函数的易错点分析

函数的纠错笔记

易错点一：求定义域忽视细节致误。

例题1：（1

）求函数0

()f x =的定义域。

（2

）求函数y =

错因分析：（1）忘了分析0的0次无意义，导致在定义域中多了解；（2）把看成是真数减2，即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。

正解分析：

（1）由函数解析式有意义知256010||0x x x x x ⎧-+≥⎪-≠⎨⎪+>⎩

得3210x x x x ≥≤⎧⎪≠⎨⎪>⎩或即0132x x x <<≥≤或或

故函数的定义域是()(][)0,11,23,+∞U U

（2）由12log 200

x x -≥⎧⎪⎨⎪>⎩，解得104x <≤所以函数定义域是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦。 误区分析：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数；涉及到对数或指数不等式的求解，应依据单调性来处理。

变式练习：

已知函数()f x 的定义域为(),a b ，求函数(31)(31)f x f x -++的定义域。

错因分析：理解错()f x 的定义域与(31)(31)f x f x -++的定义域之间的关系，致使(31)f x -函数的定义域由31a x b <-<得，函数(31)f x +的定义域由31a x b <-<得，这样得到的定义域就是()31,31a b +-。

正解分析：由3131a x b a x b <-<⎧⎨<+<⎩，解得113311

3

3a b x a b x ++⎧<<⎪⎪⎨--⎪<<⎪⎩，又函数的定义域不可能为空集，所以必有1133a b x +-<<，即2b a ->此时，函数的定义域为11,33a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 误区分析：复合函数中定义域的求法：在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定的，即已知[]()f g x 的定义域为(),a b ，求()f x 的定义域方法是利用a x b <<，求得()g x 的范围即为函数()f x 的定义域。而已知()f x 的定义域(),a b ，求函数[]()f g x 的定义域，

即由()a g x b <<求出x.

易错点二：函数单调性判断错误

求下列函数的单调区间：

（1）22||1y x x =-++；（2）2

|23|y x x =++

错因分析：这两个函数可以通过去掉绝对值化为分段函数，但是易错点有：去绝对值出错；单调区间出错或求错易把第一个函数的单调递增区间写成。

正解分析：（1）2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩画出函数图像得单调增区间为(][],1,0,1-∞-，单调递减区间为[][)1,0,1,-+∞。

（2）若2230x x -++≥，得13x -≤≤，此时函数22

23(1)4y x x x =-++=--+，

若2230x x -++<，得13x x <->或，此时函数2223(1)4y x x x =--=--。即

22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或画函数图像得函数单调增区间为[]1,1-和[)3,+∞，单调减区间为(],1-∞-和[]1,3

误区分析：带绝对值的函数实质就是分段函数，对于分段函数的的单调性，有两种判断方法之一：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画分段函数的图像，结合函数的图像和性质进行直观判断，在研究函数问题离不开函数图像，函数图像反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”。学会从函数图像上去分析问题，寻找解决问题的方法，对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。

易错点三：求函数奇偶性的几种常见错误

判断函数的奇偶性：

（1）()(f x x =-2）()f x （3）22lg(1)()22x f x x -=--（4）22(0)()(0)

x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 错因分析：解本题出现的几种错误是：求错定义域或是忽视定义域，函数奇偶性概念的前提条件不清，对分段函数的奇偶性判断方法不对等。

正确解析：（1）由

11x x

+-0≥，的定义域为[)1,1-，关于原点不对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数。

得， ∴函数()f x 既是奇函数又是偶函数。

（2）2221011()010

x x x f x x ⎧-≥⎪∴=∴=±∴=∴⎨-≥⎪⎩Q ()f x 既是奇函数又是偶函数。 （3）由2210220x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩，得到函数得定义域为()()1,00,1-U ，∴2222lg(1)lg(1)()(2)2x x f x x x --=-=---2222lg 1()lg(1)()()x x f x f x x x

⎡⎤---⎣⎦-=-==-Q 所以函数()f x 为偶函数。

（4）当0x <，则0x ->，()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=-

当0x >，则0x -<，()22()()()f x x x x x f x -=--=--+=-。

综上所述对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()f x -()f x =-。

所以函数()f x 为奇函数。

误区分析：函数奇偶性的判断方法：首先看函数定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件定义域关于原点对称，如果不具备函数为非奇非偶函数，若关于原点对称的前提下，再由函数奇偶性定义进行判断，在用定义判断时注意自变量在定义域中的任意性，再由函数定义分四类：函数为非奇非偶函数，函数既是奇函数又是偶函数，函数为偶函数，函数为奇函数。 易错点四：抽象函数的推理不严谨致误

设函数()f x 是定义R 在上的函数，对任意m,n (,)∈-∞+∞恒有()()()f m n f m f n +=g ，且当0x >时0()1f x <<。

（1）求证：(0)1f =（2）求证：x (,)∈-∞+∞时，()f x >0（3）求证：()f x 在R 上是减函数。

错因分析：忽视条件导致论证不严谨或推理论证错误，这样在（1）中就会出现1()02f =的可能，此时无法确定(0)f 的值，（2）(3)中就缺少了推理论证的依据，导致不严谨和错误。 正确解析：（1）取10,2m n ==，则11(0)()(0)22f f f +=g ，因为1()02

f >，所以(0)1f =。 （2）设0x <，则0x ->，由条件可知()0f x ->，

又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=->g ，

所以()0f x >。所以当(,)∈-∞+∞时，恒有()f x >0。

（3）设12x x <，则