数列的极限的性质

思考题：
作业 P23: 7, 8(1), 9,10,12
§2.1 数列的极限
数列极限的性质
唯一性
有界性
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保号性
夹逼性
定理1（唯一性）若数列 un 存在极限，则极限唯一。 un
.
A
.
. . . . . . . . .... .... . .... . . . . . . .. .
n
.
o
§2.1 数列的极限
定义 称数列 un 为有界的，若存在常数 M 0 ，使 un
un A
§2.2 函数的极限
定义1 设 f ( x)在 (a,) 内有定义,若存在常数 A ,使得对于 N 任意的正数 , 存在正数 ,N 当时 x ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x) 在过程 x 中存在极限 A ,记为
x
lim f ( x) A
.
A
.
. . . . . . . . .... .... . .... . . . . . . .. .
n
.
o
§2.1 数列的极限
xn lim z n A, 定理5（夹逼性）设 xn yn zn (n 1,2,) ，且 nlim n yn A. 则nlim
y 0.3 0.2 0.1 x 5 -0.1 -0.2 10 15 20
§2.1 数列的极限
un A，则对其任何 定理 6 若数列 un 存在极限，且 nlim un A. 子数列 un 也存在极限，且 klim
k
k
Bolzalo-Weierstrass定理 * 任何有界的数列一定存在收敛的子数列. 数列极限的运算性质
lim un A, lim vn B 则有 设n n
(1) lim (un vn ) A B; (2) lim un vn AB ;
n n
(3) lim
un A ( B 0). n v B n
§2.2 函数的极限
自变量 x 的 6 种变化过程
x x （ 1 ） x

x
x x 0 x x0 ( 2) x x 0
x x
x0
x x
0

x
数 列 极 限
定义 对数列 u n ，若存在常数 A，使得 0 ， 正整数 N ，当 n N 时，恒有 则称u n 存在极限（或收敛）， A 称为该数列的 极限，记为 lim u n A 或 un A (n ). n
y
0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 x 5 10 15 20
§2.1 数列的极限
un : u1, u2 ,, un ,中的一些元素按原顺序 子数列 将数列 排列所得的数列，记为
un : un , un ,, un ,
k 1 2 k
1 n1 n2 nk . 其中
或 f ( x) A ( x )
y
y f ( x)
几 何 意 义
A A A A A
o
N
N
x
§2.2 函数的极限
x x
lim f ( x) A 0, N 0, 当 x N 时, 有 f ( x) A .
lim f ( x) A 0, N 0, 当 x N 时, 有 f ( x) A .
§2.2 函数的极限
f ( x) A 的几何意义 函数极限 xlim x
0
y
y f ( x)
A
A
A
o
x0
x0
x0
x
§2.2 函数的极限
x x0 x x0
lim f ( x) A 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A .
定义2 设 f ( x)在 x0 的某去心邻域内有定义,若存在常数 A , 使得 0 , 0 ,当时 0 x x0 ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x)在过程中 x x0 存在极限 A ,记为
xx0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 ) .
lim f ( x) A 0, 0, 当 x x0 0 时, 有 f ( x) A .
f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A 定理1 xlim x x
定理2
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0
总结与练习
本讲主要内容：
子数列的概念及其收敛性 函数极限的定义（6种情形） 各种极限之间的关系
1 x f ( x) 0, lim [ f ( x) f ( )] 0, 设 lim x0 x x0 2 f ( x) 0. 证明：lim x0 x
M
u n M , n 1,2,
.
o
.
. . . . . . . . .... n . . .... . .. . . . . . . .. .
.
M
定理2（有界性）若数列 un 存在极限，则 un 有界。 但其逆不真。
§2.1 数列的极限
un A ，且 A 0 ，则存在正整数 N ， 定理3 设 nlim 当 n N 时，恒有 un 0. un A ， 定理4（保号性）若 un 0 (n 1,2,) ，且 nlim 则 A 0. . un