无穷级数 函数项级数 幂级数收敛半径

n an
则 lim un1lim an1xx
n un n an 则比值审敛法得：
当 x1即 x1时 ,n 0anxn绝对;收敛 当 x1即 x 1时 ,n 0anxn发;散 当 Rx 1 1. 即x1时,n 0anxn可能收敛可 . 能
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
n0 x0


anxn收敛, 即级 数 anxn绝收 对敛 ;
n0
n0
( 2 ) 反 设 有 一 点 x 1 适 合 x 1 x 0使 级 数 收 敛 ,
由结论(1), 则 级 数 当 x x 0 时 应 收 敛 ,
与" 已 xx 0 时 知" 发 相散 .矛盾
n 0
( 1 )

a n ( x x 0 ) n a 0 a 1 ( x x 0 ) L a n ( x x 0 ) n L( 2 )
n 0
令 Xxx0,则可 (2)化 将 (1为 )的标准形式


an(xx0)n anXn
n0
n0
n1n
当 y2时 ,可得 (1)n收.敛
n1 n
2y2 ,从 2 而 x 1 2 1 x 3
收敛域 [1,为 3).
方 由比值法得， 法 二 n l i u m u n n 1 n l i 2 m (n x 1 (1 n ) n 1 1 )(x 2 n 1 n )nx 2 1,

(2)若liman1 0,
n an
则 lim un1lim an1xx0<1
n un n an

对一x切 , anxn绝对收 . 敛 R.
n0
(3)若liman1 ,
n an
则 liu m n 1lia m n 1x( x0 )
1 x
它的发散域是 (, 1 ]及 [1 ， ） ,或写作 x 1.
又如, 级数
xnxn
n0 n2
(x0),当x 1时收,敛
但0 当 x1时 ,nl i m un(x),级数发散 ;
所以级数的收敛域仅为 x 1.
二、幂级数及其收敛性
1.定义 形如

方法 1.

(1)令 xx0y,得 anyn;
n0
(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：
yR ,同时 y 讨 R 的 论 情 ; 况
(3 )再 y x 由 x 0 ,求 x 满 得 足 ,即 的 x 的 为 不 .区
方法 2. (用比值法讨论)
(1 )计n l 算 i m a n a n 1( (x x x x 0 0) )n n 1xx 0, (2 )当 xx 01 即 xx 01时 , a n (xx 0)n 绝对 ;
s ( x ) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), ln i m sn(x)s(x) 余项 r n (x ) s (x ) s n (x ) ln i m rn(x)0
(x在收敛域上)
n0
n0
可令 x2 y或用比值法 . 讨论
(2)求n0xann的收敛域时 ,
可令1 y或用比值法讨.论 x
(3)求一般函数项级数的收敛域时, 可直接用比值法讨论.
例 4

求幂级数
x 2n1 的收敛域
n1 2n
.
解 级数 2 x为 2 x2 32 x3 5 缺少偶次幂的项
3
n1 6
当 收 x 敛 1 3时 域 (, 原 1,为 1)幂 . 级 n 1[6 1 数 ()n(成 1)n]为 ,发散.
33

（3） ( n x ) n
n 1
解
liman1
n an
nl im (nn1n)n1
lim (n1)1(1)n ,
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.

(2)un(x)的和函数的定 函义 数域 项的是 级 收敛该 数 域.
n1

例如, 等比级数 xn1xx2xn
n0
它的收敛域是 (1,1),当 x(1,1)时 ,有和函数
xn
1
n0
an(xx0)na0a1(xx0)an(xx0)n
n0
的函数项级数 数的 称一 为.般 幂形 级式
形如

anxn a0 a1x anxn
n0
的函数项级数称为数幂的级标准形. 式

a n x n a 0 a 1 x L a n x n L
n
n
R=0,
级数只在 x 0处收敛.
( 4 ) x n n1 n !
解
liman1 lim 1 0,
n an
n n 1
R ,ຫໍສະໝຸດ Baidu
收敛域(,).
5. 一般幂级数收敛域的求法

对于 an(xx0)n有两种方法求其 . 收敛域
n0
敛域 [R,R]或[R,R)或(R,R]或(R,R).
标准幂级数收敛域的求法习例
例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域

（ 1）
n 1
x n
n 2

（3） ( n x ) n n 1

（2）
n1
(1)n 6n 2n
xn
x n
(4) n1 n !

（ 1）
n 1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.

例如 级 xn1 数 xx2,
n 0
n
sn(x)ui(x)为前 n项的部. 分和
i1
2.收敛点与收敛域

如 果 x0 I,数 项 级 数u n(x0)收 敛 ,
n 1

则 称 x0为 级 数un(x)的 收 敛 点 ,
的正数R存在,它具有下列性质:
当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ;
当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ;
当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
3. 收敛半径与收敛域、收敛区间
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛区间 是开区间 (R,R),
n1

函 数 项 级 数 un(x)的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n1
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
3.和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
称 s(x)为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
n 0
当 x x 0 1 即 x x 01 时 , a n (x x 0 )n 发 ; 散 n 0
再讨 xx 论 01时 ,n 0an(xx0)n的敛散性.
一般幂级数收敛域的求法习例
例 3 求n1(x2n1n)n的收敛.域
例 4
x n
n 2
解 n l i m aa nn 1n l i m (nn 2 1)21,
收敛半 R径 1.
当x1时,原幂级数 n 1成 n12, 为 收敛. 当x1时,原幂级数 n 1(n 成 12)n,为 绝对收敛.
收敛域 [1,1为 ].

（2）

求幂级数
x 2n1 的收敛域
n1 2n
.
例3
解 方 法 一
令 求xn11(x2yn,1n得 )n的 n 02收 ynnn,敛.域
n l i m a a n n 1n l i m 2n1 2 (n n n 1)1 2, R2.
当y2时,可得 1发散 ,
当x11即1x3时 ,原幂级数;绝对 2
当 x11即 x1或 x3时 ,原幂级 ; 数发
当 x23时 ,原幂级n 数 1n 1,发 成,散 为
当 x1时 ,原幂 收敛域 [1,为 3).
级 n 1数 (n 1)n成 ,收为 .敛
注意:


(1)求anx2n或anx2n1的收敛域 , 时
n0
足不等式xx0的一切 x 处发散.

证
(1) anx0n收敛 , ln i m anx0n0,
n0
M, 使 a n x 得 0 n M (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n

an x0n

x x0
n

M
xn x0
当 x 1时, x0
注意: Abel定理对标准幂级数给出.

问 :在 a n (x 2 )n 处 x 1 收 ,在 x 敛 4 处 ?
n 0
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论

如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
n u n n a n

则nl i m un0,
故anxn发散.
n0
R0.定理证毕.

求anxn的收敛半径与收 步敛 骤:域的
n0
(1)计算 liman1;
n an
(2)由的值R得 1;

(3)由数项级x数 R 判 时 定 anxn的敛散性得
n0
高等数学 A
4第.3 4幂章级数 无穷级 4.3.1 函数项级数
4.3.2 幂级数及其收敛半径
数 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
4.3 幂级数
函数项级数的定义
4.3.1函数项级数 收敛点与收敛域
和函数
幂级数的定义
幂
阿贝尔(Abel)定理
级
收敛半径与收敛域
数 4.3.2 幂级数及其收敛性 标准幂级数收敛半径的求法
标准幂级数收敛域的求法习例1
注解 演练例题 内容小结与思考
一般幂级数收敛域的求法 一般幂级数收敛域的求法习例2-3
一、函数项级数
1.定义
设u1(x),u2(x), ,un(x), 是定义在I R 上的

函数,则 un(x) u1(x) u2(x) un(x)
n1
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法

定理2 如 果 幂 级 数anxn的 所 有 系 数 an0,
n0
设 li a n m 1 n a n
则 (1) 当0时,R1;
(2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 , R 0 .
证 (1)若liman1 (0)
n1
(1)n 6n 2n
xn
解
n l i a m a n n 1 n l i (m 1 )n 2 n 1 16 n 1( 1 )2 n n 6 n
nl im (61)n211(1)n1113,
R 1. 3
6 66
当 x1时 ,原幂级 [数 (1)成 n1]为 ,发散.
幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.
(R,R),[R,R), (R,R], [R,R]. 规定 (1 )幂 级 数 只 在 x 0 处 收 敛 ,R0,
收 敛 域 为 {0 };
(2)幂 级 数 对 一 切 x都 收 敛 ,R, 收 敛 域 (, ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
当 x1时 ,n l i m sn(x)不存 . 在
xn收敛11于 x,
当x1时 .
n0 发散 ,
当x1时
2. 阿贝尔(Abel)定理

(1)如果级数 anxn在xx0(x00)处收敛,则
n0
它在满足不等式xx0的一切 x 处绝对收敛;

(2)如果级数 anxn在xx0处发散,则它在满
注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面
主要讨论形式(1)的幂级数.
类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。

例 1 讨论xn的敛散.性
解 s n (x ) n1 0 x x 2 x n 1 1 1 x x n(x 1 )
当 x1 时 ,n l i m sn(x)1 1x,