎝ n ⎠ 1−α n

实变函数期末考试卷A卷资料

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(3)因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理,有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数,的无理数;为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。 解:因为有理数集的测度为零,所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[, xxf)( ..ea 于]2,1[。 于是 ]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf dxxdxx211026112331 四、证明题(每题8分,共40分) 1. 证明:)()(11nnnnAAAA
Hale Waihona Puke 实变函数 一、 判断题(每题2分,共20分) 1.若A是B的真子集,则必有BA。 (×) 2.必有比a小的基数。 (√) 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 (√) 4.无限个开集的交必是开集。 (×) 5.若E,则0*Em。 (×) 6.任何集nRE都有外测度。 (√) 7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。 (×) 8.可测集的所有子集都可测。 (×) 9.若)(xf在可测集E上可测,则)(xf在E的任意子集上也可测。(×) 10.)(xf在E上可积必积分存在。 (×) 1.设E为点集,EP,则P是E的外点.( × ) 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × ) 3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE(× ) 4.单调集列一定收敛. (√ ) 5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.( × )
证明:)(1nnAA(AnnA1c) )(1cnnAA =)(1cnnAA )(1nnAA 2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M是至多可列集。 证明:由有理数集的稠密性可知,每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的,所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集,故至多可列,所以M也是至多可列集。 3. 证明:若0Em,则E为可测集。 证明:对任意点集T,显然成立着 )()(cETmETmTm。 另一方面,因为0Em,而EET,所以EmETm)(,于是)(ETm0。又因为cETT,所以)(cETmTm,从而 )()(cETmETmTm。 总之,)()(cETmETmTm。故E是可测集。 4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r,集合])([rxfE是可测集。

实变函数历年考试真题汇总

实变函数历年考试真题汇总

实变函数历年考试真题汇总线号学订名装姓封级班密系卷院试陇东学院2022—2022学年第一学期实变函数(A)3.下列关系式中成立的是()一.填空.(每空2分,共20分)①AB\\BA,②A\\BBA,③ABAB,1给出自然数集N与整数集Z之间的一一对应关系.④ABAB,⑤ABAB,其中A,B是二集合.2设A,B是两集合,AB是指.A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤1某,y)y某,在R内求E,E,4.设ERn3E(in,某02,mE,fn(某)在E上几乎处处收敛于f(某).则().0,某0A.fn(某)在E上处处收敛于f(某);4.设f(某)某,某P,其中P是Cantor集,则e某,某[0,1]\\P.0,1f(某)d某________.B.存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上一致收敛于f(某).5.设ERn,则称E是L可测的是指:.C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);6.设f(某)in某,某[0,2],则f(某);D.fn(某)在E上依测度收敛于f(某);f(某).5.设ERq为可测集,fn(某)是E上的一列非负可测函数,则()7.称f(某)为可测集E上的简单函数是指AElimfnn(某)d某limfn(某)d某BnEElimfnn(某)d某limfn(某)d某nE8.设⑴mE;⑵fn(某)是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶CElimf某)d某limnn(fn(某)d某DnEElimnfn(某)d某nlimEfn(某)d某lim三.判断题(每题2分,共10分)nfn(某)f(某)a.e.于E,且f(某)a.e.于E.则0,EE,使得1.mE0E是有限集或可数集.()mE,而fn(某)在上一致收敛于f(某).2.若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2()二.选择(每题2分,共10分)3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并()1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是().4.设f(某),g(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)g(某)也是E上的可测函数A.AB是可数;B.AB是不可数;C.ABc;D.ABB()2.设E是任一可测集,则().5.可测函数f(某)在E上L可积f(某)在E上L可积()四.证明题(每题8分,共40分)A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,E某f(某)a是型集或G型集.1.证明:第1页共6页一开集.q某某2.设ER,证明存在G型集GE,使得mGmE0,某为0,1及0,1中的无理数,是0,1上的可测函数4.设函数列fn(某)(n1,2,222某P,某,其中P是Cantor集,则f(某)d某________.某0,1e,某[0,1]\\P.)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(某)(即5.设ER,则称E是L可测的是指:.6.设f(某)co某,某[0,2],则f(某);n0,EE,使得fn(某)在E上一致收敛于f(某)且m(EE).)证明:fn在E上a.e.收敛于f.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有f(某).7.称f(某)为可测集E上的简单函数是指8.设⑴mE;⑵Ef(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.五.计算题(每题10分,共20分)3某,某Q[0,1],1.设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗?勒贝格可积吗?1,某Q[0,1].fn(某)是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶limfn(某)f(某)a.e.于E,且f(某)a.e.于E.则0,EE,使得n若可积,则计算其积分值.2.limmE,而fn(某)在上一致收敛于f(某).二.选择.每题2分,共10分)1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是().A.AB是可数;B.AB是不可数;C.ABc;D.A设E是任一可测集,则().n某in5某d某22n01n某1BB2.A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.3.下列关系式中成立的是()①AB\\BA,②A\\BBA,③ABAB,陇东学院2022—2022学年第一学期实变函数论期末试题(B)一.填空.(每空2分,共20分)线第2页共6页④ABAB,⑤ABAB,其中A,B是二集合.2.证明:若E可测,则0,存在开集G,使EG,而m(GE)A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤A.fn(某)在E上处处收敛于f(某);B.存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上一致收敛于f(某).4.设mA0,B为任一点集,则有m某(AB)m某B.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);D.fn(某)在E上依测度收敛于f(某);5.设ER为可测集,fn(某)是E上的一列非负可测函数,则()qEf(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.五.计算题(每题10分,共20分)某,某Q0,1,2.设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗?勒贝格可积吗?若1,某Q0,1.可积,则计算其积分值.2.limAlimfEnn(某)d某limfn(某)d某BnElimfEnn(某)d某limfn(某)d某nEnEClimfEnn(某)d某limfn(某)d某DnElimfEnn(某)d某limfn(某)d某三.判断题(每题2分,共10分)1.mE0E是有限集或可数集.()2.若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2()3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并()4.设f(某),g(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)g(某)也是E上的可测函数()25.可测函数f(某)在E上L可积f在E上L可积()n某d某01n2某2n1四.证明题(每题8分,共40分)1.证明:设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,E某f(某)a是一闭集.陇东学院2022—2022学年第二学期实变函数论期末试题(A)一.填空.(每空2分,共20分)线第3页共6页A.E是开集B.0,存在开集GE,使得m(G\\E)1.给出0,1与0,10之间的一一对应关系.C.E是闭集D.E是F型集或G型集2.设A1n0,1n,n1,2,.则limnAn.3.设En是一列可测集合,且E1E2En,则有().3.设E是平面上单位正方形[0,1][0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则A.mEmEnmElimn;B.mEnlimmEn;__________.n1nn1n4.设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R1内的E1,E1C.mEnlimnmEn;D.mEnlimmEn.n1n1nE.4.设fn(某)在E上依测度收敛于f(某).则().5.举出一个在[0,1]上Lebegue可积但不Riemann可积的函数A.fn(某)在E上处处收敛于f(某)f(某)______.B.fn(某)在E上几乎处处收敛于f(某)6.设ERn,则称E是L可测的是指:.C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);7.设f(某)是定义在可测集ERn上的广义实值函数,则称f(某)在E上是可测的是指:.D.存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上几乎处处收敛于f(某)8.设f(某)是可测集ERn上的可测函数,若Ef(某)d某与Ef(某)d某中至少有5.设ERq为可测集,fn(某)是E上的一列非负可测函数,则()一个是有限数,则f(某)在E上的L积分定义为AElimf(某)d某limd某B)d某limnnnEfn(某)Elimfnn(某fn(某)d某nEEf(某)d某.C某)d某Elimf某)d某limDnn(nEfn(某)d某Elimnfn(某)d某nlimEfn(二.选择.每题2分,共10分)三.判断题(每题2分,共10分)1.设E11.不是A的聚点必不是A的内点()1是(0,1)中的无理点集,E2是R中的有理点集,E3是(0,1),P是康托集,其2.mE0则E是至多可数集.()中基数最小的是().3.设E是可测集,A是可数集,则m(EA)mE()A.E1B.E2C.PD.E34.设f(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)也是E上的可测函数()2.设E是任一可测集,则().5.设f(某)是E上的有界可测函数,则f(某)在E上L可积()第4页共6页四.证明题(每题8分,共40分)1.证明:A\\BCA\\BA\\C2.设f(某)是,上的实值连续函数,则对于任意常数a,E某f(某)a总是一闭集.3.设mA0,B为任一点集,则有m某(AB)m某Bq4.设ER为可测集,f(某)为E上的非负可测函数.若1.给出0,1与,之间的一一对应关系.222.设A,B是两集合,AB是指.3.E(某,y)某y1,在R内求E,E,4.设ER,则称点集E是L可测的是指: n222Ef(某)d某0,则.5.设f(某)是定义在可测集E上的广义实值函数,则称f(某)在E上是可测的是指:.f(某)0a.e.于E5.设函数列fn(某)(n1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(某),即6.称f(某)为可测集E上的简单函数是指:7.设ERq为可测集,f(某)为E上的可测函数,若一个有限,则称f(某)在E上;若f(某)在E上.0,EE,使得fn(某)在E上一致收敛于f(某)且m(EE).证明:fn在E上a.e.收敛于f.Ef(某)d某与Ef(某)d某中至少五.计算题(每题10分,共20分)某2,某Q0,1,1.设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗?勒贝格可积.1,某0,1Q,吗?若可积,则计算其积分值.2.limEf(某)d某与Ef(某)d某都有限,则称8.设ERq为可测集,(某)为E上的非负可测简单函数,即n某con某d某01n2某2n1(某)cii1kEi且E(某),E1,E2,,Ek为互不相交的可测集,Ei1ki,Ei(某)是Ei上的特征函数,则(某)d某.E二.选择(.每题2分,共10分)1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是.()A.AB是可数;B.AB是不可数;C.ABc;D.ABB陇东学院2022—2022学年第二学期变函数论期末试题(A)一.填空.(每空2分,共20分)线2.设E是任一可测集,则()A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.第5页共6页3.设A,B是二集合.下列关系式中成立的是()3.设S1,S2为可测点集,S1S2,且mS1,则mS2\\S1mS2mS1.4.设f(某)是E上的可测函数,并且f(某)g(某)a.e.于E,则g某也是E上的可测函数.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有A.AB\\BAB.A\\BBAC.ABABD.ABAB4.设En是一列可测集合,单调递减,且mE1,则有().Ef(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.A.mE;B.nlimmEnmEnlimmEn;五.计算题(每题10分,共20分)n1nn1n3.设f(某)某,某P,1,某0,1\\P,其中P为cantor集,EC.mnlimmEn;D.mEnlimmEn.勒贝格可积吗?若可积,则计算其积分值.n1nn1n2.lim1n某n01n2某2d某5.设ERq为可测集,fn(某)是E上的一列非负可测函数,当某E时对于任一自然数n,有fn(某)fn1(某),令nlimfn(某)f(某),某E,则()AElimf某)d某limnn(Efn(某)d某B(某)d某limnElimfnnEfn(某)d 某nCElimf)d某lim)d某nn(某)d某limEfn(某)d某DnEf(某nEfn(某三.判断题(某”每题2分,共10分)1.任何无限集合必有可数真子集..()2.设E为R1的可测子集,若mE0,则mE0.()3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并()4.若f(某)是可测集E上的L可积函数,则f(某)是E上的有界函数.()5.可测函数f(某)在E上L可积f在E上L可积()四.证明题(每题8分,共40分)1.证明:AB(AB).2.设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,则E某f(某)a是一开集.第6页共6页问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗?。

(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷

(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷

2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷(A)考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后,表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定,承诺在考试中自觉遵规守纪,如有违反将接受处理;我保证在本科目考试中,本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名:实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题(每小题3分,满分24分) 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数:()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系:()f x =,()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数,指的是:12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ϕ≡(非负常数)(1,2,,i k =).ϕ在E 上的L 积分定义为:()Ex dx ϕ=⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为:()Ef x dx =⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f -, 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值;但只有当时才能说f 是L 可积的,这时将它的积分定义为:()Ef x dx =⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ,则法图引理的结论是不等式:;如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论:。

成人教育《实变函数 》期末考试复习题及参考答案

成人教育《实变函数 》期末考试复习题及参考答案

一、单项选择题1.下列命题或表达式正确的是 DA .}{b b ⊂B .2}2{=C .对于任意集合B A ,,有B A ⊂或A B ⊂D .φφ⊂ 2.下列命题不正确的是 AA .若点集A 是无界集,则+∞=A m *B .若点集E 是有界集,则+∞<E m *C .可数点集的外测度为零D .康托集P 的测度为零 3.下列表达式正确的是 DA.}0),(m ax {)(x f x f -=+B .)()()(x f x f x f -++= C.)()(|)(|x f x f x f -+-=D .}),(min{)]([n x f x f n = 4.下列命题不正确的是 BA .开集、闭集都是可测集B .可测集都是Borel 集C .外测度为零的集是可测集D .σF 型集,δG 型集都是可测集 5.下列集合基数为a (可数集)的是 CA .康托集PB .)1,0(C .设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数,},,2,1n i =D .区间)1,0(中的无理数全体二、计算题1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩,E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集,求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.解:因为0mE =,所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,所以黎曼可积,由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+,求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解:因为()n f x 在[]0,1上连续,所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+,所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n ER ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)6.非可数的无限集为c 势集。

实变函数期末考试题A

实变函数期末考试题A

上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7.设f是[a上的单调函数,则8.设f是可测集E上的非负可测函数,则_________.9.区间[是[,]()()()()a b F b F a L F x dx '-=⎰的充要条件是: F (x )是[a ,b ]上的 函数。

二、选择题(本题共8小题,每小题2分,满分16分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(答题框)内)1.设{k A } 是一集合列,则下述等式中正确的是 ( )A.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===; B. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===; D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。

2.设f (x )是E 上的可测函数,则对任意实数a ,有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集;B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集;C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集;D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。

3.下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集;B. Cantor 集为零测集;C. 零测集的子集是零测集;D. 无穷个零测集的并是零测集。

4.设f (x )为可测集E 上的可测函数,若()Ef x dx <+∞⎰,则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在;B. f (x )在E 上L-可积;C. f (x )在E 上未必L-可积;D. f (x )在E 上.有限。

5.设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列,lim ()k k f x →∞存在,则lim ()k k f x →∞是 ( )A.简单函数;B.连续函数;C.可测函数;D.单调函数。

实变函数期末考试卷A

实变函数期末考试卷A

实变函数期末考试卷A附件一东 南 大 学 考 试 卷(A 卷)课程名称 实变函数 考试学期 11-12-2 得分 适用专业 数学系 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 (开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料) 卷无一. (10分)试叙述可数集的定义,并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。

二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义,并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集,证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。

(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。

五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。

(2) 若在E 上,()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。

六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义,并分别给出一个例子。

七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。

如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。

八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限: 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九.设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。

(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数,证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。

(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ,总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。

(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立,证明上述(2)中结论仍然成立。

实变函数期末考试卷A及参考答卷

实变函数期末考试卷A及参考答卷

实变函数期末考试卷A及参考答卷Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷(A)试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后,表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定,承诺在考试中自觉遵规守纪,如有违反将接受处理;我保证在本科目考试中,本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名:实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题(每小题3分,满分24分) 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数:()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系:()f x =,()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数,指的是:12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ϕ≡(非负常数)(1,2,,i k =).ϕ在E 上的L 积分定义为:()Ex dx ϕ=⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为:()Ef x dx =⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说f是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f -,即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值;但只有当时才能说f 是L 可积的,这时将它的积分定义为:()Ef x dx =⎰。

《实变函数》试卷及参考答案

《实变函数》试卷及参考答案

《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体,则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集,如果对任一点集都有R1 (第页,共47页)EL_________________________________,则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”,“必要”,“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。

实变函数试题库参考答案

实变函数试题库参考答案

《实变函数》试题库及参考答案(完整版)选择题1,下列对象不能构成集合的是:( )A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x :x>1}3、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x :x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E '所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是: ( )A 、B A ⊂ B 、A '⊂B 'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是:( )A 、 CB A =⋃ B 、 A '⋃B '=C ' C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是:( )A 、 CB A =⋂ B 、C '⊂ A '⋂B ' C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集,则下列命题正确的是:( )A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ')=(CA )'D 、CA A C =)(41、设A -B=C, 则下列命题正确的是:( )A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A '-B '=C 'D 、{A 的孤立点}-{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是:( )A 、A 是闭集B 、A '是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集,B 是开集,则A -B 是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集,B 是闭集,则A -B 是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋂1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋃1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =,则=mE ( )A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论( )正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是( )A 、x x f 1)(=在(0,1)有限B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0,1]上( )于0.A 、a ,e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0,1]中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0,1]上可测的是( ).A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是( ).A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE ( )A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是( )A 、E 的测度有限,则E 必有界B 、E 的测度无限,则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、(4-4-2-1)下述论断正确的是( )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集,则下列函数在[0, 1]可测的是( ).A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的( )点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔(cantor )集,则=0mP ( )A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集,则( )A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是( )A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是( ). A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集,则下列结论中正确的是( )A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ,则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔(cantor )集在[0,1]中的余集,则mG=( )A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测,则21S S ( )A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是( )A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上( )于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33,其中E 是[0, 1]上的不可测集,则( )在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是( )A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测,B 是A 的真子集,则( )A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是( )A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上( )于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集,则( )在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是( )A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m ( )A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类,对运算( )不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是( )A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上( )于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集,⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是( ).A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( )A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ,则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒,则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数,则)(x f ( )A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积,则在E 上( )A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE (Φ≠E ),)(x f 是E 上的实函数,则下面叙述正确的是( )A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是,)(x f 为( )A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数,则⎰=10)()(dx x D L ( ) A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数,则⎰=10)()(dx x f L ( ) A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合,B 是A 的所有子集构成的集合;若A =n, 则B =2、设A 为一集合,B 是A 的所有子集构成的集合;若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E '=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E '=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]-C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂,对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ,定义=E m *________。

2019年17级本科生《实变函数论》课程考试A卷(1)

2019年17级本科生《实变函数论》课程考试A卷(1)
C E{X|f(x)≠g(x)}是可测集
D E{X|f(x)=g(x)}不一定是可测集
9.设在cantor集P0上定义函数f(x)=0,在P0的余集的构成区间上定义为n则f(x)的积分值(A)
A 3 B 2 C 0 D 1
10.设f(x)为[a,b]上严格增函数如果对于E属于[a,b]中每一点X至少有一个列导集Df(x)≤P(P≥0)则(B)
域 ,所以存在 且 ,即任何含有 的领域中含有一点 异于 。
反之,若任一含有 邻域有异于 的点 ,当然对任一 的邻
域 中也有异于 的点 ,所以 。
若 ,则有 。
反之,若 ,必有 ,则 。证毕。
2.设 为 上非负可积函数列,若 则 。
解:对任意 ,由于 非负可知:
,即 证毕。
3.设 存在两列可测集 ,使得 ,且当 时, ,则 可测。
证明:令 ,对 ,有 。又由 , ,所以 。当 时,由 ,得 ,所以 可测。又因为 可测,B也是可测的,从而 可测。
四、计算题(12分)

解: ,设

=
五、论述题(16分)
设 是 上的可测函数, 为开集, 为闭集,试问 与
是否是可测集,为什么?
解:因为 是直线上的开集,则 。那么 。又因为 是 上的可测函数,所以对任意 , ,根据可测集合的运算性质可知, 可测,即 为可测集。若 为闭集,我们讨论先 的可测性,由于 ,则 为开集,于是同上可证 可测,则 也可测。
B可测集E上的连续函数不是可测函数
C f(x)与g(x)在E上可测则f+g在E上不可测
D设在E上{fn(x)}依侧度a.e收敛于f
8.设F(X)g(x)是E上的可测函数则(C)
A E{X|f(x)≥g(x)}不一定是可测集

学历自考(专升本)《实变函数》期末考试试卷【8k打印版】

学历自考(专升本)《实变函数》期末考试试卷【8k打印版】
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班 姓名

岭南师范学院 2021-2022 学年第二学期 期末考试试题 A 卷
(考试时间: 120 分钟)
考试科目: 实变函数
题号 一 二 三 四 五 分 值 14 20 18 48 得分
总 分 总评分人 复查人 100
16.若 m A = 0 , 则 m (A B )= m B..
17. 设 f 是可测集 E 上的可测函数, A 为 E 的可测子集, 则 f 也是 A 上的可 测函数.
18. 设
f
(x)
sin
x
x 1
,
x为有理数;
x 2, x为无理数.则 f (x) 在 0,1上(R)不可积,但(L)可积,

)。
A. f n (x) f (x)
B.若 mE ,有 f n (x) f (x)
C. f (x) 在 E 上( R )可积
D. f (x) 在 E 上 a. e. 连续
7.设 f (x) 是〔 a , b 〕上的绝对连续函数,则(
)。
A. f (x) 是〔 a , b 〕上的单调函数
B. f (x) 是〔 a , b 〕上的有界变差函数
D.存在 F 型集 F ,使 F E ,且 m (E-F ) = 0
3.设 E 是无限集,则(
)。
A.E 可以和它的任意子集对等
B. E c
C.E 至少包含一个可数子集
D. mE
4.下列条件(
A. a R,E f a可测
)是 f (x) 在 E 上(L)可测的充分条件。
B. a R,E f a可测
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实变函数期末考试卷A

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变
函数
一、 判断题(每题2分,共20分) 1.若A 是B 的真子集,则必有B A <。

(×)
2.必有比a 小的基数。

(√)
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。

(√)
4.无限个开集的交必是开集。

(×)
5.若φ≠E ,则0*>E m 。

(×)
6.任何集n R E ⊂都有外测度。

(√)
7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。

(×)
8.可测集的所有子集都可测。

(×)
9.若)(x f 在可测集E 上可测,则)(x f 在E 的任意子集上也可测。

(×) 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。

(×)
1.设E 为点集,E P ∉,则P 是E 的外点.( × )
2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × )
3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则
1(
)lim ().n n n n m E m E ∞
→∞
==(× ) 4.单调集列一定收敛. (√ )
5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.( × )
二、填空题(每空2分,共20分)
1.设B 是1R 中无理数集,则=B c 。

2.设1,1,,3
1,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ,则=0A φ ,='A }0{ 。

3.设 ,2,1,0),1
1,11(=++-=n n n A n ,则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ,=⋂∞=n n A 1 }0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。

6.设A 是闭集,B 是开集,则B A \是 闭 集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。

8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。

三、计算题(每题10分,共20分)
1.计算dx nx x n nx R n ⎰+∞→103222
1sin 1)(lim 。

(提示:使用Lebesgue 控制收敛定理) 解:设nx x n nx x f n 3222
1sin 1)(+=),2,1( =n ,则 (1) 因)(x f n 在]1,0[上连续,所以是可测的;
(2)]1,0[,0)(lim ∈=∞
→x x f n n ; (3)因为
显然)(x F 在]1,0[上可积。

于是由Lebesgue 控制收敛定理,有
2. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=为有理数,的无理数;为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f 。

解:因为有理数集的测度为零,所以
2)(x x f = ..e a 于]1,0[, x x f =)( ..e a 于]2,1[。

于是
四、证明题(每题8分,共40分)
1. 证明:)\()(\11n n n n A A A A ∞
=∞==
证明:)(\1n n A A ∞=( A =n n A ∞
=1c )
=)(1c
n n A A ∞= 2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M 是至多可列集。

证明:由有理数集的稠密性可知,每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合A 。

因为这些开区间是互不相交的,所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。

则A 是有理数集的子集,故至多可列,所以M 也是至多可列集。

3. 证明:若0=*E m ,则E 为可测集。

证明:对任意点集T ,显然成立着
)()(c E T m E T m T m ***+≤。

另一方面,因为0=*E m ,而E E T ⊂ ,所以E m E T m **≤)( ,于是
)(E T m *0=。

又因为c E T T ⊃,所以)(c E T m T m **≥,从而
)()(c E T m E T m T m ***+≥。

总之,)()(c E T m E T m T m ***+=。

故E 是可测集。

4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ,集合])([r x f E <是可测集。

一、填空题(每小题2分,共10分)
( D )1、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是( )
A 、A
B ⊂ B 、B A ⊂
C 、A C ⊂
D 、C A ⊂
( A )2、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集,则( )
.C E 是不可测集 .D E 是闭集
( C )3、设E 是可测集,A 是不可测集,0mE =,则E A 是( )
.A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零
.C 不可测集 .D 以上都不对
( B )4、设mE <+∞,(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的( )
.A 必要条件 .B 充分条件
.C 充分必要条件 .D 无关条件
( D )5、设()f x 是E 上的可测函数,则( )
.A ()f x 是E 上的连续函数
.B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数
.C ()f x 是E 上的简单函数
.D ()f x 可表示为一列简单函数的极限
设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>是一开集,而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明:若00,()x E f x a ∈>则,因为()f x 是连续的,所以存在0δ>,使任意(,)x ∈-∞∞,
0||()x x f x a δ-<>就有, …………………………(5分)
即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是开集…………………………(10分)
若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则,由于()f x 连续,
0()lim ()n n f x f x a →∞
=≥, 即0x E ∈,因此E 是闭集。

(1)设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n
-==求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明:lim (0,)n n A →∞=∞………………………………………………………………………(5分)
设(0,)x ∈∞,则存在N ,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即2n x A ∈,所以x 属于下标比N 大的
一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得lim n n x A →∞
∈, 又显然
lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞
⊂∞=∞所以…………………………………………………(7分)
lim n n A φ→∞
=…………………………………………………………………………………(12分) 若有lim n n x A →∞
∈,则存在N ,使任意n N >,有n x A ∈,因此若21n N ->时,
211,0,00n x A x n x n
-∈<<→∞<≤即令得,此不可能,所以lim n
n A φ→∞=………………(15分)
(2)可数点集的外测度为零。

证明:证明:设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>,存在开区间i I ,使i i x I ∈,且||2i i I ε
=(8分)
所以
1i i I E ∞
=⊃,且1||i i I ε∞
==∑,由ε的任意性得*0m E =………………………………(15。

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