数学分析-CALCULUS---深圳大学ppt课件
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大学一年级上学期-微积分PPT-CalculusI(2)
Example Let f(x)=│x│.Show that f (x) is not differentiable at 0.
Proof By Definition, we have
f (0) lim
f (0 h)
f (0)
lim
h .
h0
h0
h
f (x) lim f (x h) f (x) x I
h0
h
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
h
lim (x h)2 x2 2x
h0
h
The right-hand derivative of f at a ,is denoted by
f ’+(a)
f(a)
Chapter2 Derivatives
2.1 The Derivative as a function
The Tangent Problem
Let f be a function and let P(a, f(a)) be a point on the graph of f. To find the slope m of the tangent line l at P(a, f(a)) on the graph of f, we first choose another nearby point Q(x, f(x)) on the graph (see Figure 1) and then compute the slope mPQ of the secant line PQ.
f (a) lim f (a h) f (a) lim f (x) f (a)
h0
h
xa x a
f (x) x2
微积分CALCULUS.ppt
Solution:
a. Since g 32 ft/sec2 (9.8m/s2 ), V0 96 ft/sec and H0 112 ft, the height of the ball above the ground at time t is H (t) 16t 2 96t 112 feet. The velocity at time t is
c. Set v(t)=0, solve t=3. Thus, the ball is at its highest point when t=3 seconds.
d. The ball starts at H(0)=112 feet and rises to a maximum height of H(3)=256. So: The total distance travelled=2(256-112)+112 =400 feet.
acceleration acting on the object is the constant
downward acceleration g due to gravityistance is negligible). Thus, the height of the object
at time t is given by the formula
H
(t )
1 2
gt 2
V0t
H0
where H0 and V0 are the initial height and velocity of the object, respectively.
Example 10 Suppose a person standing at the top of a building 112 feet high throws a ball vertically upward with an initial velocity of 96 ft/sec.
微积分
极限的产生
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
编辑本段一阶微分与高阶微分
函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 即：d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0， 其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
编辑本段一阶微分与高阶微分
函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 即：d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0， 其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
微积分教学资料-calculusi
Therefore , by the definition of a limit,
lim [f(x)g(x)] lim f(x)lim g(x)
x a
x a
x a
LM
Direct Substitution Property
If f is a polynomial or a rational function
x a
n a
posi n titveeger
If lif m (x ) Lan lid g m (x ) M
x a
x a
both exist, then
li [ f m ( x ) g ( x ) ] li f ( m x ) li g ( m x ) L M
x a
lim sin x 1 x0 x
Caution: Notice the phrase “but x≠a” in the definition of limit.
This means that in finding the limit of f(x) as x approaches a, we never consider x=a.
7. lim c c xa
8.lim x a xa
9. lim x n a n , where n is a positive integer xa
10 . lim n x n a , where n is a positive integer xa
1.1li.m n f(x)nlim f(x) whenriesa
In fact, f(x) need not even be defined when x=a. the only thing that matters is how f is defined near a.
数学分析级数PPT课件
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
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*推论2设 un 为正项级数.
(i)若 lim u n 1q1,则 级 数 收 敛 ; u n
n
(ii)若 lim u n1q1,则 级 数 发 散 ; u n n
*例8 研究级数 1 b b c b 2 c b 2 c 2 b n c n 1 b n c n ( 8 )
( i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un1q, un
(5)
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则级数 un 收敛.
( i i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un11, un
(6)
则 级 数 u n 发 散 .
证 ( i ) 不 妨 设 不 等 式 ( 5 ) 对 一 切 n 1 成 立 , 于 是 有
则 级 数 u n发 散 .
( 1 0 )
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证 由(9)式有un l n , 因为等比级数 ln当 1l1 时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
于情形(ii), 由(10)式可得 un 1n 1.
显 然 当 n 时 ,u n 不可能以零为极限, 因而由级数
§2 正项级数
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.
一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法
*四、拉贝判别法
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一、正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数.
对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以
《数学分析》课件 (完整版)
第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析PPT电子课件教案-第十二章函数项级数
收敛性判定
柯西准则、狄利克雷定理、阿贝 尔定理等。
03 函数项级数的应用
在数学中的应用
函数项级数在数学分析中有着广泛的 应用，它可以帮助我们研究函数的性 质和行为。例如，通过函数项级数， 我们可以逼近复杂的函数，从而更容 易地研究它们的性质。此外，函数项 级数还在解决一些数学问题中发挥了 关键作用，例如求解微分方程和积分 方程。
函数项级数的性质
连续性
有界性
如果每个$a_n(x)$都是连续的，那么 级数的和也是连续的。
如果每个$a_n(x)$都是有界的，那么 级数的和也是有界的。
可微性
如果每个$a_n(x)$都是可微的，那么 级数的和也是可微的。
函数项级数的收敛性
收敛性定义
如果对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得 当$n geq N$时，对于所有的$x$ 都有$|S_n(x) - S(x)| < varepsilon$，则称级数收敛。
正项级数的比较判别法
比较判别法
如果对于所有的$ngeq 1$，都有 $frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，那么正项级 数$sum a_n$收敛。
比较判别法的证明
由于$frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，所以当 $ngeq 1$时，有$frac{a_{n+1}}{a_n}-1leq k-1<0$。因此，$frac{a_{n+1}}{a_n}$是单 调递减的。又因为$frac{a_{2}}{a_{1}}leq k<1$，所以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1leq k1<0$。因此，$frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单 调递减的。由于$frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所 以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$是单调递减的。由于 $frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所以 $frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单调递减的。因此， $sum a_n$是收敛的。
柯西准则、狄利克雷定理、阿贝 尔定理等。
03 函数项级数的应用
在数学中的应用
函数项级数在数学分析中有着广泛的 应用，它可以帮助我们研究函数的性 质和行为。例如，通过函数项级数， 我们可以逼近复杂的函数，从而更容 易地研究它们的性质。此外，函数项 级数还在解决一些数学问题中发挥了 关键作用，例如求解微分方程和积分 方程。
函数项级数的性质
连续性
有界性
如果每个$a_n(x)$都是连续的，那么 级数的和也是连续的。
如果每个$a_n(x)$都是有界的，那么 级数的和也是有界的。
可微性
如果每个$a_n(x)$都是可微的，那么 级数的和也是可微的。
函数项级数的收敛性
收敛性定义
如果对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得 当$n geq N$时，对于所有的$x$ 都有$|S_n(x) - S(x)| < varepsilon$，则称级数收敛。
正项级数的比较判别法
比较判别法
如果对于所有的$ngeq 1$，都有 $frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，那么正项级 数$sum a_n$收敛。
比较判别法的证明
由于$frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，所以当 $ngeq 1$时，有$frac{a_{n+1}}{a_n}-1leq k-1<0$。因此，$frac{a_{n+1}}{a_n}$是单 调递减的。又因为$frac{a_{2}}{a_{1}}leq k<1$，所以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1leq k1<0$。因此，$frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单 调递减的。由于$frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所 以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$是单调递减的。由于 $frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所以 $frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单调递减的。因此， $sum a_n$是收敛的。
深圳大学 徐希：《数学分析》课程教学大纲
5．学分分配：6学分
（二）开设目的
本课程是数学与应用数学专业（本科）一门必修的重要基础课。它一方面为后继课程，如微分方程、概率论、经济数学等基础课及专业课和有关的其他选修课提供所需基础，同时还为培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习研究和应用，对自己本身素质的提高，都会起着关键性的作用。
掌握：函数的傅里叶展开法。
第十六章多元函数的极限与连续
教学目的
理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限，连续函数及知道闭区间上连
续函数的性质。
主要内容
第一节平面点集与多元函数
第二节二元函数的极限
第三节二元函数的连续
基本要求
了解：闭区间上连续函数的性质。
理解：理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限。
主要内容
第一节二重积分概念
第二节直角坐标系下二重积分的计算
第三节格林公式，曲线积分与路线的无关性
第四节二重积分的变量变换
第五节三重积分
第六节重积分的应用
基本要求
了解：了解二重积分可积的充要条件和可积函数类，三重积分的换元法。了解重积分的应用。
理解：理解理解二重积分及三重积分的定义及性质。
掌握：二重、三重积分的计算，包括换元积分法。掌握格林公式及其应用，曲线积分与路线的无关性。
掌握：正项级数敛散性判别法，包括比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。
第十三章函数列与函数项级数
教学目的
理解一致收敛的概念。了解一致收敛的性质，掌握一致收敛的判别法，包括Ｍ－判
别法，阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
（二）开设目的
本课程是数学与应用数学专业（本科）一门必修的重要基础课。它一方面为后继课程，如微分方程、概率论、经济数学等基础课及专业课和有关的其他选修课提供所需基础，同时还为培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习研究和应用，对自己本身素质的提高，都会起着关键性的作用。
掌握：函数的傅里叶展开法。
第十六章多元函数的极限与连续
教学目的
理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限，连续函数及知道闭区间上连
续函数的性质。
主要内容
第一节平面点集与多元函数
第二节二元函数的极限
第三节二元函数的连续
基本要求
了解：闭区间上连续函数的性质。
理解：理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限。
主要内容
第一节二重积分概念
第二节直角坐标系下二重积分的计算
第三节格林公式，曲线积分与路线的无关性
第四节二重积分的变量变换
第五节三重积分
第六节重积分的应用
基本要求
了解：了解二重积分可积的充要条件和可积函数类，三重积分的换元法。了解重积分的应用。
理解：理解理解二重积分及三重积分的定义及性质。
掌握：二重、三重积分的计算，包括换元积分法。掌握格林公式及其应用，曲线积分与路线的无关性。
掌握：正项级数敛散性判别法，包括比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。
第十三章函数列与函数项级数
教学目的
理解一致收敛的概念。了解一致收敛的性质，掌握一致收敛的判别法，包括Ｍ－判
别法，阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
大学微积分课件幻灯片版
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。
数学分析课件
对于一个给定函数来说，局部与整体是 一个事物的两个方面，二者是对立的统一。
因此，微分与积分具有密切关系，积分 问题是由函数的局部性质研究整体性质。建 立二者关系的桥梁是
微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。
极限：人类认识无限的必要手段
由于生理的原因，人类只能看到有限时 间、有限范围内的事物；只能判断、测量在 一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。 要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变 化的情况等，极限是一个有效工具。
2020/1/23
我 的 教 学 观
2
我的教学观
鱼 渔道 知识 方法 思想 What How Why
SZU
Introduction
1 数学分析的产生与发展 2 数学分析的对象、工具与内容 3 如何学习数学分析
SZU
1
数学分析的产生与发展
The Invention and Development of Mathematical Analysis
3
如何学习数学分析
How to Study Mathematical Analysis
……
也有更多的不能具体通过代数式表示、 但却具有实际意义的函数，以及一般的 抽象函数。
微积分：研究连续性变化
连续性变化的情况涉及到每一个瞬间， 涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况， 人类是无法精确捕捉到的。如何研究？
动画片如何表现连续动作？ 切片！很短时间内的一种静止画面。
“微小的差异”是微分积分的奥秘！
The Objects, Tools, and Contents of Mathematical Analysis
对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分
与积分的桥梁——微积分基 本定理。 工具：极限
数值计算方法(第5章)1 深圳大学 科学与工程计算 数值分析 PPT课件
5
1 19, 75,50,50, 75,19 288
6
1 41, 216, 27, 272, 27, 216, 41 840
7
1 751,3577,1323, 2989, 2989,1323,3577, 751 17280
8
1 989,5888, 928,10496, 4540,10496, 928,5888,989 28350
其中
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)
(a,b)
y f (x)
f (x) Ln (x) Rn (x)
由Lagrannge插值,任何一的函数
都
L可n (x以) 近似l的j (x表) y示j是成f (x)的Lagrage插值多项式。
j0
其中
为简便起见,取节点为等分
h ba,x
25几个常用的求积公式的代数精度几个常用的求积公式的代数精度1t公式的代数精度公式具有一次的代数精所以xdxdxs公式的代数精度成立所以xdxdx27精确成立28精确成立同理可得n公式具有三次代数精度c公式具有五次代数精度
第5章 数值积分
引言
在数学分析中，我们学习过微积分基
本定理 Newton-Leibniz 公式：
Newton Cotes积分公式
定义 设f (x)是[a, b]上的连续函数，将
[a, b]区间等分n等分，取h
ba n
, xj
a kh
( j 0,1,2..., n), 记f (x j ) f j ,以{x j }0n 为节点作
f (x)的lagrage插值多项式，即
f (x) Ln (x) Rn (x)
数学分析ppt
意义
搜索 f 在x0附近的极值，返回 形式为：{fmin,{x->xmin}}
以x0,x1为初始值搜索 f 的极值
以x0为初始值搜索 f 在[a,b]内 的极值
搜索多元函数 f 在(x0,y0,…) 附近的极值
例如： g1=(1-Cos[2x])/x/Sin[x] Plot[g1,{x,-10,10}] FindMinimum[g1,{x,0.5}] FindMinimum[-g1,{x,0.5,1}] FindMinimum[-g1,{x,0.3,-0.5,1}] FindMinimum[Sin[x y],{x,0.5}, {y,0.5}] FindMinimum[x^2+y^2,{x,0.5},{y,0.3}]
计算参数方程所确定的函数的导数
一阶导数 pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t],r=D[x,t]}, Simplify[s/r]] pD[Sin[t],Cos[t],t]
二阶导数 pD2[x_,y_,t_]:=pD[x,pD[x,y,t],t] pD2[Sin[t],Cos[t],t]
极限与导数的计算
一、极限的计算
格式
意义
Limit[f[x], x->x0]
求极限 lim f (x) x x0
Limit[f[x], x->x0, Direction->1] 求极限 lim f (x) xx0 0
Limit[f[x], x->x0, Direction->-1] 求极限 lim f (x) xx0 0
Taylor展开的近似计算与截断误差
考虑带Lagrange余项的Taylor展开式
f (x0
x)
f (x0 )
数理分析方法PPT
17
2、子集、集合相等、交与并
8) 记法的问题： ❖ 图示：
❖ Ac为A关于全集Ω的补集
18
3、集合的运算性质
❖ 多个集合的交与并记为：
19
4、分划（或划分）
❖ 集合A的一个分划是由A的一些非空子集构成
的集合，表示为
，使得这些非
空子集Ai 的并等于A，并满足任意两个不同
的子集
。分划中每一个）定义：集合就是任何种类的对象的集体。 集合中的对象称为集合的元素。
❖ 所有自然数的集合 ❖ 方程x2 - 3x+2=0 的所有根的集合 ❖ 平面上全部点的集合 ❖ 某一经济系统中全体消费者的集合，满足收入约束
的所有商品向量的集合，等等。
6
1、集合的基本概念
2）标记 ❖ a ∈ S , a属于集合S，a是集合S的元素。 ❖ a ∉ S , a不属于集合S，a不是集合S的元素。
36
1、笛卡尔积与n 元组
2）n 元组 ❖ 集合族的笛卡尔积：
这个集合的元素称为n 元组（n-tuple），就象有序 对（pair）一样，只不过有n个元素。
❖ 例如：{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}的笛卡尔积为： {(1,4,7),(1,4,8),...}，
其中元素(1,4,7)称为n元组。n元组中的单个元素称 为分量或坐标。
（5）非对称关系：如果(a,b)∈r，则有(b,a)∉r 。
27
7、集合中元素间的二元关系 3）几种重要的二元关系：序关系、等价关系和
函数关系
28
7、集合中元素间的二元关系
（1）拟序关系：S上的二元关系r被称为拟序关 系，如果下列性质成立：自反性、传递性。
❖ 例如：如果r表示“进入联合国不迟于”，那么 对于这一关系，自反性和传递性成立；如果r 表示“出口小麦至”，那么这一关系是自反的， 但不具备传递性。
解析函数的泰勒级数ppt课件
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例如，
e z z n
n0 n !
利用间接 sizn 在 展 z0开 的法 泰求 勒 . 展
sin z1(eizeiz) 2i
21in 0(inz!)nn 0(n i!z)n
(1)n
z2n1
n0
(2n1)!
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再例如
f(z) cn(za)n n1
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练习
例3 把函 f(z)数 1 展开 z的 成 幂 . 级数 3z2
例4 求arctz在 azn0的幂级数 . 展开
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3、幂级数和函数在收敛圆周上的状况
定理4.16 如果幂级数 cn(z a)n 的收敛半径R>0,且 n0 f(z) cn(za)n,(z K :z |a|R ) n 0 则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能
(e z)(n )z 0 1 ,(n 0 ,1 ,2 , )
故有 ez1zz2 zn zn
2 !
n !
n 0n !
因为ez 在复平面内处处,解析
所以级数的收敛R半径.
精品课件
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f(z)n 0n 1!f(n)(z0)(zz0)n
仿照上例 , 可s得 izn 与 co z在 sz0的泰勒 . 展
2)幂级数的解析性质
设幂级数 cn(z a)n 的收敛半径为R , 那末
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f(z) cn(za)n
n0
是收敛圆 zaR内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 zaR内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f(z) ncn(za)n1.
深圳大学线性代数ppt2
三、矩阵的乘法 B 定义 若 A (aij )m s ， (bij ) sn , 矩阵A与矩阵B的乘积 记作AB，规定为 AB (cij ) mn ｓ
其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j ais bsj＝ aik bkj
ｋ1
（i 1，， ， ； 1，， ， 2m j 2n ） 记号AB常读作A 左乘B或者B右乘A。 从定义可以看到，若C＝AB，则C的元素cij为A的i行元素 与B的第j列的对应元素的乘积的和：
求AB。
特别：
1 s 与 s 1 矩阵的乘积 为一阶方阵，即一个数
b11 b a11 a12 a1 s 21 a11b11 a12b21 a1 s bs1 a1k bk 1 bs1 s 1 与 1 s 矩阵的乘积为 一个ｓ阶方阵 a11 a11b11 a11b12 a11b1 s a a b a21b12 a21b1 s 21 b 21 11 b12 b1 s 11 a s1 a s1b11 a s1b12 a s1b1 s
B 9 6 ,
9 B . 6
T
（1） A
上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵.
思考 矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式 是一个算式，一个数字行列式经过计算可 求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的 行数和列数可以不同.
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的线性运算 1、矩阵的加法 定义 设有两个m×n的矩阵 A (aij )mn , B (bij )mn ， 这两个矩阵的和记作A＋B，规定
可记作 E .
深圳大学 数值计算课件3
x x0 y1 y 0 x x1 p1 ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) y 0 ( x x0 ) x0 x1 x1 x0 x1 x0
（3.2－1）
2．抛物插值（也称二次插值） 线性插值仅仅利用了两个节点上的信息，精确自然很低，为了 提高精确，进一步考虑下述二次插值。 设函数f (x)经过三个不同节点(x0 ，y0 )(x1 ，y1 ) (x2 ，y2 )，即 f ( x0 ) y 0 f ( x1 ) y1 f ( x2 ) y 2 我们首先定义三个插值基函数：
j 0
则g(t)具有以下性质：
g ( n1) (t ) f ( n1) (t ) ( x)( n 1)!
（1）g(t)在[a,b]上存在n+1阶导数，且
(3.2－6)
t （2）g(t)在[a,b]上至少有n+2个互异的零点： x, x0 , x1 ,, xn
这是因为由插值条件：pn(xi)=fn(xi)知，当t=xi时，有 g ( xi ) 0 , (i 0,1,, n) 由余项定义可知，当t=x时，有
f ( n 1) ( ) ( x)( n 1)! 0
即
f ( n 1) ( ) ( x) (n 1)!
（3.2－7）
将其代入（3.2－5）式，即得插值余项的表达式为：
f ( n 1) ( ) n Rn ( x ) ( x x j ) , (a, b) （3.2－8） (n 1)! j 0
) yk
（3.2－3）
因为 所以
j 0 j k
1, i k Lk ( xi ) ki 0, i k
p n ( xi ) y k Lk ( xi ) y k ki yi , (i 0,1,, n)
（3.2－1）
2．抛物插值（也称二次插值） 线性插值仅仅利用了两个节点上的信息，精确自然很低，为了 提高精确，进一步考虑下述二次插值。 设函数f (x)经过三个不同节点(x0 ，y0 )(x1 ，y1 ) (x2 ，y2 )，即 f ( x0 ) y 0 f ( x1 ) y1 f ( x2 ) y 2 我们首先定义三个插值基函数：
j 0
则g(t)具有以下性质：
g ( n1) (t ) f ( n1) (t ) ( x)( n 1)!
（1）g(t)在[a,b]上存在n+1阶导数，且
(3.2－6)
t （2）g(t)在[a,b]上至少有n+2个互异的零点： x, x0 , x1 ,, xn
这是因为由插值条件：pn(xi)=fn(xi)知，当t=xi时，有 g ( xi ) 0 , (i 0,1,, n) 由余项定义可知，当t=x时，有
f ( n 1) ( ) ( x)( n 1)! 0
即
f ( n 1) ( ) ( x) (n 1)!
（3.2－7）
将其代入（3.2－5）式，即得插值余项的表达式为：
f ( n 1) ( ) n Rn ( x ) ( x x j ) , (a, b) （3.2－8） (n 1)! j 0
) yk
（3.2－3）
因为 所以
j 0 j k
1, i k Lk ( xi ) ki 0, i k
p n ( xi ) y k Lk ( xi ) y k ki yi , (i 0,1,, n)
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多
理解拉格朗日函数的引入
元 重点难点: 拉格朗日乘数法的应用,
函
拉格朗日函数的引入
数
微
分
学
.
5
第
§4 条 件 极 值
十
七 问题 做一个容量为V的长方体开口水箱, 问水箱
章
的长、宽、高各等于多少时, 其表面积最小?
多
元
函
数
微
分
学
.
6
第
§4 条 件 极 值
十
七 定义 对自变量有约束条件的极值问题称为条件极
多
fxx0,y0fyx0,y00.
元
函
数
微
分
学
.
8
第
十
七 极值充分条件 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域
章
U (P0)内具有二阶连续偏导数, 且P0是 f的稳定点.
多
则当H(P0)是正定矩阵时, f 在P0取得极小值;
元
当H(P0)是负定矩阵时, f 在P0取得极大值;
函 当H(P0)是当H(P0)是不定矩阵时, f 在P0不取极值.
第
十
七
级数与多元微积分
章
Series and Calculous in Several Variablesຫໍສະໝຸດ 多元函 数 微
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
分
学
.
1
第
十
七
第十八章 隐函数定理及其应用
章
多
§1 隐函数
元
§2 隐函数组
函
§3 几何应用
数
§4 条件极值
微
分
学
.
2
第
十
七
§1 可 微 性
章
章 值问题.
多
元 条件极值问题的一般形式为: 在条件组
函
k x 1 ,x 2 , L L ,x n 0 ,k 1 ,2 , L ,m ( m n )(2)
数 的限制下求目标函数
微
yfx1,x2,LL,xn
(3)
分 的极值.
学
.
7
第
十 七 章
极值必要条件 若函数 f 在点P0(x0, y0)存在偏导数, 且在P0取得极值, 则有
数 上的点到xy平面的最小距离和最大距离.
微 2. 设 x 1 L x n 1 ,x i 0 ,i 1 ,2 ,L ,n .证明不等式
分 学
x1x 11x2x12L.xnx1nn1 nn.
19
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 一、隐函数: 由方程所确定的函数.
章 二、隐函数定理: 条件: (i) F, Fx和Fy连续;
章 (i) 当 fx xP 0 0 , fx xfy y fx 2 yP 0 0 时, f 在点P0取得
多
极小值;
元 函
(ii) 当 fx xP 0 0 , fx xfy y fx 2 yP 0 0 时, f 在点P0取得
数
极大值;
微 (iii) 当 fxxfyyfx2 y P00时, f 在点P0不能取得极值;
多
一 可微性与全微分
元
二 偏导数
函
三 可微性条件
数
四 可微性几何意义及应用
微
分
学
.
3
第
十
七
§2 复 合 函 数 微 分 法
章
多
一 复合函数的求导法则
元
二 复合函数的全微分
函
数
微
分
学
.
4
第
§4 条 件 极 值
十
七 基本内容: 条件极值, 拉格朗日乘数法
章 基本要求: 掌握拉格朗日乘数解条件极值问题,
章
1111(x0,y0,z0,r0)
多
xyz r
元 下的极小值, 并证明不等式
函 数
31ab11c1 3 abc,
微 其中a, b, c为任意正实数.
分
学
.
18
第
§4 条 件 极 值
十 作业 P.169. 习题 1. (1), (3). 3.
七 章 补充作业 多 1. 设a0, 求曲线
元 函
x2 y2 2az, x2 y2 xy a2
多
(ii) F(x0, y0)0; (iii) Fy(x0, y0)0,
元 结论: F(x, y)0确定一个连续可微的函数 y f (x)
函 其导数为
数
微 分
y Fx . Fy
学
.
20
第
第十八章 复 习
十
§1 隐函数
七 三、利用隐函数定理解题的一般步骤:
章 (i) 确定F, 求F对各变量的偏导数;
章 导数. 若D的内点 P 0 x1 (0),x2 (0),L,xn (0) 是极值点, 且
多
元 雅可比矩阵
函 数 微 分
1
x1
L
1
xn
M
M
(13)
m
L
m
学
x 1
x n P0
.
15
第
§4 条 件 极 值
十
的秩为m,
则存在常数
, (0) 1
2(0),L,
, (0)
m
使得
x1,L
,xn 0
学 的解.
.
16
第
§4 条 件 极 值
十 例1 用拉格朗日乘数法求水箱设计问题的解.
七 章 例2 抛物面
多
x2 y2 z
元 被平面
函
xyz1
数 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
微
分
学
.
17
第
§4 条 件 极 值
十
七 例3 求f (x, y, z) xyz在条件
分 学
(iv) 当 fxxfyyfx2 y P00时, 不能肯定 f 在点P0是否
取得极值.
.
11
第
§4 条 件 极 值
十 求函数
七
y f(x, y)
章 在约束条件
多
(x, y) 0
元 下的条件极值. 函
数
微
分
学
.
12
第
§4 条 件 极 值
十 方程
七
(x, y) 0
章 确定的隐函数y g(x)的导数为
数
微
分
学
.
9
第
十 称矩阵
七 章
多
HfP 0ffx yx xP P 0 0 ffx yy yP P 0 0ffx yx x
fxy fyyP 0
元 为 f 在点P0的黑赛(Hesse)矩阵.
函
数
微
分
学
.
10
第
十 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0)内具有
七 二阶连续偏导数, 且P0是 f 的稳定点, 则有
七
章
x 1 (0 ),L,x n (0 ),1 (0 ),L ,m (0 ) 为下述nm个方程
多
L
x1
f x1
m
k
k 1
k x1
0
元
L L L L L L L L
函 数 微
L
xn
f xn
m
k
k 1
k xn
0
L 1
1
x1 ,L
,xn 0
L L L L L L L L
分
L
m
m
多 (ii) 验证F(P0)0及F和F对各变量偏导数的连续性;
元 函
(iii) 验证在P0处F对某变量偏导数不等于0; (iv) 利用隐函数定理求导数.
数 微
注意: 当已知所给方程能够确定连续可微的隐函数
多 元
g(x) x (x) . y (x)
函
数
微
分
学
.
13
第
§4 条 件 极 值
十 平面曲线
七
F(x, y)0
章 上点P0(x0, y0)处切线的方向数为
多 元
FxP0,FyP0 .
函
数
微
分
学
.
14
第
§4 条 件 极 值
十 定理18.6 设在条件(2)的限制下, 求函数(3)的极值,
七 其中 f 与k(k 1, 2, , m)在D内有连续的一阶偏