19-20 第3章 3.1 3.1.2 第1课时 函数的表示法
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.2函数的表示法课件
S 350t
函数的三种表示方法：
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
解：用图象法可将函 数 y=f(x)表示为 图3.1-2.
分段函数的解析式和图像
例2 画出函数 f(x)=|x| 的图像，并根据图像求函数 f(x)值域
x
0
0，
图像为
这样的函数叫分段函数， 在生活中，有很多可以用分段 函数描述的实际问题，比如出 租车计费，个人所得税等
分段函数的解析式和图像
例3 给定函数f ( x) = x + 1，g( x) = ( x + 1)2 ,
(1)在同一直角坐标系中画 出f ( x)和g( x)的图像 (2)∀x∈ R,用M ( x)表示f ( x), g( x)中的较大者, 记为：
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
第三章 3.1.2 第1课时 函数的表示法
3．1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点 函数的表示法思考 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答案 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁RQ .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 特别提醒 函数三种表示法的优缺点比较1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)＝________.x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123答案 3解析 ∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是________．答案 [－2,3]解析 由图象可知f (x )的定义域为[－2,3]．3．已知f (x )的图象如图，则f (x )的值域为________．答案 [－4,3]解析 由f (x )的图象知，f (x )的值域为[－4,3]．4．若一次函数f (x )的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________． 答案 f (x )＝x ＋1解析 由题意设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.一、函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝ax ＋bx .当x＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象．解 (1)由题设条件知，当x ＝2时，t ＝100， 当x ＝14时，t ＝28，列出方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x .又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N }．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列， 如图所示．(学生)反思感悟 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 已知函数f (x )＝－x －1，x ∈{1,2,3,4}， 试分别用图象法和列表法表示函数y ＝f (x )． 解 用图象法表示函数y ＝f (x )，如图所示．用列表法表示函数y ＝f (x )，如表所示．x 1 2 3 4 y－2－3－4－5二、函数的图象的画法 例2 作出下列函数的图象： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分． 如图所示，(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．如图所示，(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．如图所示，(教师) 延伸探究根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]． (学生)反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练2 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0； 当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．三、求函数的解析式例3 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)：令t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x， 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(学生)反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(2)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(3)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 跟踪训练3 (1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )． 解 (1)方法一 (配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2 ＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.方法二 (换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， 即f (x )＝x 2－5x ＋6. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. ∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.函数图象的应用典例已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)，(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．(1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)答案 C解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案 A解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案 1解析由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．知识清单： (1)函数的表示法． (2)函数的图象． (3)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、数形结合法． 3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 答案 D解析 题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}． 2．已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．4 B.14 C ．16 D.116答案 C解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x2＝16.3．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案 A解析 方法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .方法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .4．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( )A ．－1B ．5C ．1D ．8答案 C解析 由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a ＝2×0＋1＝1.5．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )答案 D解析 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 7．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.答案 2x －23解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23. 8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570， 若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )．解 (1)方法一 (换元法)：令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1，∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 令t ＝x －1x，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.11．函数y ＝x 1＋x 的大致图象是( )答案 A解析 方法一 y ＝x 1＋x的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．12．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x <10.13．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________． 答案 －1解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)， 所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3] ＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1， 求得a ＝－1.14．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0) 解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x. 由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x (x ≠0)．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．解由f(3)＝3，得b＝－3a－9.由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，所以a＝－6，b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9.。
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法第一册数学教案
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)． [基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2. ∴f (x )＝3x ＋2. 答案：A4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为 当g (f (x ))＝2时，x ＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3， ∴f (g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案：1 1题型一 函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1,2,3，…，10}．状元随笔 本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二 求函数的解析式 [经典例题] 例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x1－x 2，得f (t )＝1t1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝tt 2－1，故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c. 跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________；(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2 ＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2)(2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2|x |≤1，11＋x 2|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10，则f (8)＝________.【解析】(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B. 判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0，π x ＝0，0 x <0，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π， ∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式． 题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象； (2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}．例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)．由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，x ＋12，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者． 跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值．【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错．答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝11＋xB ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t ，∴f (x )＝1x ＋2.答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________. 解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 2－12f－2＝4，f－2－12f2＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f 2－f －2＝8，f －2－12f 2＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2. [尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
新人教版高中数学必修第一册3.1.2 函数的表示法
y
25
笔记本数m
1
2
3
4
5
20
钱数y
5
10
15
20
25
15
【图像法】函数图像可以表示如图：
10
5
0
1
2
3
4
5
m
函数的表示法
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
=
−
=
（2）含绝对值符号的函数：
− , <
（3）自定义函数：
− , ≤
= − = −, < <
+ , ≥
（3）取整函数：
= ( 表示不大于 的最大整数)
如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期
的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，
如函数f(x)=x.
Hale Waihona Puke 分段函数【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
画出图像如图：
-x，x＜0，
x，x≥0.
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，
新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.1.2 函数的表示法(一)
集合B { x, y | x R, y R}
对应关系f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆} 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A {x | x是新华中学的班级}, 集合B {x | x是新华中学的学生}, 对应关系f : 每一个班级都对应班里的学生.
f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应
f’ : E F
➢映射概念
非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y
1、下列对应中，能构成映射的有（
）
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(1)
A
B
a1
b1 b2
a2
b3 b4
(4)
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(2)
A
B
a1
b1
a2
b2
(5)
(3) f ( x) 2x2 3x 5
[0, )
(, 2) U(2, ) [ 31 , )
8
一、复习回顾
实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)
变化的规律是 ： h=130t-5t2
解析法
实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变
化情况：
图象法
实例3：
列表法
二、基础知识讲解
A
B
a1
b1
a2
3.1.2 函数的表示(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
教学设计3：3.1.2 函数的表示法
20分钟2、学以致用定义域：t∈{0≤t≤24}(2)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1 问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，可知，定义域也可以是离散型的.(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350t.（对应法则）其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S∈{0≤S≤175}.因为有定义域和对应法则就可以求出值域，所以，我们一般用解析法表示函数时只要写出对应法则和定义域.二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(x).（若x有1000个取值呢？）如下表所示：其中定义域：x∈{1,2,3,4,5}追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为x−o−y坐标系中的点.如下图所示：这就是图象法表示函数y=f(x).（定义域：x∈{1,2,3,4,5}）研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。
3.1.2 函数的表示法(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
第三章 3.1.1 第1课时 函数的概念(一)
§3.1函数的概念及其表示3．1.1函数的概念第1课时函数的概念(一)学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}思考1在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？答案确定，一一对应．思考2如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？答案不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．特别提醒理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(×)2．任何两个集合之间都可以建立函数关系．(×)3．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(×)4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．(×)一、函数关系的判断例1(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值答案AD解析按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是．(学生)反思感悟(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是()A．①B．②C．③D．④答案 D解析只有y＝|x|是符合题意的对应关系．二、求函数值例2设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))．解(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)．g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112.(2)g (f (x ))＝1f (x )＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4. (教师) 延伸探究1．本例的条件不变，求f (f (x ))，g (g (x ))． 解 f (f (x ))＝2(f (x ))2＋2＝2(2x 2＋2)2＋2 ＝8x 4＋16x 2＋10，g (g (x ))＝1g (x )＋2＝11x ＋2＋2＝x ＋22x ＋5.2．本例的条件不变，若f (a ＋1)＝g ⎝⎛⎭⎫－32＋a ＋1，求a 的值． 解 由f (a ＋1)＝g ⎝⎛⎭⎫－32＋a ＋1得2a 2＋3a ＋1＝0， 解得a ＝－1或a ＝－12.(学生)反思感悟 函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则．跟踪训练2 若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))的值．解 f (0)＝1－01＋0＝1，f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－(1－a )1＋(1－a )＝a2－a(a ≠2)，f (f (2))＝1－f (2)1＋f (2)＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.三、求函数的定义域 例3 求下列函数的定义域： (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)f (x )＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R .(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2>0，即x >－2， 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x >－2且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3， 所以函数y ＝5－x|x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1.因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}． (学生)反思感悟 求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 跟踪训练3 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝2x 2－3x －2＋14－x. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，得⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2≥0，4－x >0，得x ≤－12或2≤x <4，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或2≤x <4.函数的判断典例 在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( ) ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝x3；②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →x 2＋y 2＝25； ④A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ＝x 2；⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝{s |s ∈R }，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应关系f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤答案 D解析 ①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．[素养提升](1)判断一个对应关系是否为函数，是函数定义的具体应用，体现了数学抽象的核心素养．(2)首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B 中y的唯一性．1．已知函数f(x)＝3x，则f ⎝⎛⎭⎫1a等于()A.1a B.3a C．a D．3a答案 D解析f⎝⎛⎭⎫1a＝31a＝3a.2．下列函数中定义域为R的是()A．y＝x B．y＝(x－1)0C．y＝x2＋3 D．y＝1x答案 C解析A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是()A．y是x的函数B．x是y的函数C．对于不同的x，y也不同D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数答案AD解析由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．4．若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝________，f (f (－2))＝________.答案 －18 98解析 f (3)＝11－9＝－18，f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝98. 5．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是____________________________________________． 答案 {x |x ≥－1且x ≠1}解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．1．知识清单： (1)函数的概念． (2)求函数值． (3)求函数的定义域． 2．方法归纳：定义法．3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．1．(多选)下列四种说法中，正确的有( )A ．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 答案 ACD解析 由函数定义知，A ，C ，D 正确，B 不正确． 2．设函数f (x )＝3x 2－1，则f (a )－f (－a )的值是( )A ．0B ．3a 2－1C ．6a 2－2D ．6a 2答案 A解析 f (a )－f (－a )＝3a 2－1－[3(－a )2－1]＝0.3．(多选)已知集合A ＝{x |0≤x ≤8}，集合B ＝{y |0≤y ≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A 到B 的函数关系的是( ) A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x答案 ABC解析 根据函数的定义，对于D ，在集合A 中的部分元素，在集合B 中没有元素与它对应，故不正确． 4．函数f (x )＝1－3xx的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0<x ≤13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤13且x ≠0 答案 D解析 要使f (x )有意义，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.5．若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )答案 B解析 A 中值域为{y |0≤y ≤2}，故错误；C ，D 中值域为{1,2}，故错误． 6．若f (x )＝2xx 2＋2，则f (1)＝________.答案 23解析 f (1)＝21＋2＝23.7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝________.答案 －56解析 由f (t )＝6，得11＋t＝6，即t ＝－56.8．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，则从A 到B 的函数f (x )有________个． 答案 8解析 利用列表法确定函数的个数．9.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (2)f (x )＝(x ＋3)0|x |－x.解 (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤12. (2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎨⎧x ≠－3，x <0. 所以函数的定义域为{x |x <0且x ≠－3}．10．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (12)的值．解 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥－4且x ≠1}．(2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3. f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.11．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝|x | 答案 A解析 对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立．对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立．对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立． 对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．12．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >112 解析 要使原函数有意义，必须满足mx 2＋x ＋3≠0，由于函数的定义域是R ，故mx 2＋x ＋3≠0对一切实数x 恒成立．当m ＝0时，x ＋3≠0，即x ≠－3，与f (x )的定义域为R 矛盾，所以m ＝0不合题意．当m ≠0时，有Δ＝12－12m <0，解得m >112. 综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >112. 13．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．答案 {x |0<x <2}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎨⎧－2<x <2，0<x <2. 解得0<x <2，于是函数g (x )的定义域为{x |0<x <2}． 14．若对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________，f (－1)＝________. 答案 2 0解析 对∀x ∈R ，有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，令x ＝1，则2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，则2f (－1)－f (1)＝－2.②由①②解得f (1)＝2，f (－1)＝0.15．设函数y ＝f (x )对任意正实数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，已知f (8)＝3，则f (2)＝________.答案 12解析 因为f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，所以令x ＝y ＝2，得f (2)＝f (2)＋f (2)，令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)，令x ＝2，y ＝4，得f (8)＝f (2)＋f (4)，所以f (8)＝3f (2)＝6f (2)，又f (8)＝3，所以f (2)＝12. 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系吗？证明你的发现；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020的值． 解 (1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1， 所以f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－114＋1＝15. f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝⎛⎭⎫13＝1－119＋1＝110. (2)由(1)中求得的结果发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＝2 019.。
2020-2021学年高一上数学第三章《函数的概念与性质》3.1.2函数的表示法(一)
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解(1)因为x∈Z，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
函数图象的应用
典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
跟踪训练2(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．
答案f(x)＝x2－4(x≥2)
解析因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1<m≤3.
[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0))2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴ 解得 ∴f(x)＝x2－x＋1.
反思感悟求函数解析式的常用方法
解观察图象可知：
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 第1课时 函数的表示法学案(含解析)新人教A版必修第
3．1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法[目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点] 求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：类型一列表法表示函数[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.[答案]1 1列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g (f (2))＝1；f (g (2))＝3.解析：(2)∵f (2)＝3，g (2)＝2，∴g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (2))＝f (2)＝3.类型二 图象法表示函数[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察图象 求得值域. [解] (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345描点，作出图象(如图)．当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x 2 3 4 5 … y1231225…描点，作出图象(如图)．当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138描点，作出图象(如图)，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：(1)在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域．(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．类型三 解析法表示函数[例3] 求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． [解] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法1：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法2：(换元法) 令x ＋1＝t (t ≥1)． 则x ＝(t －1)2(t ≥1)． 所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的方法：(1)代入法：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式常用代入法.(2)配凑法：已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式时，可先从f [g (x )]的解析式中拼凑出“g (x )”，即把“g (x )”作为整体，再将解析式的两边的g (x )用x 代替即可求得f (x )的解析式.(3)换元法：已知f [g (x )]的解析式，要求f (x )的解析式时，可令t ＝g (x )，利用t 表示出x ，然后代入f [g (x )]中，最后把t 换为x 即可.注意换元后新元的范围.(4)待定系数法：已知f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.[变式训练3] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x 2，求f (x )；(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t1－⎝⎛⎭⎫1t 2＝tt 2－1(t ≠0)， 故f (x )＝x x 2－1(x ≠0)．(2)由g (x )为一次函数， 设g (x )＝ax ＋b (a >0)，∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5(x ∈R )．1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x ＋1解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，f (x )＝－x ＋1.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))＝( B )x 1 2 3 f (x )23A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由函数图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，故f (g (2))＝2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋2. 解析：解法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，∴f (x )＝3x ＋2.解法二：∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是y ＝80x 2＋800x,_x ∈(0，＋∞)．解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0，化简为：y ＝80x 2＋800x ，x ∈(0，＋∞)．5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解：用列表法表示如下：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000 用图象法表示，如图所示．用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．。
新教材人教A版必修第一册 3.1.2 第1课时 函数的表示法 课件(38张)
只能近似地求出自变量所对应 的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变 量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所 对应的函数值
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第三章 函数的概念与性质
基础自测
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( B )
A．π2
B．π
C． π
D．不确定
[解析] 因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
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第1课时 函数的表示法
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
必备知识·探新知
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点 函数的表示法
基础知识
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫 做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 123 f(x) 2 1 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为__1___；当g[f(x)]＝2时，x＝__1___.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
的方法叫做列表法
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
思考：三种表示法的优缺点分别是什么？ 提示：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间 的关系，且利用解析式可求任 一自变量对应的函数值
3.1-函数的概念及表示方法
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数
f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.
−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】 根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.
, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;
3.1.2-第1课时-函数的表示法课件ppt
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
式是y=x(1-x),则函数的定义域为(
A.R
)
B.{x|x>0}
C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}
答案 D
0 < < 1,
解析 由题意得
解得 0<x<1,故选 D.
0 < 1- < 1,
2.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为(
A.f(x)=-x
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表:
污染源距离/m
50
100
200
300
500
氰化物浓度/(mg·m-3)
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题:根据初中学过的知识,说出(1)(2)(3)分别是用什么法表示函数的?
[知识点拨]
知识点:函数的表示方法
名师点析 函数的三种表示方法的优缺点
解 (1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
第3章3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法(课件)
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举例说明在日常生活中可用三种表示法表示的函数. 函数图象既可以是光滑的曲线,也可以是直线、折线、离散的 点等.那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么? 若垂直于x轴的直线与图形至多有一个交点,则这个图形可以作 为某个函数的图象.
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比较函数的三种表示法,它们各自的特点是什么? 解析法的优点:一是可以简明、全面地概括变量之间的对应关 系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 列表法的优点:不需计算便可以直接看出自变量的值所对应的 函数值. 图象法的优点:可以直观形象地表示随着自变量的变化,相应 的函数值变化的趋势,有利于通过图象来研究函数的某些性质.
布置作业 教材练习第1,2,3题.
(2)分段函数是一个函数而不是几个函数.
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课堂练习
C
课堂练习
A
课堂练习
B
课堂练习
A
课堂总结
回顾本节课的学习内容并回答下列问题: (1)函数有几种表示法?分别是什么?它们各自有何优点? (2)如何理解分段函数的概念?请从函数概念的角度进行分析. (3)解析法与图象法能相互转化吗?
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所有函数都能用解析法表示吗?请你举出实例加以说明. 不是所有的函数都能用三种表示法表示. 比如3.1.1中的问题3是用图象法表示的,但没法用解析法和列表 法来表示;狄利克雷函数是用解析法表示的,但没法用列表法和图象 法来表示……
2019-2020学年人教A版必修第一册3.1.2 第1课时 函数的表示法 课件
ff1xx＋＋22ffx1x＝＝x1x，. 解得 f(x)＝32x－3x(x≠0)．
29
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30
求函数解析式的四种常用方法 1待定系数法：若已知 fx的解析式的类型，设出它的一般形式，根 据特殊值确定相关的系数即可. 2换元法：设 t＝gx，解出 x，代入 fgx，求 ft的解析式即可. 3配凑法：对 fgx的解析式进行配凑变形，使它能用 gx表示出来， 再用 x 代替两边所有的“gx”即可.
因为 x＋1≥1， 所以 f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
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(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又 f(f(x))＝4x＋8， 所以 a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即aa2b＝＋4b，＝8，
a＝2， 解得b＝83
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
2
学习目标
核心素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析 1.通过函数表示的图象法培养直观
法、图象法、列表法．(重点)
想象素养．
2．会根据不同的需要选择恰当的方 2．通过函数解析式的求法培养运算
法表示函数．(难点)
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31
4方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反 数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价 性.
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32
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表 示函数．
2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与 x 轴、 y 轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．
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③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
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列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的 对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时 要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有 代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．
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(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x<2 之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
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描点法作函数图象的三个关注点
1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图
因为 x＋1≥1， 所以 f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
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(2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又 f(f(x))＝4x＋8， 所以 a2x＋ab＋b＝4x＋8，
象.
3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.
要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
点等.
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2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1，或 x<－1)． [解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或 x<－1)是抛物线 y＝x2－2x 去掉－ 1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图②.
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1．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2<x≤4
f(x)
1
2
3
A.1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当 2< x≤4 时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
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2．二次函数的图象的顶点为(0， B [把点(0，－1)代入四个选项 －1)，对称轴为 y 轴，则二次函数的 可知，只有 B 正确．] 解析式可以为( )
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[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
－1,2，－3}．
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(2)列表…
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图象可知
其值域为(0,1]．
A．y＝－14x2＋1 B．y＝14x2－1 C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
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3．已知函数 y＝f(x)的图象如图
[－2,3] [由图象可知 f(x)的定义
所示，则其定义域是______．
域为[－2,3]．]
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合作探究 提素养
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函数的三种表示方法
【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
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学习目标
核心素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析 1.通过函数表示的图象法培养直观
法、图象法、列表法．(重点)
想象素养．
2．会根据不同的需要选择恰当的方 2．通过函数解析式的求法培养运算
法表示函数．(难点)
数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出
来． [解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
y(元)
3 000
6 000
x(台)
6
7
y(元)
18 000 21 000
3 9 000
8 24 000
4 12 000
9 27 000
5 15 000
10 30 000
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②图象法：如图所示．
慢减少，最后到 0，故选 D.
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选 B.]
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图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
素养.
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自主预习 探新知
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函数的表示法
数学表达式 图象
表格
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思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示 吗？
提示：不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用
0，x∈Q， 于所有函数，如 D(x)＝1，x∈∁RQ. 列表法虽在理论上适用于所有函数， 但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片 段．
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(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)2x＋83或－2x－8 (3)23x－1 [(1)法一(换元 法)：令 t＝ x＋1，则 t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有 f(t)＝(t－1)2－2(t－1) ＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f( x＋1)＝x＋2 x＋1－4 x－4＋3＝( x＋1)2－4( x＋ 1)＋3，
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1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下 列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走 法的是( )
A
B
C
D
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(2)由下表给出函数 y＝f(x)，则 f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
A.1
5
3
B．2
2
1
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较
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函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
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【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．