中考数学抛物线及三角形面积专题复习题.doc

2019-2020 年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题

抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2 +bx+c 的三角形面积的一般情况有：

（1）、以抛物线与x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：

S = |x 1-x 2 | · ||=··||

（2）、以抛物线与 x 轴、 y 轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是

抛物线与 x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y 轴上的截距 ( 原点与 y 轴交点构成的线段长 ) 的绝对值。其面积为：

S =· |x1-x2|· |c|＝··|c|

（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵

活运用几何和代数的有关知识。

二、1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．已知抛物线的顶点 C（2，），它与 x 轴两交点 A、B 的横坐标是方程x2-4x+3=0 的两根，求 ABC的面积。

解：由方程 x2 -4x+3=0，得 x1=1, x 2=3,

∴AB=|x 2-x 1|=|3-1|=2.

∴ S ABC × ×

= 2= .

例 2．已知二次函数 y= x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于D点，顶点为 C，求四边形 ACBD的面积。

解：如图 1，S 四边形ACBD=S ABC+S ABD

=×× | |+ ××|2|= .

例 3．如图：已知抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=2x

B，抛物线与 y 轴相交于 C 点，求ABC的面积。

相交于A、

解：由

得点 A 的坐标为（ 1，2），点 B 的坐标为（ 3，6）；抛

物线与 y 轴交点 C 的坐标为

（ 0， 3）如图 2，由 A、B、C三点的坐标可知， AB= ＝2 ，

BC= ＝3 ，AC= ＝。

2 2 2

∵ AC +BC=AB，

∴ ABC为直角三角形，并且∠BCA=90，

∴ S ABC= ·× ×

3 。

AC BC= =3

2．求抛物线的解析式

例4．已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，其对称轴为直线 x=-2 ，顶点为 M，且 S AMB=8，求它的解析式。

解：∵对称轴为直线x=-2,

∴-=-2, ∴ b=4,

∴y=x 2+4x+c,

∵ S AMB ··

| |= ·

| |=8

，

=

∴c=0, ∴ y=x 2+4x.

例5．设二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，若AC=20，

∠ACB=90°， S ACB=150，求二次函数的解析式。

解：如图 3，∵ S ACB=AC·BC，

即150= × 20·BC，∴ BC=15，

∴ AB===25，

又∵ OC⊥AB，∴ S ACB=AB·OC

即150= × 25·OC，∴ OC=12，故 C点坐标为（ 0， 12），

∴ AO==16， OB=AB-AO=25-16=9，

∴点 A 为（ -16 ，0），点 B 为（ 9，0），

∵二次函数的图像过A、 B、 C 三点，

∴解得，

∴所求解析式为： y=-x2 -x+12.

3．求抛物线解析式中字母系数的值。

例6．已知抛物线 y=x2-mx+m-2,

(1)求证：不论 m为何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点；

(2) 若以抛物线与 x 轴、y 轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。解：

(1)=(-m) 2-4 ×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2) 2+4>0,

∴不论 m为何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点。

(2)S =··|c|=··|m-2|=4.

即(m-2) 4+4(m-2) 2-320=0

解得 m=6或 m=-2.

例7．设 O和 B 为抛物线 y=-3x 2-2x+k 与 x 轴的两个相异交点， O为原点， M 为抛物线的顶点，当 OMB为等腰直角三角形时，求 k 的值。

解：如图 4，作 MN⊥x 轴于 N 点，∵OMB为等腰直角三角形，∴ MN=OB，即||=·，

∴ k =0, k

2 =- .

1

又∵ 抛物线与 x 轴有两个相异交点，∴=(-2) 2-4 ×(-3)k=4+12k>0.

∴k>- ，故取 k=0。