高斯投影坐标反算公式

四、平面子午线收敛角公式 1.平面子午线收wk.baidu.com角的定义
p点的子午线收敛角就是 pN在 p点上的切线 pn与坐标
北方向 pt 之间的夹角，用 表示。
x
t
N' n'
p'
dy
Q' q'
dx
o
y
2.公式推导
（1）由大地坐标 (L，B)
x xL, B y yL, B
dB 0
dx
x l
dl
dy
y l
dl
x
tan
dx dy
l y
l
x N sin B cosBl N sin B cos3 N (5 t 2 9 2 4 4 )l3
l
6
N sin B cos5 B (61 58t 2 t 4 )l5 120
y N cosB{1 cos2 B (1 t 2 2 )l 2 cos4 B (5 18t 2 t 4 )l 4}
本节主要内容
• 高斯投影坐标反算公式 • 坐标反算公式的几何解释 • 平面子午线收敛角的定义 • 平面子午线收敛角的公式推导 • 实用公式
3. 高斯投影坐标反算公式
(x, y) (L, B)
B 1(x, y) l 2(x, y)
满足3个条件：即 ⑴ x坐标轴投影成中央子午线，即投影的对称轴 ⑵ x轴上的长度投影保持不变 ⑶ 正形投影条件
Bf
f 2)]
3.实用公式
⑴ 查表
⑵ 电算
对于克拉索夫斯基椭球
{1 [(0.33333 0.00674cos2 B) (0.2cos2 B
0.0067)l2 ]l2 cos2 B}l sin B
对于1975国际椭球
{1 (C3 C5l 2 )l 2 cos2 B}l sin B
C3 0.33332 0.00678 cos2 B C5 0.2cos2 B 0.0667
dn0 dX
Mf N f cos Bf
1 M
f
1 N f cos Bf
n2
n3
B
Bf
tf 2M f N f cosBf
y2
l
Nf
1 c os B f
y
6
N
f
3
1 c
os
B
f
(1 2t f 2
nf 2) y3
算例：3带第38带
x 5586514.369m
y 4374.724m X 5586514.369m Y 38504374.724m
B 502434.763 L 1140341.549
x
4.坐标反算公式的几何解释 反算公式：
求l P''(0,B)
P(x,y)
求B
平行圈
B Bf B
y 0，l 0，x X，B Bf
O
y
y 0，l 0，x X，B Bf
以 P'点' 为核心，在中央子午线上P'' 点展开y 的幂级数
②计算中央子午线经度
六度带 L0 6n 3 三度带 L0 3n
11 n 24 23 n 49
2、迭代法求取大地纬度 迭代开始时设 B1f X a0
以后每次迭代按下式计算
F
(
B
i f
)
a2 2
sin 2Bif
a4 4
sin 4Bif
a6 6
sin 6Bif
Bi1 f
(X
F(Bif
))
a0
15
说明：⑴ 为 l 的奇函数，而且 l 越大， 越大；
⑵ 有正负，当描写点在中央子午线以东时， 为正， 以西时， 为负；
⑶ 当 l 不变时，则 随纬度增加而增大。
（2）由平面坐标 x，y 计算平面子午线收敛角
(x，y) (l，Bf )
Nf
y tan Bf [1
y2 3N f 3
(1
tan2
由第一个条件得：
B 1(x, y)，l 2(x, y)
偶函数
奇函数
B n0 n2 y2 n4 y4 l n1y n3 y3 n5 y5
由第三个条件得： q l , l q
x y x y
dq
MdB N cosB
B x
N cosB M
q x
N cosB M
l y
B y
N
cosB M
1
120N
5 f
c os B f
5
28t
2 f
24t
4 f
y5
B Bf
tf
2M f N f
y2
t
3 f
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
5、中央子午线收敛角和经度
Nf
y
tan
B
f
[1
y2 3N f
3
(1 tan2 Bf
f 2)]
L L0 l
小结
• 了解反算公式的推导思路； • 掌握反算公式保符号的意义； • 用反算公式会进行计算； • 掌握子午线收敛角的定义及作用；
作业与思考
1、通过高斯反算，验证上次作业的正确性。 2、高斯反算公式推导思路是什么？中各符号的意义是什么？ 3、子午线收敛角的作用是什么？
计算子午线收敛角的意义： 1、用于大地方位角和高斯平面坐标方位角的转换； 2、高斯正反算检核坐标计算的正确性。。
大地方位角＝坐标方位角－子午线收敛角＋方向改化
A12 12 12
高斯坐标反算实用步骤
1、根据高斯坐标确定带号、计算中央子午 线经度 ①计算带号 n int( y /1000000)
重复迭代直至
Bi1 f
Bif
为止
3、计算反算公式中的各符号的值
t f tan B f
2 f
e'2
cos2
Bf
Wf 1 e2 sin2 B f
Mf
a(1 e2 )
W
3 f
Nf
a Wf
4、代入反算公式计算经度差、纬度
1
l N f cosBf
1 y 6N 3 cosBf
1
2t
2 f
2 f
y3
l
2
24
tan sin B l 1 (1 t 2 3 2 2 4 ) sin B cos2 Bl3
3 1 (2 4t 2 2t 4 ) sin B cos4 Bl5 15
sin B l 1 sin B cos2 Bl3(1 3 2 2 4 )
3
1 sin B cos4 Bl5 (2 t 2 )
q y
N
cosB M
l x
求导，同次幂系数相等，得：
n1
N
M cosB
dn0 dx
n2
1 2
N
cosB M
dn1 dx
n3
由第二个条件得：
F：底点 底点纬度Bf
y 0，x X
B n0 Bf
dn0 dx
dBf dX
dX M f dBf
dBf 1 dX M f
n1
Mf N f cos Bf