罚函数法和广义lagrange乘子法
关于接触问题中的拉格朗日乘子法和罚函数法
而拉格朗日乘子法由于引入了一个新的乘子，方程的阶数增加了，同时刚度矩阵也不再是对称正定阵，求出相应的乘子，那么该约束方程是被精确满足的，但是采用的是罚函数法。
可能说的不太清楚，简单的讲：两个都是引入附加约束的方法，罚函数法似乎更好一些
诚如楼上所言，区别就在于在系统的泛函变分式子中引入约束方程的方式不同而造成的，罚函数法的方式引入没有改变系统方程的阶数，同时也没有破坏刚度矩阵的对称正定性质，易于求解，但是约束方程并非能够精确得到满足，是一种近似方法。
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
第十二章 增广目标函数法
驻点为 : x (1) ( ), 并且
时, x (1) ( ) (1, 1) T x *
情形 ：c . 驻点为 : x ( ) ( ), 并且
图解如下
时, x ( ) ( ) (c, 2 c)T x*
x2
x2
x c
●
x c
由例12.1.1及例12.1.2看出, 无约束问题 min F ( x )的极小 点 x( ) D, 而当增大时, x( )逐渐靠近可行域D, 特别 当x( ) D时就是所求的原问题的最优解.
在实际算法中, 把取为一个趋于正无穷大的数列{ k }, 对k 0, 1, 2, , 求解一系列的无约束问题 : min Fk ( x )
( ) 由 于Fk - ( xk - ) Fk ( xk ), 变形得 f ( xk - ) f ( xk ) 因此, (2) 成立.
1 (3) Fk -1 ( xk -1 ) Fk 1 ( xk ) f ( xk ) k -1 S ( xk ) 2 1 f ( xk ) k S ( xk ) Fk ( xk ) 2 因此, (3)成立.
x*
min
f ( x ) x x
x (1, 1)
*
T
s.t. x x 1 2 2 解:该问题的L2罚函数为 : F (x) x1 x2 (x1 x2 -2) 2 2 F (x) 2 2 x ( x x -2) 0 1 1 2 x 2 1 1 令 x( ) 2 F (x) 2 x (x x -2) 0 2 1 2 1 2 x 2 当 , min F (x)的极小点 x( ) (1, 1)T x*
接触问题的有限元分析
增广Lagrange 乘子法：最直接的一种方法是构造修 正的势能泛函：
U U p U c U
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法 2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
U U p U c U
相应的控制方程为：
K Kp
G
GT 0
U
λ
F Fp
U
1 2
λT
E
p
1
λ
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
U
1 2
λT
E p
1
λ
min
U,
λ
1 2
UT
K
U
UT
F
g
U
T
λ
1 2
λT
Ep
λ
U
1 2
λT
Ep
1
λ
解收敛于
min U, λ 1 UT K UUT F g U T λ 解
惩罚函数法对接触约束条件的处理是通过在势能泛函中
增加一个惩罚势能。
p
U
1 2
P T
EP
P
惩罚因子
嵌入深度，是节点位移的函数
接触问题就等价于无约束优化问题:
min U U p U
K K U FF
p
p
6.1 接触边界的有限元算法
（2）接触约束算法
1）罚函数方法
K K U FF
p
接触问题基本类型：刚体─柔体接触，柔体─柔体接 触。
在刚体─柔体的接触中，接触面的一个或多个被当作 刚体(与它接触的变形体相比，有大得多的刚度)，一般情 况下，一种软材料和一种硬材料接触时，问题可以被假定 为刚体─柔体的接触，许多金属成形问题归为此类接触；
罚函数法
No γk+1 = β γk
闸函数法： （续）
求初始内点： 1 x (1) , k 1, 转2 ； 2 令I k {i | g i ( x ( k ) ) 0}
(k ) 若 I , 则 x 为初始内点。 k 转 3 ； (k ) (k ) 否则，取j使g j ( x ) max{ g i ( x ) | i I k }
2 x
0
0
g ( x , ) 2 最优值(原问题)
3.闸函数法： （续）
定义 ( ) inf{ f ( x) B( x) | x S 0 } 有类似于罚函数法的理论结果： 定理： ( fg ), f , g连续，S 0 Φ , 最优解x S 0 则 1 min{ f ( x) | x S} inf{ ( ) | 0} lim ( )
(t ), (t )的典型取法： (t ) [max {0, t}] p (t ) | t | p
p为正整数。
当p 2时，称2次罚函数.(常用：因2次是最低次的光滑函数)
1.罚函数概念 （续）
Ex. min x s.t. x 2 0
2
( x 2) 2 , x 2 二次罚函数 : ( x) [max{ 0, x 2}] 0, x 2 如图 当 时, min 解析解 : 辅助函数 x ( x 2) 2 x 2 (4 1) x 4 , g ( x, ) f ( x) ( x) x ,x 2 4 1 当x 2时, g ( x, )的驻点x 2 2 故x 2 opt. 当x 2时, g ( x, )的最小值点~ x 2 x2 f ( x) ( x) f ( x ) x 2
增广拉格朗日乘子法及其在约束优化问题的应用
毕业论文题目增广拉格朗日乘数法及在其在约束优化问题的应用学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1001班学生高亚茹学号 20100921032 指导教师邢顺来二〇一四年五月二十五日摘要增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。
本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。
然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。
关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原ABSTRACTAugmented lagrange multiplier methods as an important method for solving constrained optimization problems, recent studies in applications of augmented lagrange multiplier methods is even more important. This paper describes the generation of primary augmented lagrange multiplier method. By interpreting the augmented lagrangian multiplier methods is the combination of penalty function methods and Lagrange multiplier methods, It is given to a recent development of augmented lagrangian methods. Then is shown the basic theories of augmented lagrangian multiplier methods. Finally it is specified the augmented lagrangian method on the practical applications of scientific fields, such as water supply ystems and image restorations, also proved augmented lagrangian multiplier methods of practical application.Key words：Augmented Lagrange Multiplier Methods；Penalty Function Methods Water Supply Systems ；Image Restorations目录摘要.................................................................................... .I ABSTRACT. (II)1前言 (1)1.1增广拉格朗日函数法的产生与应用 (1)1.2研究增广拉格朗日函数法应用的意义 (1)2增广拉格朗日乘子法 (3)2.1约束非线性规划 (3)2.2罚函数外点法 (4)2.3拉格朗日乘子法....................................... (6)2.4增广拉格朗日乘子法.............................. (7)2.4增广拉格朗日乘子法的计算........................... ................................. 10 3 增广拉格朗日乘子法的应用................................................. ...... (12)3.1供水系统调度的增广拉格朗日函数优化方法.......................... . (12)3.2图像复原的增广拉格朗日函数优化方法 (14)结论........................................................................................... .. (17)参考文献 (18)致谢 (19)1前言1.1 增广拉格朗日函数法的产生与应用在求解有约束条件的优化题目时，有一个重要方法，便是用适合的方法把约束优化问题，转变成无约束优化问题来进行求解。
Lagrange 乘子法
由于圆盘作纯滚动，这个体系只有一个自由度，因此我们可以选择 x 或者θ 作为广义坐标，并利用约束方程将另一个变量消去。但是，我们也可以把 x 和θ 都当作广义坐标，而利用 Lagrange 乘子法求解这个问题。此时 Lagrange 方程为
0=
∂L d ∂L ∂f + λ − +λ = mg sin α − mx ∂x dt ∂x ∂x ∂L d ∂L ∂f 1 − λ R 0= − +λ = 0 − mR 2θ ∂θ dt ∂θ ∂θ 2
第 2 页，共 9 页
m ∂L d ∂L − + ∑ λ A = 0 ( v = 1, 2,", m ) k v=1 v vk ∂qk dt ∂q 即方程(7)积分中对应于前面 m 个不独立坐标变分的系数为零。
(8)
这样选取 λv 之后，方程(7)剩下的积分就是
∫
t2
t1
⎛ ∂L d ∂L m ⎞ − + ∑ λv Avk ⎟ δ qk = 0 dt ∑ ⎜ k v=1 dt ∂q k = m+1 ⎝ ∂qk ⎠
, t ) dt = 0 δ S = δ ∫ L ( q, q
t1
t2
(2)
我们假定它对于非完整约束也是正确的。因此，完全类似于以前的推导，我们有
∫
t2
t1
⎡⎛ ∂L d ∂L ⎞ ⎤ q − δ ⎢⎜ ⎟ k ⎥ dt = 0 q dt q ∂ ∂ k ⎠ ⎣⎝ k ⎦
(3)
这里 qi 不是独立的，从而变分（或者虚位移）δ qk 也不能任意取值，所以我
(13)
上一节我们已经知道第一项等于
第 3 页，共 9 页
∂L d ∂L − k ∂qk dt ∂q
罚函数法
i =1 i =1 j =1
m+ p
m
p
α
p ⎡m α⎤ F ( x , M ) = f ( x ) + M ⎢ ∑ max{0, gi ( x )}α + ∑ h j ( x ) ⎥ j =1 ⎣ i =1 ⎦
(2.1)
或 p( x ) = c ( x )
∞
= max ci ( x ) = max{max{0, gi ( x )}, i = 1," , m, h j ( x ) , j = 1," , p} ，则
k k k k
(2.2)
F ( xk , M k ) → F * ， f ( xk ) → f *
则 M k p ( x ) = F ( x , M k ) − f ( x ) → F − f ，再由 M k → +∞ 得
k k k
*
*
p( x k ) → 0
k k k k
(2.3)
故当 k 充分大时 x ∈ Sδ 。由 Sδ 为紧集，因此{ x }存在收敛子列 { x }k∈J ，设 x → x ( k ∈ J ) 。由已知 条件知 f ( x ) 和 p ( x ) 是连续函数，由(2.3)得 p ( x ) = 0 ，故 x ∈ S ，再由(2.2)得
*
K
知， {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 是单调增序列，并且
k
k
f ( x* ) = F ( x* , M k ) ≥ F ( x k , M k ) ≥ f ( x k )
即 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 有上界，故 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 收敛，设
Lagrange 乘数法
Lagrange 乘数法Lagrange Multiplier MethodLagrange（拉格朗日，1736～1813）18世纪最伟大的数学家之二，另一位是长他29岁的 Euler（尤拉，1707～1783）。
Euler 赏识 Lagrange，在1766年和 d'Alembert 一起推荐 Lagrange 为（柏林科学院）Euler 的继承人。
在他一生浩瀚的工作中，最为所有数学家熟知的发明就是 Lagrange multiplier（拉格朗日乘数）或Lagrange multiplier method，这是一个求极值的方法。
比方在两个变量的时候，我们要找f(x,y) 的极值，一个必要的条件是：但是如果x,y的范围一开始就被另一个函数g(x,y)=0 所限制，Lagrange 提出以对x和y的偏导数为 0，来代替作为在g(x,y)=0 上面寻找f(x,y) 极值的条件。
式中引入的λ是一个待定的数，称为乘数，因为是乘在g的前面而得名。
首先我们注意，要解的是x,y和λ三个变数，而虽然有三个方程式，原则上是可以解得出来的。
以f(x,y)=x，g(x,y)=x2+y2-1 为例，当x,y被限制在x2+y2-1=0 上活动时，对下面三个方程式求解答案有两组，分别是x=1，y=0，和x=-1，y=0，。
对应的是x2+y2-1=0 这个圆的左、右两个端点。
它们的x坐标分别是 1和 -1，一个是最大可能，另一个是最小可能。
读者可能认为为何不把x2+y2-1=0 这个限制改写为、来代入得到，然后令对θ的微分等于 0 来求解呢？对以上的这个例子而言，当然是可以的，但是如果g(x,y) 是相当一般的形式，而无法以x,y的参数式代入满足，或是再更多变量加上更多限制的时候，旧的代参数式方法通常是失效的注1。
这个方法的意义为何？原来在g(x,y)=0 的时候，不妨把y想成是x的隐函数，而有g(x,y(x))=0，并且f(x,y) 也变成了f(x,y(x))。
广义乘子法
min f (x); s.t. h j (x) = 0, i = 1, 2,L , l ,
的近似最优解；否则， Step4。 的近似最优解；否则，转Step4。
转化求解法（ ）：增广乘子法 转化求解法（二）：增广乘子法
h( x k ) ≥ω 判断收敛快慢。 Step4 判断收敛快慢。若 h(x k −1 )
4.6 广义乘子法
增广乘子法
基本是想
把罚函数与Lagrange函数结合起来，构造出更合适的新目标函数， 函数结合起来，构造出更合适的新目标函数， 把罚函数与 函数结合起来 使得在罚因子适当大的情况下，借助于Lagrange乘子就能逐步达 使得在罚因子适当大的情况下，借助于 乘子就能逐步达 到原约束问题的最优解。 到原约束问题的最优解。 由于这种方法要借助于Lagrange乘子的迭代进行求解 乘子的迭代进行求解 由于这种方法要借助于 而又区别于经典的Lagrange乘子法，故称为广义乘子法。 而又区别于经典的Lagrange乘子法，故称为广义乘子法。 乘子法
∇ x L(x, σ k , v k ) = ∇f (x) + ∑ v (jk ) − σ k h j (x) ∇h j (x)
最优解为
xk
时
l
∇ x L(x, σ k , v k ) = ∇f (x k ) + ∑ v (jk ) − σ k h j (x k ) ∇h j (x k ) = 0
j =1 2 j j =1
l
l
（1） ）
( ( 次迭代中采用的Lagrange乘子 其中 v k = (v1 k ) , v2k ) ,L , vl( k ) )T 是第 k 次迭代中采用的 乘子
（1） ）
最优化方法第四章(1)
以下几个概念是讨论的基础。
v
v
某 称个为不是定等关义式 于4.1约容对束许于有点约sxv%i束(的xv%问)起题作0（，用4则约.7该）束不，；v等设否式则x%约，束D若。ssi若i((xv%xv%x)%)使0得0，
则该不等式约束称为是关于容许点 x%的不起作用约束。
例如，
不等式约束关于容许集的任意内点都是不起作用约束。
) 时，对于所有的 。根据定义4.3，即
i
，
记
G(
v G(x%)
{ pv
v
v
x%) C(x%)
si
。
(
v x%)T
pv 0,
i I} ，则依引理4.3可知，
v
是方s两i (不 向部xv)起向分由作量，这0用。，梯个约 换变度引束 句成理， 话起看si则 说作(到xv%)，用一pv总约约个是束束事s指曲，实i (向面x且v%，)包若s就i含(sxv是ix%()容仅xv%点)许使0集x把v%0v某的整个，的那个约而一一空束其个侧间，它容。分例约许成如束
由点 xv 的所有下降方向向量构成的集合称为点 xv 的
下降方向锥。 定理4.4 设
f
: Rn
R1 在点
xv 处可微，则点
xv 的
下降方向向量 pv 必满足
f (xv)T pv 0
记 既是点
xvS(
xv) {pv f (xv)T pv 0}
的下降方向锥。显然
，则定理4.4表明， S ( xv)
在第2章和第1章中，已经分别讨论过线性规划问题和 无约束问题的最优性条件。定理2.9是线性规划问题的最 优性充分条件。定理1.15、定理1.17和定理1.18以及推论 1.16分别是无约束问题的最优性必要条件、充分条件以及 充分且必要条件。本节主要讨论一般约束问题的最优性条 件。我们将先从仅含等式约束或不等式约束的问题入手， 然后自然过渡到一般约束问题。
有限元接触算法综述
2
1 T T (13) U [ K ]U U F 2 根据最小位能原理，对满足位移边界条件的位移，当位能 p 最小时，变形
p
体处于平衡状态且满足应力边界条件，即： p 0 Lagrange 乘子法将泛函写为：
(14)
T
L p gn
([C ] [C ']) P [CF ']F ' n0
上式实际上是假设接触点处于粘结状态时得到的。 若处于滑动、 分离等状态， 则其求解方程随之发生变化。例如，处于滑动状态时，该接触结点的法向、切向 作用力应满足式(6)，应对式(10)做出相应的改变。 柔度矩阵 [C] 及 [C '] 的阶数通常比刚度矩阵 [ K ] 低得多， 因此计算工作量可大 大减少。但构造柔度矩阵远比刚度矩阵烦琐，而且对每个接触体来说，只有在具 有外界约束而保证其不产生刚性位移时，才能求得其相应的柔度矩阵，否则还需 另外添加约束来消除刚性位移[4]。 2. Lagrange 乘子法 Lagrange 乘子法原本用于消除带约束极值问题的约束条件，对于接触问题， 所要消除的约束就是接触边界上的力和位移应满足的条件式。为简便起见，本文 以光滑接触为例，此时应满足的约束条件为： g n U n U n ' n0 0 0 (11) (U n U n ' n ) Pn 0 P 0 n 式中，U n 、U n ' 、 n0 分别为物体 和 ' 的接触边界上，任一接触点对的法 向位移及其初始间距， Pn 为其法向作用力（切向力为零） 。其中，第一式表示接 触体不相互侵入，第二式、第三式表示法向作用力只能为压力（接触时）或者零 （分离时） 。 最常见的有限元计算公式如下： [ K ]U F (12) 从理论上讲，上式可以由能量泛函经变分而得到。例如，一个变形体的位能 泛函 p 可以表示为：
1 Zoutendijk可行方向法
这种全作用约束方向法是Topkis和Veinott (1967)提出并保证 收敛于Fritz-John点．
基本原理
Zoutendijk可行方向法
Zoutendijk法的改进– Topkis-Veinott 可行方向法 基本原理
Zoutendijk可行方向法
Zoutendijk法的改进– ε 起作用约束可行方向法 定义
εk 起作用约束指标集.
Zoutendijk法的改进 ε起作用约束可行方向算法步骤
Step1 Step2 Step3
Step4 Step5 Step6
Zoutendijk可行方向法
Zoutendijk法的改进– Topkis-Veinott 可行方向法 简介
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形
考虑线性约束问题
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 基本原理
(1) 利用起作用约束构造可行下降方向
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
线性 规划 问题
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
(2) 确定一维搜索步长
非线性约束情形 算法步骤
Step1
Step2
束
Step3
Step4 Step5
Zoutendijk可行方向法
非线性约束情形 算法特点
计算实践和理论分析表明，该算法可能失效或出现锯齿现象， 使算法收敛很慢甚至不收敛到最优点或K—T点．
Zoutendijk法的改进 问题的提出
ANSYS接触问题
接触问题（参考ANSYS的中文帮助文件）当两个分离的表面互相碰触并共切时，就称它们牌接触状态。
在一般的物理意义中，牌接触状态的表面有下列特点：1、不互相渗透；2、能够互相传递法向压力和切向摩擦力；3、通常不传递法向拉力。
接触分类：刚性体－柔性体、柔性体－柔性体实际接触体相互不穿透，因此，程序必须在这两个面间建立一种关系，防止它们在有限元分析中相互穿过。
――罚函数法。
接触刚度――lagrange乘子法，增加一个附加自由度（接触压力），来满足不穿透条件――将罚函数法和lagrange乘子法结合起来，称之为增广lagrange法。
三种接触单元：节点对节点、节点对面、面对面。
接触单元的实常数和单元选项设置：FKN：法向接触刚度。
这个值应该足够大，使接触穿透量小；同时也应该足够小，使问题没有病态矩阵。
FKN值通常在0.1~10之间，对于体积变形问题，用值1.0（默认），对弯曲问题，用值0.1。
FTOLN：最大穿透容差。
穿透超过此值将尝试新的迭代。
这是一个与接触单元下面的实体单元深度（h）相乘的比例系数，缺省为0.1。
此值太小，会引起收敛困难。
ICONT：初始接触调整带。
它能用于围绕目标面给出一个“调整带”，调整带内任何接触点都被移到目标面上；如果不给出ICONT值，ANSYS根据模型的大小提供一个较小的默认值（＜0.03＝PINB：指定近区域接触范围（球形区）。
当目标单元进入pinball区时，认为它处于近区域接触，pinball区是围绕接触单元接触检测点的圆（二维）或球（三维）。
可以用实常数PINB调整球形区（此方法用于初始穿透大的问题是必要的）PMIN和PMAX：初始容许穿透容差。
这两个参数指定初始穿透范围，ANSYS 把整个目标面（连同变形体）移到到由PMIN和PMAX指定的穿透范围内，而使其成为闭合接触的初始状态。
初始调整是一个迭代过程，ANSYS最多使用20个迭代步把目标面调整到PMIN和PMAX范围内，如果无法完成，给出警告，可能需要修改几何模型。
罚方法和拉格朗日乘子法
罚方法和拉格朗日乘子法
罚方法和拉格朗日乘子法是优化问题中常用的两种方法。
罚方法通过在目标函数中加入一个罚项来避免约束条件的违反，使得原问题转化为一个无约束问题。
而拉格朗日乘子法则通过构造拉格朗日函数，在其中引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为一个等式，从而将原问题转化为一个无约束问题。
两种方法各有优缺点，应根据具体情况选择使用。
在实际应用中，罚方法更加灵活，但可能会导致问题的精度下降；而拉格朗日乘子法则更加稳定，但需要求解约束条件的函数导数，计算量较大。
- 1 -。
罚函数法
解得
x
2 5
，
y
3 5
，
2 5
。
则求得
f
2 5
,
3 5
1 5
min
△关于拉格朗日乘子法的讨论
min f 2x2 y2 2xy
s.t. x y 1
min f 2x2 y2 3xy
s.t. x y 1
若将上例中的 2xy 改为 3xy ，则 4x 3y 0 ， 2 y 3x 0 ， x y 1 0 无法解出。
罚函数有 P(x) hi (x) i T hi (x) i hi (x) i 2 ，为消去 ，从此式中可以看出，
P(x)
0,
hi2 ,
(i hi )
(i 0)
min0, hi2
========================================================================
△例题 2
min f (x, y) x2 y2
求
s.t. y 1 0
解 定义罚函数为： F (x, y, ) x2 y2 ( y 1)2 。求它的极值。由 F (x, y, ) 0 得
2x
F
2
y
2 (y
(y 1)2
1)
也就是说，若边界上（ g 0 ）的点 x 为 F 的极值点，则它必为原目标函数 f 有极值点。
由于 x( ) 往往不满足原问题的可行条件，即它并不是原问题的解，当 充分大时它才趋于 可行解；它表明该序列从可行域的外部慢慢收敛于可行域内部的解，因此该方法又称为外点法。
Ansys静力学接触分析判断标准
Ansys静力学接触分析判断标准
当两个分离的表面互相碰触并共切时，就称它们牌接触状态。
在一般的物理意义中，牌接触状态的表面有下列特点:
1、不互相渗透;
2、能够互相传递法向压力和切向摩擦力;
3、通常不传递法向拉力。
接触分类:刚性体一柔性体、柔性体一柔性体实际接触体相互不穿透，因此，程序必须在这两个面间建立-一种关系，防止它们在有限元分析中相互穿过。
---罚函数法。
接触刚度
--- lagrange乘子法，增加-一个附加自由度(接触压力)，来满足不穿透条件
---将罚函数法和lagrange乘子法结合起来，称之为增广lagrange法。
三种接触单元:节点对节点、节点对面、面对面。
接触单元的实常数和单元选项设置:FKN:法向接触刚度。
这个值应该足够大，使接触穿透量小;同时也应该足够小，使问题没有病态矩阵。
FKN值通常在0.1-10之间，对于体积变形问题，用值 1.0(默认)，对弯曲问题，用值0.1。
拉格朗日乘子法符号
拉格朗日乘子法符号一、拉格朗日乘子法的概念与起源拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers）是一种数学优化方法，起源于19世纪法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的研究。
该方法主要用于解决带约束条件的优化问题，广泛应用于工程、经济学、计算机科学等领域。
二、拉格朗日乘子法在优化问题中的应用拉格朗日乘子法的基本思路是：对于一个带约束条件的优化问题，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为无约束条件的优化问题，进而求解原问题。
设目标函数f(x)，约束条件g(x)满足，求解问题：minimize f(x)subject to g(x)引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x, λ)：L(x, λ) = f(x) + λg(x)求解拉格朗日函数的极小值，即可得到原问题的解。
三、拉格朗日乘子法的符号表示1.目标函数：f(x)2.约束函数：g(x)3.拉格朗日乘子：λ4.拉格朗日函数：L(x, λ)5.优化变量：x四、拉格朗日乘子法的优势与局限优势：1.可以处理带约束条件的优化问题；2.适用于多种领域的优化问题；3.求解过程较为简单。
局限：1.对约束条件有一定的要求，不适用于所有约束类型；2.当约束条件较多时，计算复杂度较高。
五、实际问题中的应用案例1.工程领域：在结构优化、电路设计等方面，通过拉格朗日乘子法求解带约束条件的优化问题；2.经济学领域：在微观经济学中，利用拉格朗日乘子法求解企业或个人的最优决策；3.计算机科学领域：在机器学习和数据挖掘中，利用拉格朗日乘子法解决特征选择和权重调整问题。
综上，拉格朗日乘子法作为一种数学优化方法，具有广泛的应用价值。
罚函数之乘子法
罚函数之乘⼦法外罚函数主要⽤于对于等式约束问题的求解，内点法主要是对于不等式问题的求解，⼀般问题中包含等式约束以及不等式约束，故需要使⽤乘⼦法解决问题。
1、乘⼦法概述（1）等式约束乘⼦法描述：min f(x)s.t. g i(x) =0⼴义乘⼦法是拉格朗⽇乘⼦法与罚函数法的结合，构造增⼴函数：φ (x,λ,σ)=f(x)+λT g(x)+1/2σg T(x)g(x)在罚函数的基础上增加了乘⼦项，⾸先在σ⾜够⼤的基础上，获得ϕ的极⼩值，然后在调整λ获得原问题的最优解。
（2）包含等式约束以及不等式约束问题描述：min f(x)s.t. h i(x) =0,i=1,...,lg i(x)≥0,i=1,...m其基本思想是：先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束，然后利⽤最优性条件消去辅助变量，主要是通过构造增⼴拉格朗⽇函数，进⾏外迭代与内迭代综合，带⼊乘⼦迭代公式，进⽽得出得出，故针对上述⼀般问题构造拉格朗⽇函数为：4、其代码实现为function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)%功能：⽤乘⼦法解⼀般约束问题：min f(x),s.t. h(x)=0.g(x)>=0%输⼊：x0是初始点，fun，dfun分别是⽬标函数及其梯度；%hf，dhf分别是等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%gf，dgf分别是不等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%输出：x是近似最优点，mu，lambda分别是相应于等式约束和不等式% 等式约束的乘⼦向量；output是结构变量，输出近似极⼩值f，迭代次数，内迭代次数等%%%%%%c初始化相关参数%%%%%%%%%%%maxk=500; %最⼤迭代次数sigma=2.0; %罚因⼦eta=2.0; theta=0.8; %PHR算法中的实参数k=0; ink=0; %k,ink分别是外迭代和内迭代次数epsilon=1e-5;%终⽌误差值x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%he=feval(hf,x)=hf(x)n=length(x);l=length(he);m=length(gi);%选取乘⼦向量的初始值mu=0.1*ones(1,1);lambda=0.1*ones(m,1);%ones为⽣成m*n的全1矩阵btak=10; btaold=10; %⽤来检验终⽌条件的两个值while (btak>epsilon & k<maxk)%%%%%%c先求解⽆约束问题%%%%%%%%%%%%调⽤BFGS算法程序求解⽆约束⼦问题[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);%%其中x为最优点，val为最优值，ik为迭代次数 ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%%%%%%%%%%计算btak%%%%%%%%%%%btak=0.0;for(i=1:l),btak=btak+he(i)^2; endfor(i=1:m)temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilon%%%%%%%%%%%更新罚参数%%%%%%%%%%%if(k>=2 & btak>theta*btaold)sigma=eta*sigma;end%%%%%%%%%%%更新乘⼦向量%%%%%%%%%%%%for(i=1:l),mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor(i=1:m)%lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-gi(i));endend%%%%%%%%%%%迭代%%%%%%%%%%%%k=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);output.fval=f;output.iter=k;output.inner_iter=ink;output.bta=btak;BFGS算法部分：function [x,val,k]=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：⽤BFGS算法求解⽆约束问题：minf（x）%输⼊：x0是初始点，fun，gfun分别是⽬标函数及其梯度%varargin是输⼊的可变参数变量，简单调⽤bfgs时可以忽略，其他程序调⽤则尤为重要%输出：x为最优点，val为最优值，k时迭代次数maxk=500;%给出最⼤迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);%Bk=feval('Hess',x0)while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0,varargin{:});%计算梯度if(norm(gk)<epsilon),break;end%检验终⽌准则dk=-Bk\gk;%解⽅程组，计算搜索⽅向m=0;mk=0;while(m<20)%搜索求步长newf=feval(fun,x0+rho^m*dk,varargin{:});oldf=feval(fun,x0,varargin{:});if(newf<oldf+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break;endm=m+1;end%bfgs校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(gfun,x,varargin{:})-gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-(Bk*sk*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin{:});主函数部分为：%⽬标函数⽂件function f=f1(x)f=(x(1)-2.0)^2+(x(2)-1.0)^2;%等式约束条件function he=h1(x)he=x(1)-2.0*x(2)+1.0;%不等式约束条件function gi=g1(x)gi=-0.25*x(1)^2-x(2)^2+1;%⽬标函数的梯度⽂件function g=df1(x)g=[2.0*(x(1)-2.0),2.0*(x(2)-1.0)]';%等式函数的Jacobi（转置）矩阵⽂件function dhe=dh1(x)dhe=[1.0,-2.0]';%不等式约束函数的Jacobi矩阵（转置矩阵）function dgi=dg1(x)dgi=[-0.5*x(1),-2.0*x(2)]';命令⾏指令为：x0=[3,3]'[x,mu,lambda,output]=multphr('f1','h1','g1','df1','dh1','dg1',x0)输出结果如下：。
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中间结果不是可行点。
惩罚函数法
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内罚函数法（障碍函数法） 广义Lagrange乘子法
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内罚函数法的出发点
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内罚函数法 内罚函数法的收敛性定理
s = 10
条件数=61
s = 10000
条件数=60000
外罚函数法
Questions
外罚函数法为什么罚因子要取得足够大？
外罚函数法
外罚函数法
外罚函数法的优点： 对初始点要求低。 把问题转化为一系列无约束优化问题，结 构简单，可以利用求解无约束优化问题的 算法。
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不等式约束下的广义Lagrange乘子法
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等式和不等式约束下的广义Lagrange乘子法
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外罚函数法
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1 无约束问题的极小值点是原问题的极小值点吗？ 2 有两个罚因子，若较小的罚因子对应的无约束问 题的极小值点是原问题的极小值点，较大罚因子 对应的无约束问题的极小值点也是原问题的极小 值点吗
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外罚函数法
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s = 1 条件数7.3453
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内罚函数法（障碍函数法） 广义Lagrange乘子法
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