第七章 位移法(学生)
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结构力学I-第7章 位移法
4
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：
i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5
关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
2015-12-21
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浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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23
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
2015-12-21
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：
i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5
关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
第七章-位移法
10
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i
B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)
(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)
(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i
B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)
(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)
(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。
第7章位移法
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
- 6i l
12i
l
- 6i
3i
l
- 6i
0
l2
A A
θ=1
B B
- 3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
- 3i
i
l
0
A
－i
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 1 l 2 2l l 3 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 1P - l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
X1
1 2
X X X2 X X
11 1 12 2 1C 21 1 22 2 2C
用力法求解单跨超静定梁
θA
X1
A
θB
B
Δ
Δ
X2
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
M AB 4i A 2i B - 6i l (1) M BA 2i A 4i B - 6i l
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
- 6i l
12i
l
- 6i
3i
l
- 6i
0
l2
A A
θ=1
B B
- 3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
- 3i
i
l
0
A
－i
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力 Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 1 l 2 2l l 3 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 1P - l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表
X1
1 2
X X X2 X X
11 1 12 2 1C 21 1 22 2 2C
用力法求解单跨超静定梁
θA
X1
A
θB
B
Δ
Δ
X2
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
M AB 4i A 2i B - 6i l (1) M BA 2i A 4i B - 6i l
根据两图结点平衡
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作 图示荷载弯矩图 图示单位弯矩图
典型方程法
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）. 列方程可求位移。
位移法
• 在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关，刚度愈大则反力也 愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把 典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚 度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。
Z2 l
EI l P
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
R1
12i/l
12i/l
3i/l
r11
M1
l R2=0 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0 Z2=1
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r22 r12 P
M2
R2P R1P
MP
M M 1 Z1 M 2 Z 2 M P
3i r11 30i / l 2 8i 3i / l r12 r21 9i / l r21 4i R1 P P 3i / l 2 12i / l r22 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P 0 3i / l Z1 0.044Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 0.036Pl / i R2P P
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件 顺时针方向旋转为正，反之为负。对结点而言，当 杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向旋转为正， 反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本 书中前面的规定。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数:：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。
第七章 位移法
第 七 章 位移法
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤
1
抓住问题的关键，方能破解问题
§ 7 —1 概
述
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法
力法：普遍适用，随着混凝土结构的发展，高次
超静定刚架出现，计算过于麻烦。
结构在外力作用下，内力和位移存在对应关系。
力法——多余未知力作为基本未知量，列位移协调方程，求出 内力——最后求出位移。 位移法——某些结点位移作为基本未知量，列静力平衡方程， 求出结点位移——最后求出内力。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 18 位移数目，可以 移数目。
(b)
两端固定梁杆端弯矩的一般公式，称为转角位移方程。 其转角位移方程 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 可由上式导出，B端铰支，则: F t1 B MBA= 4i B +2i A__ A =0
EI
可见，B=f (A、△AB), 不独立, 代入第一式: MAB=3iA 式中 （转角位移方程） （固端弯矩）
同时,在有线位移的结点上加一个附加链杆(阻止结点移动)。
例
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
（4次超静定）
基本结构
（6个独立位移）
24
§7—4 位移法的典型方程及计算步骤
第7章位移法
二、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB QBA l t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
B'
MBA
EI EI EI f M AB 4 A 2 B 6 2 Δ M AB l l l M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
EI 4EI (2i)
E
2kN/m
C
ø B
B
ø B
所以： k11 △ 1 +F1P=0
△ 1= ø B
△ 1=－ F1P／ k11
C A C
△ 1= １
(c)
A
ø B
F11 ø B B F1P q
ø B
k11
B
ø B
C
(d)
A
B
观察3位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/12
第7章
4、解方程，求得
8i1 2i 2 22 .5 0 2i1 7i 2 45 0
1 4.76i 2 7.79i
5、按M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例7-2 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。 解： 8kN/m B
i
D
i
E
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
φA P q MAB A φA βAB QAB QBA l t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
B'
MBA
EI EI EI f M AB 4 A 2 B 6 2 Δ M AB l l l M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
EI 4EI (2i)
E
2kN/m
C
ø B
B
ø B
所以： k11 △ 1 +F1P=0
△ 1= ø B
△ 1=－ F1P／ k11
C A C
△ 1= １
(c)
A
ø B
F11 ø B B F1P q
ø B
k11
B
ø B
C
(d)
A
B
观察3位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/12
第7章
4、解方程，求得
8i1 2i 2 22 .5 0 2i1 7i 2 45 0
1 4.76i 2 7.79i
5、按M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例7-2 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。 解： 8kN/m B
i
D
i
E
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
结构力学-第7章-位移法习题答案
EA=∞ E
EA=∞ F
EI
2EI EI
A
B
C
6m
6m
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
7- 34
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11
4 243
EI , R1p
Fp
4 243
EIZ1
Fp
0
Z1
243 4EI
（4）画 M 图
(d)
E
F
EA
EA
A
B
FP aa
C EI1=∞
2a
D
FP a
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
2a
7- 35
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11
2 5
EA / a, R1p
6 5
Fp
2 5
EA a
Z1
6 5
Fp
0
Z1
3a EA
（4）求最终弯矩图
7- 41
(d)
l
E q
GB
D
ql F
EI=常数
A
C
l 2
l
l
l
解：（1）确定基本未知量 两个位移未知量，各种 M 图如下
7- 42
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
第7章 位移法
两端为固定结点
3i M AB 3i A AB l
c
一端为固定结点，一端铰支
c M AB i A c M BA i A
一端为固定结点，一端滑动支承
§7-2 杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作
力法方程：
2、由荷载求固端内力——载常数 两端固定梁
F M AB F M BA
ui sini
几何条件
EAi sin i li FNi FP EAi 2 sin i li
FNi sin i FP
综合各杆件，得平衡条件
EAi 2 sin i FP li
FP EA i sin 2 i li
§7-1 位移法的基本概念
（2）杆端弯矩Mi j
3I0 E
4m 5m
F
4m
2m
4m
D
2 2 ql 20 4 F M BA 40 8 8
F M BC
ql 2 41.7 12
F M CB 41.7
计算线性刚度i，设EI0=1，则
E 4I 0 EI iAB AB 1 l AB 4
iBC 1, iCD 1, iBE
C
P
基本未知量 （如图所示刚架有几个
独立结点位移参数？） 在刚架分析中，通常只考虑弯曲变形， 忽略剪切和拉伸变形。 因此，取独立节点位移参数A和作为基本未知量。
A
B A
M AB
建立基本方程分两步
A
B
A
M AB
P C
A
（1）单元分析（拆分）确 定单杆的杆端内力与杆端 位移及杆件上荷载的关系；
力法方程：
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24
第7章 位移法
A
M
F AB
MF BA
0
⑤
B
l
A
A i=EI/l M AB 4iA
MBA 2iA
⑥
BD
l i=EI/l A
M
AB
M BA
6i l
D
⑦
B
D
l
i=EI/l A
M AB M BA 0
14
四、说明：
⑴杆件的线刚度 i 应为杆件的抗弯刚度EI 除以杆件长度l，即： i=EI/l 。
⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩.
⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩
作相应变化。
q
q
M
F AB
ql 2 8
A
BA
l
l
B
B
B
M
F BA
ql 2 8
q
q
A
M
F AB
ql 2 8
A
M
F AB
ql 2 8
固端弯矩表 P230表7-1
15
⑷补充固端弯矩表
l
l
3ql2/32
C
中点
方法二 基本体系解法(附加约束法)
6
Ex:位移法作图示连续梁的M图。
A
方法二 附加约束法
⑴构造基本结构确定基本未知量B=D1
⑵建立位移法方程
A
F1 k11D1 F1P 0
⑶作 M1, M图P
⑷求系数和自由项
A
k11 6i,F1P
⑸解方程
D1
第七章位移法
二. 荷载作用下求固端弯矩 单跨超静定梁仅由荷载作用产生的杆端弯矩和杆端力，叫固 F F F F 端弯矩和固端剪力 M AB , M BA和FQAB , FQBA 只与荷载形式有关的常数，叫载常数。为了便于运用，将其 数值列于表7-1中。 在已知荷载和支座位移作用下，杆端内力的一般公式： 1） 两端固定梁的杆端弯矩和杆端剪力：
+ 12
∆ l2
2）列平衡方程：
∑M ∑F
θA =
3FP l 25FP l ,∆ = 16i 96i
2
A
= 0, M AB + M AC + M AD + M AE = 0
x
= 0, FQAC = 2 FP
∆ F l 11iθ A − 6i − P = 0 l 2 − 6i θ A + 12i ∆ = 2 F P l l2
θ3
△7
θ4
θ5 △8
θ6
θ1 △5 θ3
θ2 EA θ4
△7 △6
△1 △2
等截面杆件杆端内力（ §7-2 等截面杆件杆端内力（M和FQ）
方向规定: ●1 方向规定: 杆端M和杆端FQ, 都以对杆端顺时针转向为正；对结点或支座 而言，弯矩以逆时针为正。 结点转角θA、θB以顺时针转向为正，杆件两端相对线位移也 以顺时针转向为正。
3FPl/28 FQBA
M AB + M BA FQAB = FQBA = − l 3 FP l FP + 328 l 9 56 =− = − FP l 56
FQBC = M BC FP 3FP FP 17 + = + = FP l 2 28 2 28
3FPl/28 FQBC
结构力学第七章位移法
结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。
在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。
2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。
3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。
4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。
以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。
（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。
（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。
（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。
5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。
然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。
第七章 位移法
位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的杆端 位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇交于刚结 点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法把 结构的独立结点位移作为基本未知量。 结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
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12
2
位移法
等截面直杆的转角位移方程
位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
位移法原理（超静定刚架而言）
附加刚臂约束结点转角
原结构
附加链杆约束结点线位移
7
A
E
F
刚度无穷的影响——E、H转角为零 变截面杆的影响——截面突变处有角位移和线位移 如BD杆上移高于变截面处，如何？ 增2个未知量
8
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量和基本结构
刚度无穷的影响
C B EI EI1＝ B EI D
1个位移法基本未知量
C
D C B D
桁架位移法未知量 6个位移法基本未知量 一般结点有2个独立线位移 支座结点只有未被约束的线位移 结论：未知量数＝2×结点总数－支座链杆数 注意：静定部分排除在外
M BA M BC M BD
F
3
Nyi
FP 0
的函数，一个未知量
的函数，一个未知量
4
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量：结构关键位移 结构关键位移：对确定内力而言充分、必要、独立 结点独立位移：角位移、线位移 注意：刚架杆无轴向变形；静定部分无关键位移
16
i
EI l Δ AB l
固端弯矩
杆件线刚度
弦转角
杆端剪力由平衡方程求出
一固一铰等截面直杆的转角位移方程
一固一定向铰等截面直杆的转角位移方程
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
q
MBA
A
A
A
B
A
B
FQAB
AB
B
FQAB
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
FQAB
B
FQBA
B
AB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
M AB 4i A 2i B 6i
AB
FQAB
B
FQBA
15
B
M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l
24i r33 2 l
副系数可正、负、零 反力互等 rij＝rji
外荷载及位移法各未知量同时作用，利用转角位移 方程列出各杆件的杆端力，根据结点和截面平衡条 件列出位移法方程 q
Z1
自由项 位移法方程
R3 P FP
q 2i
Z2 Z3 Z1
Z1
Z2
自由项可正 负 零 自由项可正、负、零
M DB
6i Z3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A FP C
FQCA MCD MCA
28
位移法的典型方程（r13、r23、r33）
r13 6i /l C 0 6i /l D r23 C
r13 Z3=1 6i/l r23 r33
位移法的典型方程（R1P、R2P、R3P）
R1
P
R2P ql2/12 ql2/12 D
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
D
FP C D
6i/l
C
r13
31
B A
MCD MCA MDC MDB
32
l
B FP C
FQCA
q D
FQDB
D
倾角变位法－转角位移方程
倾角变位法－转角位移方程
Z1
转角位移方程
M AC 2iZ 1 M CA M BD M DB 6i Z3 l 6i 4iZ 1 Z 3 l 6i 2iZ 2 Z 3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A 2i
－
r12 4i r21
r32 D FQCA＝-6i /l
r22 4i 8i 12i
A
－
B 2i
M1图 C FQCA＝-6i /l
M2图
r31
C FQDB＝0
r32
4i 2i 6i r23 l l
附加约束力与关键位移方向一致为正
27
附加约束力与关键位移方向一致为正
r21 r22 r23
R2 P
r31 r32 r33
R3 P
Z1＝1 产生的各附加约束力 Z2＝1 产生的各附加约束力 Z3＝1 产生的各附加约束力 外载产生的各附加约束力
26
系数项
位移法方程的物理意义？ 变形协调方程何处体现？
25
自由项
位移法的典型方程（r11、r21、r31）
r11 4i C 8i 4i D 0 r21
FP C i A l C D i
C
Z3
D
Z2
C
Z3
D
12iZ 1 4iZ 2
6i ql 2 0 Z3 M Mi Zi MP 12 l Z1 、 Z2 、 Z3 2 6i ql F Q FQi Z i FQP 4iZ 1 12iZ 2 Z 3 0 12 l FN FNi Z i FNP 6i 6i 24i Z 1 Z 2 2 Z 3 FP 0 l l l
ql 2 12 ql 2 4iZ 1 8iZ 2 12
33
q C
Z2
转角位移方程
FQCA FQDB 6i 12i Z1 2 Z 3 l l 6i 12i Z2 2 Z3 l l
Z1
Z1
q C
Z2
Z1
D
C
Z3
Z2
Z3
D
D
C
Z3
Z2
Z3
D
A
B
M CA 4iZ 1
6i r31 l
r23
r33 D
6i r32 l r33 2
6i/l
A
－
6i/l
B
M3图
R1P
ql 2 12
R3
R2 P
ql 2 12
A MP图
B
C FQDB＝6=12i /l2
FQCA＝-12i /l2
6i 6i 24i 2 l2 l
FP C 0 D 0
位移法
位移法的基本概念
位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
解超静定结构的两种基本方法 力法 未知量 方程 系数 特点 多余约束力 变形协调 柔度系数 超静定变静定 位移法 结点独立位移 平衡条件 刚度系数 原结构变三类基本杆件
r11 r12 r13
R1P
Z1
q 2i
Z2 Z3
FP C i A 基本结构 D i B
附加刚臂、链杆 锁住关键位移
各 Mi MP 图
－
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程
转角位移方程：外载和全部关键位移同时发生 用转角位移方程 写出杆端内力
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程 平衡方程 设定关键位移时
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
M AB
Δ F 3i A 3i AB M AB l
FQAB
式中B端转角不出现 杆端剪力由平衡方程求出
17
式中B端线位移不出现 杆端剪力
F FQAB FQ AB
C B D G
6个位移法基本未知量
C B D G
刚架位移法基本未知量
E B D EA＝ EI C EI EI1＝ H EI G 2EI F
5个位移法基本未知量
E B D H G
A
E
F
A
E
F A
2EI
A
C
F
4 刚结点加刚臂 独立线位移处加链杆 2
C B D G
铰接图要成为几何不变体系 时所需加的链杆数
21
22
位移法原理与位移法方程
位移法原理与位移法方程（刚架）
q FP
Z1
位移法原理
附加刚臂、链杆 约束关键位移 满足平衡条件
q 2i
Z2 Z3
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
FP C i A 2i D i l
4i
FP C D
以关键位移为基本未知量
基本结构
C
D i
=
i A 基本结构
=
B A MP图
=1
6i/l
=AB/l A
q B
=1
A 3i B
3i/l A
A
A
MBA
B
=1 =1
A i
19
FQAB
B
FQBA
B
AB
B
EI i l
M AB 4i A 2i B 6i M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l
三类基本构件＋静定部分 基本结构
2
位移法
等截面直杆的转角位移方程
位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
位移法原理（超静定刚架而言）
附加刚臂约束结点转角
原结构
附加链杆约束结点线位移
7
A
E
F
刚度无穷的影响——E、H转角为零 变截面杆的影响——截面突变处有角位移和线位移 如BD杆上移高于变截面处，如何？ 增2个未知量
8
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量和基本结构
刚度无穷的影响
C B EI EI1＝ B EI D
1个位移法基本未知量
C
D C B D
桁架位移法未知量 6个位移法基本未知量 一般结点有2个独立线位移 支座结点只有未被约束的线位移 结论：未知量数＝2×结点总数－支座链杆数 注意：静定部分排除在外
M BA M BC M BD
F
3
Nyi
FP 0
的函数，一个未知量
的函数，一个未知量
4
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的基本未知量：结构关键位移 结构关键位移：对确定内力而言充分、必要、独立 结点独立位移：角位移、线位移 注意：刚架杆无轴向变形；静定部分无关键位移
16
i
EI l Δ AB l
固端弯矩
杆件线刚度
弦转角
杆端剪力由平衡方程求出
一固一铰等截面直杆的转角位移方程
一固一定向铰等截面直杆的转角位移方程
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
q
MBA
A
A
A
B
A
B
FQAB
AB
B
FQAB
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
FQAB
B
FQBA
B
AB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
M AB 4i A 2i B 6i
AB
FQAB
B
FQBA
15
B
M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l
24i r33 2 l
副系数可正、负、零 反力互等 rij＝rji
外荷载及位移法各未知量同时作用，利用转角位移 方程列出各杆件的杆端力，根据结点和截面平衡条 件列出位移法方程 q
Z1
自由项 位移法方程
R3 P FP
q 2i
Z2 Z3 Z1
Z1
Z2
自由项可正 负 零 自由项可正、负、零
M DB
6i Z3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A FP C
FQCA MCD MCA
28
位移法的典型方程（r13、r23、r33）
r13 6i /l C 0 6i /l D r23 C
r13 Z3=1 6i/l r23 r33
位移法的典型方程（R1P、R2P、R3P）
R1
P
R2P ql2/12 ql2/12 D
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
D
FP C D
6i/l
C
r13
31
B A
MCD MCA MDC MDB
32
l
B FP C
FQCA
q D
FQDB
D
倾角变位法－转角位移方程
倾角变位法－转角位移方程
Z1
转角位移方程
M AC 2iZ 1 M CA M BD M DB 6i Z3 l 6i 4iZ 1 Z 3 l 6i 2iZ 2 Z 3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A 2i
－
r12 4i r21
r32 D FQCA＝-6i /l
r22 4i 8i 12i
A
－
B 2i
M1图 C FQCA＝-6i /l
M2图
r31
C FQDB＝0
r32
4i 2i 6i r23 l l
附加约束力与关键位移方向一致为正
27
附加约束力与关键位移方向一致为正
r21 r22 r23
R2 P
r31 r32 r33
R3 P
Z1＝1 产生的各附加约束力 Z2＝1 产生的各附加约束力 Z3＝1 产生的各附加约束力 外载产生的各附加约束力
26
系数项
位移法方程的物理意义？ 变形协调方程何处体现？
25
自由项
位移法的典型方程（r11、r21、r31）
r11 4i C 8i 4i D 0 r21
FP C i A l C D i
C
Z3
D
Z2
C
Z3
D
12iZ 1 4iZ 2
6i ql 2 0 Z3 M Mi Zi MP 12 l Z1 、 Z2 、 Z3 2 6i ql F Q FQi Z i FQP 4iZ 1 12iZ 2 Z 3 0 12 l FN FNi Z i FNP 6i 6i 24i Z 1 Z 2 2 Z 3 FP 0 l l l
ql 2 12 ql 2 4iZ 1 8iZ 2 12
33
q C
Z2
转角位移方程
FQCA FQDB 6i 12i Z1 2 Z 3 l l 6i 12i Z2 2 Z3 l l
Z1
Z1
q C
Z2
Z1
D
C
Z3
Z2
Z3
D
D
C
Z3
Z2
Z3
D
A
B
M CA 4iZ 1
6i r31 l
r23
r33 D
6i r32 l r33 2
6i/l
A
－
6i/l
B
M3图
R1P
ql 2 12
R3
R2 P
ql 2 12
A MP图
B
C FQDB＝6=12i /l2
FQCA＝-12i /l2
6i 6i 24i 2 l2 l
FP C 0 D 0
位移法
位移法的基本概念
位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
解超静定结构的两种基本方法 力法 未知量 方程 系数 特点 多余约束力 变形协调 柔度系数 超静定变静定 位移法 结点独立位移 平衡条件 刚度系数 原结构变三类基本杆件
r11 r12 r13
R1P
Z1
q 2i
Z2 Z3
FP C i A 基本结构 D i B
附加刚臂、链杆 锁住关键位移
各 Mi MP 图
－
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程
转角位移方程：外载和全部关键位移同时发生 用转角位移方程 写出杆端内力
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程 平衡方程 设定关键位移时
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
M AB
Δ F 3i A 3i AB M AB l
FQAB
式中B端转角不出现 杆端剪力由平衡方程求出
17
式中B端线位移不出现 杆端剪力
F FQAB FQ AB
C B D G
6个位移法基本未知量
C B D G
刚架位移法基本未知量
E B D EA＝ EI C EI EI1＝ H EI G 2EI F
5个位移法基本未知量
E B D H G
A
E
F
A
E
F A
2EI
A
C
F
4 刚结点加刚臂 独立线位移处加链杆 2
C B D G
铰接图要成为几何不变体系 时所需加的链杆数
21
22
位移法原理与位移法方程
位移法原理与位移法方程（刚架）
q FP
Z1
位移法原理
附加刚臂、链杆 约束关键位移 满足平衡条件
q 2i
Z2 Z3
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
FP C i A 2i D i l
4i
FP C D
以关键位移为基本未知量
基本结构
C
D i
=
i A 基本结构
=
B A MP图
=1
6i/l
=AB/l A
q B
=1
A 3i B
3i/l A
A
A
MBA
B
=1 =1
A i
19
FQAB
B
FQBA
B
AB
B
EI i l
M AB 4i A 2i B 6i M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l
三类基本构件＋静定部分 基本结构