北师大版 1.6.1 完全平方公式 靳军强

= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
展示交流
1.运用完全平方公式计算: (1)(x+6)2; (3) (-2x+5)2; （5）982 2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2. (2) (y-5)2; (4) ( xy ) 2.
探究：计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) =P______
2+4m+4 m = _________;
(2)
(m+2) 2
n2+6n+9 (3) (n+3)2= _________;
2-2p+1 (4) (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) =P ________; 2-4m+4 (5) (m-2)2 = m __________.
=(
)
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a -b)2 =a2-2ab+b
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
( a+
解: ⑴
2 2 b) =a +2
a b+
2 b
2+ 2 x (x+2y) =
2· x· 2y + (2y)2
=x2+4xy+4y2 2 2 2 (a - b ) =a - 2 a b + b
a²
(a-b)²
( a b) a ab ab b
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
a b
(a-b)²
b²
a ²
a b
( a b) a ab ab b
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
完全平方公式的结果 是三项， 即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
结果不同：
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、 2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进 行多项式乘法的关键
• 4题答案：
• • • • • • • • • • (1) (y-6)² =y² -2y×6+6² =y² -12y+36 (2) (-1+½y) ² =(-1) ² +2×(-1)(½ y)+ (½y) ² =1-y+¼y ² (3) 101 ² =(100+1)² =100² +2×100×1+1² =10000+200+1=10201 (4) (x+3)(x-3)(x² -9) =(x² -9) (x² -9) = (x² -9) ² =x4-2x² ×9+9² =x4-18x² +81
1 2
)2.
1 = y2-y + 4
2.
运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2Χ100Χ1+12
做一做
完全平方公式
因需
一块边长为a米的正方形实验田， 形成四 要将其边长增加 b 米。 块实验田，以种植不同的新品 b 种(如图1—6). 用不同的形式表示实验 田的总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
总面积=a2+ ab+ ab+ b2.
法二
间 接 求
3.下列计算中正确的是（ C ）
A. B. C. D. (x+2)² =x² +2x+4 (2x-y)² =4x² -2xy+y² ( ½ x-y)² = ¼ x² -xy+y² (a+b)² =a² +b²
4.计算：
(1).(y-6)² (2).(-1+½y)² (3).101² (4).(x+3)(x-3)(x² -9)
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
1.下列各式中与(x+1)² 相等的是( B )
A.x² +1 B.x² +2x+1 C.x² -2x+1 D.x² -1
2.下列各式中是完全平方式的是（D）
A.x² +xy+y² B.y² +2y+2 C.x² +xy+y²D.m² -2m+1
⑵(x - 2y
2 2 ) =x -
2·x·2y +( 2y =x2 - 4xy+4y2
2 )
尝试应用
1.运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(2) (y-
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式
的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
b²
(a+b)²
a²
a
2
ab b
2 2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
ab
b a
a b
b² ab
(6)
(n-3)2
2-6n+9 n = __________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
猜想 (a+b)2= a2+2ab+b2 2 - 2ab+b2 2 a (a -b) =
你能证明你的猜想吗？ 动手算一算
(a+b)2= a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a -b)2= a2-ab-ab+b2 =a2 -2ab+b2 你的猜想正确吗？
a
图 1 —6
b
公式: (a+b)2=a2+ 2 ab + b2.
乘法公式： 2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 1.当a=-b时(a+b)(a-b)=a2-b2 ——平方差公式
2.当a=b时(a+b)
2=a2+2ab+b2 2=a2 2 2ab+b
(a-b) ——完全平方公式
本节课你的收获是什么？
已知a+b=5,ab=4,求a2+b2的值，提示[利用公式 (a+b)2=a2+2ab+b2]
解 ∵(a+b)2=a2+2ab+b2 ∴a2+b2=(a+b)2-2ab 又∵a+b=5,ab=4,∴(a+b)2=25；2ab=8 ∴a2+b2=(a+b)2-2ab =25-8 =17
∴
你能算出（a-b)2的值吗？
(1)(a+1)2=( =( (2)(2a+3b)2=( =( )2+2( )( )2+2( )( )+( ) )+( ) )2 )2
做一做:用两数差的完全平方公式计算(填空): (1) (a-1)2=( )2+2( )( )+(
)2
=(
(2) (2a-5b)2=( )2+2( )(
)
)+( )2
真棒！
下面就让我们一起来给这个公式起个名字！
一般地,我们有 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
2= a2 - 2ab+b2 (a b) 公式特点：
1.6.1 完全平方公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
（x ＋ 3)( x＋3）
2 =x ＋3x
＋3X ＋9 =x2 ＋6x ＋9