高一数学 函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性

考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。

能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。

知识要点：

1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间

4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用

一、单调性的定义

（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆

如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说

)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间

如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说

)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间

（2）设函数)(x f y =的定义域为A

如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为

)(x f y =的最大值；

如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为

)(x f y =的最小值。

二、函数单调性的证明

重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性

函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即

)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单

调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有)()(21x f x f ≥即可。

例1. 求证：（1）函数2

()231f x x x =-+-在区间3

(,]4

-∞上是单调递增函数； （2） 函数3

()2f x x x =--在R 上是单调递减函数； （3）函数21

()1

x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．

例题解析：（3）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=

-++12123()

(1)(1)

x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故

12123()

0(1)(1)

x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．

所以，函数21

()1

x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21

()1

x f x x -=+是单调增函数；

所以，函数21

()1

x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．

例2.确定函数1

()12f x x

=

-的单调性．

特殊要点：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数x

y 1

=

分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调

递减的，只能说函数x

y 1

=

的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞

x

y

2

1

-

三、复合函数及抽象函数的判定方法

①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”——换元法 考查复合函数))((x g f y =的单调性.

设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.

例1. 求函数

2

2

2)(-+=x x

x f 的单调区间.

解题过程：

外层函数：t y 2=

内层函数：22

-+=x x t

内层函数的单调增区间：]

,21

[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：

]

21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：]

,21

[+∞-∈x 复合函数的减区间为：

]

21

,[--∞∈x 例2.求函数)2(log )(2

2-+=x x x f 的单调区间. 解题过程：

外层函数：t y 2log =