高中数学第二章平面向量向量的加法学案北师大版必修

2．1 向量的加法

内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．

知识点1 向量的加法

(1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：

①作图：已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →

叫作a 与b 的和，记作a ＋b ；

②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量． (3)平行四边形法则：

①作图：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则向量AC →

叫作a 与b 的和，表示为a ＋b ＝AC →

； ②几何意义：平行四边形对角线所在的向量． 【预习评价】

1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →

，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形 答案 D

2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →

＝( ) A.BC → B.DA → C.AB → D.AC →

答案 A

知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .

(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．

特别地：对于零向量与任一向量a 的和有0＋a ＝a ＋0＝a . 【预习评价】

1．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC →

答案 C

2.AO →＋BD →＋OB →

等于________． 答案 AD →

题型一 向量加法法则的应用

【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .

解 (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →

＝a ＋b .

(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →

＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →

＝a ＋b .

规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．

【训练1】 已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .

解 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →

＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →

＝a ＋b ＋c .

题型二 向量加法及其运算律 【例2】 化简：

(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →

. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →

＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →

＝0.

规律方法 向量加法运算律的应用原则及注意点

(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：

①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； ②向量的和仍是向量；

③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．

【训练2】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB →＋AD →

＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →

＝________；

(3)AB →＋AD →＋CD →

＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →

＝________.

答案 (1)AC → (2)AO → (3)AD →

(4)0

方向1 向量加法在平面几何中的应用

【例3－1】 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →

. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．

证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .

∴四边形ABCD 为平行四边形． 方向2 向量加法在物理中的应用

【例3－2】 在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为23km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．

解 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为

v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．

在Rt △ABC 中，|BC →

|＝| v 1|＝2 3. |AB →

|＝|v 2|＝2， ∴|AC →

|＝|v |＝|AB →|2＋|BC →|2

＝22

＋

32

＝4.