全等三角形中辅助线的添加

全等三角形中辅助线的添加

一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。

二．知识要点：

1、添加辅助线的方法和语言表述

（1）作线段：连接……；

（2）作平行线：过点……作……∥……；

（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；

（4）作中线：取……中点……，连接……；

（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；

（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；

（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；

（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用

常用的辅助线的添加方法：

（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：

（1）

△ABC中AD是BC边中线

方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

F

E

D C

B

A

方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE

N

D

C

B

A

M

方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD

（2）

由△ABE

≌△

BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD

（3）角分线，分两边，对称全等要记全

角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）

（4）

①旋转：

方法：延长其中一个补角的线段（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ） 结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM

②翻折：

思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0

180且AB=AD ） （5）手拉手模型

①△ABE 和△ACF 均为等边三角形

结论：（1）△ABF ≌△AEC ；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分∠EOF 拓展：

条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）

②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE =CD （2）BE ⊥CD ③ABEF 和ACHD 均为正方形

结论：（1）、BD ⊥CF （2）、BD =CF

变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ， 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆=

方法一：

方法二：

方法三：

变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，M 为FD 的中点，求证：AN ⊥BC

④当以AB 、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=

n

360180

.

P

F

E

D

I

H

G B

A

2

1

P G F

E

D

K

J

I

H

A

B

四、典型例题：

E

D F C

B

A

D C B

A

考点一：倍长中线（或类中线）法：

核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

练习：

1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

E

D C

B

A

3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．