【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。
6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。
三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。
10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求工厂的盈亏平衡点。
答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。
2021年数学高中自主招生考试数学试卷
高中自主招生考试数学试卷1、试卷分试题卷和答题卷两部分。
满分为100分；考试时间为70分钟。
2、答题时；应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。
3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上；请务必注意试题序号和答题序号相对应。
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案；每题4分；共32分） 1．计算tan 602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ）A ．2B ．2C ．1D ．32．如图；边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''；图中阴影部分的面积为（ ）A ．313-B ．33C ．314-D ．123．已知b a ,为实数；且1=ab ；设11+++=b b a a M ；1111+++=b a N ；则N M ,的大小关系是（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场； 10分钟走了总路程的41；估计步行不能准时到达；于是他改乘出租车赶往考场；他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1）；则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟5.二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位；向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位；向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位；向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位；向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔•盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦；其中是数学家的是（ ）A ．①④⑦B ．②④⑧C ．②⑥⑧D ．②⑤⑥7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品；这三件物品的原价和优惠方欲购买的 商品原价（元）优惠方式一件衣服 420 每付现金200元；返购物券200元；且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元；返购物券200元；但付款时不可以使用购物券 一套化妆品300付款时可以使用购物券；但不返购物券ABC DB 'D 'C '请帮张阿姨分析一下；选择一个最省钱的购买方案. 此时；张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）A ． 500元B ． 600元C ． 700元D ． 800元 8．向高为H 的水瓶中注水；注满为止；如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如上图所示；那么水瓶的形状是（ ）二、填空题：（每题6分；共30分）9. 若关于x 的分式方程3131+=-+x ax 在实数范围内无解；则实数=a _____. 10．三角形的两边长为4cm 和7cm ；则这个三角形面积的最大值为_____________cm 2. 11．对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=*；若444=*x ；则x 的值是________．12．已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解；并且恰有一个解大于1小于2；则a 的取值范围是 ．13．如果有2007名学生排成一列；按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数；那么第2007名学生所报的数是 ．三、解答题：（本题有4个小题；共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。
最新全国高校自主招生数学模拟试卷15(含答案解析)
全国高校自主招生数学模拟试卷十五一．选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x，y)| |tanπy|+sin2πx=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N地元素个数是（）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92．已知f(x)=a sin x+b3x+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)地值是（）(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值3．集合A，B地并集A∪B={a1，a2，a3}，当A≠B 时，(A，B)与(B，A)视为不同地对，则这样地(A，B)对地个数是（）（A）8 （B）9 （C）26 （D）274．若直线x=π4被曲线C:(x-arcsin a)(x-arccos a)+(y-arcsin a)(y+arcco s a)=0所截地弦长为d，当a变化时d地最小值是( )(A) π4(B)π3(C)π2(D)π5．在△ABC中，角A，B，C地对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上地高h，则sin C－A2+cosC+A2地值是( )(A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-16．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内地图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根地充分必要条件是λ地取值范围为________．(A)(B)(C)(D)2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min=_______．3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 地值是________.4．整数⎣⎢⎡⎦⎥⎤10931031+3地末两位数是_______.5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 地最大值是_______.6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有地卡片所印地，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有地卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．三、（本题满分20分）三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC地重心，D为AB地中点，作与SC平行地直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM地交点为D'，则D'为三棱锥S－ABC地外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同地交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m地交点P地轨迹．五、（本题满分20分）设正数列a0，a1，a2，…，a n，…满足a n a n－2－a n－1a n－2=2a n－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{a n}地通项公式．全国高校自主招生数学模拟试卷十五参考答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x，y)| |tanπy|+sin2πx=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N地元素个数是（）(A)4 (B)5 (C)8 (D)9解：tanπy=0，y=k(k∈Z)，sin2πx=0，x=m(m∈Z)，即圆x2+y2=2及圆内地整点数．共9个．选D．2．已知f(x)=a sin x+b3x+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)地值是（）(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值10=m，则lglg3=－lglog310=－m，解：设lglog3则f(m)=a sin m+b3m+4=5，即a sin m+b3m=1．∴f(－m)=－(a sin m+b3m)+4=－1+4=3．选C．3．集合A，B地并集A∪B={a1，a2，a3}，当A≠B 时，(A，B)与(B，A)视为不同地对，则这样地(A，B)对地个数是（）（A）8 （B）9 （C）26 （D）27解：a 1∈A 或∉A ，有2种可能，同样a 1∈B 或∉B ，有2种可能，但a 1∉A 与a 1∉B 不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a 2、a 3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D ．4．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截地弦长为d ，当a 变化时d 地最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π解：曲线C 表示以(arcsin a ，arcsin a )，(arccos a ，－arccos a )为直径端点地圆．即以(α，α)22及(π2－α，－π2+α)(α∈[－π2，π2])为直径端点地圆．而x=π4与圆交于圆地直径．故d=(2α－π2)2+(π2)2≥π2．故选C．5．在△ABC中，角A，B，C地对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上地高h，则sin C－A2+cosC+A2地值是( )(A)1 (B) 12(C)13(D)-1解：2R(sin C－sin A)=c sin A=2R sin C sin A，⇒sin C －sin A=sin C sin A，⇒2cos C +A 2sin C －A2=－12[cos(C +A )－cos(C －A )]=12[1－2sin 2C －A 2－2cos 2C +A 2+1]． ⇒(sinC －A2+cosC +A2)2=1，但sinC －A2+cosC +A2>0，故选A ．6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内地图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 解：方程①为椭圆，②为双曲线地一支．二者地(A)(B)(C)(D)焦点均为(－ni，mi)，由①n>0，故否定A，由于n为椭圆地长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C．由B与D知，椭圆地两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否定D，故选B．二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+(1+iλ)=0(i为虚数单位，λ∈R)有两个虚根地充分必要条件是λ地取值范围为________．解：即此方程没有实根地条件．当λ∈R时，此方程有两个复数根，若其有实根，则x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相减得(λ+1)(x+1)=0．当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2．2．实数x，y满足4x2 5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则1S max+1S min=_______．解：令x=r cosθ，y=r sinθ，则S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=54－52sin2θ．∴1S max+1S min=4+525+4－525=85．3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 地值是________.解：如图，可知z 2表示复数4(cos120°+i sin120°)． ∴ z=±2(cos60°+i sin60°)=±(1+3i )．4．整数⎣⎢⎡⎦⎥⎤10931031+3地末两位数是_______.解：令x=1031，则得x 3x +3=x 3+27－27x +3=x 2－3x +9－27x +3．由于0<27x +3<1，故所求末两位数字为09－1=08．5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k地最大值是_______.解：显然x0x3>1，从而log x0x31993>0．即1lg x0－lg x1+1lg x1－lg x2+1lg x2－lg x3≥klg x0－lg x3．就是[(lg x0－lg x1)+(lg x1－lg x2)+(lg x2－lg x3)]( 1lg x0－lg x1+1lg x1－lg x2+1lg x2－lg x3)≥k．其中lg x0－lg x1>0，lg x1－lg x2>0，lg x2－lg x3>0，由Cauchy不等式，知k≤9．即k地最大值为9．6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡每张卡片上打印一个三位数，有地卡片所印地，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有地卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个．三、（本题满分20分）三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC地重心，D为AB地中点，作与SC平行地直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 地交点为D '，则D '为三棱锥S —ABC 地外接球球心．⑴ 证明：∵ DP ∥SC ，故DP 、CS 共面． ∴ DC ⊆面DPC ，∵ M ∈DC ，⇒M ∈面DPC ，SM ⊆面DPC ．∵ 在面DPC 内SM 与SC 相交，故直线SM 与DP 相交．⑵ ∵ SA 、SB 、SC 两两互相垂直，∴ SC ⊥面SAB ，SC ⊥SD ．∵ DP ∥SC ，∴ DP ⊥SD ．△DD 'M ∽△CSM ， ∵ M 为△ABC 地重心，∴ DM ∶MC=1∶2．∴ DD '∶SC=1∶2．取SC 中点Q ，连D 'Q ．则SQ=DD '，⇒平面四边形D‘QM S AD CB PDD 'QS 是矩形．∴ D 'Q ⊥SC ，由三线合一定理，知D 'C=PS ． 同理，D 'A= D 'B= D 'B= D 'S ．即以D '为球心D 'S 为半径作球D '．则A 、B 、C 均在此球上．即D '为三棱锥S —ABC 地外接球球心． 四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同地交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 地交点P 地轨迹． 解：设l ：y=k 1(x －a )，m ：y=k 2(x －b )．于是l 、m 可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．∴ 交点满足⎩⎨⎧y 2=x ， (k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．若四个交点共圆，则此圆可写为(k1x－y－k1a)(k2x －y－k2b)+ (y2－x)=0．此方程中xy项必为0，故得k1=－k2，设k1=－k2=k ≠0．于是l、m方程分别为y=k(x－a)与y=－k(x－b)．消去k，得2x－(a+b)=0，(y≠0)即为所求轨迹方程．五、（本题满分20分）设正数列a0、a1、a2、…、a n、…满足a n a n－2－a n－1a n－2=2a n－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{a n}地通项公式．解：变形，同除以a n－1a n－2得：a na n－1=2a n－1a n－2+1，令a na n －1+1=b n ，则得b n =2b n －1． 即{b n }是以b 1=11+1=2为首项，2为公比地等比数列．∴ b n =2n．∴ a n a n －1=(2n －1)2．故∴ ⎩⎨⎧a 0=1， a n =(2n －1)2(2n －1－1)2…(21－1)2．(n ≥1)。
2021年新高考数学全国卷模拟(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（全国卷Ⅰ）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]3.已知向量(,3)k =a ，(1,4)=b ，(2,1)=c ，且(23)-⊥a b c ，则实数k =（ ） A.92-B.0C.3D.1524.使3nx⎛+ ⎝()n +∈N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A.4B.5C.6D.75.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A.0.35B.0.45C.0.55D.0.656.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A.12-B.1C.2D.127.命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数8.已知50,log ,lg ,510db b a bc >===，则下列等式一定成立的是（ ）A.d ac =B.a cd =C.c ad =D.d a c =+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10.如果双曲线的离心率51e +=有（ ）A.双曲线221251x =-是黄金双曲线 B.双曲线22151y -=+是黄金双曲线 C.在双曲线22221x y a b-=中，1F 为左焦点，2A 为右顶点，1(0,)B b ，若11290F B A ∠=，则该双曲线是黄金双曲线D.在双曲线22221x y a b-=中，过焦点2F 作实轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，O 为坐标原点，若120MON ∠=，则该双曲线是黄金双曲线11.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列4个命题，其中真命题有（ ） A.若m α⊂，n α，则m n B.若m α⊥，n α，则m n ⊥ C.若m α⊥，m β⊥，则αβD.若m α，n α，则m n12.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A.(2016)(2017)0f f +-=B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为(1,1)-第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
自主招生数学试题及答案
2021年自主招生数学试题(分值: 100分 时间:90分钟)一、选择题〔本大题共6小题，每题5分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的〕1、假设对于任意实数a ，关于x 的方程0222=+--b a ax x 都有实数根，那么实数b的取值围是〔 〕 A b ≤0 B b ≤21-C b ≤81- D b ≤-1 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，S △BDE ∶S △CDE =1∶3，那么S △DOE ∶S △AOC 的值为〔 〕A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶9D ．1∶16 3、某校吴教师组织九(1)班同学开展数学活动，带着同学们测量学校附近一电线杆的高(如下图)。
电线杆直立于地面上，某天在太的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m ，那么电线杆的高(AB)是〔 〕 A ．)344(+mB ．)434(-mC ．)326(+mD ．12m4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过〔 〕秒时，直线MN 和正方形AEFG 开场有公共点。
A ．53B ．12C ．43D ．23(第2题图) (第3题图) (第4题图)5、如图，在反比例函数xy 2-=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数xky =的图象上运动，假设tan ∠CAB=2，那么k 的值为() A. 2B. 4C. 6D. 86、如图，O 是等边三角形ABC 一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O ′B ，那么以下结论：①△AO ′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600得到；②∠AOB=1500；③633AOBO'S =+四边形；④9364AOB AOC S S +=+△△。
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点(1, 2)和(2,3)，则下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = 2B. 4a + 2b + c = 3C. a + 2b + c = 3D. 4a + b + c = 5答案：C2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 + a2 + a3 = 12，a2 + a3 + a4 = 18，则a1 + a5的值是多少？A. 18B. 20C. 24D. 26答案：B3. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点在复平面上位于哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B4. 已知函数f(x) = ln(x) + 1/x，若f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，则实数k的取值范围是？A. k > 0B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≤ 0答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若一个圆的直径为10，则该圆的面积为_______。
答案：25π6. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为_______。
答案：57. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增，则实数k的取值范围是_______。
答案：k ≤ -18. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为an = _______。
答案：2^(n-1)三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间，并说明理由。
答案：函数f(x)的单调递增区间为[2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)。
理由是f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4，令f'(x) > 0得x > 2，令f'(x) < 0得x < 2。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
2021自主招生数学试卷 正式版
#######################自主招生考试数学试题（满分：120分，90分钟完卷）姓名：注意事项：试题的答案书写在答题卡规定位置上，在试卷上作答概不给分.一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分.每个小题只有一个正确答案）1.化简)2(2)2(2234++-n n n ，得( )A ．1128n +-B ．12n +-C ． 78D ．742．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°， AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么AB 的值为( )A ．3B ． 2 3C ．3 3D ．23.若直角三角形的两条直角边长为b a 、，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有( )A ．2ab h =B ．111a b h +=C ．2222a b h +=D ．222111a b h+=4.如右图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2.若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S 等于（ A ．6 B ．8 C ．10 D ．12.5.已知 20152016-=a ，20162017-=b ，20172018-=c ，则,,a b c 的大小关系为( )A ． a b c <<B ． b c a <<C ． c a b <<D ． c b a <<6.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、2、2、3、3、4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、3、4、5、6、8，同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是( )A ．112 B ．19 C ．16 D. 147. 在正方体的八个顶点上分别标注数字0、1、2、3、4、5、6、7，使得每个面上的四个顶点处的数字和均相等。
那么这个相等的和是( )A ．12B ．14C ．18D ．24.8. 已知a 为自然数，关于的x 方程2140x a x a ---+=至少有一个整数根. 则a 可取值的个数为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 4第2小题DE FGBA C第4小题9.如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．01m ≤≤B ．112m ≤≤C ．1324m ≤≤D ．314m <≤10.如右下图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ， 使FC=EC ，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC.则以下四个结论中：①OH ∥BF ；②∠CHF=45°；③GH=41BC ；④ FH 2=HE ·HB ，正确结论的个数为( ) A. 3个 B ．2个 C ． 1个 D ． 0个二.填空题：（本大题4个小题，每题5分，共20分）11. 已知一次函数25y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于第四象限的一点(,3)p a a -，则这个反比例函数的解析式为____________．12.已知2220+-=>0，>0,且a b a ab b .那么22-+a ba b的值为_____. 13. 在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =4，AB =3，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE +PF =_____.14.设有一个边长为1的正三角形，记作A 1(如图1)，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2(如图2)；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3(如图3)；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作4A ，.......那么n A 的周长为_____.第10小题图1 图2 图3F EA CBP 第13小题三．解答题：（本大题4个小题，共50分，答题时每小题给出必要的演算过程或推理步骤） 15．（本小题满分12分）计算： （1）已知231231-=+=y x ，，求22y x +的值;（2）已知281422=++=++x xy y y xy x ，，求y x +的值.如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（3）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(14≤≤，x为自然数)，x十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。
2021年省示范高中自主招生素质检测数学试卷及参考答案
２０２１数学试题注意事项：１．本试卷满分１５０分，考试时间为１２０分钟。
２．全卷包括“试题卷”（４页）和“答题卡”（２页）两部分。
３．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题无效。
４．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回。
一、选择题：共１０小题，每小题５分，共５０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１．下列运算正确的是Ａ．槡８１·１槡２７＝１３Ｂ．（－３ａ２）２＝９ａ４Ｃ．（ａ＋２）（ａ－３）＝ａ２＋ａ－６Ｄ．３ｃ４ａｂ÷５ａｃ２ｂ＝１１０２．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器七小器二容三斛，大器二小器七容二斛。
”大致意思是有大小两种盛米的桶，７大桶２小桶共盛３斛米，２大桶７小桶共盛２斛米，依据条件，２大桶加２小桶共盛Ａ．１０９斛米Ｂ．１斛米Ｃ．５９斛米Ｄ．１９斛米３．若关于ｘ的不等式组３ｘ≤４ｘ＋１ｘ－ａ{＜０恰有３个整数解，则ａ的取值范围为Ａ．０＜ａ≤１Ｂ．１≤ａ＜２Ｃ．２＜ａ≤３Ｄ．１＜ａ≤２４．如图，四边形ＡＣＢＤ中，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＡＤ＝３，ＢＣ＝ＢＤ＝４，把它沿着ＡＢ所在的直线旋转一周，所得几何体的全面积为Ａ．３６πＢ．８４５πＣ．４８５πＤ．２４π５．在平面直角坐标系中，点Ａ（ｍ，ｎ）在ｙ＝槡４３ｘ上，当ＯＡ所在的直线与ｘ轴正半轴的夹角为３０°，则点Ａ的坐标为Ａ．（槡２３，２）Ｂ．（２，槡２３）Ｃ．（槡２３，２）或（槡－２３，－２）Ｄ．（２，槡２３）或（－２，槡－２３）６．我们记函数ｙ的最大值为ｙｍａｘ，函数的最小值为ｙｍｉｎ，已知函数ｙ＝－３ｘ＋２（ａ≤ｘ≤ｂ，ａ≠ｂ）的ｙｍａｘ＝ｂ，且ｙｍｉｎ≤３ａ，则ａ的取值范围为Ａ．ａ＜１２Ｂ．ａ≤２３Ｃ．１２＜ａ≤２３Ｄ．ａ＜２３７．如图，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＣＢ，ＡＤ＝２，ＣＤ＝４，将ＢＤ绕点Ｂ逆时针旋转９０°得到ＢＤ′，连接ＤＤ′，则ＤＤ′的最大值为槡槡Ａ．２５Ｂ．１０Ｃ．２Ｄ．６８．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｄ为ＣＥ上一点，△ＤＢＣ的面积４，ＤＯ⊥ＢＣ，则△ＯＡＣ的面积为Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８９．已知Ａ（ｍ，ｈ）、Ｂ（ｎ，ｈ）分别是直线ｌ１：ｙ＝１２ｘ＋１０和ｌ２：ｙ＝ｘ＋１０上的两点，当以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ｘ轴相切时，ＡＢ＝Ａ．２Ｂ．１０或１０３Ｃ．２０或８３Ｄ．２０或２０３１０．如图，菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝９，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、ＡＢ上，Ａ关于ＥＦ的对称点为Ｇ，当点Ｇ落在ＢＤ上时，ＢＧ＝３，则ＤＥ＝Ａ．３Ｂ．１５２Ｃ．１５４Ｄ．１５８二、填空题：共４小题，每小题５分，共２０分。
2021年高考数学一模试卷 (15)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷 (15)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知纯虚数z满足(1−i)z=2+ai，则实数a等于A. 2B. 1C. −1D. −22.已知向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，若向量a⃗//b⃗ ，则m=()A. −1B. 1C. 12D. 23.已知集合A={1,2，3，4}，B={x|x=√n,n∈A}，则A∩B的子集个数是()A. 2B. 3C. 4D. 164.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a5.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=()A. −11B. −8C. 5D. 116.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为2√2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是()A. π4B. π C. π2D. π87.圆x2+y2=r2与圆(x−3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切，则r=()A. √10B. √5C. √102D. 58.已知a，b是正实数，则“ab<3”是“1a +4b>2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既非充分也非必要条件D. 充要条件9.如果：在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103，那么类比：在5进制中数码2004折合成十进制为()A. 29B. 254C. 602D. 200410.若函数f(x)=12x2+2f′(0)cosx+x，则f′(π6)的值为()A. 0B. π6C. π3D. π11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF交棱AD于点P，则PE=()A. √156B. 2√33C. √32D. √13612.已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|=()A. 1B. 2C. 2√2D. 2√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，则该双曲线的离心率为______ ．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a8=2，S11=______．15.已知平面区域U={(x,y)|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={(x,y)|x≤4，y≥0，x−2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落在区域A的概率为__________．16.设f(x)=sinx+3x，则不等式f(2x)+f(1−x)<0的解集为______________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinB=bcosC．(1)求C；(2)若c=√13，b=2√2，求a．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，且AB//CD，AB=AD=2DC=2，AB⊥面PAD，M是PB的中点．(Ⅰ)求证：CM//面PAD；(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积．19.随着国家“二孩”政策的开放，许多人想生育“二孩”.现从70个年龄在30～50岁已生育“一孩”的妇女中展开调查：30～40岁的妇女中有25人不愿意生育“二孩”，有15人愿意生育“二孩”，而40～50岁的妇女中有25人不愿意生育“二孩”，有5人愿意生育“二孩”．(1)从70人中按照生育“二孩”的意愿进行分层抽样，抽取7人进行原因调查．①求抽取的7人中愿意生育“二孩”的人数；②现从7人中抽2人，求抽到的2人不愿意生育“二孩”的概率；(2)根据以上数据，填写2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为生育“二孩”的意愿与年龄有关．参考数据：．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，点B，21.如图，点F是抛物线τ：x2=2py(p>0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且AFC是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，k2．(1)求抛物线τ的方程；(2)若k2−k1=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y=√3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数的有关概念的应用，复数的运算，比较基础．通过复数的运算，根据复数的概念，即可得到结论．解：由题意z=2+ai1−i =(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a2+a+22i，∵复数z是纯虚数，∴2−a2=0且a+22≠0解得a=2，故选A.2.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，向量a⃗//b⃗ ，∴−21=2m，解得m=−1．故选：A．由向量a⃗//b⃗ ，列出方程，能求出m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，属于基础．根据集合的基本运算求得A ∩B ={1,2}，即可得A ∩B 的子集个数． 解：集合A ={1,2，3，4}，B ={x|x =√n,n ∈A}={1,√2,√3,2}， 则A ∩B ={1,2}，则A ∩B 的子集个数22=4， 故选C ．4.答案：B解析：解：，b =315>30=1， 0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．5.答案：A解析：解：设公比为q ，由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0， 解得q =−2， 所以S5S 2=1−q 51−q 2=−11．故选：A ．先由等比数列的通项公式求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式求之即可． 本题主要考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．6.答案：B解析：本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，考查空间想象能力以及计算能力．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：几何体的直观图如图：是一个圆柱被截去一半的几何体，几何体的体积为：12×2×π×12=π．故选B．7.答案：C解析：本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．利用两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和来求出r的值．解：圆x2+y2=r2的圆心坐标为(0,0)，半径为r，圆(x−3)2+(y+1)2=r2的圆心坐标为(3,−1)，半径为r，∵两圆外切，∴两圆圆心距等于两圆半径之和，∴√(3−0)2+(−1−0)2=2r，解得r=√102．故选C．8.答案：A解析：解：由a，b是正实数，ab<3，∴1ab >13，∴1a+4b≥2√4ab≥2√43>2，反之不成立，例如取a=b=2，∴“ab<3”是“1a +4b>2”的充分不必要条件，故选：A．由a，b是正实数，ab<3，可得1ab >13，利用基本不等式的性质可得1a+4b≥2√43>2，反之不成立，例如取a=b=2，即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：(2004)5=2×53+4=254．故选B．本题考查的知识点是类比推理，由10进制的转换方法类比推理出5进制的转换方法，5进制与十进制数之间的转换，只要我们根据10进制转换方法逐位进行转换，即可得到答案．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．10.答案：B解析：本题考查导数的运算，属于基础题．先求导，令x=0，得f′(0)，再令x=π6即可．解：f(x)=12x2+2f′(0)cos x+x，∴f′(x)=x−2f′(0)sin x+1，令x=0，f′(0)=0−2f′(0)sin0+1=1，∴f′(x)=x−2sin x+1，∴f′(π6)=π6−2sinπ6+1=π6．故选B．11.答案：D解析：本题考查了平面的性质，由已知可得Q、H、F、B1四点共面，根据平面知识将PE纳入到三角形中求解即可．解：过点C1作C1G//B1F，交直线CD于点G，过点E作HQ//C1G，交CD、C1D1于点H、Q，连接B 1Q ，HF 交AD 于点P ，HQ//B 1F ， 所以Q 、H 、F 、B 1四点共面， 易求得HD =D 1Q =14，由△PDH∽△PAF 可得APPD =AFHD =2，则PD =13，在Rt △PED 中，PE =√19+14=√136，故选D ．12.答案：B解析：求出抛物线的焦点坐标(12,0)，利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后求出结果． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 解：抛物线的焦点坐标(12,0)，可得直线PF ：y =√3(x −12)， 可得：{y 2=2x y =√3(x −12)，可得：x =32，则y =√3， |PF|=32+12=2． 故选：B ．13.答案：√132解析：解：∵双曲线x 2a 2−y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0，∴ba =32， ∴b =32a ， ∴c =√a 2+b 2=√132a ，∴双曲线的离心率e=ca =√132．故答案为：√132．根据双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，确定a，b的关系，求出c，即可求出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定a，b，c的关系是关键．14.答案：11解析：解：由等差数列的性质可得a1+a11=a4+a8=2，故S11=11(a1+a11)2=11×22=11故答案为：11由等差数列的性质可得a1+a11=a4+a8=2，代入求和公式故S11=11(a1+a11)2，计算即可．本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．15.答案：29解析：解利用线性规划知识可画出U和A对应的平面区域，如图所示易知SΔAOB=12×6×6=18,SΔODC=12×4×2=4，故P=418=29．16.答案：(−∞,−1)解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f(−x)=−f(x)，可得函数f(x)为奇函数，求出函数的导数，分析可得函数f(x)在R上为增函数；据此原不等式可以变形为f(2x)<f(x−1)，进而可得2x<x−1，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f(x)=sinx+3x，有f(−x)=sin(−x)+3(−x)=−(sinx+3x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；又由f′(x)=cosx+3≥−2>0，则函数f(x)在R上为增函数；不等式f(2x)+f(1−x)<0，即f(2x)<−f(1−x)，则f(2x)<f(x−1)，等价于2x<x−1；解可得x<−1，即x的取值范围为(−∞,−1)；故答案为：(−∞,−1)．17.答案：解：(1)因为csinB=bcosC，根据正弦定理可得sinCsinB=sinBcosC，又sinB≠0，从而tanC=1，．由于0<C<π，所以C=π4(2)根据余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，而c=√13，b=2√2，C=π．4代入整理可得a2−4a−5=0，解得a=5，或a=−1(舍去)，所以a=5．解析：本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形．(1)利用正弦定理化简csinB=bcosC即得C的值；(2)直接利用余弦定理得到a的方程，解方程即得解．18.答案：(Ⅰ)证明：取PA的中点N，连接MN，DN．AB，由于M，N分别为PB，PA的中点，由题意知MN//AB，MN=12AB，由CD//AB，CD=12∴四边形CMND为平行四边形，则CM//DN，又CM⊄平面PAD，DN⊂平面PAD，∴CM//平面PAD；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知CM//DN，△PAD是等边三角形，∴DN⊥PA，∵AB⊥AD，PA⊥AB，且AD∩PA=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又∵DN⊂平面PAD，∴DN⊥AB，又∵AB∩AP=A，AB⊂平面ABP，AP⊂平面ABP，∴DN⊥平面ABP，即CM⊥平面ABP，∴CM为三棱锥C−APM的高，则得CM=DN=√3，S△PAM=12S△PAB=12×12×2×2=1．∴V P−ACM=V C−PAM=13×S△PAM×CM=√33．解析：(Ⅰ)取PA的中点N，连接MN，DN.可得四边形CMND为平行四边形，则CM//DN，再由线面平行的判定可得CM//平面PAD；(Ⅱ)由(Ⅰ)知CM//DN，△PAD是等边三角形，则DN⊥PA，由已知证得AB⊥平面PAD，可得DN⊥AB，则DN⊥平面ABP，即CM为三棱锥C−APM的高，求得CM=DN=√3，再由等积法求三棱锥P−ACM的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.答案：解：(1)①根据分层抽样原理知，抽样比例是770=110，抽取的7人中愿意生育“二孩”的人数为20×110=2；②现从7人中抽2人，抽到的2人不愿意生育“二孩”的概率为P=C52C72=1021；(2)根据以上数据，填写2×2列联表如下，计算K2=70×(25×5−25×15)240×30×20×50≈3.646；且3.646>2.076，所以有90%的把握认为生育“二孩”的意愿与年龄有关．解析：(1)①计算抽样比例，由此求出抽取的人数；②利用古典概型的概率公式求出对应的概率值；(2)根据以上数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了分层抽样方法与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx−1=lnx+1x，∴xf′(x)=xlnx+1，题设xf′(x)≤x2+ax+1等价于lnx−x≤a，令g(x)=lnx−x，则g′(x)=1x−1．当0<x<1时，g′(x)>0；当x≥1时，g′(x)≤0，∴x=1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)=−1．综上，a的取值范围是[−1,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx−x+1≤0；当0<x<1时，f(x)=(x+1)lnx−x+1=xlnx+(lnx−x+1)≤0；当x≥1时，f(x)=lnx+(xlnx−x+1)=lnx+x(lnx+1x−1)≥0所以(x−1)f(x)≥0．解析：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx−1=lnx+1x，从而xf′(x)≤x2+ax+1可转化为lnx−x≤a，令g(x)=lnx−x，求出函数的最值，即可求得a的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx−x+1≤0，可证0<x<1时，f(x)≤0；x≥1时，f(x)≥0，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查分离参数法求参数的范围，考查不等式的证明，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设A(x0,y0)，可知F(0,p2)，故AF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,p2−y0)=(2,0)．∴{x0=−2y0=p2，代入x2=2py，得p=2．∴抛物线τ的方程为x2=4y．(Ⅱ)过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，并设B(x 1,x 124)，C(x 2,x 224)，由(Ⅰ)得A(−2,1)． k 2−k 1=x 224−1x 2+2−x 124−1x 1+2=x 2−x 14=2，∴x 2−x 1=8．直线DBy =x 12x −x 124，直线CDy =x 22x −x 224，解得{x D =x 1+x22y D =x 1x 24． ∴直线BC 的方程为y −x 124=x 1+x 24(x −x 1)，将x D 代入得y E =x 12+x 228．∴△BCD 的面积为S =12×ED ×(x 2−x 1)=12(y E −y D )(x 2−x 1)=12×(x 2−x 1)28×(x 2−x 1)=32(定值)解析：本题考查了抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系，属于中档题，(Ⅰ)设A(x 0,y 0)，可知F(0,p2)，故AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,p2−y 0)=(2,0).求得A 坐标，代入x 2=2py ，得p =2.即可(Ⅱ)过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，.并设B(x 1,x 124)，C(x 2,x 224)，由k 2−k 1=x 224−1x 2+2−x 124−1x 1+2=x 2−x 14=2，得x 2−x 1=8.联立直线、直线方程得{x D =x 1+x 22y D =x 1x 24.由题意y E =x 12+x 228，即可求△BCD 的面积为S =12×ED ×(x 2−x 1)=12(y E −y D )(x 2−x 1)=12×(x 2−x 1)28×(x 2−x 1)=32(定值)22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为(x −2)2+(y −2)2=1，则C 1的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ−4ρsin θ+7=0． 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3， 故其极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)． (2)由{ρ2−4ρcosθ−4ρsinθ+7=0θ=π3，得p 2−(2√3+2)ρ+7=0， 故ρ1+ρ2=2√3+2，ρ1ρ2=7， 所以1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB||OA|⋅|OB|=ρ1+ρ2ρ1ρ2=2√3+27．解析：本题考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用．(1)利用同角三角函数的平方关系，消去参数可得曲线C 1的普通方程，求出直线C 2的倾斜角，可得其极坐标方程；(2)由互化公式ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x,ρsinθ=y ，把C 1的直角坐标方程化为极坐标方程，与C 2的极坐标方程联立，利用极坐标的几何意义，即可求得1|OA|+1|OB|的值．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1， 则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号， 即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
精品：2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知,M N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则()M N ⋃=R （ ）A. ∅B. MC. ND. R【答案】B2. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C3. 关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A4. 椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（ ）A. 1B.2C.3 D. 2【答案】C因为椭圆()2222101x y m m m+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，5. 已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，若向量72c a b =+，则sin ,a c 〈〉=（ ）A.7 B.23 C.7 D.2 【答案】B6. ()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是（ ）A. 60B. 80C. 84D. 120【答案】D7. 已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC的方程为（ ） A. 210x y ++= B. 3640x y ++= C. 2630x y ++= D. 320x y ++=【答案】B8. 已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ） A. ()f x 在(0,)+∞单调递增 B. ()f x 有两个零点C. 曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D. ()f x 是偶函数 【答案】AC 10. 设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A. 若23z z =，则23z z =±B. 若1213z z z z =，则23z z =C. 若23z z =，则1213z z z z =D. 若2121z z z =，则12z z =【答案】BC11. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A. //AE CDB. //CH BEC. DG BH ⊥D. BG DE ⊥【答案】BCD 12. 设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A. ()()f x f x π=+B. ()f x 的最大值为12C. ()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______． 【答案】61π14. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____． 【答案】 (1).13(2). 3- 15. 写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________． 【答案】()sin f x x π=16. 对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N nε⎛⎫⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）． 【答案】32四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．（1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列； （2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）132n n a -=（n +∈N ）18. 在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===． （1）若32AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠． 【答案】（1）2BC =；（2）cos 31BDC ∠=.19. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =. 【解析】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ， 由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：X0 1 2 3()P X0.5040.398 0.092 0.006其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数． 【答案】（1）4π；（2）证明见解析. 【解析】（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=-- ()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数.21. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠． 【答案】（1）2；（2）见解析. 【解析】（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>. 因为2e =，故2c a =，3b a =，故渐近线方程为：3y x =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 故BFA ∠2BAF =∠.22. 已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．（1）证明：当54x π>-时，()0f x ； （2）若()2g x ax +，求a ． 【答案】(1)证明见解析；(2)2a =. 【解析】(1)分类讨论： ①.当4 5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()204x f x e x π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭； ②.当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00x f x e x x f ''=-+=， ()sin cos 204x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=， 则函数()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=； ③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥， 故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=， 即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1xxf x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1xy e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1xy e x =--在[)0,+∞单调递增，故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥.从而函数()sin cos 10xxf x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立.。
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2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五含答案一．选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）(A )4 (B )5 (C )8 (D )92．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）274．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sinC －A2+cosC +A2的值是( )(A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-16．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条(A)(B)(C)(D)件是λ的取值范围为________．2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min=_______．3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________.4．整数⎣⎢⎡⎦⎥⎤10931031+3的末两位数是_______.5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（本题满分20分）三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S －ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．五、（本题满分20分）设正数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式．参考答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）(A )4 (B )5 (C )8 (D )9解：tan πy=0，y=k (k ∈Z )，sin 2πx =0，x=m (m ∈Z )，即圆x 2+y 2=2及圆内的整点数．共9个．选D ．2．已知f (x )=a sin x +b 3x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值解：设lglog 310=m ，则lglg3=－lglog 310=－m ，则f (m )=a sin m +b 3m +4=5，即a sin m +b 3m=1．∴ f (－m )=－(a sin m +b 3m )+4=－1+4=3．选C ．3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27解：a 1∈A 或∉A ，有2种可能，同样a 1∈B 或∉B ，有2种可能，但a 1∉A 与a 1∉B 不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a 2、a 3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D ．4．若直线x =π4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A ) π4 (B ) π3 (C ) π2(D )π解：曲线C 表示以(arcsin a ，arcsin a )，(arccos a ，－arccos a )为直径端点的圆．即以(α，α)及(π2－α，－π2+α)(α∈[－π2，π2])为直径端点的圆．而x=π4与圆交于圆的直径．故d=(2α－π2)2+(π2)2≥π2．故选C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h，则22sinC －A2+cosC +A2的值是( )(A )1 (B ) 12 (C ) 13(D )-1解：2R (sin C －sin A )=c sin A=2R sin C sin A ，⇒sin C －sin A=sin C sin A ， ⇒2cos C +A2sinC －A 2=－12[cos(C +A )－cos(C －A )]= 12[1－2sin 2C －A 2－2cos 2C +A 2+1]．⇒(sinC －A2+cosC +A2)2=1，但sinC －A2+cosC +A2>0，故选A ．6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni ，mi )，由①n >0，故否定A ，由于n 为椭圆的长轴，而C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n |、|m |)均小于椭圆长轴，故否定C ． 由B 与D 知，椭圆的两个个焦点都在y 轴负半轴上，由n 为长轴，知|OF 1|=n ，于是m <0，|OF 2|=－m ．曲线上一点到－ni 距离大，否定D ，故选B ． 二、填空题（每小题5分，共30分）1．二次方程(1-i )x 2+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________．解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R 时，此方程有两个复数根，若其有实根，则 x 2+λx +1=0，且x 2－x －λ=0．相减得(λ+1)(x +1)=0．当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2．2．实数x ，y 满足4x 2-5xy +4y 2=5，设 S=x 2+y 2，则1S max +1S min=_______．解：令x=r cos θ，y=r sin θ，则S=r 2得r 2(4－5sin θcos θ)=5．S=54－52sin2θ．(A)(B)(C)(D)∴1S max +1S min =4+525+4－525=85． 3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2+4)= π3，则z 的值是________.解：如图，可知z 2表示复数4(cos120°+i sin120°)． ∴ z=±2(cos60°+i sin60°)=±(1+3i )．4．整数⎣⎢⎡⎦⎥⎤10931031+3的末两位数是_______. 解：令x=1031，则得x 3x +3=x 3+27－27x +3=x 2－3x +9－27x +3．由于0<27x +3<1，故所求末两位数字为09－1=08．5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0x 11993+log x 1x 21993+log x 2x 31993≥k ·log x 0x 31993恒成立，则k 的最大值是_______.解：显然x 0x 3>1，从而log x 0x31993>0．即1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3≥klg x 0－lg x 3．就是[(lg x 0－lg x 1)+(lg x 1－lg x 2)+(lg x 2－lg x 3)](1lg x 0－lg x 1+1lg x 1－lg x 2+1lg x 2－lg x 3)≥k ．其中lg x 0－lg x 1>0，lg x 1－lg x 2>0，lg x 2－lg x 3>0，由Cauchy 不等式，知k ≤9．即k 的最大值为9． 6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个． 三、（本题满分20分）三棱锥S -ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．⑴ 证明：∵ DP ∥SC ，故DP 、CS 共面．∴ DC ⊆面DPC ，∵ M ∈DC ，⇒M ∈面DPC ，SM ⊆面DPC ．∵ 在面DPC 内SM 与SC 相交，故直线SM 与DP 相交．⑵ ∵ SA 、SB 、SC 两两互相垂直，∴ SC ⊥面SAB ，SC ⊥SD ． ∵ DP ∥SC ，∴ DP ⊥SD ．△DD 'M ∽△CSM ，D‘Q M SA DCBP∵ M 为△ABC 的重心，∴ DM ∶MC=1∶2．∴ DD '∶SC=1∶2． 取SC 中点Q ，连D 'Q ．则SQ=DD '，⇒平面四边形DD 'QS 是矩形． ∴ D 'Q ⊥SC ，由三线合一定理，知D 'C=PS ． 同理，D 'A= D 'B= D 'B= D 'S ．即以D '为球心D 'S 为半径作球D '．则A 、B 、C 均在此球上．即D '为三棱锥S —ABC 的外接球球心．四、（本题满分20分）设0<a <b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．解：设l ：y=k 1(x －a )，m ：y=k 2(x －b )．于是l 、m 可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．∴ 交点满足⎩⎨⎧y 2=x ， (k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )=0．若四个交点共圆，则此圆可写为(k 1x －y －k 1a )(k 2x －y －k 2b )+λ(y 2－x )=0． 此方程中xy 项必为0，故得k 1=－k 2，设k 1=－k 2=k ≠0． 于是l 、m 方程分别为y=k (x －a )与y=－k (x －b )． 消去k ，得2x －(a +b )=0，(y ≠0)即为所求轨迹方程． 五、（本题满分20分）设正数列a 0、a 1、a 2、…、a n 、…满足a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式． 解：变形，同除以a n －1a n －2 得：a na n －1=2a n －1a n －2+1， 令a na n －1+1=b n ，则得b n =2b n －1． 即{b n }是以b 1=11+1=2为首项，2为公比的等比数列． ∴ b n =2n． ∴a na n －1=(2n －1)2．故 ∴ ⎩⎨⎧a 0=1，a n =(2n －1)2(2n －1－1)2…(21－1)2．(n ≥1)。