《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(5)驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把 这种波称为驻波，反之称为行波。 驻波 (6)因 cos kz 20 10 2 的取值可正可负，所以在每一波 节两边的点，其振动是反相的 驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以 动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。
E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中：
（2.2.1 ）
E0 E10 exp i10 E20 exp i 20
E0 exp i0
2 2 上式中：| E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos(20 10 )]
1 2
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos 10 E20 cos 20
二、反向传播的平面波的叠加——驻波及其实验
E10 cos 10 E20 cos 20 i E10 sin 10 E20 sin 20
E0 exp i0
(2.2.2)
1 2
上式中：
2 2 | E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos( 20 10 )]
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所
引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）
成立条件
1)、传播介质为线性介质； 2)、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为 非线性介质；
线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理 的媒质 非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播 原理的媒质
而且有：
对于叠加区域，如图所示选取坐标系Oxyz，y 轴方向垂直于 纸面向外。假设振动方向沿着y方向，分量波的波矢 k1 和 k2 均平行于xz平面，注意，这时所有的函数都与 y 坐标无关。 设两个分量波的频率都为ω，振幅分别为E10和E20，初始位相 为 10 和 20 ，波矢分别为k1和k2，则它们的波函数可以表示成 如下： x


合成波各点都按照圆频率ω做简谐振动，但是此合成波有 其固有的特点
E ( z , t ) 2 E0 cos kz 20 10 2 exp i t 20 10 2


表示： (1) 对某一Z点，E随时间以频率ω作简谐振动，某一时刻， 振幅随Z不同而变（振幅不是常数）; (2) 称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它 们不随时间而变 ; 波腹位置：kz 20 10 2 m (m为整数) 波节位置： 20 10 2 m 1 2 (m为整数) kz (3) 相邻波腹（或波节）之间距为λ/2，相邻波腹与波节间距 为λ/4; (4) 合成波的位相因子与空间坐标位置z无关。
前言
§1波的独立传播和叠加原理
§2两束同频振动方向平行的标量波的叠加
§3两束同频振动方向垂直的标量波的叠加
§4 不同频率的两个平面单色波的叠加 §5光波的分析
前 言
几束简单 的光波 叠加 分解 复杂的 光波
首先讲述作为矢量波的光波，在某些情况下可看作标 量波；光波在空间传播时在一些特定条件下满足独立 传播原理 进而介绍关于光的叠加原理。在此基础上，作为特殊 情况，讲解两束光波在不同情况下的叠加结果：规律、
概念及应用。
第一节 波的独立传播和叠加原理
一、标量波和矢量波
光波本质上是矢量波
描述光波的物理量 E 和 B 是矢量
光波是横波，选择传播方向为直角坐标系的z方向，则 矢量就变成了二维矢量，可将之分解为x，y方向的分量 若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质， 则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波 函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标 量波处理。
第二节 两束同频振动方向平行的 标量波的叠加
本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这
两个光波可视作标量波，于是问题就是两个标量波叠加的问题
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω，振幅分别为E10 和E20，初始位相分别为 10和 20 ，传播方向沿着z轴，它 们被表示为：
两个频率相同、振动方向 平行的简谐平面光波不共线 传播相遇叠加
叠加后的合成波可以表示为 ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)
其中： E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+10 )]+E20exp[i(k2xx+k2zz+ 20 )]
=|E0|exp(i 0 )
当两个分量波的振幅不相等时，例如，E10=E20+ΔE，则有
E z , t 2 E0 cos kz 10 20 2 exp i t kz 10 20 2


E exp i t kz 10
二、波的独立传播原理
波的独立传 播原理：当 两列波或多 列波在同一 波场中传播 时，每一列 波的传播方 式都不因其 他波的存在 而受到影响
注意：波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中
三、光波的叠加原理和线性媒质
当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播 原理成立，则它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等 于各个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是光波的叠 加原理，即
合成波是一个驻波和行波之和，因此合成波在波节处振幅不再 为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅 则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，将会有能 量的传播。
(2)、驻波实验 实验装置如右图所示。M是镀银 的平面反射镜，I是正入射到镜面 上的单色简谐平面波，经反射后 得到反射波R。G是一块极薄的感 光乳胶底片，它与镜面间有一微 小夹角。 I和R形成驻波，G位于这个驻波 场中，经感光和显影，在G上呈 现亮暗相间的条纹，相邻亮条纹 (或暗条纹)之间的距离按图示的几 何关系与λ/2相对应
G I R λ/2 λ/2 λ/2 λ/4 M
维纳实验
维纳实验证明：1、驻波的存在 底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置。 维纳实验证明：2、乳胶感光的是光的电场而不是磁场 维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条 纹的位置都与电场波腹位置相一致。 三、任意方向传播的平面波的叠加 上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的 情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变 量 z 有关。现在考虑两个时间频率相同、振动方向平行的 简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。
叠加后的合成波可以表示为：
E z , t E0 exp i kz t 10 E0 exp i kz t 20
2 E0 cos kz 20 10 2 exp i t 20 10 2
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
当E10=E20时，由（2.2.4 ）得：
0 (10 20 ) / 2
可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值 当E10=E20时，总的合成波函数为
E z , t 2 E10 cos 10 20 2 exp i kz t 10 20 2
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
E1 E10 exp i kz t 10
E2 E20 exp i kz t 20
这两个光波叠加后的合成波可以表示为：
E z , t E10 exp i kz t 10 E20 exp i kz t 20
E z , t E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中： E0 E10 exp i10 E20 exp i20
基础。
光波叠加原理的成立也是有条件的
真空中，光波叠加原理普遍成立 媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性 条件时，光波叠加原理成立。 当光强很强时，光与介质相 互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立 媒质分为‘线性媒质’和‘非线性媒质’ 线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理 的媒质 非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播 原理的媒质