高斯函数

讨论： 对一类含有[ x ]或{ x }的方程，可利用高斯函数的性质，常有 两种解法：一是去掉方括号[ x ], 转化为x的不等式来求解；二 是化为方括号[ x ]，转化[ x ]的不等式来求解。两种解法共同之 处是将等式化为不等式求解，这在高斯函数的方程的解法中 是常用的。又如解方程5 x 2[ x ] 31 0 31 5 x 解法一：由x 1 [ x ] x , 及[ x ] ,得 2 31 5 x x 31 33 2 解得 x , 故[ x ] 4. 7 7 31 5 x x 1 2
高斯函数[x]
程乐根
一、定义
1、定义：设x R, 用[ x]表示不超过x的最大整数。 通常称函数y [ x]为取整函数，也叫高斯函数。 显然，其定义域是R，值域是Z。
2、进一步，记{x }=x [ x ]则称函数y {x }为小数部分函数， 它表示的是x的小数部分， 显然，其定义域是R，值域是[0,1)。
例4：求证：当且仅当存在某个正整数k , 使得n 2k 1 时, 2n1 能整除n !(加拿大数学奥林匹克试题).
分析：由知识要点y [ x]的性质部分定理2及性质4, 不难证明。
解：由定理2, n !中含有质因数2的个数是 n n n p [ ] [ 2 ] ... [ k 1 ],(其中k 满足2k 1 n 2k ) 2 2 2 又由[ x1 x2 ] [ x1 ] [ x2 ], 得 1 1 1 n p [n( 2 +...+ k 1 )] [n k 1 ] n 1 2 2 2 2
例3：求2004!末尾的0的个数。
分析：末尾0的个数等于2004!的质因数分解中2 5的个数， 因为2 5, 2的个数比5的个数多, 从而只需求2004!中含有的 5的最高幂次，就是末尾0的个数。
解：根据知识要点y [ x ]的性质部分定理2, 得 2004 2004 2004 2004 [ ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 400 80 16 3 499 5 5 5 5 故2004! 末尾有499个0.
(2)当0 lg x 1时, 有[lg x] 0, 代入原方程得 lg x 2, 均不符合题意。
1 但 lg x 1不符合题意, lg x 1, x1 ; 10
(3)当1 lg x 2时, 与[lg x] 1, 代入原方程得 lg x 3, 但 lg x 3不符合题意, lg x 3, x2 10 3 . (4)当 lg x 2时,得x2 100, 原方程共有3个实根。
二、高斯函数y=[x]的性质
性质1：x R, x 1 [ x ] x . 性质2：函数y [ x ]是不减的函数，即x1 , x2 R, 若x1 x2 , 则[ x1 ] [ x2 ]. 性质3：若m Z , 则有[m x ] m [ x ],(其中x R ). 性质4：若x1 , x2 R, 则[ x1 x2 ] [ x1 ] [ x2 ]. 性质5：若n N * , 则[nx ] n[ x ],(其中x R ). x [ x] * 性质6：若n N , 则[ ] [ ],(其中x R ). n n
例7.对任意n N , x 0, 证明 : [nx ] (第10届美国数学竞赛题)
[ x ] [2 x ] [3 x ] [nx ] . 1 2 3 n
证：用数学归纳法 [2 x ] [nx ] 令An [ x ] , 2 n (1) A1 [ x ], 则n 1时, 命题成立.
分析：利用高斯函数定义，转化为[0,1)上关于{ x}的问题。
解：易知x 0, 因为x [ x ] { x }, 所以[ x ] x { x }, 原方程可化为x 3 x { x } 3 即： x 3 x 3 { x }, 注意到0 { x } 1, 有 x3 x 3 0 3 x x 3 1 解得1 x 2 x 0 所以[ x ] 1 代入原方程, 得x 3 4, 因此, x 3 4.
23 代入原方程有5 x 8 31 0, 得x 5 解法二：可由[ x ] x [ x ] 1及5 x 2[ x ] 31 0, 得 31 2[ x ] [ x] 1 26 31 5 不等式组 [ x] 7 7 31 2[ x ] [ x ] 5 23 又[ x ] Z , [ x ] 4, 再代入原方程求出x . 5
例2：用[ x ]表示不大于实数x的最大整数， 方程 lg 2 x [lg x] 2 0的实根的个数是多少？ （1995年全国高中数学联赛试题）
解：由高斯函数性质，知[lg x] lg x lg 2 x lg x 2 wk.baidu.com0即 1 lg x 2. (1)当 1 lg x 0时，有[lg x ] 1, 代入原方程得 lg x 1,
(1)若2n1 | n !, 则p n 1 于是[n n 2 ] n 1, k 1
k 1
n 2
k 1
1, 即：n 2k 1.
n n n (2)若n 2 , 则[ ] [ 2 ] ... [ k 1 ] n 1, 2 2 2 即n !中2的次数是n 1, 所以2n1 | n ! 由(1)、 (2)可知，原命题成立！
证法二：令f ( x ) [ x ] [2 x ] [4 x ] [8 x ] [16 x ] [32 x ], 且设方程的一个实根为x0 , 那么有f ( x0 ) 12345. 由高斯函数的性质知，f ( x )是不减函数， f (195) 12285 12345, f (196) 12348 12345 所以195 x0 196, 记y x0 195, 则0 y 1, 且f ( y ) [ x0 195] [2 x0 2 195] ... [32 x0 32 195] [ x0 ] [2 x0 ] ... [32 x0 ] ([195] [2 195] ... [32 195]) f ( x0 ) f (195) 12345 12285 60 另一方面，由于0 y 1, 因此n N * , 都有0 ny n, 从而有[ny ] n 1, 于是f ( y ) [ y ] [2 y ] [4 y ] [8 y ] [16 y ] [32 y ] 0 1 3 7 15 31 57 60矛盾。 故原方程无解。
最后，考虑[0,1)上p的值，由于0 p 1， 1 2 2m 1 使2mp为整数的p有0, , , ..., . 2m 2m 2m 这类解一共有2m个。 而m又可取1, 2, ..., n0 1, 因此，解的总数为： 2 1 2 2 ... 2( n0 1) ( n0 1)n0 . 再加上x n0这一个解 原方程的解共有 ( n0 1)n0 +1=n0 n0 1个。
(2)假设n k 1时命题成立, 即有 A1 [ x ], A2 [2 x ], , Ak 1 [( k 1) x ].因为, Ak Ak 1 [kx ] ,即kAk kAk 1 [kx ]对一切k 成立, k
所以kAk kAk 1 [kx ],( k 1) Ak 1 ( k 1) Ak 2 [( k 1) x ], , 2 A2 2 A1 [2 x ], A1 [ x ].相加得 : kAk ( A1 A2 Ak 1 ) [ x ] [2 x ] [( k 1) x ] [kx ] 故kAk [ x ] [2 x ] [( k 1) x ] [kx ] Ak 1 Ak 2 A2 A1 [ x ] [2 x ] [( k 1) x ] [kx ] [( k 1) x ] [( k 2) x ] [2 x ] [ x ] ([ x ] [( k 1) x ] ([2 x ] [( k 2) x ]) ([( k 1) x ] [ x ]) [kx ] [kx ] [kx ] [kx ] [ kx ] k[ kx ] Ak [kx ], 即n k时, 命题成立, 故原不等式对一切n N 均成立, 证毕.
性质1： { x } 0的充要条件是x Z . 性质2：若m Z , 则有{m x } { x },(其中x R). 性质3：若m aq r , m Z , a N * , m r 0 r a , 则{ } { }. a a
例1：解方程：x 3 [ x] 3.(第20届莫斯科数学竞赛题)
2
例6.求证：方程[ x] [2 x] [4 x] [8 x] [16 x] [32 x] 12345 无实数解。
分析:本题是一道关于高斯函数的证明题，证明的关键是 将[ x]适当变形，用反证法加以证明。
证法一：假设方程有实数解x m p( m [ x ] Z , p { x } [0,1)). 于是[ x ] m ,[2 x ] 2m [2 p],[4 x ] 4m [4 p],[8 x ] 8m [8 p] [16 x ] 16m [16 p],[32 x ] 32m [32 p], 代入原方程, 化简，变形得 [2 p] [4 p] [8p]+[16 p]+[32 p]=12345 63m 由于0 p 1,因而0 [kp] k 1( k 2, 4, 8,16, 32), 故0 12345 63m 1+3+7+15+31=57, 12288 12345 即： m 亦即195.04 m 195.95... 63 63 而这样的整数m不存在，故方程无实数解。
例5设n0为一个正整数,问方程x 2 [ x 2 ] ( x [ x])2 在区间[1, n0 ] 上有多少个解？
分析采用典型区间法及换元法，可作出解答。
解：易知x n0为方程的一个解，再考虑区间[1, n0 )内的解， 设x为原方程的一个解， 令[ x ] m ,{ x } p, 则x m p, 且0 p 1 即：x 2 m 2 2mp p 2 , 且0 p 1 代入原方程, 有m 2 2mp p 2 [m 2 2mp p 2 ] p 2 , 即2mp [2mp p 2 ]. 这是与原方程等价的方程，这表明，只要 2mp为整数， 则 m p就是一个解。
二、高斯函数y=[x]的性质
定理1：若n N * , x是正实数，则在区间[1, x ]中内， x 恰有[ ]个整数是n的倍数。 n 定理2：：若n N * , 则在n !的质因数分解式中， n n n 质数p的指数是[ ] [ 2 ] [ 3 ] ... p p p
三、函数y={x}的性质