常用统计量
数理统计定理及公式
3、贝叶斯风险
风险函数(, ) = ,(, )- = ∫ (, )(|)关于 再求期望，得
() = ∫ (, ) π() = ∬ (, )(|)π()
= ∬ (, )() (|) = ∫ () ∫ (, ) (|)
1、假设检验的基本概念
（1）拒绝域： = {: ∈ Ω，使0 否定}
1, ∈
（2）检验函数δ() = {
0, ∉
（3）两类错误的概率及检验水平
①第一类错误（弃真）②第二类错误（存伪）
③检验水平：检验犯第一类错误的概率
（4）势函数()
{
() = , ∈ 0
（1）矩估计法（以样本 k 阶矩估计总体 k 阶矩）
= ∫ () = ̅
1
2 = ∫ 2 () = ∑ 2 = 2 + ̅ 2
=1
{
⋮
（2）极大似然估计法
似然函数（联合密度）() = ∏=1 ( ; )
()
= 0，解得̂即为最大似然估计量，当求导无解时，结合次序统计量的概念及的
4、有效估计（方差达到罗-克拉默下界的估计）
（1）信息不等式
2
ln(; )
2 ln(; )
() = E *
+ = −E *
+
2
（2）罗-克拉默下界
D(()) ≥
1
()
（3）有效估计⇒最小方差无偏估计；但最小方差无偏估计⇏有效估计
5、区间估计
（1）置信度：1 −
①~(0,1)，Y~ 2 ()且独立，则 =
√/
~()
② = 0, = −2
统计量公式
统计量公式统计量是一种用于描述和总结数据集的数值指标或函数。
它们可以对数据进行量化和比较，从而得到有关数据分布和关系的信息。
以下是一些常见的统计量和它们的公式：1.平均数（Mean）：平均数是一组数据的总和除以数据的个数。
公式为：μ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n，其中x₁，x₂，...，xₙ为数据集中的观测值，n为观测值的个数。
拓展：除了算术平均数，还有几种不同的平均数，如加权平均数、几何平均数和调和平均数。
2.中位数（Median）：中位数是将一组数据按升序或降序排列后，位于中间位置的观测值。
若数据个数n为奇数，则中位数为第(n+1)/2个观测值；若n为偶数，则中位数为第n/2和n/2+1个观测值的平均值。
拓展：除了中位数，还有四分位数、百分位数等分位数，从而可以描述数据的分布和位置。
3.方差（Variance）：方差衡量了数据集的离散程度，它表示每个观测值与平均值之间的差异的平方的平均值。
公式为：σ² = Σ (xᵢ- μ)² / n，其中xᵢ为观测值，μ为平均数，n为观测值的个数。
拓展：方差的开平方称为标准差，它将方差的测量单位换成了与原始观测值相同的单位，更易于解释和比较。
4.相关系数（Correlation coefficient）：相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强度和方向。
常用的是皮尔逊相关系数，其公式为：r = Σ (xᵢ - μₓ)(yᵢ - μᵧ) / (nσₓσᵧ)，其中xᵢ和yᵢ为两个变量的观测值，μₓ和μᵧ为两个变量的平均值，σₓ和σᵧ为两个变量的标准差。
拓展：除了皮尔逊相关系数，还有斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等其他类型的相关系数。
这些统计量广泛用于统计学和数据分析中，可以帮助我们理解和解释数据的特征和关系。
同时，也有其他更多的统计量公式和概念，根据不同的数据类型和问题，可以选择适当的统计量来进行分析。
常用统计量与计算方法
代入公式（3—5）得：
Md
L
i
n
15 68
( c) 57 ( 16) 70.5
(天)
f2
20 2
即间隔时间的中位数为70.5天。
L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数
n — 总频数（即总次数）
c — 小于频数最多所在组的累加频数
19
（三）众数 (mode) M0 (书 P17)
26
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求 出各个观测值与平均数的离差，（x x） ，称为 离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即Σx（ x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ（x x ）来 表 示 资料中所有观 测值的总偏离程度。
注： 小样本的自由度为n-1
x x 2
n 1
n 30
35
标准差的计算方法
上述计算方法需先求出平均数（一般为约数），容易 引起计算误差，因此采用原始数据进行计算 (书P20)
大样本： S x 2 x 2 / n
n
小样本： S x 2 x 2 / n
n -1
为简化计算过程，若试验观测数值较大（小）时，可将各观测值
乙组的变异明显低于甲组， R 不能反映 组内其它数据的 变异度 25
二、变异数
缺点
c. 样本较大时, 抽到较大值与较小值的可能性也较大， 因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不宜用 极差来比较分布的离散度。
当资料很多，而又要迅速对资料的变异程度作出判断 用途 时，有时可先利用极差判断。
名词解释统计量
名词解释统计量
统计量是统计学中的一个重要概念，指的是通过对样本数据进行相应计算得出的数值，用以描述样本数据的某种特征或性质。
在统计学中，我们通常经常需要对数据进行总结和描述，从而更好地理解数据的分布和特征。
统计量就是通过对样本数据进行计算，得出能够代表样本的某种特征的数值。
常见的统计量包括均值、中位数、方差、标准差、百分位数等。
这些统计量能够帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度、分布形态等信息。
均值是最常见的统计量，它是样本数据的平均值。
通过计算所有数据的总和，然后除以数据的个数，得到均值。
均值能够反映数据的集中趋势，如果均值较大，说明数据整体较大；如果均值较小，说明数据整体较小。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数能够反映数据的中间位置，对于存在极端值或异常值的数据，中位数更能代表典型值。
方差和标准差是用来衡量数据的离散程度的统计量。
方差是数据与
均值之差的平方的平均数，标准差是方差的平方根。
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
百分位数是反映数据位置的统计量，表示有百分之多少的数据小于或等于该数值。
常用的百分位数有四分位数，分别是将数据分为四等分的数值。
第一四分位数表示25%的数据小于或等于该值，第二四分位数就是中位数，第三四分位数表示75%的数据小于或等于该值。
通过计算这些统计量，我们能够更全面地理解数据的特征，进而作出更准确的分析和决策。
统计量的选择应根据具体问题和数据类型来确定，合理使用统计量可以提高对数据的理解和应用能力。
统计量公式
统计量公式统计量是统计学中常用的概念，它用来描述和总结数据的特征和分布情况。
统计量可以帮助我们更好地理解数据，并从中提取出有用的信息。
在实际应用中，统计量是进行数据分析和推断的重要工具，它们可以帮助我们做出准确的决策和预测。
常见的统计量包括均值、中位数、众数、标准差、方差、偏度和峰度等。
下面分别介绍这些统计量的计算公式和含义。
1. 均值：均值是一组数据的平均数，用于表示数据的集中趋势。
计算公式为：均值 = 总和 / 观测值的个数。
均值可以帮助我们了解数据的平均水平，并可以用来对比不同数据集之间的差异。
2. 中位数：中位数是一组数据排序后的中间值，它能够较好地反映数据的分布情况，相对于均值更具有鲁棒性。
如果数据个数为奇数，中位数就是排序后的中间值；如果数据个数为偶数，中位数就是排序后中间两个数的平均值。
3. 众数：众数是一组数据中出现频率最高的值，用于描述数据的集中程度。
一个数据集可能存在多个众数，也可能没有众数。
4. 标准差：标准差衡量了数据的波动程度，也就是数据的离散程度。
标准差越大，数据的离散程度就越大；标准差越小，数据的离散程度就越小。
标准差的计算公式为：标准差 = 平方根（方差）。
5. 方差：方差衡量了数据的离散程度，它是各个观测值与均值之差的平方和的平均值。
方差越大，数据的离散程度也越大；方差越小，数据的离散程度也越小。
6. 偏度：偏度用于衡量数据分布的不对称程度。
如果数据分布左偏，即数据的尾部向左拉长，偏度为负数；如果数据分布右偏，即数据的尾部向右拉长，偏度为正数。
7. 峰度：峰度用于衡量数据分布的尖锐程度。
正态分布的峰度为3，如果数据分布的峰度大于3，则分布更为尖锐；如果峰度小于3，则分布较为平缓。
统计量的计算和使用可以帮助我们深入了解数据，从而做出正确的决策。
在不同的领域和问题中，我们可以根据需要选择相应的统计量来分析数据，并且可以结合其他统计方法进行更深入的研究。
同时，统计量的计算结果也需要综合考虑其他因素，如样本的大小和数据的分布特点，以保证统计结果的可靠性和有效性。
统计学中statistic
统计学中statistic统计学是一门应用数学，它研究如何从数量数据中得出结论和推断。
它是现代科学中不可缺少的一个领域，同时也是决策、政策制定和商业决策等领域的重要工具。
在统计学中，statistic（统计量）是一个重要的概念，本文将对该概念做详细的解释。
统计量是指对样本进行运算得到的结果。
简单的说，统计量就是对样本数据进行数字摘要的方法。
这些数字描述了数据的一些重要特征，如中心位置、离散程度、形状等，同时也可以用来推断总体的特征。
因此，统计量是进行统计推断的重要工具。
统计量的选择通常需要考虑数据的类型、数据的分布以及研究的目的等因素。
下面我们将介绍几个常用的统计量及其作用。
1. 均值（mean）均值是最常用的统计量之一，它表示所有数据的平均值。
在统计学中，均值可以帮助我们了解数据的集中程度，即数据的中心位置。
一般来说，如果数据分布比较对称，均值就是一个比较好的中心位置的估计值。
然而，如果有极端值存在，均值可能无法准确描述数据的中心位置。
2. 中位数（median）中位数是将所有数按大小排序后中间那个数。
中位数可以帮助我们摆脱极端值的影响，从而更准确地估计数据的中心位置。
此外，中位数也是一种较为稳健的统计量，这意味着它对异常数据的影响比均值小，因此更加适合处理含有异常值的数据。
3. 众数（mode）众数是数据集中出现次数最多的数。
与均值和中位数不同的是，众数用来描述数据的形状，具有一定的参考价值。
在实际应用中，众数常常被用来探索数据的模式和趋势，以及识别数据中的异常值。
4. 方差（variance）方差是衡量数据分散程度的统计量，用于衡量每个观察值与其均值的偏离程度。
如果数据的方差较小，意味着数据分布比较集中；而数据的方差较大，则表示数据分布比较分散。
方差的计算公式是每个数据与其均值的差的平方的平均值。
方差的计算通常需要使用样本方差和总体方差两种形式。
5. 标准差（standard deviation）标准差是方差的平方根，是一种常用的数据分散程度的度量。
常用的6个统计量
常用的6个统计量说明6个基本统计量(平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差)的数学内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.数学内涵:在初中阶段，数据处理中，平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差是六个基本的统计量。
三“数”:平均数、众数、中位数为统计的平均量，是描述一组数据的集中趋势的统计指标，它们从不同的侧面概括了一组数据，都可作为一组数据的代表。
平均数、中位数、众数之间可以互相相等也可以不相等。
1、平均数:是把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，是反映样本或总体的平均水平的特征数，平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化，平均数受较大数和较小数的影响较大。
平均数又分为算术平均数和加权平均数。
2、众数:是指一组数据中出现次数最多的数据。
一组数据可以有不止一个众数也可以没有众数。
众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势3、中位数:是指将一组数据按大小顺序排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数据称为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间的两个数据的平均数称为这组数据的中位数。
一组数据的中位数是唯一的。
三“差”:极差、方差、标准差是统计量中的变异量，是反映数据波动大小的离散程度的，通过三个不同的计算形式来刻画一组数据不同的波动情况。
1、极差:是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
它计算方便，只对极端值敏感，只是粗略地反映这组数据的波动范围。
2、方差:是指各数据与平均数的差的平方的平均数。
它主要是衡量这组数据的波动大小的，即数据的稳定性。
一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小。
要比较数据的稳定性，一般会用到方差。
3、标准差:是指方差的算术平方根。
标准差也是用来表示一组数据的波动大小的量。
在实际问题中，极差和方差经常结合起来共同去更全面地描述一组数据的波动情况。
统计学术语
统计学术语1. 平均数：平均值，又称平均算术，是统计学中分析数据及描述数据特征的常用统计量。
2. 中位数：中位数是一组有序数据中居于中间位置的数据项。
3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据项即为众数。
4. 极差：极差是最大值减去最小值的结果，用来表示一组数据范围大小的统计量。
5. 标准差：标准差是一组数据离均值偏差程度的反映，用来衡量一组数据离散程度。
6. 方差：方差是一组数据平均分布情况的反映，用来衡量一组数据离散度。
7. 协方差：协方差是一组数据关联和变化特征的反映，用来统计数据间的线性相关程度。
8. 相关系数：相关系数是对数据关联程度的反映，用来统计数据间的线性相关性。
9. 相关分析：相关分析是统计学中的研究方法，用来研究两个或两个以上变量之间的关系和联系。
10. 误差估计：误差估计是统计学及其应用中经常使用的统计量，用来研究某统计量的估计值和真实值之间的差异。
11. 测度：测度是衡量变量本质特征的方法，可以用来研究变量的取值范围大小、数据的分布特点等。
12. 抽样技术：抽样技术是指在样本中抽取部分数据进行定量研究的方法，使用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和多方抽样等。
13. 模拟：模拟是指根据现实中或实验中的相关数据，以近似真实环境的方式模拟出理论模型，计算机模拟是应用最广泛的一种数学模拟方法。
14. 回归分析：回归分析是指研究两变量或多变量之间相互关系，并用线性等数学模型对该关系进行拟合和估计的统计学分析方法。
15. 分类分析：分类分析是对对象进行分组的统计学分析方法，可以使用适当的统计方法进行分类比较，以揭示不同群体之间的差异。
16. 抽象数量分析：抽象数量分析是指使用抽象的统计模型分析实验数据的方法，准确确定模型参数，有效地估计观察值。
17. 分位数：分位数是一组有序数据中，从最小到最大排列后比例所处位置的数值，它可以用来衡量数据中位置分布的特点。
18. 箱线图：箱线图是一种用来表示数据分布特征的统计图，可以观察分布的中位数、四分位数等重要信息。
常用统计量及其应用课件
应用
在科学、工程、医学等领 域广泛使用，例如在产品 质量检测、医学诊断等方 面。
方差分析
定义
方差分析是一种统计方法，用于 比较两个或多个样本均值是否存
在显著差异。
方法
通过计算方差，将样本均值与总体 均值的差异分解为可解释部分和不 可解释部分，从而判断不同样本之 间是否存在显著差异。
应用
在工业、农业、社会科学等领域都 有广泛的应用，例如在生产过程控 制、市场调研等方面。
极差是描述一组数据离散程度 的另一个常用统计量，是最大 值与最小值的差。
优点：计算简单，直观易懂。
缺点：不能反映数据的整体分 布情况，容易受到极端值的影响。
03
推论性统计量
假设检验
01
02
03
定义
假设检验是统计推断的重 要组成部分，通过样本数 据对总体参数进行推断。
方法
根据样本数据做出假设， 然后利用适当的统计量进 行检验，根据检验结果判 断原假设是否合理。
缺点：不适用于所有数据分布，有些 数据分布可能没有标准差。
方差
方差是描述一组数据离散程度的另一个常用统计量，是 标准差的平方。
优点：能够反映数据的波动情况，计算简单。
计算方法：先求出每个数据与平均数的差值，然后平方 这些差值，最后求平均数。
缺点：不适用于所有数据分布，有些数据分布可能没有 方差。
极差
统计量的意义
统计量的意义在于它能够帮助我们更 好地理解数据，掌握数据的分布特征 和规律，为决策提供科学依据。
通过统计量，我们可以对数据样本进 行比较和分析，从而得出有关总体分 布的结论，为进一步研究和应用提供 支持。
统计量的分类
常用统计量包括平均数、中位数、众数、方差、标准差、四 分位数等。
统计学中的常用统计量
统计学中的常用统计量统计学是一门关于数据收集、分析和解释的学科，它提供了一系列的统计量来总结和描述数据的特征。
这些统计量可以帮助我们理解数据的分布、趋势和关联性。
在本文中，我们将介绍统计学中的一些常用统计量及其应用。
一、中心位置的统计量1. 均值（Mean）：均值是一组数据的平均值。
计算均值的方法是将所有观测值相加，然后除以观测值的总数。
均值对异常值非常敏感，所以在一些情况下，中位数可能更适合作为中心位置的度量。
2. 中位数（Median）：中位数是将一组数据按照大小顺序排列后的中间值。
如果数据集中的观测值为奇数个，则中位数就是中间的观测值；如果观测值为偶数个，则中位数是中间两个观测值的平均数。
中位数对异常值不敏感，因此在分析偏态数据时常常使用。
二、离散程度的统计量3. 方差（Variance）：方差衡量了数据的离散程度，计算方式为每个数据与均值之差的平方的平均值。
方差的单位是原数据单位的平方，所以为了更好地描述数据的离散程度，常用标准差作为方差的平方根。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量了数据相对于均值的平均偏离程度。
标准差越大，数据的离散程度越大。
5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是将数据按照大小排序后，某个特定百分比处的数值。
例如，第25百分位数是将数据按照从小到大排序后，处于25%位置上的观测值。
三、数据分布形态的统计量6. 偏度（Skewness）：偏度衡量了数据分布的对称性。
当数据分布左偏时，偏度为负值；当数据分布右偏时，偏度为正值。
偏度为0表示数据分布对称。
7. 峰度（Kurtosis）：峰度衡量了数据分布的尖锐程度。
正态分布的峰度为3，如果峰度大于3，表示分布的尖锐程度高于正态分布；如果峰度小于3，表示分布的尖锐程度低于正态分布。
四、相关性的统计量8. 相关系数（Correlation Coefficient）：相关系数衡量了两个变量之间的线性关系强度和方向。
常用的基本统计量
常用的基本统计量
在统计学中，常用的基本统计量包括以下几个：
平均值（Mean）：表示一组数据的平均数，通过将所有观测值相加后除以观测数量来计算。
中位数（Median）：将一组数据按照大小排序，中位数是位于中间位置的数值。
当数据集为奇数个时，中位数为中间值；当数据集为偶数个时，中位数为中间两个数的平均值。
众数（Mode）：一组数据中出现频率最高的数值。
一个数据集可能有一个或多个众数，或者没有众数。
极差（Range）：表示一组数据中最大值和最小值之间的差异。
计算方法是最大值减去最小值。
方差（Variance）：衡量一组数据的离散程度。
方差是各观测值与其平均值的差的平方的平均值。
标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，用于衡量一组数据的离散程度。
标准差是方差的常用衍生指标，具有与原始数据相同的单位。
百分位数（Percentile）：表示一组数据中具有特定百分比位置的数值。
例如，第25百分位数表示有25%的数据小于或等于它。
这些基本统计量提供了对数据分布和集中趋势的描述，可以帮助我们更好地理解数据的特征和变化。
根据具体情况和需求，我们可以选择适当的统计量来分析和解释数据。
统计量和参数
统计量和参数一、概念解释统计量是根据样本数据计算得出的一个数值，它可以反映样本的某种特征。
常见的统计量有均值、方差、标准差等。
参数是描述总体性质的数值，它通常是未知的。
通过对样本进行推断，可以估计总体参数。
常见的参数有总体均值、总体方差等。
二、统计量与参数的关系统计量和参数都是用来描述数据分布特征的指标。
但它们之间存在着一定的联系和区别。
1. 统计量是根据样本数据计算得出的，而参数是描述总体性质的数值。
2. 统计量可以反映样本某种特征，如均值、方差等；而参数则是描述总体性质，如总体均值、总体方差等。
3. 统计量可以通过估计方法来推断总体参数。
例如，可以通过样本均值来估计总体均值；通过样本标准差来估计总体标准差。
4. 统计量和参数之间存在着一定的误差。
由于样本容量有限，所以用统计量来代替真实的参数时会存在误差。
因此，在使用统计方法进行分析时需要注意误差范围，并进行合理的推断和判断。
三、常见的统计量1. 均值：表示样本数据的平均水平，是最常用的统计量之一。
通常用符号“x bar”表示，计算公式为：x bar = Σ xi / n。
2. 方差：表示样本数据离均值的程度，是衡量数据分散程度的指标。
通常用符号“s²”表示，计算公式为：s² = Σ(xi - x bar)² / (n-1)。
3. 标准差：是方差的平方根，它反映了数据分布的离散程度。
通常用符号“s”表示，计算公式为：s = √(Σ(xi - x bar)² / (n-1))。
4. 中位数：是将一组数据按照大小排序后中间位置上的数值。
当样本容量较小或存在极值时，中位数比均值更能反映数据集中趋势。
5. 百分位数：指将一组数据按照大小排序后第p%位置上的数值。
例如，第50%位置上的数就是中位数。
四、常见的参数1. 总体均值（μ）：是描述总体水平的指标，它可以通过样本均值来估计。
当样本容量越大时，估计总体均值越精确。
6.2.常用统计量及抽样分布
1.
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2. X 与 S 2 独立。 定理三 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样
X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
X S/ n ~ t (n 1)
定理四 设 X 11,,X 22,,,X nn 与Y11,,Y22,,,,Ynn 是来自正态总体 N ((11,, 1212))和 N Y 是来自正态总体 N 和 设 X X , X 与Y Y 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 的样本，且这两个样本相互独立。设 n 1 1 n1 X i 1 X i , Y i 1 Yi 分别是这两个样本的均值； n2 n1 n 1 1 n1 2 2 2 S2 (Yi Y ) 2 S1 i1 ( X i X ) , n21 1 i 1 n1 1 分别是这两个样本的样本方差， 则有
则称随机变量
[(n1 n 2 ) / 2](n1 / n 2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 ) 1 , y0 ( y ) (n1 / 2)(n 2 / 2)[1 (n1 y / n 2 )]( n1 n2 ) / 2 0, 其它
其图形如右图所示
U / n1 F V / n2 服从自由度为 ((n1 ,,n 22)的2)) 服从自由度为 n1 n )的F 分布，记为 F ~ F n1 n
F (n1 , n 2 ) 分布的概率密度为
2 2 设 U ~ ( n1 ), V ~ (n 2 ), 且U , V 独立，
1 0.357 2.80
二、抽样分布定理
定理一 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 本，X 是样本均值，则有 X ~ N ( , 2 / n) 定理二 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
分布趋势的统计量是
分布趋势的统计量是
统计学中，分布趋势是指数据的整体分布情况，用来衡量数据集中值的相对位置和数据的离散程度。
在描述分布趋势时，常用的统计量有均值、中位数、众数、四分位数和极差等。
1. 均值（mean）是最常用的描述分布趋势的统计量之一，它表示数据集中值的平均水平。
均值可以通过将所有观测值相加，然后除以观测值的个数来计算。
2. 中位数（median）是将数据集按照大小排序后，处于中间位置的数值。
中位数对于描述非对称分布的数据集更为准确，因为它不受异常值的影响。
3. 众数（mode）是数据集中出现次数最多的数值。
众数在描述离散型数据中的分布趋势时很有用，可以确定常见的取值。
4. 四分位数（quartiles）是将数据集按照大小排序后，将其分为四等分的三个数值。
第一个四分位数表示有25%的观测值小于它，第二个四分位数即中位数，第三个四分位数表示有75%的观测值小于它。
四分位数可以帮助我们进一步了解数据分布的形状。
5. 极差（range）是数据集中最大值与最小值的差异。
极差可以简单地描述数据的整体变异程度，但它对于异常值非常敏感。
这些统计量可以帮助我们全面了解数据的分布趋势。
均值和中位数可以告诉我们数据的中心位置，众数可以告诉我们常见的取值，四分位数可以描述数据分布的形状，而极差可以描述数据的变异程度。
根据具体情境和需求选择合适的统计量来描述分布趋势，有助于我们更好地理解和分析数据。
描述数据离散趋势的常用统计量
描述数据离散趋势的常用统计量
很多时候，我们需要分析数据之间的关系，或者希望从重要数据中挖掘出有用
的信息。
而离散趋势就恰恰可以满足这样的需求。
那么，我们又该如何描述离散趋势呢？
一般而言，当涉及离散趋势描述时，常使用的统计量有极差(Range)、均值(Mean)、中位数(Median)、众数(Mode)、四分位距(Quartile Deviation)、变异系数(Variance)等。
例如，极差可以描述一组数据分布的宽度，它通过将数据中最大值与最小值进
行差值可以获得，它对于对立信息的分析非常有用，例如评价用户的活跃度。
均值又称均数，它表达的是一组数据的平均值，即所有数据的加权平均值，它非常有用，可以在不同变量之间考察有关关系。
而中位数表示的是数据中第50%的值，可用来剔除偏离的异常值，以便对正常
数据进行更为合理的分析。
众数指的是在一一定数据集中重复出现次数最多的值，它揭示了相同变量值出现的比例，有助于我们认识用户偏好。
四分位距描述的是一组数据大小关系，即四分位点，经常被用来反映大量用户数据的分布情况，例如分析一个网站的用户阅读量分布情况。
变异系数也就是标准差，用来描述一组数据变化的幅度，可用于评估指定网站的流量波动情况，对正常及异常活动的检测是必不可少的。
总结而言，我们描述离散趋势的常用统计量，可以用来衡量用户行为特征，从
而为流量分析提供重要参考依据，进而改善用户体验，实现业务竞争优势。
在统计学上的统计量
在统计学上的统计量
在统计学中，统计量是用来描述样本特征的量。
统计量可以帮助我们了解样本的中心趋势、离散程度以及分布形态等重要特征。
下面是几个常见的统计量：
1. 均值：均值是样本中所有观测值的总和除以样本大小。
均值是最常用的统计量之一，它可以帮助我们了解样本的中心趋势。
2. 中位数：中位数是样本中所有观测值按大小排列后的中间值。
中位数可以帮助我们了解样本的中心趋势，尤其是在样本存在异常值的情况下，中位数比均值更具代表性。
3. 众数：众数是样本中出现次数最多的观测值。
众数可以帮助我们了解样本的分布形态，尤其是在样本呈现明显的峰态或偏态时，众数比均值和中位数更具代表性。
4. 方差：方差是样本中所有观测值与均值之差的平方和除以样本大小。
方差可以帮助我们了解样本的离散程度，方差越大，样本的观测值越分散。
5. 标准差：标准差是方差的平方根。
标准差可以帮助我们了解样本的离散程度，标准差越大，样本的观测值越分散。
6. 偏度：偏度是用来描述样本分布形态的统计量。
偏度为正表示分布形态偏向右侧，为负表示分布形态偏向左侧，为零表示分布形态对称。
7. 峰度：峰度是用来描述样本分布形态的统计量。
峰度为正表示分布形态比正态分布更陡峭，为负表示分布形态比正态分布更平缓，为零表示分布形态与正态分布相同。
以上是统计学上常见的统计量，它们可以帮助我们了解样本的特征，从而做出更准确的推断和决策。
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统计学基本概念
13.3常用统计量
统计量
设想你参加了一次考试，在知道自己得到了78分后，希望了解自己的成绩在班级上处于什么水平。
你会怎样做？
你对自己未来工作收入的预期是什么？
定义：设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，若样本函数(),,,12n T T X X X = 中不含有任何未知参数，则称T 为统计量。
统计量的分布称为抽样分布。
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强国知十三数：境内仓口之数，壮男壮女之数，老弱之数，官士之数，以言说取食者之数，利民之数，马牛刍藁之数。
欲强国，不知国十三数，地虽利，民虽众，国愈弱至削。
国无怨民曰强国。
兴兵而伐，则武爵武任，必胜；按兵而农，粟爵粟任，则国富。
兵起而胜敌，按兵而国富者，王。
（秦·商鞅《商君书》）
商鞅（前390～前338年），卫国家，思想家，著名法
家代表人物。
应秦孝公求贤令入秦，说服秦孝公变法图强。
孝公死后，受到贵族诬害以及秦惠文王的猜忌，车裂而死。
其在秦执政二十余年，秦国大治，史称“商鞅变法”。
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统计量是对样本的一种加工。
常用的统计量有样本均值、样本方差等。
定义设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，则12n X X X X n +++= =1
1n i i X n =∑称为样本均值。
定理设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值，
（1）若总体()2,~σμN X ，则~,2X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝
⎭；证明：,,,12n X X X 相互独立，()2~,1,2,k X N k n
μσ= ()()()1212n n E X E X E X X X X n E n n n μμ++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
()()()22121222n n Var X Var X Var X X X X n Var n n n n σσ++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
（2）若总体分布不是正态分布，已知()μ=X E ，()2σ=X D ，则n 较大时，X 的渐近分布为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n N 2,σμ，常记为~,2X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 。
**********************************************************定义设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值，则
()22
111n i i S X X n ==--∑称为样本方差。
定理设总体X 具有二阶中心矩，()μ=X E ，()2Var X σ=<+∞，,,,12n X X X 为来自该总体的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()22E S σ=。
样本方差是总体方差的无偏估计，样本均值是总体期望的无偏估计。
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()22
111n i i S X X n ==--∑，则()22E S σ=证明：()E X μ=，
()2Var X n σ=，()()()()()2211
n n i i i i i E X X E X E X X E X
==⎡⎤-=---⎣⎦∑∑()()()()()()()()221
112n n n i i i i i i i E X E X E X E X E X E X X E X ===⎡⎤=-+--⋅-⋅-⎣⎦∑∑∑()()()()()1112n n n i i i i i i Var X Var X E X nE X X E X
===⎡⎤⎛⎫=+-⋅-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
∑∑∑()2n n Var X σ=+⋅()()()()
2E nX nE X X E X ⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦
()().221n n Var X n σσ=-⋅=-*********************************************************其他常用的统计量
设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本
样本k 阶原点矩1
1n k k i i a X n ==∑样本k 阶中心矩()1
1n k k i i b X X n ==-∑，其中,,,12n X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值。
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