单自由度系统固有频率和阻尼比的测定

单自由度系统固有频率和阻尼比的测定实验

一、实验内容

1、学习分析系统自由衰减振动的波形；

2、验证固有频率的存在；

3、由衰减振动波形确定系统固有频率和阻尼比；

二、实验设备

振动与控制实验设备、位移传感器、测振仪、计算机与分析软件

三、实验原理

振动与控制实验设备如右上方图所示，单自由度系统的力学模型如右下方图所示。当给质量M 一定初始扰动时，系统作自由衰减振动，其运动微分方程为：

020222

22=++=++x dt

dx

n dt x d Kx dt

dx

C dt x d M ω和 或

022

22=++x dt

dx dt x d ωξω （1）

式中，为阻尼比。为阻尼系数，为系统固有频率，ωξω/2//n M C n M K ===

)

3(1-2)sin(,1对于小阻尼情形2

2211001ξωωωωϕϕωξ-==---+=<-n A t Ae x m 并且有：

衰减振动圆频率。

初相位，

系统初始振幅，

式中）

（其方程有解如下：

设t=0 时，系统的位置和速度分别为x 0和v 0 , 则

)

5()(tan )

4()(2

002

202

22

002

0nx v n x n nx v x A +-=

-++

=ωϕω

其衰减振动有如下特点：

1、振动周期 大于无阻尼时的自由振动周期，即T 1>T 2

)

7(111)

6(112222

102

2

2

21

1ξξ

ξ

ωπ

ωπ

ωπ-=

=

-=

-=

-=

=

T T f T n

T 系统固有频率为：

2、振幅按指数函数衰减，设相邻两次振动的振幅分别为A i 和A i+1，则减幅系数为：

ω

ξπωδηδηηηδηn T n M n C T

n nT e A A j nT e A A nT i i

j nT i i

=+==

=

====

====

++,)2(,2,j 11j ln 10,)9(ln )8(212j

1

j j j j

j 11

1

1

则：

）

（）（则

振幅之比设为个周期的两次振动，其另外，相隔对数减幅系数

四、实验步骤

1. 试验1：采用1个质量块，施加较小的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。

2. 试验2：采用1个质量块，施加较大的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。

3. 设定周期数j ，此试验取30，读出j 个波形所经历的时间t ，记录其波形的幅

值。 4. 计算系统阻尼比ξ和固定频率0f

五、数据处理与实验结果分析

表5-1 原始数据记录

试验1 试验2

X1 10.36 X1 29.60

Y11 16.75 Y11 23.11

X2 14.14 X2 33.40

Y21 10.48 Y21 18.04

dX 3.78 dX 3.80

dY1 -6.27 dY1 -5.09

试验1（单个质量块，力F 较小）： 由试验所测数据计算得到的周期为：

Hz T

f s T 936.71

,126.030/78.30==

==

则振幅之比设为,j η

60.148

.1075.16j j ===

+i i A A η 47.0)60.1ln(ln j j ===ηδ

s

jn T T

n j 126.0124

.03047

.0,124.0126.03047.0j 1j =⨯===⨯=

=

δδ则有86.49)126.02(124.0)2(

2

2212=+=+=ππωT n 310487.286

.49124

.0-⨯==

=

ω

ξn 试验2（单个质量块，力F 较大）： 由试验所测数据计算得到的周期为：

Hz T

f s T 936.71

,126.030/80.30==

==

则振幅之比设为,j η 28.104

.1811.23j j ===

+i i A A η 25.0)28.1ln(ln j j ===ηδ

s

jn T T

n j 126.0074

.03028

.0,074.0126.03028.0j 1j =⨯===⨯=

=

δδ则有86.49)126.02(074.0)2(

2

2212=+=+=ππωT n 310484.186

.49074

.0-⨯==

=

ω

ξn

由以上数据处理结果可以得到，试验1和试验2在不同大小的作用力下，悬

臂梁的固有频率一致，均为7.69Hz 。 试验3（两个质量块）：

由试验所测数据计算得到的周期为：

Hz T

f s T 614.71

,131.030/94.30==

== 则振幅之比设为,j η 48.176

.2124.32j j ===

+i i A A η 39.0)48.1ln(ln j j ===ηδ

s

jn T T n j 131.0099

.03039

.0,099.0131.03039.0j 1j

=⨯===⨯==δδ则有96.47)131

.02(099.0)2(

2

2212=+=+=ππωT n 31006.296

.47099

.0-⨯==

=

ω

ξn 六、试验思考

1、试验过程较为简单，只是通过给悬臂杆一个外力后让其振动，测量到它的振动波形图就行了。

2、关于所测得的频率是否就是结构的固有频率，怎么证明固有频率的存在性，试验通过施加不同的力，但是测量计算得到的频率保持不变，说明了固有频率的存在性。

3、根据公式，固有频率与结构的刚度和质量有关，通过改变质量块的数量，模拟质量的改变，结果表明频率发生了改变。