测量平差中的数学公式汇编

测量平差中的数学公式汇编

本节对测量平差中的数学公式进行整理和归纳。其中包含了高等数学、线性代数与概率论和数理统计这三门测量平差中经常出现的数学知识。这些公式是学习测量平差的重要工具，是学习测量平差的必备知识。

2.1高等数学

2.1.1全微分

函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和

f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y

若该表达式与函数的全增量△z之差，

当ρ→0时，是ρ( ) 的高阶无穷小，

那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。

记作：dz=f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y

2.1.2导数常见公式

① C'=0(C为常数函数)

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数

③ (sinx)' = cosx

(cosx)' = - sinx

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(secx)'=tanx·secx

(cscx)'=-cotx·cscx

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx

(coshx)'=sinhx

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx

(cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

⑤ (e^x)' = e^x

(a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）

(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）

(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)

(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

(1/x)'=-x^(-2)

2.1.3泰勒公式

设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：

此公式也被称为泰勒公式。

2.1.4拉格朗日公式

求函数Z=?(x,y)在满足附加条件φ(x,y)=0的情况下的极值问题。根据拉格朗日乘数法，先组成一个新的函数

L(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)

式中λ为某一常数（待定），即拉格朗日乘数。再来求上式的极值。

2.1.5偏导数

x方向的偏导

设有二元函数z=f(x,y)，点(x

0,y

)是其定义域D内一点.把y固定在y=0

而让x在x

有增量△x，相应地函数z=f(x,y) 有增量(称为对x的偏增量)

△z=f(x

0+△x,y

)-f(x

,y

)。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数

z=f(x,y)在(x

0,y

)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f'x(x

,y

)。

y方向的偏导

函数z=f(x,y)在(x

0,y

)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y

看

成常数后，一元函数z=f(x,y

0)在x

处的导数同样，把x固定在x

,让y有

增量△y,如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x

0,y

)处对y的偏导

数。记作f'y(x

0,y

)

2.1.6极值

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。附近的所有的点，都有f （x）

如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。），则f（x。）是函数f （x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

2.2线性代数——矩阵常见公式

2.2.1矩阵的转置

（1）（A T）T=A；

（2）（A+B）T=A T+B T；

（3）(λA)T=λA T；

（4） (AB)T=B T A T。

2.2.2数与矩阵的乘法

（1 ）1A=A；

（2 ）λ(A+B)= λA+λB;

（3 ）； (λ)A=λA+A

（4 ）。 (λ)A=λ(A)=(λA)

2.2.3矩阵的乘法

（ 1）结合律： (AB)C=A(BC)；

（ 2）左分配律： A(B+C)=AB+AC；

（ 3）右分配律： (A+B)C=AC+BC；

（ 4）数与矩阵乘法的结合律： (λA)B=λ(AB)=A(λB)。

2.3概率论和数理统计

2.3.1数学期望

随机变量X的数学期望定义为随机变量取值的概率平均值，记作E(X)。运算规则：

E(C)=C；

E(CX)=CE(X)；

E(X

1+X

2

+…+X

n

)=E(X

1

)+E(X

2

)+…+E(X

n

)

2.3.2方差

随机变量X的方差记作 (x)，其定义为D(x)=E[X-E(X)]2。运算规则：

D(C)=0；

D(CX)=C2D(X)；

D(X)=E(X2)=[E(X)2]；

D(X+Y)=D(X)+2σxy+D(Y)；

D(X+Y)=D(X)+D(Y)。