【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五

含答案

一．选择题(每小题5分，共30分)

1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2

≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）

(A )4 (B )5 (C )8 (D )9

2．已知f (x )=a sin x +b 3

x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值

3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）

（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27

4．若直线x =π

4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的

弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )

(A ) π4 (B ) π3 (C ) π

2

(D )π

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin

C －A

2

+cos

C +A

2

的值是( )

(A )1 (B ) 12 (C ) 1

3

(D )-1

6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )

二、填空题（每小题5分，共30分）

1．二次方程(1-i )x 2

+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条

(A)

(B)

(C)

(D)

件是λ的取值范围为________．

2．实数x ，y 满足4x 2

-5xy +4y 2

=5，设 S=x 2

+y 2

，则

1

S max +

1

S min

=_______．

3．若z ∈C ，arg(z 2-4)= 5π6，arg(z 2

+4)= π3，则z 的值是________.

4．整数⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1093

1031+3的末两位数是_______.

5．设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0，要使log x 0

x 11993+log x 1

x 21993+log x 2

x 31993≥k ·log x 0

x 3

1993恒成

立，则k 的最大值是_______.

6．三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印198倒过来看是861；有的卡片则

不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片． 三、（本题满分20分）

三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S －ABC 的外接球球心．

四、（本题满分20分）

设0

=x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹．

五、（本题满分20分）

设正数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足

a n a n －2 －a n －1a n －2 =2a n －1，(n ≥2) 且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式．

参考答案

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2

≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）

(A )4 (B )5 (C )8 (D )9

解：tan πy=0，y=k (k ∈Z )，sin 2πx =0，x=m (m ∈Z )，即圆x 2+y 2

=2及圆内的整点数．共9个．选D ．

2．已知f (x )=a sin x +b 3

x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值

解：设lglog 310=m ，则lglg3=－lglog 310=－m ，则f (m )=a sin m +b 3

m +4=5，即a sin m +b 3

m

=1．

∴ f (－m )=－(a sin m +b 3

m )+4=－1+4=3．选C ．

3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）

（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27

解：a 1∈A 或∉A ，有2种可能，同样a 1∈B 或∉B ，有2种可能，但a 1∉A 与a 1∉B 不能同

时成立，故有22－1种安排方式，同样a 2、a 3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3

种安排方式．选D ．

4．若直线x =π

4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的

弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )

(A ) π4 (B ) π3 (C ) π

2

(D )π

解：曲线C 表示以(arcsin a ，arcsin a )，(arccos a ，－arccos a )为直径端点的圆．即以(α，α)及(

π

2

－α，－

π

2

+α)(α∈[－

π2，π

2

])为直径端

点的圆．而x=π

4

与圆交于圆的直径．故d=(2α－π

2)2

+(π2)2

≥π

2

．

故选C ．

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h

，则

2

2