人教版B数学选修2-1：第三章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( )

A ．x ＝1，y ＝1

B ．x ＝12，y ＝－1

2

C ．x ＝16，y ＝－32

D ．x ＝－16，y ＝3

2

答案：C

2.向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( ) A ．a 与b 共线 B ．a 与b 同向 C ．a 与b 反向 D ．a 与b 共面

解析：选A.∵a ，b 不能与任何向量构成空间基底，故a 与b 一定共线． 3.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180°

解析：选C.已知a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)， 则cos 〈a ，b 〉＝0，从而得出a 与b 的夹角为90°.

4.已知A (1，2，1)，B (－1，3，4)，C (1，1，1)，AP →＝2PB →，则|PC →

|为( )

A.773

B. 5

C.779

D.779

解析：选A.设P (x ，y ，z )，由AP →＝2PB →

得： (x －1，y －2，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，

∴x ＝－13，y ＝83，z ＝3，即P ⎝⎛⎭⎫－13，83，3，∴PC →＝⎝⎛⎭⎫43，－53

，－2

， ∴|PC →

|＝773

.故选A.

5.

如图，已知空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，

且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，现用基底{a ，b ，c }表示向量OG →，OG →

＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为( )

A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1

3B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1

6

C ．x ＝13，y ＝16，z ＝1

3

D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1

3

解析：选D.由线段中点的向量表达式，得OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23

(MO →

＋

OC →＋CN →)

＝12a ＋23⎣⎡⎦⎤－12a ＋c ＋12（b －c ） ＝12a －13a ＋23c ＋13b －13c ＝16a ＋13b ＋13c ，∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 6.在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；

③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →

，则P ，A ，B ，C 四点共面；

④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

解析：选C.①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选C.

7.

如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱

AB 、BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：选B.以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E (0，1，0)，F (0，0，1)，C 1(2，0，2)，B (0，0，0)

则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→

＝(2，0，2)，

∴cos 〈EF →，BC 1→

〉＝22×22＝12

，

∴〈EF →，BC 1→

〉＝60°，

所以直线EF 与BC 1所成的角为60°.

8.已知ABCD 是一个四面体，O 为△BCD 内一点，则“AO →＝13

(AB →＋AC →＋AD →

)”是“O

为△BCD 的重心”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选C.设BC 中点为E ，若O 为△BCD 的重心，则AO →＝AE →＋13ED →，AE →＝12

(AB →＋AC →

)，

又∵ED →＝AD →－AE →，

∴AO →＝AE →＋13(AD →－AE →)＝23AE →＋13AD →＝13

(AB →＋AC →＋AD →

)．故选C.

9.已知A (－4，6，－1)、B (4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB 的一个法向量的是( ) A ．(0，1，6)

B ．(－1，2，－1)

C ．(－15，4，36)

D ．(15，4，－36)

解析：选D.设法向量为(x ，y ，z )，则⎩

⎪⎨⎪

⎧－4x ＋6y －z ＝0，4x ＋3y ＋2z ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝154y ，z ＝－9y .

令y ＝4，则得法向量(15，4，－36)． 10.四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →

＝(4，2，

0)，AP →

＝(－1，2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )

A ．相交

B ．垂直

C ．不垂直

D ．成60°角

解析：选B.∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →

＝0，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A .∴PA ⊥平面ABCD .

11.已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与平面

SBC 所成的角的余弦值为( )

A.223

B.13

C.33

D.23

解析：选B.设AE 与平面SBC 所成的角为θ，以底面中心O 为原点，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为2，则A (1，

0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝⎛⎭

⎫0，12，12，所以BC →＝(－1，－1，0)，SB

→

＝(0，1，－1)，EA →＝⎝⎛

⎭⎫1，－12，－12，设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SB →＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，y －z ＝0，令x ＝1，所以n ＝(1，－1，－1)，因为cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝EA →·n |EA →||n |

＝223，所以

cos θ＝1

3

.故选B.

12.如图所示，在四面体PABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C