高中数学第二章平面向量向量的加法学案北师大版必修

2．1 向量的加法内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．知识点1 向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：①作图：已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ；②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量． (3)平行四边形法则：①作图：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则向量AC →叫作a 与b 的和，表示为a ＋b ＝AC →； ②几何意义：平行四边形对角线所在的向量． 【预习评价】1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形 答案 D2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( ) A.BC → B.DA → C.AB → D.AC →答案 A知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．特别地：对于零向量与任一向量a 的和有0＋a ＝a ＋0＝a . 【预习评价】1．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC →答案 C2.AO →＋BD →＋OB →等于________． 答案 AD →题型一 向量加法法则的应用【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .解 (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．【训练1】 已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .解 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .题型二 向量加法及其运算律 【例2】 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →＝0.规律方法 向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； ②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．【训练2】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________；(3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0方向1 向量加法在平面几何中的应用【例3－1】 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 方向2 向量加法在物理中的应用【例3－2】 在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为23km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC →|＝| v 1|＝2 3. |AB →|＝|v 2|＝2， ∴|AC →|＝|v |＝|AB →|2＋|BC →|2＝22＋32＝4.tan θ＝|BC →||AB →|＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°. 方向3 向量加法在实际问题中的应用【例3－3】 如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法 应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算． (3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题． 易错警示 利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.课堂达标1．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N答案 B2．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.FD →＋DA →＋DE →＝0B.AD →＋BE →＋CF →＝0C.FD →＋DE →＋AD →＝AB →D.AD →＋EC →＋FD →＝BD →解析 FD →＋DA →＋DE →＝FA →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 故选D. 答案 D3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213. 答案 2134．在正六边形ABCDEF 中，AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.解析 AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝(AB →＋BC →)＋(BC →＋CD →)＋(CD →＋DE →)＋(DE →＋EF →)＋(EF →＋FA →)＋(FA →＋AB →) ＝(AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →)＋(BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＋AB →)＝0＋0＝0. 答案 05.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.基础过关1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同D ．不确定解析 如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 答案 A2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错． 答案 B3．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________.解析 (1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →. 答案 (1)DB → (2)CA →5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8. 答案 86.如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)由题图知，四边形OABC 为平行四边形，∴OA →＋OC →＝OB →. (2)由图知BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)∵OD →＝FE →， ∴OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0.7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 证明 ∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.能力提升8.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 B9．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的是( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤D ．③④⑤解析 a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选C. 答案 C10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0. 答案 011．已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中，正确的有________． ①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 解析 如图，以AB →、AC →为邻边作平行四边形ABCD ， 由于∠BAC ＝90°，则ABCD 为矩形． |AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|，故①正确． |AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|，故②正确． |AB →＋CA →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|.故③正确．又|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，故④正确． 答案 ①②③④12．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解 如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形．连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3.∴在Rt △BDC 中，CD ＝332. ∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3. 13．(选做题)如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝FA →.所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝0.。