量子力学_陈洪_电子教案第2章物质波与薛定谔方程

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迄今,我们忽略了(k) 级数展开中高于一 阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允 许的.因为物质波在真空中也出现色散
z 0 z ,3,
2
0
d
2
dk
2

k0
0
2
4 -20
-152.2.1 -10 波包 -5 0 5 10 15 20 图 : 一些快速振 动波的叠加
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显 示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. P P
电子源
O Q
感 光 屏
Q

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或 者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。
§2.3 物质波的统计诠释(M.Born,1926)
（一）波函数 （二）波函数的解释
（三）波函数的性质
（一）波函数
i A exp ( p r Et )
称为 de
描写自由粒子的 平 面 波
Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
1.单个平面波情况： 考虑沿x方向运动的自由粒子,其平面波为
等相面:
x ,t A expikx t
相速u满足关系:
kx t c
d ku 0, u dt k
在非相对论情况下,用德布罗意关系代入自由粒子的能 2 量—动量关系 p
E
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
2、汤姆逊实验
1927年，汤姆逊在实验中，让电子 束通过薄金属膜后射到照相底片上， 结果发现，与X射线通过金箔时一样， 也产生了清晰的电子衍射图样。
1993年，Crommie等人用扫描隧道显 微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上 的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形 量子围栏，用实验观测到了在围栏内形 成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)， 直观地证实了电子的波动性。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2）平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和 湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应 为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值 这即是要求描写粒子量子 为：C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ 状态的波函数Ψ必须是绝 若 ∫∞ |Ψ (r,t)|2dτ ∞, 则 C 0, 这 对值平方可积的函数。 是没有意义的。
g 0பைடு நூலகம்
由于正弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x 缓慢地变化.所以,我们能把C(x,t) 当作近似单色波的 振幅,而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和 分母都乘以k,并简记为z=kx-vgt ,容易看到,振幅的 变化取决于因子,它有性质 sin z 1 z0
r , t A cos 2
r.n vt A cosk r wt
振幅A未确定的平面波
r ,t A expi p r Et
h h 自由粒子的平面波有波长 p mv 解释： 由于h很小,只有m足够小时,才会有可测量到的波 长.因此,物质粒子的波动性首先在原子区域表现出来
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
C ( r2 , t ) ( r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率 波，所以波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空 间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的 相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波 函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 k k0 2 2 dk k dk k
2
可得:
2m
k 2 , k 2m
E mc 2 c 2 u k k p mv v
真空中的相速度是k的函数
u c
结论：物质波的相速大于真空中的光速, 所以它不能与 设定粒子的速度相同.
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波 组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有 意义的，与实验事实相矛盾。
解释： 实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一 实验中的统计结果,或者是一个电子在许多次相同实验 P P 中的统计结果.
电子源
O Q
感 光
O Q
观点三: 电子既是粒子,也是波,是粒子和波动两象性 的统一. 不过, 这儿的波不再是经典概念下的波,粒子 也不再是经典概念下的粒子.
电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电 荷等属性的客体出现,但并不与“粒子有确切的轨道” 的概念有什么必然联系.电子显现出的波动性,也只不 过是波动性中最本质的东西——波的“相干叠加性”, 并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在 一起.把微观粒子的“粒子性”与波的“相干叠加性” 统一起来是玻恩提出来的几率波.
波包中心将出现在相角=kx-(k)t取极值处,因为 在这点附近,不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害, 而不是相消.这个极值点的位置用下式确定：
0 k
即 x
d t 0 dk
所以波包中心位置是 d x xc t dk
d dE p k 物质波包的群速度为 vg dk dp m m 2u v
这暗示波包不保持其形式, 而是逐 渐地扩展.随时间的演化,电子将愈 变愈“胖”,这与实验是矛盾的.
观点二: 波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成 的象声波一样的疏密波,即电子疏密相间分布而形成的 纵波.
实验现象：如果入射到晶体上的电子流的强度很大,则底板上很 快就出现衍射图样.如果入射电子流极其微弱,电子几乎是一个一 个地被晶体反射,这时底板上就出现一个一个的点子,显示出电子 的微粒性.这些电子在底板上的位置并不都是重合在一起的.开始 时,它们看起来似乎是毫无规则地散布着,但足够长的时间后,底 板上形成了衍射花样.这说明粒子的波动性并不依存于大量电子 在空间聚集在一起,单个电子就具有波动性.
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
在t时刻，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数 Ψ(r,t)描写的粒子的几率是： d W(r,t) = C|Ψ(r,t)|2dτ，C是比例系数。
在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r,t) ={dW(r,t)/dτ}= C|Ψ(r,t)| 2 称为几率密度。
调地增加加速电压，电子探测 器的电流并不是单调地增加的， 而是出现明显的选择性。例如， 只有在加速电压U=54V,且 d sin k θ=500时，探测器中的电流才 X射线实验测得镍单晶的晶格 有极大值。 常数d=0.215nm 当加速电压U=54V，加速电子的能量 eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为
第二章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8

物质波与薛定谔方程
德布罗意物质波 微观粒子波粒二象性矛盾分析 波函数的统计解释 态叠加原理 力学量的平均值和算符的引进 Schrodinger 方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态Schrodinger方程
§2.1德布罗意的物质波
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
2. 有限波包：
波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加.为简单起 见,这里研究一群沿x方向传播的波 :
x ,t
k0 k
k0 k
k expikx k t dk
注意：自由粒子波函数
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
0 0
x ,t exp i0 t k exp i kx v g k k 0 t dk C x ,t expi k 0 x 0 t