测量平差中的数学公式汇编
测量平差期末考试公式总结
测量平差期末复习资料1. 将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，形成的重力等位面，这个曲面称为大地水准面。
其特点是水准面上任意一点的铅垂线(重力作用线)都垂直于该点的曲面。
2. 6°带中央子午线经度N=Ｌ=6N-3, 3°带中央子午线经度Ｌ=3n 。
3. 高程系统:确定该点沿铅垂方向到某基准面的距离。
绝对高程（海拔）：指某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，用Ｈ表示。
相对高程：某点距假定水准面的铅垂距离。
高差：地面上两点间的高程之差。
4. 地形 ：a,地物:地面上固定性物体，如河流、房屋、道路、湖泊等； b.地貌:地面的高低起伏的形态，如山岭、谷地和陡崖等。
5. 线性代数补充知识1） 由n m ⨯个数有次序地排列成m 行n 列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示， 如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A212222111211 2)若m=n ，即行数与列数相同，称A 为方阵。
元素a11、a22……ann 称为对角元素。
3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O 表示。
4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。
如：)(00000022112211nn mn n m a a adiag a aa A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E 、I 表示。
6）若aij=aji ，则称A 为对称矩阵.矩阵的基本运算:1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： 2）具有相同行列数的两矩阵A 、B 相加减，其行列数与A 、B 相同，其元素等于A 、B 对应元素之和、差。
且具有可交换性与可结合性。
3）设A 为m*s 的矩阵，B 为s*n 的矩阵,则A 、B 相乘才有意义，C=AB ，C 的阶数为m*n 。
O A=A O =O ，IA=AI=A ，A （B+C ）=AB+AC ，ABC=A （BC ）矩阵的转置:对于任意矩阵Cmn:nn ⨯n n ⨯BA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m c c c c c c c c c C 212222111211将其行列互换，得到一个nm 阶矩阵，称为C 的转置。
测量平差
填空题１. 测量平差分类：条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差。
２. 已知ｎ、ｒ、ｔ，则条件平差条件方程、法方程分别为：ｒ＝ｎ－ｔ、ｒ；间接平差误差方程、法方程：ｎ、ｔ。
３. 水准网必要观测数的确定：自由水准网，网中水准点数减一；符合水准网，待定高程的个数。
４. 非线性方程线性化。
))(()()(00'0x x x f x f x f -+=（已省略二次项)５. 为什么选取近似值进行平差？对精度有何影响？６. 偶然误差的特性：有界性、聚中性、对称性、补偿性。
７. 依据条件方程、法方程，求PV V T。
W N K K QA V AA T 1,--== K W W N W K N K PV V T AA T AA T T -===-1 ８. 平差问题求解原则：最小二乘原理。
９. Ｆ为等精度观测，求ｆ的中误差。
2、已知)180(3ˆ -++=-=C B A W W A A，m m m m C B A ===，m m W 3=，则A m ˆ= A 。
A 、m 32B 、m 32C 、m 32 D 、m 23 4、A 、B 两点按双次观测得高差'i h 、"i h )8,,2,1( =i ，各高差之间相互独立，每一高差的中误差均为mm 2±，则全长高差算术中数的中误差为± B 。
A 、2mmB 、4mmC 、8mmD 、16mm １０.非线性误差方程式i t i i L x x xf v -=)ˆ,,ˆ,ˆ(21 的线性化形式为 i t i t ti i i i L x x x f x x f x x f x x f v -+∂∂++∂∂+∂∂=),,(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(002010202101 δδδ 。
未知参数的近似值越靠近平差值，线性化程度就越高；当线性化程度不高时，可以采用迭代法进行求解。
11.已知36=Pl l T，4=n ，法方程为024ˆˆ322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x δδ，则PV V T = 32 ，μ= 4± ，1ˆx m = 6± ，2ˆx m = 22± 。
测量平差
t ,t t ,n n,n n,t
DYY = F DXX F T
r ,r r ,n n,n n,r
它们的互协方差阵
DYZ = F DXX K T= DZY r ,n n, t
r ,t n, n
t ,r T T = FD K K D F ( XX ) XX t ,n n,n n,r
DZX F1 DXX + F2 DYX 互协方差阵 =
= DZY F1 DXY + F2 DYY
当 X，Y 独立观测时
T D = D = 0 XY YX
= DZZ F1 DXX F1T + F2 DYY F2T DZX = F1 DXX DZY = F2 DYY
非线性函数 Z=f ( X1, X2, …, Xn ) ， Y=f ( X1, X2, …, Xt )
dZ = KdX
各自的协方差阵
dY = FdX
DZZ = KDXX K T
它们的互协方差阵
DYY = FDXX F T
DYZ = FDXX K
T
DZY = KDXX F
T
线性函数组合 协方差阵
Z = [ F1
X F2 ] Y
DZZ = [ F1
DXX F2 ] DYX
DXY F1T T DYY F2
DZZ = F1 DXX F1T + F1 DXY F2T + F2 DYX F1T + F2 DXX F2T
协方差传播率-1
= Z K X + K0
r ,1 1 ,n n,n 1 ,1
2 T σ = D= KD K ZZ Z XX
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
偏差的三个基本公式
偏差的三个基本公式偏差这个概念在很多领域都有涉及，比如数学、统计学、物理学等等。
今天咱们就来好好聊聊偏差的三个基本公式。
先来说说第一个公式，那就是平均偏差。
假设咱们有一组数据，比如说一次考试的成绩，分别是 85 分、90 分、95 分、70 分和 80 分。
那平均偏差咋算呢？就是先算出这组数据的平均值，也就是（85 + 90 +95 + 70 + 80）÷ 5 = 82 分。
然后分别计算每个数据与平均值的差值，也就是 85 - 82 = 3，90 - 82 = 8，95 - 82 = 13，70 - 82 = -12，80 - 82 = -2。
这些差值的绝对值之和再除以数据的个数，就是平均偏差啦。
我想起之前在学校给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸困惑地问我：“老师，这算出来有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，要是老师想知道这次考试大家的成绩波动大不大，是不是靠这个就能知道啦？如果平均偏差小，说明大家成绩都比较接近平均值，波动不大；要是偏差大，那就说明成绩参差不齐，有的高有的低呢。
”那小同学听了恍然大悟，连连点头。
再来说说第二个公式，叫标准偏差。
这个就比平均偏差稍微复杂那么一点点。
还是拿刚才那组考试成绩举例。
先把每个数据与平均值的差值平方，就得到 3² = 9，8² = 64，13² = 169，(-12)² = 144，(-2)² = 4 。
然后把这些平方值的总和除以数据个数，得到的结果再开平方，这就是标准偏差啦。
记得有一次，我让同学们自己动手算一组数据的标准偏差，结果有个小组算来算去都算不对。
我过去一看，发现他们在计算平方值的时候出了错。
我就耐心地给他们重新演示了一遍，看着他们终于算对时那开心的样子，我心里也特别有成就感。
最后一个公式是相对偏差。
相对偏差是用偏差值除以平均值再乘以100%。
比如说，算出的偏差值是 10，平均值是 50，那相对偏差就是（10 ÷ 50）× 100% = 20% 。
水准测量精度计算公式
水准测量精度计算公式
（1）高差偶然中误差M△按式（3.2.2-6）计算：
式中： `M_△`——高差偶然中误差（MM）；
△——水准路线测段往返高差不符值（MM）；
L——水准测段长度（KM）；
N——往返测的水准路线测段数。
（2）高差全中误差MW按式（3.2.2-7）计算：
式中：`M_W`——高差全中误差（MM）；
W——闭合差（MM）；
L——计算各闭合差时相应的路线长度（KM）；
N——附合路线或闭合路线环的个数。
当二、三等水准测量与国家水准点附合时，应进行正常水准面不平行修正。
3）特大、大、中桥施工时设立的临时水准点，高程偏差（ΔH）不得超过按式（3.2.2-8）计算的值：
式中：L——水准点间距离（KM）。
对单跨跨径≥40M的T形刚构、连续梁、斜拉桥等的偏差（ΔH）不得超过按式 (3.2.2-9)计算的值：
式中：L——水准点间距离(KM)。
在山丘区，当平均每公里单程测站多于25站时，高程偏差(ΔH)不得超过按式(3．2．2-10)计算的值：
式中：N——水准点间单程测站数。
高程偏差在允许值以内时，取平均值为测段间高差，超过允许偏差时应重测。
4)当水准路线跨越江河(或湖塘、宽沟、洼地、山谷等)时，应采用跨河水准测量方法校测。
跨河水准测量方法可按照《公路勘测规范》 (J TJ061)执行。
测量平差知识点
测量平差知识点1、测量学的研究内容：测定和测设。
2、测定：将地⾯上客观存在的物体通过测量的⼿段将其测成数据或图形。
3、测设：就是将测量的⼿段标定在地⾯上。
4、⽔准⾯：静⽌的⽔⾯。
5、⼤地⽔准⾯：⽔准⾯与静⽌的平均海⽔⾯相重合的闭合⽔准⾯。
6、铅垂线：重⼒⽅向线，是测量⼯作的基准线。
7、地球椭球⾯是测量⼯作的基准⾯。
8、地物：地⾯上⼈造或天然固定的物体：地貌：地⾯⾼低起伏形态。
9、测量上常⽤坐标系：天⽂、⼤地、⾼斯平⾯直⾓、独⽴平⾯直⾓。
10、绝对⾼程：地⾯点沿铅垂线到⼤地⽔准⾯的距离。
相对⾼程：某点到任意⽔准⾯的距离。
11、⾼差：地⾯上两点之间⾼程差。
12、半径为10km范围内⾯积为320km2之内可以⽤⽔平⾯代替⽔准⾯时距离产⽣的误差可忽略不计；测距范围的100km2时，⽤平⾯代替⽔准⾯时对⾓度的影响可忽略不计；在⾼程测量中即使很短的距离也不可忽略。
13、测量⼯作的原则：a由整体到局部、由控制到碎部；b步步检核。
14、测量的基本⼯作：测⾓、量边、测⾼程。
15、测绘的基本⼯作：确定地⾯点的基本位置。
16、施⼯测量包括：建筑物施⼯放样、建筑物变形监测、⼯程竣⼯测量。
17、⾼程测量：测量地⾯上各点⾼程的⼯作。
18、⽔准测量的实质：测量地⾯上两点之间的⾼差，是利⽤⽔准仪所提供的⼀条⽔平视线来实现的。
19、⾼差计算⽅法：⾼差法、仪⾼法。
20、⽔准仪按构造可分为：微倾式、⾃动安平、数字⽔准仪，及⽔准尺和尺垫。
21、DS3构造：望远镜、⽔准器，基座。
22、⽔准仪轴线之间的⼏何条件：a圆⽔准器轴平⾏于竖轴b⼗字丝横丝垂直于竖丝c ⽔准管轴平⾏于视准轴。
23、尺垫的作⽤：减少⽔准尺下沉和标志转点。
24、⽔准尺的使⽤：粗平、瞄准、精平、读数。
24、⽔准点的分类：永久性和临时性。
25、测站的检核⽅法：双⾯尺法和双仪⾼法。
26、⽔准路线检核⽅法：闭合⽔准路线、附合⽔准路线、⽀⽔准路线、⽔准⽹。
27、误差：仪器误差，观测误差、外界条件的影响。
水准平差计算公式
水准平差计算公式
平差公式=（闭合差/线路总长）*距离
介绍：
一、水准测量：水准测量是利用一条水平视线，并借助水准尺，来测定地面两点间的高差，这样就可由已知点的高程推算出未知点的高程。
通常由水准原点或任一已知高程点出发，沿选定的水准路线逐站测定各点的高程。
由于不同高程的水准面不平行，沿不同路线测得的两点间高差将有差异，所以在整理国家水准测量成果时，须按所采用的正常高系统加以必要的改正，以求得正确的高程。
二、水准仪的原理
水准测量是利用一条水平视线，并借助水准尺，来测定地面两点间的高差，这样就可由已知点的高程推算出未知点的高程。
三、水准仪的结构
根据水准测量的原理，水准仪的主要作用是提供一条水平视线，并能照准水准尺进行读数。
因此，水准仪构成主要有望远镜、水准器及基座三部分。
测量平差公式
任务一（1）：列条件方程：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=''++-+--++-++++=++++=++++=++++0)sin )sin(sin sin sin )sin(1(cot cot ))(cot(cot ))(cot(cos 000387586438866434333878755765454326871ρL L L L L L L L v L v L v v L L v L v v L L v L wc v v v v w v v v v w v v v v b a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=-+++=-+++=180180180765454326871L L L L w L L L L w L L L L w c b a任务一（2）列条件方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+-=+-=+-=+-=+-=+428831773266435524412334122411ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆX X v h X X v h X X V h X X v h X H v h X X v h X X v h H X v h B A列误差方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+-=-=-=+-=-==4283173264352412341241242δδδδδδδδδδδδδδv v v v v v vv误差矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321v vv v v v vv =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------10100101011011000010001110011000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321δδδδ—⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--02400200任务二：控制网平差报[平面点位误差表]点名长轴(m) 短轴(m) 长轴方位dms 点位中误差m高程中误差mP1 0.0035 P2 0.0033 P3 0.0045 P4 0.0060 [控制点成果表]点名X(m) Y(m) H(m) 备注A 0.0000 0.0000 20.1230 固定点B 0.0000 0.0000 48.7130 固定点P1 0.0000 0.0000 28.1369P2 0.0000 0.0000 39.0359P3 0.0000 0.0000 54.6017P4 0.0000 0.0000 56.5292数据录入：编辑网的属性：选择计算方案：闭合差计算：平差计算：任务三：点位误差表：[平面点位误差表]点名长轴(m) 短轴(m) 长轴方位dms 点位中误差m高程中误差mP1 0.0191 0.0147 141.1853 0.0241P2 0.0225 0.0195 3.3115 0.0298P3 0.0264 0.0220 12.2823 0.0344P4 0.0250 0.0181 18.1742 0.0309P5 0.0206 0.0186 6.2445 0.0278P6 0.0190 0.0165 112.2220 0.0251[控制点成果表]点名X(m) Y(m) H(m) 备注A 871.1893 220.8223 0.0000 固定点B 632.2173 179.4811 0.0000 固定点C 840.9400 533.4018 0.0000 固定点D 663.4752 570.7100 0.0000 固定点P1 825.8298 272.2452 0.0000P2 740.1267 312.5952 0.0000P3 768.3730 392.2339 0.0000P4 732.0697 470.9076 0.0000P5 681.6516 279.3417 0.0000P6 674.5787 506.1882 0.0000数据录入：编辑网的属性：选择计算方案：闭合差计算：闭合差信息：坐标推算：平差计算：成果：网形分析：平差略图：任务四：控制网平差报告点位误差表：[平面点位误差表]点名长轴(m) 短轴(m) 长轴方位dms 点位中误差m高程中误差mP1 1790.8181 1473.4317 177.3426 2319.0581P2 3623.6005 2557.5139 80.5619 4435.2404控制点成果表：[控制点成果表]点名X(m) Y(m) H(m) 备注A 4899.8460 130.8120 0.0000 固定点B 8781.9450 1099.4430 0.0000 固定点C 4548.7950 7572.6220 0.0000 固定点P1 5656.8640 2475.5593 0.0000P2 663.8174 2944.0183 0.0000数据录入：编辑控制网属性：选择计算方案：闭合差计算：坐标推算：平差计算：精度统计图：平差略图：网形分析：。
平均误差计算公式及例子
平均误差计算公式及例子
以下是 6 条关于平均误差计算公式及例子的内容：
1. 嘿，你知道平均误差计算公式不？就像你量身高，每次可能都有点不一样，那平均误差能告诉你这些差异有多大！比如说你测五次身高，分别是175、176、174、177、175，那用这些数值去算平均误差呀，就能知道你测量的偏差程度啦！
2. 哇塞，平均误差计算公式其实很简单呀！就好比你做蛋糕，每次放的糖可能不一样，但平均误差能看出总体的偏差情况呢！假如你五次做蛋糕放糖的量是 50 克、55 克、48 克、52 克、50 克，通过这个公式一算，嘿，就明
白大概的误差啦！
3. 哎呀呀，平均误差计算公式超有用的呢！就像你跑步的速度，每次可能会有波动，那用这个公式就能算出平均的波动有多大啦！比如你五次跑步的速度是8 米每秒、7 米每秒、米每秒、米每秒、8 米每秒，算一下平均误差，不就清楚啦！
4. 嘿哟，平均误差计算公式简直是个宝啊！你想想看，就像你投篮的命中率，有高有低的，用这个公式能明白整体的误差情况！假定你十次投篮命中的次数是 6、7、5、8、7、6、5、7、6、8，快用公式算算看，是不是很有趣呀！
5. 哇哦，平均误差计算公式可不能小瞧啊！这不就跟你猜谜语一样嘛，有时候猜得准，有时候有偏差，算平均误差就能知道偏差的大小啦！好比你五次猜谜语的准确率是 80%、70%、85%、75%、80%，来算算平均误差呀！
6. 哈哈，平均误差计算公式大家可得搞清楚呀！就如同你玩游戏得分，有时高有时低，通过它就能清楚波动大小啦！例如你五次游戏得分是 1000、1200、900、1100、1000，赶紧用公式算算平均误差呀。
总之，平均误差计算公式很实用，能让我们更清楚数据的波动情况呢！。
平面坐标较差计算公式
平面坐标较差计算公式平面坐标较差的计算公式在数学和地理等学科中都有着重要的应用。
咱先来说说啥是平面坐标较差。
简单来讲，就是两个平面坐标之间的差异。
比如说，你要在地图上找一个地方，给出了两个可能的坐标，那这两个坐标之间的差距就是平面坐标较差。
我记得有一次，我带着学生们在操场上做一个小实验。
我在操场的不同位置标记了几个点，然后让学生们通过测量和计算来确定这些点的平面坐标。
有一组同学在计算两个点的坐标较差时，可闹出了不少笑话。
他们一开始就把测量的数据弄混了，结果算出来的较差简直是离谱得让人哭笑不得。
这让我意识到，同学们对于坐标的概念和计算方法还没有真正掌握。
那平面坐标较差到底咋计算呢？一般来说，如果我们有两个点的坐标，分别是 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) ，那么它们的坐标较差可以通过下面的公式来计算：水平方向的较差Δx = x₂ - x₁，垂直方向的较差Δy = y₂ - y₁。
然后，我们还可以计算出这两个点之间的距离，也就是平面坐标较差的综合值，用勾股定理来算，就是√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) 。
这公式看起来可能有点复杂，但其实多做几道题，多练习练习，就会发现也没那么难。
就像刚才提到的那组同学，经过反复的讲解和练习，终于搞清楚了自己的错误，算出了正确的结果。
他们那兴奋的样子，让我也觉得特别有成就感。
在实际生活中，平面坐标较差的计算也很有用。
比如在建筑施工中，工程师需要精确计算建筑物不同位置的坐标较差，以确保施工的准确性。
在地图绘制和导航系统中，也需要通过计算坐标较差来确定位置的偏差和纠正路线。
学习平面坐标较差的计算公式，不仅是为了应对考试中的题目，更是为了能在生活中解决实际的问题。
总之，平面坐标较差的计算公式虽然有点小复杂，但只要我们用心去理解，多动手去练习，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。
希望同学们在学习的过程中，不要被这些公式吓到，要勇敢地去探索和尝试，相信自己一定能够学好！。
平均偏差数学公式
平均偏差数学公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的这趟奇妙之旅中，有一个概念叫做平均偏差，它就像是一个藏在数字世界里的小秘密，等着咱们去揭开。
平均偏差，从名字上听起来可能会让人觉得有点晕乎，但其实没那么复杂。
咱们先来说说啥是偏差。
比如说，有一组数字：10、12、15、8、18。
它们的平均数是（10 + 12 + 15 + 8 + 18）÷ 5 = 13。
那这几个数和平均数 13 之间的差距，就是偏差啦。
10 和 13 的偏差是 3，12 和 13 的偏差是 1，15 和 13 的偏差是 2，8 和 13 的偏差是 5，18 和 13 的偏差是 5 。
接下来就是平均偏差登场的时候啦。
平均偏差就是把这些偏差加起来，再除以数字的个数。
就像刚才这组数字，偏差分别是3、1、2、5、5 ，加起来是 3 + 1 + 2 + 5 + 5 = 16 ，再除以个数 5 ，平均偏差就是16÷5 = 3.2 。
我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个概念的时候，有个小家伙特别有趣。
他一直皱着眉头，嘴里嘟囔着：“老师，这也太绕了，我脑袋都快成浆糊啦！”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来。
” 我又重新带着他们算了一遍，还让他们自己动手试试。
慢慢地，大家好像都有点开窍了。
那为啥要学这个平均偏差呢？其实在生活里用处可大了。
比如说，你去超市买苹果，不同摊位的苹果价格有高有低。
咱们想知道哪个摊位的价格更稳定，就可以用平均偏差来算一算。
价格的平均偏差小，说明价格波动不大，比较稳定；要是平均偏差大，那价格可能就忽上忽下，不太靠谱。
再比如，工厂生产零件，要检测零件尺寸是否合格。
如果测量一组零件的尺寸，算出尺寸的平均偏差，就能知道生产的精度怎么样，是不是符合标准。
总之，平均偏差这个数学公式虽然看起来有点小麻烦，但只要咱们耐心琢磨，多动手练习，就能发现它的妙处，还能帮咱们解决好多实际问题呢！所以呀，同学们可别被平均偏差这个概念给吓住，只要多用心，多思考，它就会成为咱们数学世界里的好帮手，让咱们在数字的海洋里畅游得更欢快！。
测量平差中的数学公式汇编
测量平差中的数学公式汇编本节对测量平差中的数学公式进行整理和归纳。
其中包含了高等数学、线性代数与概率论和数理统计这三门测量平差中经常出现的数学知识。
这些公式是学习测量平差的重要工具，是学习测量平差的必备知识。
2.1高等数学2.1.1全微分函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y若该表达式与函数的全增量△z之差，当ρ→0时，是ρ( ) 的高阶无穷小，那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。
记作：dz=f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y2.1.2导数常见公式① C'=0(C为常数函数)② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx(cosx)' = - sinx(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2(secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx(coshx)'=sinhx(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x(a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)(1/x)'=-x^(-2)2.1.3泰勒公式设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。
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测量平差中的数学公式汇编
本节对测量平差中的数学公式进行整理和归纳。
其中包含了高等数学、线性代数与概率论和数理统计这三门测量平差中经常出现的数学知识。
这些公式是学习测量平差的重要工具，是学习测量平差的必备知识。
2.1高等数学
2.1.1全微分
函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和
f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y
若该表达式与函数的全增量△z之差，
当ρ→0时，是ρ( ) 的高阶无穷小，
那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。
记作：dz=f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y
2.1.2导数常见公式
① C'=0(C为常数函数)
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数
③ (sinx)' = cosx
(cosx)' = - sinx
(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx
(coshx)'=sinhx
(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx
(cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)
(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)
⑤ (e^x)' = e^x
(a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）
(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）
(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)
(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
(1/x)'=-x^(-2)
2.1.3泰勒公式
设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：
此公式也被称为泰勒公式。
2.1.4拉格朗日公式
求函数Z=ƒ(x,y)在满足附加条件φ(x,y)=0的情况下的极值问题。
根据拉格朗日乘数法，先组成一个新的函数
L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)
式中λ为某一常数（待定），即拉格朗日乘数。
再来求上式的极值。
2.1.5偏导数
x方向的偏导
设有二元函数z=f(x,y)，点(x
0,y
)是其定义域D内一点.把y固定在y=0
而让x在x
有增量△x，相应地函数z=f(x,y) 有增量(称为对x的偏增量)
△z=f(x
0+△x,y
)-f(x
,y
)。
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数
z=f(x,y)在(x
0,y
)处对x的偏导数(partial derivative)。
记作f'x(x
,y
)。
y方向的偏导
函数z=f(x,y)在(x
0,y
)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y
看
成常数后，一元函数z=f(x,y
0)在x
处的导数同样，把x固定在x
,让y有
增量△y,如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x
0,y
)处对y的偏导
数。
记作f'y(x
0,y
)
2.1.6极值
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。
这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
附近的所有的点，都有f （x）<f（x。
），则f（x。
）是函数f（x）的一个极大值。
如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。
），则f（x。
）是函数f （x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
2.2线性代数——矩阵常见公式
2.2.1矩阵的转置
（1）（A T）T=A；
（2）（A+B）T=A T+B T；
（3）(λA)T=λA T；
（4） (AB)T=B T A T。
2.2.2数与矩阵的乘法
（1 ）1A=A；
（2 ）λ(A+B)= λA+λB;
（3 ）； (λ)A=λA+A
（4 ）。
(λ)A=λ(A)=(λA)
2.2.3矩阵的乘法
（ 1）结合律： (AB)C=A(BC)；
（ 2）左分配律： A(B+C)=AB+AC；
（ 3）右分配律： (A+B)C=AC+BC；
（ 4）数与矩阵乘法的结合律： (λA)B=λ(AB)=A(λB)。
2.3概率论和数理统计
2.3.1数学期望
随机变量X的数学期望定义为随机变量取值的概率平均值，记作E(X)。
运算规则：
E(C)=C；
E(CX)=CE(X)；
E(X
1+X
2
+…+X
n
)=E(X
1
)+E(X
2
)+…+E(X
n
)
2.3.2方差
随机变量X的方差记作 (x)，其定义为D(x)=E[X-E(X)]2。
运算规则：
D(C)=0；
D(CX)=C2D(X)；
D(X)=E(X2)=[E(X)2]；
D(X+Y)=D(X)+2σxy+D(Y)；
D(X+Y)=D(X)+D(Y)。