数学分析-CALCULUS---深圳大学ppt课件

章
1111(x0,y0,z0,r0)
多
xyz r
元 下的极小值, 并证明不等式
函 数
31ab11c1 3 abc,
微 其中a, b, c为任意正实数.
分
学
.
18
第
§4 条 件 极 值
十 作业 P.169. 习题 1. (1), (3). 3.
七 章 补充作业 多 1. 设a0, 求曲线
元 函
x2 y2 2az, x2 y2 xy a2
多
理解拉格朗日函数的引入
元 重点难点: 拉格朗日乘数法的应用,
函
拉格朗日函数的引入
数
微
分
学
.
5
第
§4 条 件 极 值
十
七 问题 做一个容量为V的长方体开口水箱, 问水箱
章
的长、宽、高各等于多少时, 其表面积最小?
多
元
函
数
微
分
学
.
6
第
§4 条 件 极 值
十
七 定义 对自变量有约束条件的极值问题称为条件极
章 (i) 当 fx xP 0 0 , fx xfy y fx 2 yP 0 0 时, f 在点P0取得
多
极小值;
元 函
(ii) 当 fx xP 0 0 , fx xfy y fx 2 yP 0 0 时, f 在点P0取得
数
极大值;
微 (iii) 当 fxxfyyfx2 y P00时, f 在点P0不能取得极值;
多
一 可微性与全微分
元
二 偏导数
函
三 可微性条件
数
四 可微性几何意义及应用
微
分
学
.
3
第
十
七
§2 复 合 函 数 微 分 法
章
多
一 复合函数的求导法则
元
二 复合函数的全微分
函
数
微
分
学
.
4
第
§4 条 件 极 值
十
七 基本内容: 条件极值, 拉格朗日乘数法
章 基本要求: 掌握拉格朗日乘数解条件极值问题,
第
十
七
级数与多元微积分
章
Series and Calculous in Several Variables
多
元
函 数 微
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
分
学
.
1
第
十
七
第十八章 隐函数定理及其应用
章
多
§1 隐函数
元
§2 隐函数组
函
§3 几何应用
数
§4 条件极值
微
分
学
.
2
第
十
七
§1 可 微 性
章
七
章
x 1 (0 ),L,x n (0 ),1 (0 ),L ,m (0 ) 为下述nm个方程
多
L
x1
f x1
m
k
k 1
k x1
0
元
L L L L L L L L
函 数 微
L
xn
f xn
m
k
k 1
k xn
0
L 1
1
x1 ,L
,xn 0
L L L L L L L L
分
L
m
m
数
微
分
学
.
9
第
十 称矩阵
七 章
多
HfP 0ffx yx xP P 0 0 ffx yy yP P 0 0ffx yx x
fxy fyyP 0
元 为 f 在点P0的黑赛(Hesse)矩阵.
函
数
微
分
学
.
10
第
十 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0)内具有
七 二阶连续偏导数, 且P0是 f 的稳定点, 则有
多
(ii) F(x0, y0)0; (iii) Fy(x0, y0)0,
元 结论: F(x, y)0确定一个连续可微的函数 y f (x)
函 其导数为
数
微 分
y Fx . Fy
学
.
20
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 三、利用隐函数定理解题的一般步骤:
章 (i) 确定F, 求F对各变量的偏导数;
分 学
(iv) 当 fxxfyyfx2 y P00时, 不能肯定 f 在点P0是否
取得极值.
.
11
第
§4 条 件 极 值
十 求函数
七
y f(x, y)
章 在约束条件
多
(x, y) 0
元 下的条件极值. 函
数
微
分
学
.
12
第
§4 条 件 极 值
十 方程
七
(x, y) 0
章 确定的隐函数y g(x)的导数为
多 (ii) 验证F(P0)0及F和F对各变量偏导数的连续性;
元 函
(iii) 验证在P0处F对某变量偏导数不等于0; (iv) 利用隐函数定理求导数.
数 微
注意: 当已知所给方程能够确定连续可微的隐函数
多 元
g(x) x (x) . y (x)
函
数
微
分
学
.
13
第
§4 条 件 极 值
十 平面曲线
七
F(x, y)0
章 上点P0(x0, y0)处切线的方向数为
多 元
FxP0,FyP0 .
函
数
微
分
学
.
14
第
§4 条 件 极 值
十 定理18.6 设在条件(2)的限制下, 求函数(3)的极值,
七 其中 f 与k(k 1, 2, , m)在D内有连续的一阶偏
x1,L
,xn 0
学 的解.
.
16
第
§4 条 件 极 值
十 例1 用拉格朗日乘数法求水箱设计问题的解.
七 章 例2 抛物面
多
Hale Waihona Puke Baidu
x2 y2 z
元 被平面
函
xyz1
数 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
微
分
学
.
17
第
§4 条 件 极 值
十
七 例3 求f (x, y, z) xyz在条件
多
fxx0,y0fyx0,y00.
元
函
数
微
分
学
.
8
第
十
七 极值充分条件 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域
章
U (P0)内具有二阶连续偏导数, 且P0是 f的稳定点.
多
则当H(P0)是正定矩阵时, f 在P0取得极小值;
元
当H(P0)是负定矩阵时, f 在P0取得极大值;
函 当H(P0)是当H(P0)是不定矩阵时, f 在P0不取极值.
章 值问题.
多
元 条件极值问题的一般形式为: 在条件组
函
k x 1 ,x 2 , L L ,x n 0 ,k 1 ,2 , L ,m ( m n )(2)
数 的限制下求目标函数
微
yfx1,x2,LL,xn
(3)
分 的极值.
学
.
7
第
十 七 章
极值必要条件 若函数 f 在点P0(x0, y0)存在偏导数, 且在P0取得极值, 则有
章 导数. 若D的内点 P 0 x1 (0),x2 (0),L,xn (0) 是极值点, 且
多
元 雅可比矩阵
函 数 微 分
1
x1
L
1
xn
M
M
(13)
m
L
m
学
x 1
x n P0
.
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第
§4 条 件 极 值
十
的秩为m,
则存在常数
, (0) 1
2(0),L,
, (0)
m
使得
数 上的点到xy平面的最小距离和最大距离.
微 2. 设 x 1 L x n 1 ,x i 0 ,i 1 ,2 ,L ,n .证明不等式
分 学
x1x 11x2x12L.xnx1nn1 nn.
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第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 一、隐函数: 由方程所确定的函数.
章 二、隐函数定理: 条件: (i) F, Fx和Fy连续;