19-20 第3章 3.1 3.1.2 第1课时 函数的表示法
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1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下 列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走 法的是( )
A
B
C
D
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(2)由下表给出函数 y＝f(x)，则 f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
A.1
5
3
B．2
2
1
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较
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函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
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【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
慢减少，最后到 0，故选 D.
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选 B.]
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图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
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学习目标
核心素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析 1.通过函数表示的图象法培养直观
法、图象法、列表法．(重点)
想象素养．
2．会根据不同的需要选择恰当的方 2．通过函数解析式的求法培养运算
法表示函数．(难点)
A．y＝－14x2＋1 B．y＝14x2－1 C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
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3．已知函数 y＝f(x)的图象如图
[－2,3] [由图象可知 f(x)的定义
所示，则其定义域是______．
域为[－2,3]．]
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合作探究 提素养
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函数的三种表示方法
【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台
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(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x<2 之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
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描点法作函数图象的三个关注点
1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图
③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
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列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的 对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时 要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有 代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．
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[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
－1,2，－3}．
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(2)列表
x
23
4
5
…
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图象可知
其值域为(0,1]．
因为 x＋1≥1， 所以 f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
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(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又 f(f(x))＝4x＋8， 所以 a2x＋ab＋b＝4x＋8，
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1．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2<x≤4
f(x)
1
2
3
A.1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当 2< x≤4 时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
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2．二次函数的图象的顶点为(0， B [把点(0，－1)代入四个选项 －1)，对称轴为 y 轴，则二次函数的 可知，只有 B 正确．] 解析式可以为( )
数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出
来． [解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
y(元)
3 000
6 000
x(台)
6
7
y(元)
18 000 21 000
3 9 000
8 24 000
4 12 000
9 27 000
5 15 000
10 30 000
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②图象法：如图所示．
素养.
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自主预习 探新知
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函数的表示法
数学表达式 图象
表格
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思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示 吗？
提示：不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用
0，x∈Q， 于所有函数，如 D(x)＝1，x∈∁RQ. 列表法虽在理论上适用于所有函数， 但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片 段．
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(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)2x＋83或－2x－8 (3)23x－1 [(1)法一(换元 法)：令 t＝ x＋1，则 t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有 f(t)＝(t－1)2－2(t－1) ＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f( x＋1)＝x＋2 x＋1－4 x－4＋3＝( x＋1)2－4( x＋ 1)＋3，
象.
3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.
要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
点等.
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2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1，或 x<－1)． [解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或 x<－1)是抛物线 y＝x2－2x 去掉－ 1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图②.
1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下 列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走 法的是( )
A
B
C
D
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(2)由下表给出函数 y＝f(x)，则 f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
A.1
5
3
B．2
2
1
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较
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函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
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【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
慢减少，最后到 0，故选 D.
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选 B.]
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图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
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学习目标
核心素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析 1.通过函数表示的图象法培养直观
法、图象法、列表法．(重点)
想象素养．
2．会根据不同的需要选择恰当的方 2．通过函数解析式的求法培养运算
法表示函数．(难点)
A．y＝－14x2＋1 B．y＝14x2－1 C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
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3．已知函数 y＝f(x)的图象如图
[－2,3] [由图象可知 f(x)的定义
所示，则其定义域是______．
域为[－2,3]．]
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函数的三种表示方法
【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台
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(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x<2 之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
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描点法作函数图象的三个关注点
1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图
③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
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列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的 对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时 要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有 代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．
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[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
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函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
－1,2，－3}．
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(2)列表
x
23
4
5
…
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图象可知
其值域为(0,1]．
因为 x＋1≥1， 所以 f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
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(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又 f(f(x))＝4x＋8， 所以 a2x＋ab＋b＝4x＋8，
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1．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2<x≤4
f(x)
1
2
3
A.1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当 2< x≤4 时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
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2．二次函数的图象的顶点为(0， B [把点(0，－1)代入四个选项 －1)，对称轴为 y 轴，则二次函数的 可知，只有 B 正确．] 解析式可以为( )
数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出
来． [解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
y(元)
3 000
6 000
x(台)
6
7
y(元)
18 000 21 000
3 9 000
8 24 000
4 12 000
9 27 000
5 15 000
10 30 000
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②图象法：如图所示．
素养.
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函数的表示法
数学表达式 图象
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思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示 吗？
提示：不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用
0，x∈Q， 于所有函数，如 D(x)＝1，x∈∁RQ. 列表法虽在理论上适用于所有函数， 但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片 段．
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(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)2x＋83或－2x－8 (3)23x－1 [(1)法一(换元 法)：令 t＝ x＋1，则 t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有 f(t)＝(t－1)2－2(t－1) ＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f( x＋1)＝x＋2 x＋1－4 x－4＋3＝( x＋1)2－4( x＋ 1)＋3，
象.
3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.
要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
点等.
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2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1，或 x<－1)． [解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或 x<－1)是抛物线 y＝x2－2x 去掉－ 1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图②.