函数的易错点分析

合集下载

中考数学易错题系列解决二次函数与一元二次方程中的常见错误

中考数学易错题系列解决二次函数与一元二次方程中的常见错误在中考数学考试中，二次函数与一元二次方程是一个重要的知识点，也是学生易犯错误的地方。

为了帮助同学们更好地掌握这部分内容并避免错误，本文将针对二次函数与一元二次方程的常见错误进行解析和解决方案，希望能为同学们在中考数学中的备考提供帮助。

一、二次函数中的常见错误及解决方法1.错误：对二次函数的顶点和轴线的理解不准确。

二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中二次项的系数a不为零。

顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），轴线方程为x=-b/2a。

很多同学在计算顶点时，容易弄错符号或漏掉除以2a的步骤，导致计算结果出现错误。

解决方法：在计算顶点坐标时，要注意对符号和运算的准确性。

如此题f(x)=2x²+4x+3，则计算顶点坐标的步骤为：x=-4/(2×2)=-1，代入函数得f(-1)=2×(-1)²+4×(-1)+3=1-4+3=0，所以顶点坐标为（-1，0）。

2.错误：对二次函数的图像特征理解不准确，如开口朝上还是朝下、图像与x轴的交点等。

二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定，开口朝上（a>0）或朝下（a<0）；图像与x轴的交点对应于方程f(x)=0的解，即求解一元二次方程的根。

解决方法：首先要理解二次函数图像的开口方向是由二次项的系数决定的。

例如f(x)=3x²-2x+1，由于a=3>0，所以图像开口朝上。

其次，在求解交点时，要将二次函数转化为一元二次方程，并应用求根公式或配方法求解。

典型案例：已知二次函数f(x)=x²-4x+3，求解方程f(x)=0的解。

解：将f(x)=0代入二次函数得x²-4x+3=0，该方程为一元二次方程，可以使用因式分解或求根公式求解。

方法一：因式分解法根据观察，可以将方程对应的二次函数写成(x-3)(x-1)=0的形式，再分别令两个因式为零，即得到方程的解为x=3和x=1。

二次函数常见易错题解析_二次函数易错题

二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。

在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。

下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。

解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。

但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。

为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。

易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。

解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。

在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。

因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。

易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。

解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见方法。

但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。

为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。

易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。

解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。

但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。

高二数学学习中常见的易错点分析

高二数学学习中常见的易错点分析数学作为一门理科学科，对于高中生来说，是一门既重要又难以掌握的学科。

在高二阶段，学生们将进一步深入学习数学，掌握更为复杂的概念和技巧。

然而，由于抽象性、逻辑性以及复杂性等特点，高二数学中常常出现一些难以理解和易错的知识点。

本文将对高二数学学习中常见的易错点进行分析，并提供相应的解决方法。

1. 函数的概念和性质函数作为高中数学的基础，是整个数学学习的重点之一。

其中，函数的定义、定义域、值域和图像是学生们容易混淆的概念。

常常出现的错误有：没有准确给出函数的定义，混淆定义域和值域，错误地绘制函数的图像等。

解决这些问题的方法是要求学生弄清楚函数的定义，理解定义域和值域的概念，并通过大量的练习加深对函数图像的认识。

2. 三角函数及其应用高二数学中的另一个重要内容是三角函数及其应用。

学生们常常在求解三角函数的正弦、余弦和正切值时出现错误，特别是在角度的弧度制和度数制之间转换时容易混淆。

此外，在解三角方程时，学生们也容易忽略基本解和一般解之间的联系，从而导致错误的答案。

为避免这些错误，学生们需要理解三角函数的定义和性质，熟练掌握角度的弧度制和度数制的转换规则，并通过反复练习提高解三角方程的能力。

3. 导数与极值问题微积分在高二数学中是一个重要的部分，涉及到导数与极值问题。

学生们常常在求导时出现规则运用错误、计算失误或符号混淆等问题。

同时，在极值问题中，学生们容易忽略关键条件或未进行全面的讨论。

为了避免这些错误，学生们需要熟练掌握导数的计算方法，清楚掌握求导规则，并通过多种题型的练习提高解极值问题的能力。

4. 组合与排列组合与排列是高二数学中的重要内容，也是学生们容易出错的地方。

常见的错误有：计算错位问题、计算排列组合数时顺序颠倒、未正确应用公式等。

为了解决这些问题，学生们需要深入理解组合与排列的概念和性质，掌握计算方法和公式，并通过大量的例题来提高应用能力。

5. 平面向量与立体几何平面向量和立体几何是高二数学中的重点难点内容，涉及到向量的基本运算、点与直线的位置关系、平面和空间几何等。

判别式法求函数值域易错原因分析

判别式法求函数值域易错原因分析
随着数学知识的普及，越来越多的学生正在探索函数和它们的性质。

判别式法是其中一种重要的方法，能够给出函数的值域。

然而，当涉及运算是，学生通常会出现不熟悉判别式法的情况，因而易出现各种错误。

首先，学生可能不清楚判别式法的总体概念，对于函数的性质缺乏理解，完全不知道如何使用判别式法进行求解。

其次，学生可能在应用判别式法中出现概念混淆，比如把判别式与函数值域互换，出现结论错误的情况。

再次，学生可能存在计算错误，包括算术错误、代数错误等。

最后，学生可能存在理解错误，比如混淆概念、不了解函数值域的定义等。

因此，在学习和应用判别式法时，有必要了解其概念，清楚判别式法的使用方法，并且加以运用。

在做判别式法题时，要仔细检查自己的运算步骤，正确使用数学符号和概念，仔细理解函数值域的定义。

另外，仔细阅读答案，并进行与自己的计算结果进行对比，以确保正确性。

如果发现自己已经错误，请不要马上放弃，应该把注意力重定向，利用错误的部分来纠正原有的理解和计算的方法，藉此来及时修正错误。

总之，通过多加练习，用正确的方法对判别式法进行学习和应用，就可以更好地掌握函数的值域求解方法，更准确、更有效地求出函数的值域。

由此可见，学习和运用判别式法求得函数值域还是需要充分的理
解与努力，通过坚持不懈的努力，把基本的概念学会，熟练掌握求解方法，才能避免因缺乏认识和技巧而导致的错误。

此外，在使用判别式法时，还要注意各种误区，努力规避可能出现的错误，以便获得更准确的结果。

剖析函数中定义域的易错点

剖析函数中定义域的易错点作者：赵清华来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一，是函数的灵魂.函数的定义域看似非常简单，然而在解决问题中若不加以注意，常常会误入歧途，导致失误.下面就学生在解题时所出现的几个易错点加以探讨.易错点1求函数解析式时不能忽视定义域.在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域否则所求函数解析式可能是错误的.例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为50米，求矩形的面积S关于矩形长x的函数解析式.解析设矩形的长为x米，则宽为（25-x）米.由题意得S=x（25-x），故函数解析式S=x（25-x）.如果解题到此为止，则本题的函数解析式还欠完整，缺少自变量x的范围，也就是说解题思路不够严密.因为从实际出发，矩形的长和宽均为正值，所以还应补上自变量x的范围：0评析这个例子说明，在求解函数的解析式时（尤其是在实际问题中），必须要注意到函数定义域的取值范围.易错点2求反函数时错解定义域.在求解一个函数的反函数时，忽略了求反函数的定义域就是求原函数的值域这一知识点，而是根据反函数解析式的本身求出其定义域导致出现错误.例2f（x）=a·2x+11+2x是R上的奇函数：（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f-1（x）.解析（1）利用f（x）+f（-x）=0 （或f（0）=0），求得a=1.（2）由a=1即f（x）=2x-12x+1.设y=f（x），则2x（1-y）=1+y，由于y≠1，故2x=1+y1-y，x=log21+y1-y，而f（x）=2x-12x+1=1-22x+1∈（-1，1），所以f-1（x）=log21+x1-x （-1评析在求解一个函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域来求解，而不能根据反函数解析式本身求解，最后要在反函数的解析式后标明（若反函数的定义域为R可省略）.易错点3判断奇偶性时易忽略定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以，在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域.例3判断函数f（x）=（x-1）x+1x-1的奇偶性.解析因为x+1x-1≥0 （x+1）（x-1）≥0，x-1≠0，x≤-1或x>1.所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1]∪（1，+∞）.由于函数f（x）的定义域在数轴上不关于原点对称，所以函数f（x）是非奇非偶函数.评析判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，再用奇偶性定义加以判断.如果定义域区间不关于坐标原点成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.易错点4判断单调性或求单调区间时忘记定义域.在判断函数的单调性或求函数的单调区间时必须是在定义域范围内，即必须保证函数有意义.例4求函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间.解析先求定义域，因为x2+2x>0，所以x>0或x令u=x2+2x，当x∈（-∞，-2）时，u为减函数，当x∈（0，+∞）时，u为增函数；又f（x）=log2u在（0，+∞）是增函数，所以函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）.评析如果在做此题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就会导致失误，得到错误的结论.易错点5求函数的值域时易忽视定义域.在求函数值域的相关问题中易忽视解析式本身对变量的约束关系，造成定义域范围的扩大，从而导致求解结果不准确.例5已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范围.解析由于（x+2）2+y24=1，得（x+2）2=1-y24≤1，所以-3≤x≤-1，从而x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283.因此当x=-1时x2+y2有最小值1，当x=-83时，x2+y2有最大值283.故x2+y2的取值范围是[1，283].评析在解决函数范围问题时，要注意几个参数之间的相互制约，要挖掘题目中内在的隐含条件，否则易出错.。

反比例函数易错点

反比例函数易错点一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x（k≠0）的函数，其中x≠0。

二、易错点1：定义域和值域1. 定义域：反比例函数的定义域是所有不为0的实数，即D={x|x≠0}。

2. 值域：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。

因此，值域为所有不等于0的实数集合R*。

三、易错点2：图像特征1. 对称轴：反比例函数的对称轴为y=x。

2. 渐近线：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。

因此，反比例函数有两条渐近线，分别为x轴和y轴。

四、易错点3：变形公式1. y=k/x+b（k≠0）：在原来的反比例函数上平移b个单位。

2. y=k/(x-h)（k≠0）：在原来的反比例函数上左右平移h个单位。

3. y=-k/x（k≠0）：将原来的反比例函数关于y轴翻转。

五、易错点4：应用题1. 求解问题时需要注意题目中给出的条件，并根据条件列出方程式。

2. 在解方程式时需要注意分母不能为0，若分母为0则无解。

3. 在求解过程中需要注意单位的转换，例如长度、面积、体积等。

六、完整函数：/*** 反比例函数易错点* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportion(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = k / x;return y;}/*** 变形公式：y=k/x+b（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} b - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithB(k, x, b) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数''); }const y = k / x + b;return y;}/*** 变形公式：y=k/(x-h)（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} h - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithH(k, x, h) {if (x === h || x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数，且x≠h''); }const y = k / (x - h);return y;}/*** 变形公式：y=-k/x（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionNegative(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = -k / x;return y;}/*** 应用题：已知反比例函数y=k/x，当x=2时，y=3，求k。

指数函数与对数函数易错点剖析

ʏ郑欣易错点1:利用分段函数的单调性时,忽略分段点例1已知函数f(x)= (a-2)x+1,xɤ1,l o g a x,x>1,若f(x)在(-ɕ,+ɕ)上单调递增,则实数a的取值范围为()㊂A.(0,1)B.(2,3]C.(1,2)D.(2,+ɕ)错解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂综上所述,a>2㊂应选D㊂剖析:分段函数在R上单调递增,在每一段都是递增的,在分段点处也是递增的㊂正解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂在分段点x=1处,由a-3ɤl o g a1=0,解得aɤ3㊂综上所述,实数a的取值范围是(2,3]㊂应选B㊂易错点2:求单调区间时,忽略函数的定义域例2函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间是()㊂A.(-ɕ,-2)B.(-ɕ,1)C.(1,+ɕ)D.(4,+ɕ)错解:因为内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ,1)上单调递减,在区间(1,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,所以复合函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(1,+ɕ)㊂应选C㊂剖析:求函数的单调性往往容易忽略定义域㊂要使函数f(x)=l g(x2-2x-8)有意义,需要x2-2x-8>0,在优先考虑定义域的前提下,才能讨论函数f(x)=l g(x2-2x-8)单调性㊂正解:对于函数f(x)=l g(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函数f(x)=l g(x2-2x-8)的定义域为(-ɕ,-2)ɣ(4,+ɕ)㊂内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ, -2)上单调递减,在区间(4,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,结合复合函数的单调性,可得函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+ɕ)㊂应选D ㊂1.函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为()㊂A.(-ɕ,2]B.[2,+ɕ)C.[2,6]D.[-2,2]提示:对于函数y=-x2+4x+12,由-x2+4x+12ȡ0,可得x2-4x-12ɤ0,解得-2ɤxɤ6,所以此函数的定义域为[-2, 6]㊂内层函数u=-x2+4x+12在区间[-2,2]上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,外层函数y=u为定义域上的增函数,故此函数的单调递减区间为[2,6]㊂应选C㊂2.已知函数f(x)= (1-3a)x+10a(xɤ7),a x-7(x>7),且对定义域内的x1,x2(x1ʂx2)都满足f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则实数a的取值范围是㊂提示:由题意可得函数f(x)在定义域内是减函数,结合分段点处函数值的大小关系可得1-3a<0,0<a<1,(1-3a)ˑ7+10aȡa7-7=1,解得13< aɤ611,所以实数a的取值范围是13,611㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)73易错题归类剖析高一数学2023年11月。

三角函数题型常见的八个易错点

三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1：角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1：已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2：已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2：如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3：若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3：若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4：为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4：将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5：已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5：（1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6：已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6：（1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7：函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7：已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8：在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8：已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。

易错点5误认为函数的极值点就是导数的零点

易错点5 误认为函数的极值点就是导数的零点1.“极值”:若在点x a =附近的左侧()0f x ¢<，右侧()0 f x ¢>，则a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；若在点x b =附近的左侧()0f x ¢>，右侧()0f x ¢<，则b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2.“导数为0”：若()f x 可导，且()00x y f x x =是的极值，则是()0f x ¢=的解；若0x 是()0f x ¢=的解，()0x y f x =不一定是的极值点；两侧一定要异号.3.易错点：解题时求得导数为0，就认为是极值点，从而造成错误.典例1 已知函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，则()1f ¢=（）A ．6B ．12C ．24D ．12或24审题：根据函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，结合极值的定义可得两个关系，解出方程组即可求出a 、b ，但一定要检验，这是易错点.解析：由()3223f x x ax bx a =+++，得()236f x x ax b ¢=++．因为()f x 在=1x -处有极值0，所以()()10,10,f f ì-=-=¢ïíïî即2130,360,a b a a b ì-+-+=í-+=î解得1,3a b =ìí=î或2,9.a b =ìí=î【避陷阱】导数值为零的点不一定是极值点，例如，函数()()3,00f x x f ¢==，但是0不是函数()f x 的极值点，对于可导函数来说，()00f x ¢=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，因此要进行检验当1,3a b =ìí=î时，()223633(1)0f x x x x ¢=++=+³，则()f x 在R 上单调递增，函数无极值，舍去．当2,9a b =ìí=î时，()23129f x x x ¢=++，令()0f x ¢=，得=1x -或3x =-，经检验=1x -和3x =-都为函数的极值点．综上，2,9,a b =ìí=î所以()13624f a b =++=¢．故选C ．典例2 （2024江苏镇江9月诊断性考试）若函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,3C ．()()0,19,È+¥D ．()()0,39,+¥U 审题：函数问题首先要考虑定义域，这是前提，题中要求函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，说明其导数要经历由正到负、由负到正的过程，讲问题转化为二次函数根的分布形式.解析由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()22332121-+¢=-+=a ax x f x x x x x 【补漏洞】解函数问题要有定义域优先意识，尤其是解析式含分式、根号、对数等形式时由题意知函数()f x ¢有2个大于0的变号零点，即关于x 的二次方程2210ax x -+=有两个不相等的正根，设为12,x x ，【补盲点】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题则1212Δ440,20,10,a x x a x x a ìï=->ïï+=>íïï×=>ïî解得01a <<，即a 的取值范围为()0,1．故选A ．典例3 （2024安徽滁州10月检测）已知()e ln xa f x x x x=+-有2个极小值点，则（）A ．1e a ³ B ．10e a << C ．e a £ D ．ea ³审题：别忘了函数首先要考虑定义域，根据题中()e ln xa f x x x x =+-有2个极小值点，转化为导数有三个零点，对a 的讨论是本题的重点和难点.解析：由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()()()()2222e 1e 1e e 1e 11e e x x x x x x x a x x x x x f x a x a x x x x x ---æö=×+-=-=--çè¢÷ø．由连续函数()f x 有2个极小值点知()f x ¢有3个大于0的变号零点，从而e xxy a =-有2个大于0的变号零点，且零点不为1，从而0a >且1ea ¹．【避陷阱】切勿将函数存在2个极小值点简单转化为导函数有2个零点，结合函数图象的变化趋势，将函数的极值点转化为导函数的变号零点，进而转化为函数e xxy a =-在()0,¥+上的变号零点，注意其零点不能为1x =当0a >且1e a ¹时，令()(),0,e x x g x x =Î+¥，则()()2e e 1e e x x x x x x g x --==¢，令()0g x ¢=，得1x =，所以当()0,1x Î时，()()0,g x g x ¢>单调递增，当()1,x Î+¥时，()()0,g x g x ¢<单调递减，则()max 1()1eg x g ==，易知()0g x >，且当x ®+¥时，()0g x ®．作出函数()g x 的大致图象，如图所示，结合图象可知，当10e a <<时，函数()g x 的图象与直线y a =有2个交点，满足函数ex x y a =-有2个大于0的零点，且零点不为1．若10ea <<，则存在()()0,1,1,m n ÎÎ+¥，使得()()g m g n a ==，即()()0f m f n ¢¢==，所以当()0,x m Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x -<-><¢单调递减，当(),1x m Î时，10x -<，()()0,0,e xxa f x f x ¢-<>单调递增，当()1,x n Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x ->-<<¢单调递减，当(),x n Î+¥时，()()10,0,0,ex xx a f x f x ->->>¢单调递增，所以当10ea <<时，()f x 有2个极小值点，符合题意．【补盲点】由函数e xxy a =-有2个大于0的零点，且零点不为1只能得到函数()f x 存在3个极值点，但并不能保证其存在2个极小值点，故需检验综上所述，当10ea <<时，()f x 有2个极小值点．故选B ．（23-24高三上·天津滨海新·期中）1．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极小值3-，则b a -的值等于（）A ．0B ．2-C ．4-D ．6（2024·辽宁葫芦岛·一模）2．已知函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，则a 的取值范围是（）A ．e ,2æù-¥çúèûB ．e ,2æö-¥ç÷èøC ．[0,e)D ．e 0,2éùêúëû（2024·河北承德·二模）3．设a 为实数，若函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，则=a （）A ．1B ．12C ．0D ．1-（23-24高三下·江苏连云港·期中）4．若函数()e x f x ax =-有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．ea <B ．1ea <<C ．1a >D ．01a <<（23-24高三下·广东潮州·期中）5．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x ¢，如图是函数()y xf x =¢的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的增区间是()()2,0,2,¥-+B ．函数()f x 的减区间是()(),2,2,¥¥--+C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点（23-24高三下·安徽芜湖·期中）6．如图所示为函数()f x 的图象，()f x ¢是()f x 的导函数，12x =和2x =分别为极大值点和极小值点，则不等式()023f x x <-¢的解集为．（2024·陕西铜川·三模）7．若函数()2ln xf x ax x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围为 .（2024高三·全国·专题练习）8．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x ¢为()f x 的导数.(1)讨论()f x ¢的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】对函数求导，利用()13f =-以及()10f ¢=解出,a b ，进而得出答案．【详解】由题意得()21222f x x ax b ¢=--，因为在1x =处有极小值3-，所以()()11222014223f a b f a b ì=--=ïí=--+=-¢ïî，解得3,3a b ==，所以()()()212666211f x x x x x ¢=--=+-，令()()()02110f x x x ¢>Þ+->，解得1x >或12x <-，故函数()f x 在()1,+¥和1,2æö-¥-ç÷èø上为增函数，令()()()02110f x x x ¢<Þ+-<，解得112x -<<，故函数()f x 在1,12æö-ç÷èø上为减函数，所以()f x 在1x =处有极小值，符合题意，所以0b a -=，故选：A.2．D【分析】求导数确定单调性，讨论x 的取值范围可得结果.【详解】由题意得，()e 2x f x ax ¢=-，故()010f ¢=＞，因为函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，所以()0f x ¢³在R 上恒成立，当x ＞0时，e 2xa x£，设()e 2x g x x =，则()()221e2e 2e 42xx x x x g x x x --=¢=，当01x ＜＜时，得()0g x ¢＜，当1x ＞时，得()0g x ¢＞，则()g x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增，从而()()e12g x g ¢=¢³，故2e a £，当0x ＜时，e 02xx＜，则0a ³.综上，e 02a ££.故选：D.3．B【分析】求出函数的导数，根据极值点求出a 的值，然后根据极值的概念检验即得．【详解】由题可得2()2(2)f x x ax x x a ¢=-=-，令()0f x ¢=，解得；0x =或2x a =，因为函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，所以21a =，即12a =，当12a =时，()()1f x x x ¢=-，()00¢>Þ<f x x 或1x >，()001f x x <Þ<<¢所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在(,0),(1,)-¥+¥上单调递增，满足题意.故选：B.4．C【分析】求导0a £和0a >讨论，当0a >时求出极值点，根据极值点大于零求解可得.【详解】()e ¢=-x f x a（1）0a £时，()e 0x f x a ¢=->，()f x 在定义域上单调递增，不满足题意；（2）0a >时，令()e 0x f x a ¢=-=得ln x a =，当ln x a <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以，当ln x a =时，()f x 取得极小值，由题知ln 0a >，解得1a >.综上，实数a 的取值范围为1a >.故选：C 5．D【分析】由已知易得()f x 的单调区间，进而可判断()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值，可得结论.【详解】由图及题设，当02x <<时，()0f x ¢<；当()2,0x f x ¢>>；当20x -<<时，()0f x ¢<；当<2x -时，()0f x ¢>；即函数()f x 在(),2¥--和()2,¥+上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A ，B ，C 错，D 正确.故选：D.6．13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU 【分析】根据函数的图象和题设条件，得到()0f x ¢<和()0f x ¢>的解，结合所求不等式，分类求解即得.【详解】由题意，结合函数()f x 的图象，可知由()0f x ¢>可得12x <或2x >，由()0f x ¢<可得122x <<.而()023f x x ¢<-(23)()0x f x ¢Û-<，由230()0x f x -><¢ìíî可得230122x x ->ìïí<<ïî，解得322x <<；由230()0x f x -<>¢ìíî可得230122x x x -<ìïíïî或，解得12x <.综上可得，不等式()023f x x ¢<-的解集为13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .故答案为：13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .7．410,6e æöç÷èø【分析】将导数方程参变分离，转化为()3ln 12x g x x -=与y a=由两个交点的问题，利用导数讨论()g x 的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.【详解】()f x 的定义域为()0,¥+，()21ln 2xf x ax x -=+¢，令()0f x ¢=，得3ln 12x a x -=.令()3ln 12x g x x -=，则()443ln 2x g x x -¢=.令()00g x ¢=，则03ln 4x =，即04ln 3x =，即340e x =.当00x x <<时，()()0,g x g x ¢>单调递增；当0x x >时，()()0,g x g x ¢<单调递减.()0max0344041ln 113()22e 6e x g x g x x --\====，又当x 趋近于0时，()g x 趋近于-¥；当x 趋近于+¥时，()g x 趋近于0，作出()g x 的草图如图，由图可知，当4106e a <<时，方程3ln 12x a x -=有两个正根，从而函数()f x 有两个极值点.【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.8．(1)答案见解析(2)12a >【分析】（1）令()()g x f x ¢=，求出导函数，再分0a £和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a £、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--¢，令()()21x g x f x ax =-¢=-e ，则()e 2xg x a ¢=-，答案第5页，共5页当0a £时，()0,()g x f x ¢¢>在区间(),-¥+¥单调递增，当0a >时，令()0g x ¢=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ¥Î-时，()0g x ¢<，当()ln2,x a Î+¥时，()0g x ¢>，∴()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增，综上所述，当0a £时，()f x ¢在区间(),-¥+¥上单调递增；当0a >时，()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增．（2）当0a £时，()00f ¢=，由（1）知，当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢<在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f ¢=，由（1）知，当()ln2,0x a Î时，()()0,f x f x ¢<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x Î-¥+¥时，()()0,f x f x ¢³在(),-¥+¥上单调递增，∴()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f ¢=；当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢>在(),0¥-上单调递增；当()0,ln2Îx a 时，()()0,f x f x ¢<在()0,ln2a 上单调递减；∴0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >．。

易错点10函数零点定理使用不当致误

易错点16 对等差、等比数列的性质理解错误
错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。
Байду номын сангаас
易错点8 求函数奇偶性的常见错误
错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。
三、数列
易错点14 用错基本公式致误
错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2；等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn－1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。

三角函数易错知识点总结

三角函数易错知识点总结三角函数是数学中的重要概念，也是很多人在学习数学时容易出错的知识点之一。

本文将总结一些常见的易错知识点，帮助读者更好地理解和掌握三角函数。

一、角度与弧度的转换在三角函数中，角度和弧度是两种表示角度大小的方式。

角度是我们常用的度数表示方式，而弧度是数学上常用的表示方式。

在使用三角函数时，经常需要将角度和弧度进行转换。

角度转弧度的公式为：弧度 = 角度× π/180弧度转角度的公式为：角度 = 弧度× 180/π在进行转换时，很多人容易混淆转换公式，导致计算错误。

因此，在使用三角函数时，一定要注意角度和弧度的转换。

二、正弦函数和余弦函数的区别正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中应用广泛。

但很多人容易混淆这两个函数的图像和性质。

正弦函数的图像是一条波浪线，它的取值范围在-1到1之间。

而余弦函数的图像是一条类似于正弦函数的波浪线，但相位不同，取值范围也在-1到1之间。

正弦函数和余弦函数在性质上也有一些区别。

例如，正弦函数在原点处取得最小值0，而余弦函数在原点处取得最大值1。

另外，正弦函数的图像是奇函数，对称于原点，而余弦函数的图像是偶函数，对称于y轴。

三、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即函数图像在一定区间内重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在0到2π之间图像会重复出现。

这一点很多人容易忽略，在计算三角函数值时没有考虑到周期性，导致结果错误。

因此，在使用三角函数时，一定要注意函数的周期性，根据需要进行相应的调整。

四、三角函数的性质除了周期性外，三角函数还具有一些其他的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

而正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集。

三角函数还具有一些重要的性质，如奇偶性、单调性和最值等。

在使用三角函数时，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和计算三角函数的值。

五、特殊角的三角函数值特殊角是指具有特殊取值的角度，如0度、30度、45度、60度、90度等。

反比例函数易错点分析及处理办法

反比例函数易错点分析及处理办法反比例函数是在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数的内涵，感受现实世界存在的各种函数以及如何应用函数解决实际问题。

本章重点是反比例函数的概念、图象和性质。

难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握。

本章学生不易掌握的知识：由反比例函数图归纳其性质，反比例函数与正比例函数结合进行综合运用，以及反比例函数知识在实际中的应用。

学生易犯的错误：1、利用反比例函数定义求待定系数值时，容易漏掉系数（K ≠0）不等于零的情况。

如，当m 为______时，函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数。

学生容易仅以1132-=++m m ，解得11-=m ，22-=m 。

教学时老师要注意强调1-=kx y 中的K ≠0是反比例函数定义的重要组成部分。

本题的m 不仅满足1132-=++m m 而且要满足m+1≠0.2、已知图象上的两点的横坐标（或纵坐标）的大小情况，判定其纵坐标（或横坐标）的大小情况。

如在函数xy 3-=的图象上有三点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),(x 3,y 3),且x 1＜x 2＜x 3 ，则函数y 1,y 2,y 3 的关系为___________.学生容易错解为：y 随x 增大而增大，所以y 1＜y 2＜y 3。

老师教学时要强调反比例函数的性质：K ＜0时，图象在第二、四象限内，且在每一象限内，y 随x 增大而增大，当点不在一个象限内时，不能用该性质进行判断。

3、求解析式时，既有正比例函数又有反比例函数，出现两个比例系数，学生往往不能加以区别。

如，已知y=y 1+y 2,y 1与x+1成正比例，y 2与x 成反比例，当x=4时，y=5；当x=1时，y=0,求y 与x 的关系式。

学生容易写成：y 1=k(x+1),y 2=xk .导致错误的原因是对正比例函数与反比例函数的学习比较不够全面。

在教学时要注意：1、注意处理好新旧知识的衔接。

高中数学易错点对数函数的陷阱与解析

高中数学易错点对数函数的陷阱与解析在高中数学的学习中，对数函数是一个重要的知识点，但同时也是同学们容易出错的地方。

本文将深入探讨对数函数中常见的陷阱，并进行详细的解析，帮助大家更准确地理解和运用对数函数。

一、对数的定义理解不清对数的定义是：如果 a^x ＝ N（a＞0 且a≠1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。

在这个定义中，同学们容易忽略底数 a的取值范围，以及真数 N 的取值范围。

例如，logₐ0 是没有意义的，因为任何数的 0 次幂都不等于 0。

同样，logₐ(－1) 也是没有意义的，因为正数的任何次幂都是正数。

另外，对数中的底数 a 必须大于 0 且不等于 1。

如果忽略了这些限制条件，在解题时就容易陷入错误。

二、对数的运算性质使用不当对数的运算性质有：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN；logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN；logₐMⁿ ＝nlogₐM。

在使用这些运算性质时，同学们经常会出现以下错误：1、忽略底数相同的条件例如，log₂3 ＋log₃4 不能直接运用加法运算性质，因为底数不同。

2、忽略真数大于 0 的条件在计算 log₂(x 1) ＋ log₂(x ＋ 1) 时，如果不考虑 x 1＞0 且 x ＋ 1＞0 这个条件，就可能得出错误的结果。

3、对运算性质的逆用不熟练例如，已知logₐM ＋logₐN ＝logₐ(MN)，那么当遇到logₐM ＋logₐN 的形式时，要能够想到将其转化为logₐ(MN)。

三、对数函数的定义域和值域对数函数 y ＝logₐx（a＞0 且a≠1）的定义域是 x＞0，值域是 R。

在求对数函数的定义域时，同学们容易忽略真数大于 0 这个条件。

例如，函数 y ＝ log₂(x² 1) 的定义域，需要满足 x² 1＞0，解得 x＞1 或 x＜－1。

在求对数函数的值域时，要根据对数函数的单调性来确定。

一次函数章节易错题型分析

一次函数章节易错题型分析易错点一：一次函数的概念例题1.下列语句不正确的是（ B ） A ．所有的正比例函数都是一次函数B ．一次函数的一般形式是C ．正比例函数和一次函数的图象都是直线D ．正比例函数的图象是一条过原点的直线【解析】A 、所有的正比例函数肯定是一次函数，命题正确；B 、一次函数的一般形式是y =kx +b （k ≠0），命题错误，符合题意；C 、正比例函数和一次函数图像都是直线，命题正确；D 、正比例函数图像是直线，过原点，命题正确．【总结】此题主要考查一次函数和正比例函数的定义、图像，解题关键是牢记这些基本知识，所有正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数．【变式1】下列函数中，哪些是一次函数?（1）232y x =-；（2）12y x -=；（3）(5)(0)y m x m =-≠；（4）1(0)y ax a a=+≠；（5）(0)k y kx k x=+≠；（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．答案:（2）、（3）、（4）、（6）．【解析】判断是否是一次函数，要整理成(0)y kx b k =+≠的形式，一次函数有x 要是一次，0k ≠且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式．【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应k b ，．【变式2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；y kx b =+（2）当m =________时，函数215(4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．【答案】（1）k ≠；（2）4m =-．【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠，所以k ≠；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠其中，x 要是一次，所以4m =±，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以4m -（）不能为0，所以4m =-．【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解．【变式3】已知一次函数()23317k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．【答案】2k =．【解析】由一次函数的概念可知：10k -≠，且2331k k --=，解得：1k =或2k =，又因为1k ≠，所以2k =．【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解．易错点二：一次函数的平移例题1.已知直线23y x =-，把这条直线沿y 轴向上平移5个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，求两次平移后的直线解析式? 【答案】24y x =-．【解析】根据一次函数图形平移规律：上加下减，左加右减．可知把这条直线沿y 轴上移5个单位，得23522y x x =-+=+，再沿x 轴右移3个单位，得2(3)224y x x =-+=-．【总结】考察一次函数图像的平移与解析式之间的关系．【变式1】将直线y =+1向右平移1个单位，相当于将直线y =+1向上平移了多少个单位?【解析】一次函数1y =+右移一个单位，解析式变为1)11y x =-+=+，则相当于1y =+【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．易错点三：已知一次函数与坐标轴围成图形面积求一次函数解析式双解问题例题1.（1）一次函数3y x b =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b 的值；（2）一次函数y kx b =+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，求一次函数的解析式．【答案】（1）b =±2）14y x =或14y x =-．【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠与两轴围成的三角形面积公式是22b s k =，所以24823b =⨯，解得：b =±；（2）同理可知，2102b b k ==，14k =±，所以一次函数的解析式为14y x =或14y x =-．【总结】一次函数与两轴围成的面积公式22b s k=，注意双解的情况．【变式1】已知一次函数y kx b =+（0k ≠）与x 轴、y 轴围成的三角形面积为24，且与直线4733y x =-平行，求此一次函数的解析式．【答案】448833y x y x =+=-或．【解析】由一次函数与两轴围成的直角三角形面积公式为22b S k =，与直线4733y x =-平行可知k 相等，即43k =，代入面积公式22b S k =，224423b =⨯，得8b =±，所以一次函数的解析式为448833y x y x =+=-或．【总结】考察一次函数与坐标轴围成的三角形的面积问题，注意分类讨论．易错点四：一次函数与不等式关系例题1如图，直线与x 轴交于点（-4，0）则当y ＞0时，x 的取值范围是（） A ．x ＞-4 B ．x ＞0C ．x ＜-4D ．x ＜0【答案】 A【解析】根据题意，结合图像，通过观察可知y ＞0，即为图像在x 轴上方的部分，可知x ＞-4．【总结】本题主要考查的是一次函数的图像及其变量取值范围间的关系，解答此类题型的关键在于利用数形结合思想，理清题意结合图像进行解答．【变式1】如图一次函数的图像如图所示，如果，那么x 的取值范围是____________．y kx b =+y kx b =+0kx b +>【答案】x ＜2【解析】直线y =kx +b 与x 轴交点坐标是（2，0），由函数图像可知，y ＞0时，直线在x 轴上方，所以x ＜2．【总结】主要考查运用函数图像解一元一次不等式，考查分析能力和读图能力．【变式2】如图所示，直线经过A （1，2）和B （3，0）两点，则不等式组的解集是多少?【答案】10x -<<．【解析】直线y =kx +b 经过A （-1，2）和B （-3，0），解得直线解析式为：y =x +3，则不等式组可以转化为133x x -+<+<，解得：10x -<<．【总结】本题考查一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是观察图形，做到数形结合．易错点五：一次函数的应用之分配方案问题例题1.某公司有A 型产品40件，B 型产品60件，分配给下属甲乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：y kx b =+--13x kx b -+<+<关于x 的函数关系式，并求出定义域的取值范围；（2）若公司要求利润不低于17560元，则有多少种不同的分配方案，并将方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A 型产品让利销售，每件让利a 元，但让利后A 型产品的每件利润仍高于甲店B 型产品的每件利润，甲店的B 型产品以及乙店的A 、B 型产品的每件利润不变，问该公司如何设计分配方案，使总利润达到最大? 【答案】（1）W =20x +16800（1040x ≤≤）；（2）x =38时，甲店A 型38件，B 型32件，乙店A 型2件，B 型28件；x =39时，甲店A 型39件，B 型31件，乙店A 型1件，B 型29件； x =40时，甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件；（3）W =（20-a ）x +16800． ①当0＜a ＜20时，x =40，即甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件，能使总利润达到最大；②当a =20时，10≤x ≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样；③当20＜a ＜30时，x =10，即甲店A 型10件，B 型60件，乙店A 型30件，B 型0件，能使总利润达到最大．【解析】（1）依题意，甲店B 型产品有（70-x ）件，乙店A 型有（40-x ）件，B 型有（x -10）件，则（1）W =200x +170（70-x ）+160（40-x ）+150（x -10）=20x +16800．（2）由W =20x +16800≥17560，∴x ≥38，∴38≤x ≤40，x =38，39，40．∴有三种不同的分配方案．①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．（3）W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800．①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大；②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样；③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．【总结】考查一次函数图像在实际问题中的应用．【变式1】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：（1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)．【答案】（1）2100y x =+，有3种购买方案：0台A 型，10台B 型、1台A 型，9台B 型、2 台A 型，8台B 型；（2）选择1台A 型9台B 型；（3）42.8万元．【解析】（1）2100y x =+，由2100105x +≤，得0 2.5x ≤≤，所以x =0、1、2；（2）()240200102040x x +-≥，得1x ≥，所以x =1、2，又因为y 随着x 的增大而增大，故为了节约资金，应取x =1，即选择1台A 型9台B 型；（3）10年企业自己处理污水的总资金为：102+10×10=202（万元），若将污水排到污水处理厂，费用为2040×12×10×10=244.8（万元），所以节约资金为：244.8-202=42.8万元．【总结】考查一次函数在实际问题中的应用，最优方案的问题，解题时注意分析．易错点六：一次函数在几何图形中的应用例题1.如图，一次函数3y =+与坐标轴交于A 、B 两点，且点P 是坐标轴上一点，△ABP 为等腰三角形．（1）求∠ABO 的大小；（2）求出P 点的坐标．【答案】（1）ABO ∠=60°；（2）1P （0）、 2P （0）、3P （0，-3）、4P （0，5P （0，6P （0，1）．【解析】（1）由3y =+，可得：A （0，3）、B 0），所以OA =3，OB =所以AB OAB ∠=30°，ABO ∠=60°；（2）当BA BP =时，1P （0）、 2P （0）、3P （0，-3）；当AB AP =时，4P （0，5P （0，当PA PB =时，6P （0，1）．【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意等腰的分类讨论．【变式1】如图，一次函数y ax b =-与正比例函数y kx =的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于(04)B -，，且OA=AB ，△OAB 的面积为6．（1）求两函数的解析式；（2）若(20)M ，，直线BM 与AO 交于P ，求P 点的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）正比例函数23y x=，一次函数243y x=--；（2）P（3，2）；（3）E（-1，0）或（-11，0）．【解析】（1）过A作AH⊥x轴，可求得AH=3，2OH BH==，所以A（-3，-2），所以正比例函数解析式为23y x=，由A（-3，-2）、(04)B-，，可求得一次函数解析式为243y x=--；（2）由(04)B-，、(20)M，，可求得直线BM的解析式为24y x=-．令23x=24x-，解得：3x=，所以P（3，2）；（3）过点A作AF⊥x轴于点F，则1(24)392OBAFS=⨯+⨯=梯形，设(0)E a，，当119(3)24522ABES a a=-⨯-⨯-⨯⨯=，解得：1a=-；当1149(3)2522ABES a a=⨯⨯--⨯-⨯=，解得：11a=-，综上，E点的坐标为（-1，0）或（-11，0）．【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意对面积的分类讨论．例题2.已知直角坐标平面上点A（2，0），P是函数y=x（x＞0）图象上一点，PQ⊥AP交y 轴正半轴于点Q ．【答案】（1）略；（2）22b a =-；（3）或【解析】（1）作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，可证△PAE ≌△PQF ；（2）P （a ，a ），由（1）得AE =QF ，即2a a b -=-，整理得：22b a =-；（3）22222AOQ APQ S a S a a =-=-+，，由23AOQ APQ S S =△△，可得2550a a -+=，解得：a =，所以点P 的坐标为或．【总结】考查一次函数在几何图形中的应用，注意利用相关性质解题．例题3.如图，在直角梯形COAB 中，CB ∥OA ，以O 为原点建立直角坐标系，A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，8），CB =4，D 为OA 中点，动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t 秒．（1）求AB 的长，并求当PD 将梯形COAB 的周长平分时t 的值，并指出此时点P 在哪条边上；（2）动点P 在从A 到B 的移动过程中，设△APD 的面积为S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出t 的取值范围；（3）几秒后线段PD 将梯形COAB 的面积分成1：3的两部分?求出此时点P 的坐标?【答案】（1）AB =10，11t =，此时点P 在CB 边上；（2）2S t =（010t ≤≤）；（3）1P （295，285）、2P （0，285）．【解析】（1）由题意，知10OA =，8OC =，过点B 作OA 边上的高，利用勾股定理，可得AB =10，由10104852t ++++=，得11t =，此时点P 在CB 边上；（2）过P 作PH ⊥x 轴，则PH =45t ，所以145225S t t =⨯⨯=；（3）56COAB S =当P 在线段AB 上时，令2S t ==14，解得：7t =，则PH =285，AH =215，OH =295，所以1P （295，285）；当P 在线段AB 上时，令14ODP S =，解得：OP =285，所以2P （0，285）．【总结】考查一次函数在几何图形中的应用，综合性较强，注意认真分析．。

三角函数易错点分析及对策

］，则ｓｉｎ２ｘ＝１一ｔ。，，（ｚ）一一ｔ＋２＋４＝＝＝一（ｔ－
１）。＋５．所以当ｔ一１时，ｆ（ｚ）一５；当ｔ一一时，
ｆ（ｚ）一２ —２．
点在做题时如果换元了，假如不考虑换元后新谇元的范围，是一定会出错的．因此换元后一
ｃ。ｓ一ｏ．又＞ｏ，得了３ｏ９７￣一号＋忌７ｃ，忌一０，１，２，
ｎ
…
．
１的常数）的两根为ｔａｎａ，ｔａｎｐ，且ａ、卢 ∈ （一号，号），
则ｔａｎ的值是
象关于点Ｍ对称，得（荨￣ｒ－ｘ）一一，（丌＋）．取
ｚ一０，得厂（｛兀）一一厂（丢），，（丢）一ｏ．
因为 ’ ３兀）一ｓｉｎ（＋号）一ｃ。ｓ，所以
春
马虎，只有这样才能解决有关分类讨论问题．
呈量霉
题就应该马上联想到根与系数的关系，由此就不会
出错．
调函数，不进行讨论，故对 ≥ １０／３不能排除．解决这类问题的方法是注意培养习惯，建立起分类讨论的思
∈ （一号 ’ Ｏ）．由ｔａｎｃａ一
＝＝：
一
号）在［０，号］上是减函数；当愚 ≥ ２时， ∞ ：＝：警，厂（）一

高一函数及其概念易错点总结

高一函数及其概念易错点总结
1.
函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

易错点在于理解“唯一性”和“对应关系”。

2.
函数的表示方法：函数可以用表达式、表格、图像等多种方式表示。

易错点在于混淆不同的表示方法，如将函数的表达式与函数的值混淆。

3.
函数的性质：函数具有单值性、连续性、可导性等性质。

易错点在于理解这些性质的具体含义和应用。

4.
函数的运算：函数可以进行四则运算、复合运算、反函数运算等。

易错点在于理解运算规则和运算结果。

5.
函数的图像：函数的图像可以直观地展示函数的性质和特点。

易错点在于理解图像的意义和如何从图像中获取信息。

6.
函数的应用：函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。

易错点在于理解函数的应用背景和方法。

7.
函数的分类：函数可以分为实数函数、复数函数、有理函数、无理函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

易错点在于理解各种函数的特点和应用。

8.
函数的极限：函数的极限是研究函数变化趋势的重要工具。

易错点在于理解极限的概念和计算方法。

9.
函数的连续性：函数的连续性是研究函数性质的重要工具。

易错点在于理解连续性的概念和判别方法。

10.
函数的导数和微分：函数的导数和微分是研究函数变化率的重要工具。

易错点在于理解导数和微分的概念和计算方法。

易错点03 函数概念与基本初等函数-备战2023年高考数学考试易错题(解析版)(全国通用)

易错点03 函数概念与基本初等函数易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；易错点3：根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 )；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.易错点4：指对型函数比较大小要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）. 易错点5：用函数图象解题时作图不准“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。

但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。

解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等；1．已知 1.5log 0.5a =，0.51.5b =， 1.50.15c =⨯，则（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<2．已知函数()2,232,2x f x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则()()9f f =（）A ．1B ．2C ．4D ．83．已知函数233?,?0()3?,?0x x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，则不等式()()34f a f a >-的解集为（）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．(),2-∞D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，所以34a a <-，解得2a >．故选：B 4．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数lg,010()16,102x xf xx x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a，b，c均不相等，且()f a= ()f b=()f c，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)1．已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>2．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．53-B ．13-C ．13D ．533．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.64．设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃5．已知函数3,0,(),0.x xf xx x⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k=--∈R恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(,0)(0,22)-∞D．(,0)(22,)-∞+∞2y x相切时，联立方程得（负值舍去）,0)(22,)+∞.1．已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（） A ．3log y x =B ．32y x x =+C ．x y e =D ．3y x -=3．设函数()33f x ax x a -=-+，若函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【详解】因为函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，故函数()f x 的图象关于点()0,0对称，即()f x 为奇函数，故()()()()333320f x f x a x x a ax x a a ---+=---++-+==，所以0a =. 故选：B.4．设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.5．已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（） A ．(,4)-∞ B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C6．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】解：58log a b log =5458<，5548log <，45138<，13458log <综上，c a >．故选：A 7．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（） A ．－1.519 B ．－1.726 C ．－1.609 D ．－1.3168．已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)xx xf x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=,0)(0,)+∞，()0x <，不符合图象，故排除9．函数定义在R 上的奇函数()f x 满足在(1)()0f x f x ，则()f x 在[3,3]x ∈-上的零点至少有（）个 A ．6B ．7C ．12D ．13 1)()0x f x 得周期为(3)(2)(1)(1)(2)(3)0f f f f f ，又11()()22f f =-，f 11)()022f ，再由周期为1，总之，有()0,0,1,2,3,4,5,62k f k ，共13故选:D ．10．已知函数()()2212,13,x a x x a f x ax x a ⎧-+-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(]()(),21,00,-∞-⋃-⋃+∞B ．()[)(),21,00,-∞-⋃-⋃+∞C ．()1,-+∞D ．[)()1,00,-+∞。

导数求函数单调区间问题易错点分析

(2)因为f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数
m ＋1 是二次函数，它的对称轴为x＝ .又因为m <0，
m
所以函数f(x)在x∈－∞，m
＋m 1上是增函数，
在x∈m
＋m 1，＋∞上是减函数．
错解分析此题要求的是函数f(x)的单调区间，而错解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函
错解 f′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
若a<0时，f′(x)<0，得3ax2＋1<0，解得x2>－ 1 ， 3a
所以x>
1 －或x<－
3a
1 －.
3a
综上所述，a>0时，函数f(x)在R上为增函数；a<0时，函数
该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
()
错解 C 错解分析一般地，由f′(x)>0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0.因此f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件．正解 A
数f′(x)的单调区间取代f(x)的单调区间，它们的单调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的．正解 (1)略．
(2)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n ＝3m (x－1)x－1＋m2 ，
2 当m <0时，1>1＋ .
m
x 1＋ 1 (1，＋∞)
f′( x)
－0
＋0
－
单