第七章概率与概率分布
概率论第七章 第1节
根据样本概率最大原则，m的估计值为3。
最大似然估计法原理
一般地，不仿设总体X是离散型分布X～p(x,θ)，如果 X1,X2,…,Xn是来自这个总体的一个随机样本，x1,x2,…,xn 是这个随机样本的样本值，则这个样本发生的概率为：
记这个概率为θ的函数：
16
最大似然估计法原理
如果在一次抽样中样本值x1,x2,…,xn出现了，我们就认为 它之所以出现是因为它发生的概率最大导致的。因此我们 就选择能使这个概率最大的那个θ作为θ的估计值，这就 是极大似然估计法。 “样本值概率最大原则”
矩估计法理论依据
命题2：设总体X的l=1,2,…,k阶矩存在即E(Xl)=μk,则l阶样 本矩A1,A2,…,Ak的连续函数g(A1,A2,…,Ak)也依概率收敛于总 体矩的连续函数即
根据这两个命题，我们使用如下方法来进行矩估计： (1)用样本矩A1,A2,…,Ak来估计总体矩； (2)用样本矩的连续函数g(A1,A2,…,Ak)来估计总体矩的连续 函数g(μ1,μ2,…,μk)。
砍掉充分小的dxi,记这 个概率为θ的函数：
30
连续型总体中参数 θ的似然函数!
最大似然估计值 最大似然估计量
怎样求最大值点？
基于此通常先取对数，再求最大值点。
化成求 对数似 然函数 的最大 值点!
如果对数似然函数二阶可导，并且概率 密度函数是单峰函数，则驻点就是最大 值点!通过求一阶导数能得驻点：
第七章 参数估计
1、什么是参数估计？ 当总体的分布类型已知，但其中仍有未知参数。比如总体 X服从参数μ,σ2的正态分布，但μ,σ2未知。但是我们 能根据来自总体X的一个简单随机样本X1,X2,…,Xn通过适 当的方法对这些未知参数进行估计，得到它的一个近似值 或近似区间。 2、参数估计有哪些形式？ (1)点估计：矩估计法、极大似然估计法。 (2)区间估计：正态总体下区间估计法。
高中数学第七章随机变量及其分布 全概率公式课后提能训练新人教A版选择性必修第三册
第7章 7.1.2A 级——基础过关练1．袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二人取得黄球的概率为( )A ．35B ．1949C ．2049D ．25【答案】D 【解析】设A ＝{第一个人取到黄球},B ＝{第二个人取到黄球},则P (B )＝P (A )(B |A )＋P (A )P (B |A ),由题意知P (A )＝2050,P (A )＝3050,P (B |A )＝1944,P (B |A )＝2049,所以P (B )＝2050×1949＋3050×2049＝25.2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量占全厂产量的25%,35%,40%,而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品,那它由甲车间生产的概率约为( )A ．0.013B ．0.362C ．0.468D ．0.035【答案】B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占总量的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为( )A ．0.012 3B ．0.023 4C ．0.034 5D ．0.045 6 【答案】C 【解析】由全概率公式,得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.4．已知甲袋中有6只红球,4只白球；乙袋中有8只红球,6只白球,随机取一只袋子,再从袋中任取一球,发现是红球,则此球来自甲袋的概率为( )A ．512B ．37C ．2041D ．2141【答案】D 【解析】设A ＝{取得红球},B 1＝{来自甲袋},B 2＝{来自乙袋},则P (B 1)＝P (B 2)＝12,P (A |B 1)＝610,P (A |B 2)＝814,由贝叶斯公式得P (B 1A )＝P B 1P A |B 1B 1P A |B 1＋P B 2P A |B 2＝12×61012×610＋12×814＝2141. 5．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,每次从中任取一张,连取两次．若第一次取出的卡片不放回,则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )A ．14B ．12C ．25D ．35【答案】B6．两台机床加工同样的零件,它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02,加工出的零件放在一起,设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍,则任取一个零件是合格品的概率为________．【答案】7375 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍,那么第一台机床生产的零件占据总零件的比例是23,第二台机床生产的零件占据总零件的比例是13,由全概率公式,得所求概率为(1－0.03)×23＋(1－0.02)×13＝7375.7．根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”,以B 表示“被诊断者患有癌症”,则有P (A |B )＝0.95,P (A －|B )＝0.95,现对自然人群进行普查,设被实验的人患有癌症的概率为0.005,则P (B |A )＝________(保留两位有效数字)．【答案】0.087 【解析】P (A |B )＝1－P (A |B )＝1－0.95＝0.05,被试验的人患有癌症概率为0.005,就相当于P (B )＝0.005,由贝叶斯公式,得P (B |A )＝P B P A |BP B P A |B ＋PBP A |B＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 8．装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知道是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都是一等品,则丢失的也是一等品的概率为________．【答案】38 【解析】设事件A 表示从箱中任取2件都是一等品,事件B i 表示丢失的为i等品,i ＝1,2,3,那么P (A )＝P (B 1)·P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋210×C 25C 29＝29.所以P (B 1|A )＝P B 1P A |B 1P A ＝38.9．某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占35,乙班中女生占13,求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解：用A 1,A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件,B 表示是女生的事件,则Ω＝A 1∪A 2,且A 1,A 2互斥,B ⊆Ω.由题意知P (A 1)＝58,P (A 2)＝38,P (B |A 1)＝35,P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12.10．有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2个红球3个白球, 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率．B 级——能力提升练11．某试卷只有1道选择题,但有6个答案,其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14,不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了,则他猜对此题的概率为( )A ．14 B ．119 C ．1116D ．1924【答案】B 【解析】设A ＝{不知道正确答案},B ＝{猜对此题},则P (A )＝14,P (A )＝1－14＝34,P (B |A )＝16.∴P (A |B )＝P A P B |APA PB |A ＋PAP B |A＝14×1614×16＋34×1＝119. 12．甲箱中有3个白球,2个黑球；乙箱中有1个白球,3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中,再从乙箱任取一球．(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下,从乙箱也取出的是白球的概率是________； (2)从乙箱中取出白球的概率是________．【答案】25 825【解析】设A ＝“从甲箱中取出白球”,B ＝“从乙箱中取出白球”,则P (A )＝35,P (A )＝25,P (B |A )＝25,P (B |A )＝15,利用全概率公式,得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝35×25＋25×15＝825.13．设袋中装有10个阄,其中8个是白阄,2个是有物之阄,甲、乙二人依次抓取一个,求没人抓得有物之阄的概率．解：设A ,B 分别为甲、乙抓得有物之阄的事件．∴P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B )P (A |B ) ＝210×19＋810×29＝15, P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝210×19＋810×29＝15. ∴1－P (A )－P (B )＝1－15－15＝35.C 级——探究创新练14．盒中有a 个红球,b 个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c 个,再从盒中第二次抽取一球,求第二次抽出的是黑球的概率．解：设A ＝{第一次抽出的是黑球},B ＝{第二次抽出的是黑球}． 由全概率公式,得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)．由题意P (A )＝ba ＋b,P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ,P (A －)＝a a ＋b,P (B |A －)＝b a ＋b ＋c.所以P (B )＝b b ＋ca ＋b a ＋b ＋c ＋ab a ＋b a ＋b ＋c ＝ba ＋b.。
高一数学第七章概率知识点
高一数学第七章概率知识点概率是数学中的一个重要概念，研究随机事件发生的可能性大小。
在高一数学课程的第七章中，我们将学习概率的基本概念、计算方法以及与概率相关的统计分布。
本文将介绍一些重要的概率知识点，使读者对概率有一个初步的了解。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的一种数值。
在实际问题中，随机事件可能有多个结果，每个结果发生的概率是不同的。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、事件的分类在概率问题中，我们可以将事件分为两类：互斥事件和不互斥事件。
当两个事件不能同时发生时，称这两个事件为互斥事件；当两个事件可以同时发生时，称这两个事件为不互斥事件。
三、概率的计算公式我们通过事件发生的次数与总次数之比来计算概率。
对于一个随机事件A，如果事件A发生的次数为n，总次数为N，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = n/N。
在计算概率时，我们需要注意事件的互斥性和相互独立性。
四、加法定理和条件概率加法定理是指对两个不互斥事件A和B，事件A或事件B发生的概率可以表示为P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B) = P(A且B)/P(B)。
条件概率是概率理论中一个重要的概念，常用于解决实际问题。
五、独立事件和相互依赖事件当事件A的发生与事件B的发生没有任何关系时，称事件A与事件B是独立事件；当事件A的发生与事件B的发生有关系时，称事件A与事件B是相互依赖事件。
对于独立事件，我们可以根据乘法定理来计算其概率。
六、排列组合与概率在概率问题中，我们常常需要考虑的是从一个集合中抽取若干个元素，形成一个子集合的问题。
这就涉及到排列和组合的问题。
排列是指从n个元素中取出m个元素，并且考虑元素的顺序；组合是指从n个元素中取出m个元素，但不考虑元素的顺序。
排列组合与概率密切相关，可以通过排列组合的方法来计算概率。
概率论与数理统计第七章
参数估计
湖南商学院信息系 数学教研室
第七章
第一节
第二节
参数估计
矩估计
极大似然估计
第三节
第四节
估计量的优良性准则
正态总体的区间估计（一）
第五节
正态总体的区间估计（二）
总体是由总体分布来刻画的.
总体分布类型的判断──在实际问题中, 我们根据问题本身的专业知识或以往的经验 或适当的统计方法,有时可以判断总体分布 的类型.
本章讨论:
参数估计的常用方法.
估计的优良性准则. 若干重要总体的参数估计问题.
参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体，总体的分布函数 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是 向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2 , … , Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计
(m=1,2, ,k)
步骤二、 算出m阶样本原点矩:
1 n m Am X i m 1,2, , k n i 1 步骤三、令 am (1,2,,k) = Am
(m=1,2, ,k)得关于 1,2,,k的 方程组 步骤四、解这个方程组,其解记为
ˆ ( X , X ,, X ) i 1 2 n ，i 1,2, , k
n
1 2 ˆ : ˆ 其中 （X i X ) n i 1
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时， 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性 .
数和2的矩估计为
例如 求正态总体 N(,2)两个未知参
概率与统计第七章第二节极大似然估计
n
L( ) f ( xi , ) i 1
似然方程为
n xi e e n
i1 xi !
i1
n
xi !
i 1
log
L( )
n
1
n
xi
i 1
0
BJUT
第七章
参数估计
得解 :
*
1 n
n
xi
i 1
x
2
2
log
L( )
1
2
n
xi
i 1
0
* x
是logL()的最大值点. ∴ 的极大似然估计量是
第七章第二节 极大似然估计
BJUT
第七章 参数估计
极大似然法
是在总体类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
Gauss
费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
BJUT
n i1
1
e ， ( xi )
xi
0,
其它
i=1,2,…,n
BJUT
第七章 参数估计
解：似然函数为
L(
,
)
i
n 1
1
e ， ( xi )
xi
0,
其它
i=1,2,…,n
1
n
1
e ,
n i 1
(
xi
)
0,
对数似然函数为
min xi
其它
BJUT
ln
L( , )
n ln
概率论第7章第1-2节
n
ˆ 得 λ 的极大似然估计值为
i 1
n
xi
例5 设总体X服从正态分布 N , 2 , 其中μ及 σ 是未知参数。
如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数μ及 σ 的极大似 然估计值。 解 似然函数为 L( , )
i 1 n
1 2
0 1
1
dx
1
,
令
1
X n
i 1
1
n
i
X
x 1 x
x2 (1 x ) 2
14
x ( 1)
得 θ 的矩估计值为： ˆ
(2) 似然函数为： L( ) x i 1 ( x1 x 2 x n )
极大似然估计值。
解 （1） E ( X ) , 令
X n
i 1
1
n
i
X,
ˆ 得 λ 的矩估计值为 x .
（2）由 P X x
x
x!
n
e ,
得似然函数 L
i 1
x
i
xi !
e
n i 1
xi
i 1
n
x !
解方程可得 ˆ ,
ˆ 就是参数θ的极大似然估计值。
10
例4 设总体X服从指数分布，概率密度为
e x , 当x 0; f x; 0, 当 x 0.
其中 λ 为未知参数。如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 λ 的矩估计值和极大似然值。 解 （1） E ( X )
解
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
高中数学 新人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1.1条件概率 课件
【解析】选C.设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”．则“某人检验呈阳性时 他确实患病”为B|A，
又P(B|A) ＝PP((AAB)) ＝99%0.×20%.1% ＝49.5%.
2．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35 ，在刮台风的条件下， 下大雨的概率为190 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A．23 B．2570 C．190 D．130
1．若P(A∩B)＝35 ，P(A)＝34 ，则P(B|A)＝( ) A．54 B．45 C．53 D．43
2．下列式子成立的是( A．P(A|B)＝P(B|A) C．P(AB)＝P(B|A)·P(A)
) B．0<P(B|A)<1 D．P(AB|A)＝P(B)
【解析】选C.由P(B|A)＝PP（（AAB）） 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，而P(A|B)＝PP（（ABB）） 知 A不正确，C正确；当P(B)为零时知P(B|A)＝0，所以B不正确；D选项应是P(AB|A) ＝P(B|A)，故D不正确．
第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条 件 概 率
基础预习初探
主题1 条件概率的概念及性质 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取．
(1)问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？
提示：由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 ，与其他同学
(2)设“点数a，b之和不大于5”为事件B， 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“a，b中至少有一个为2”为事件C， 包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数a，b 之和不大于5的条件下，a，b中至少有一个为2”的概率：P＝nn（（BBC）） ＝150 ＝12 .
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
第七章概率论基础
ABC 或 ABC ABC BAC 或 AB BC AC CAB ABC ACB BCA
7.1.3
随机事件的概率
一、频率和概率的统计定义 定义2：大量重复试验（观察） Ｎ次，Ａ出现m次，事件A的频率为： m 频率W(A)= N
实例 “抛掷一枚硬币,观察字面,花面出 现的情况”.
分析:
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结 果会出现. 故为随机试验.
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出 现的点数”. 2.“从一批产品中,依次任 选三件,记录出现正品 与次品的件数”. 3.考察某地区 10 月份的 平均气温.
表7-1
掷币试验
投掷次数N 正面数m
2048 4040 1061 2048
频率
0.5181 0.5069
Pearson
Pearson
12000
24000
6019
12012
0.5016
0.5005
结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。 思考：少量的试验（如7次）能否出现同样结果？
例4
字母
表7-2
证： 按概率的古典定义来证明 设试验的可能结果是由N个基本事件总数构 成，其中事件A包含M1个，事件B包含M2个， 由于事件A与B互不相容，所以A包含的基本事件 与B包含的基本事件一定是完全不相同的， M 1M 2 M 1 M 2 P( A包含的基本事件共有 B ) M P( A ) P( B) 则 A+B ＋ M 个，于是得 N N 1 N2
新教材高中数学第7章随机变量及其分布7-1条件概率与全概率公式7-1-1条件概率7-1-2全概率公
5
5×4
5×4×3
=
3
.
5
规律方法
当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多
个)互斥的较简单的事件之和,求出这些较简单事件的概率,再利用
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但应注意这个公式
在“B与C互斥”这一前提下才成立.
变式训练2在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红
(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条
件发生的概率一般是不相同的.
过关自诊
1.P(B|A)与P(AB)有何区别?
提示 P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是
事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)≠P(AB).
2.若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?
由题意知
200
P(A)=1 000=0.2,P(B)=1-P(A)=0.8.
因为是不放回抽取,所以
199
200
P(C|A)= ,P(C|B)= .
999
999
由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P只黑球,不放回地每次任取1只,连取2次,则第二
1
9×1
9×8×1
P(A)=P(A1)+P(1 A2)+P(1 2 A3)=10 + 10×9 + 10×9×8
=
3
.
10
(2)设事件 B 表示“最后一位的数字不大于 4”,
则 P(A|B)=P(A1∪(1 A2)∪(1 2 A3)|B)
1
4×1
概率与数理统计 第七章-1-最大似然估计
定义 对给定的样本值x1 , x2 ,… , xn, 若
存在: qˆ qˆ(x1, x2,L , xn) 使
L(qˆ) max L(q ).
参数q的 取值范围。
q
则称qˆ qˆ(x1, x2,L , xn)为q的最大似然估计值；
定义 对给定的样本值x1 , x2 ,… , xn, 若
存在: qˆ qˆ(x1, x2,L , xn) 使
)
0
求出驻点;
2.
由
dL(q dq
)
0
或
d
ln L(q dq
)
0
求出驻点;
3. 判断并求出最大值点:
qˆ qˆ(x1, x2,L , xn)
即为参数q的最大似然估计值；
qˆ qˆ(X1, X2,L , Xn)
为参数q的最大似然估计量 .
需要注意：
需要注意： ① 当似然函数对未知参数q不可微或由
最大似然估计法的思想:
在一次抽样得到结果x1, x2,…, xn的情 况下, 一般认为这个结果出现的概率:
P{X1= x1, X2 =x2 ,…, Xn = xn} 是最大的。
因此，应该寻找使这个结果出现的可
能性最大的那个qˆ 作为真值q的估计.
下面分别就离散型总体和连续型总体 情形作具体讨论.
设X1, X2,…, Xn是取自总体X的样本， 样本的观察值为x1 , x2 ,… , xn(一次抽样得 到结果) ,其概率为:
概率论与数理统计
张保田 第七章 参数估计
第一节 点估计 二、 最大似然估计法
极大似然法是在总体类型已知条件 下使用的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
概率与概率分布
故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e
( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案
5．设总体 X 的概率密度为
f
(x,
)
(
1) x
,0
x
1,
0, 其他．
其中 1是未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 是来自 X 的一个样本．试求参数
2
的矩估计和极大似然估计．现有样本观测值 0.1 ，0.2 ，0.9 ，0.8 ，0.7 及 0.7 ，
求参数 的矩估计值和极大似然估计值．
1 2 2 c 2 2 ( 1 c) 2 ，
n
n
取 c 1 即可． n
14．设总体 X 的均值为 ，方差为 2 ，从总体中抽取样本 X1 ， X 2 ， X 3 ，证明
(
x,
,
2
)
1
1
1
e 2 2
(ln x )2
,
x
0,
2 x
0,
x 0.
其中 ， 0 为未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 是取自该总体的一
个样本，求参数 ， 2 的极大似然估计．
解： xi 时，似然函数为
L(, 2 )
(
1 2 )n
1 x1x2 xn
exp{
dL
d
n exp{
n i 1
( xi
)}
0，
所以 L( ) 是 的单调增函数，从而对满足条件 xi 的任意 ，有
n
n
L( ) exp{ i1 (xi )} exp{ i1 (xi m1iinn{xi})} ，
即 L( ) 在 m1iinn{xi} 时取最大值， 故 的极大似然估计值为ˆ m1iinn{xi} ． 7．(1) 设总体 X 具有分布律
ˆ1 X1 ；
ˆ2
概率论与数理统计第七章参数估计
例1. 设总体X的数学期望和方差分别是μ,
σ2 ，求μ , σ2的矩估计量。
E(X )
E( X 2 ) D( X ) [EX ]2 2 2
(3) 写出方程 ln L 0
i1
若方程有解，
求出L(θ)的最大值点 ˆ(x1,x2,..x.n,)
于 是 ˆ ˆ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) 即 为 的 极 大 似 然 估 计 量
例2. 设总体X服从参数λ>0的泊松分布，求 参数λ的极大似然估计量。
例3. 已知某产品的不合格率为p,有简单随机样本 X1 ,X2 ,…, Xn，求p的极大似然估计量。 若抽取100件产品，发现10件次品，试估计p.
ˆ(x1,x2,..x.n,),使得
L (ˆ) m a x L (), (或 L (ˆ) s u p L ())
则 称 ˆ ( x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) 为 的 极 大 似 然 估 计 值
称 ˆ ( X 1 ,X 2 ,...,X n ) 为 极 大 似 然 估 计 量
第7章 参数估计
总体所服从的分布类型已知/未知
抽样
参数 估计
估计总体中未知的参数
参数估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息
来估计总体的某些参数. 估计新生儿的体重
估计废品率
估计湖中鱼数
§7.1
点估计
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中为未知参数 (可以是向量) .
概率论第7章
X1, ... ,Xn是来自总体X的独立同分布样本,分布
律或概率密度函数是f(x,q),其中q∈Q是参数,Q已知, 是q的取值范围.f (x,q)的形式已知,则有统计模型
f ( x1,θ) f ( xn ,θ) θ Q
例1 某种型号的产品N个,其合格率q未知,从中随机
抽取n个(n<<N),设Xi 是第i次抽到的样品,正品Xi=1, 否则 Xi =0,则 X1,X2,…,Xn 就是样本.总体分布为两点
分布B(0,1),参数空间为q=(0,1),则可得统计模型
n
n
xi
n xi
θ i1 (1 θ) i1
用矩估计法估计λ的值。
解 设X为灯管寿命，则
1 n
x n i1 xi 130.55
μ1
E
X
=
1 λ
μ1 m1
μ1
E
X
=
1 λ
X
λˆ 1 0.0077 X
例2 设总体X的均值μ和方差σ2 >0都存在,μ,σ2未知.
X1,…,Xn是来自 X 的样本,试求μ, σ2的矩估计量 .
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
总体k阶中心矩 样本k阶中心矩
Vk
Bk
E[ X 1n
n i1
E( X )]k; ( Xi X )k .
例1. 设有一批灯管,其寿命服从参数为λ的指数分 布,今随机从中抽取11只,测得其寿命数据如下：
110, 184, 145, 122, 165, 143, 78, 129, 62, 130, 168
概率统计讲课稿第七章第三节(下)t分布F分布)
第七章第三节(下)t 分布和F 分布三、t 分布定理 设随机变量)1,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X 与Y 相互独立， 则随机变量X T =的概率密度为212)1()2()21()(+-+Γ+Γ=n n t n n n t f π， +∞<<∞-t , (7.5)称T 服从自由度为n 的t 分布， 记作)(~n t T .证明 X 的概率密度是2221)(x Xe xf -=π,Y 的概率密度)(y f Y由式（7.3）给出，Y X ,的联合概率密度是)(2122v f e Yu ⋅-π, 于是)X X xP x P ≤=≤22()u Y e f v dudv-=⎰⎰作变量替换：u =，v s =，它的雅可比行列式是 tv sv t u su J ∂∂∂∂∂∂∂∂===，于是dtds es nx nY X p s n xt t n n ⎰⎰>≤+--Γ=≤0)1(212122)2(221)/(π211(1)2201()22()2n t s dts e ds n ∞--+-∞=⋅⋅⎰21(1)2()2n t zodt zedz n ∞-+-∞=⋅⎰，由于⎰∞+++--++Γ=0212)1(21)1()21(2n zt n t n dz ez ， 所以⎰∞-++⋅Γ+Γ=≤xn dunu n n n x nY X P 212)1(1)2()21(}/{π上式两边对x 求导,即得式(7.5).212)1()2()21()(+-+Γ+Γ=n nn t n n n t f π 212)1(+-+=n nntC ,21221222])1[()1(lim lim +⋅-+∞→+-+∞→+=+n n t t n n n n ntnt22t e -=, dt ntC dt t f n n n212)1()(1+-∞+∞-∞+∞-+==⎰⎰,dt nt C n nn 212)1(1lim +-∞+∞-+∞→+=⎰⎰∞+∞-+-+∞→+∞→+⋅=dt nt C n n n n 212)1(lim lim⎰∞+∞--+∞→⋅=dt e C t nn 22lim π2lim ⋅=+∞→nn C ,π21lim =+∞→nn C ,)(lim t f nn +∞→212)1(lim +-+∞→+=n nn ntC2221t e -=π.图7－2给出了当n=1,4,10时的t(n)分布的密度函数曲线,它的图形关于t=0对称, 且当n →+∞时,有2221)(lim t nn e t f -+∞→=π,故当n 很大时,t 分布近似于N(0,1).然而对于比较小的n 的值,t 分布与正态分布之间有较大的差异.dt t f x T P x F x )(}{)(⎰∞-=≤=, 0)()(>='x f x F , )(x F 严格单增,)1,0(),(:→+∞-∞F 是一一对应, 对给定10:<<αα,存在唯一)(n t α,使得αα=))((n t F ,即对于给定的10:<<αα,可查t 分布表(见附录三)求出 )(n t α, 满足=))((n t F αααα==≤⎰∞-)()()}({n t dt t f n t T P ,的点)(n t α称为t 分布的(下侧)α分位点.t 分布的分位点的性质:由)(t f 的对称性, 即)(t f 是偶函数,可得,1)()(=+-x F x F 21)0(=F ,(1) )()(1n t n t αα-=-, αα-=≤-1)}({1n t T P ,αα=>-)}({1n t T P(2) 数12()tn α-,满足21)}({21αα-=≤-n t T P ,则12{||()}1P T tn αα-≤=-；αα=>-)}(|{|21n t T P ,称)(2/1n t α-为双侧α分位点.当n>45时,t 分布表中没有列出,此时可查标准正态分布表,得αz ， 且有ααz n t ≈)( .例5 设1232,,,X X X L 为来自于正态总体)4,(2μN 的样本，令 ∑∑==--=32172161)()(j ji iX X Y μμ，求Y 的分布。
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第三章概率与概率分布3．1 随机事件与概率3．1．1 样本空间与随机事件随机现象：自然现象和社会现象有许多，但按对结果的观察可分为必然现象与随机现象。
我们把在一定条件（条件组）下，每次观察都得到相同结果（必然发生），叫必然现象。
如“水在1000C时一定沸腾”，“早晨，太阳必然从东方升起”，“一棵石子掷到河中，必然要沉到河底”。
我们把在相同条件（条件组）下重复进行，试验的可能结果不止一个，试验前无法预料哪一个结果出现的现象叫随机现象。
如“掷一枚硬币，得到正面或反面”，“从一批产品中抽取一件，抽到正品或次品”，“用枪射击一只鸟，鸟被击中”等。
曾有某个知名物理学家提出，只要事件发生的条件组给得十分充分，偶然、随机事件也是一种必然事件。
如掷硬币时把受力的方向、空气的阻力计算清楚，可知结果朝向；从袋中抽球、或抽取产品朝某个方向、排在第几位置的产品或球，则可知道抽得球的颜色或产品的等级。
但是，从现实和应用的角度来看，事件发生的条件不可能知道齐备，例如，对未来发生的事情，难以预知。
如买一张彩票，是否中奖；“某地区明天的用电量在1500兆瓦与1600兆瓦之间”，难以预料，所以随机现象的研究是有意义的。
概率论与统计学就是研究随机现象的统计规律性的科学。
随机试验：为了研究随机现象，我们要对随机现象进行观察，我们把对随机现象进行一次观察，叫做一次随机试验。
基本事件：在随机试验中，它的的每一个最简单不能分解的观察结果称为基本随机事件，简称基本事件，对应于由基本事件组合而成的事件称复合事件。
样本空间：用集合论的观点来描述随机事件，若将每一个基本随机事件用一个样本点表示，所有样本点的集合，即所有基本随机事件的集合，称为样本空间。
例：如掷一骰子，有6种可能的点数，S={1,2,3,4,5,6}, {2},{4}为基本事件，A={2，4，6}即掷的偶数点事件，B为掷得点数大于等于3为复合事件。
例：连续掷硬币两次，观测正、反面朝上的情况，令w1={正面，正面}，w2={反面，正面}，w3={正面，反面}，w4={反面，反面}，则样本空间：Ω={w1,w2,w3,w4}=( {正面，正面}，{反面，正面}，{正面，反面}，{反面，反面})例：你的一个同学约定在某天晚上7点到8点之间来你家作客，令w为“他来到你家的时间”，则：Ω={w|19时<=w<=20时}。
3．1．2 事件的概率随机事件怎么描述？它发生的可能性的测度用概率、隶属度、证据等描述。
进行随机试验时，有些是必然会发生的，称必然事件，P(S)=1 。
有些是必然不会发生的，称不可能事件。
P( )=0, 但一般随机事件发生的可能性介于0与1之间。
将事件A发生的可能性称为事件A的概率。
概率有多种定义法：1．概率的古典概型：当样本空间的样本点总数为有限时，称为古典概率模型，简称古典概型。
定义3.1 在古典概型中，事件A的概率为A所包含的基本事件个数m与样本空间中含的基本事件总数n 的比值：P （A ）=事件A 包含的基本事件个数/样本空间中含的基本事件总数=m/n例3.1 一箱产品共100件,其中有5件次品,从中任取一件,取到次品的概率是多少?解: A={1,2,3,4,5}, S={1,2,…,100},P(A)=5/100=0.05例：袋中有a 只白球和b 只黑球，我们采用有放回及不放回两种方式从中取出n 个球，问恰好有k 个黑球的概率各为多少？设a=6, b=4, 取出n=7只球, 恰有k=3只黑球的概率.解：用A 表示“取n=7个球中恰有k=3个黑球”的事件。
不放回抽取方式：不放回时，基本事件总数为从a+b=10个球中随机取出n=7个的所有可能取法的种数n b a C +=710C , 而n=7个中恰有k=3个黑球应有k n a k b C C -•种取法。
所以，事件A 的概率为 P(A)=n ba k n a kb C C C +-⋅ 有放回抽取方式：有放回地取球，就是取出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，再取第二个，。
，这种方式，每次从中取一个球时都是从a+b 个球中摸取，从a+b个球中摸取一个球有a+b 种方法，取n 次共（a+b ）n 种方法，故取n 个球的所有可能取法为（a+b ）n 种。
分子：从选取的n 个球中选k 个位置放黑球，有kn C 种选法，对每一种这种选法，每一个黑球有b 种选法，k 个黑球有b k 种选法，每一个白球有a 种选法，n-k 个白球有a n-k 种选法，所以，恰有k 个黑球的取法为k n C b k a n-k 种取法。
所以，事件A 的概率为：P(A)=n k n k k n b a a b C )(+==C k n (k n k b a a b a b -++)() 如把白球看作工厂生产的一批产品中的正品，黑球例：2.概率的统计概型：（统计概率模型）在古典概型中，我们利用数样本点的方法，计算事件的概率。
但多数问题的样本空间有无限多个样本点，难以一一列出。
人们很容易想到用利用事件发生的实际频率来估计概率的方法。
随机事件有多种可能的结果，虽然每一种结果可能发生，可能不发生，但发生的可能性有大小，例如某个人某天骑自行车在街上与汽车相撞的可能性就很小。
若统计出事件发生的频率，则可近似这种事件发生的可能性。
设E 为一随机试验，A 为其中任一事件，在同一条件下，把E 独立地重复n 次，用n A 表示事件A 在这n 次试验中出现的次数，比值： f n (A)=nn A 称为事件A 在这n 次试验中出现的频率。
在表3.1中，列举了历史上数学家掷硬币试验的数据表3.1 历史上数学家掷硬币试验的数据---------------------------------------------------------------试验者 试验次数 正面朝上次数 正面朝上的频率---------------------------------------------------------------------------------------------5 2 0.450 22 0.44500 251 0.502500 249 0.498蒲 丰 4040 2048 0.5069K.皮尔逊 12000 6019 0.5016K.皮尔逊 24000 12012 0.5005维 尼 30000 14994 0.4998----------------------------------------------------------------------------------------------从上表中可看出, 正面朝上次数稍多, 正面朝上的频率逐渐趋于0.5:0.5069 , 0.5016 , 0.5005 0.4998例：某种子发芽率。
从一大批种子做发芽试验，结果如表：---------------------------------------------------------------------------------------------------------种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715发芽率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905趋于0.9---------------------------------------------------------------------------------------------------------从上面例子中可以看出，当试验次数少时，频率变化较大；但当试验次数增大时，频率变得稳定。
因此我们有：定义3.2 在同一条件组下重复进行n 次试验，当试验次数n 充分大时，事件A 发生的频率f(A)= nn A 趋向于某一数值p ,或稳定地在p 值附近波动(0≤p ≤1),则定义p 为事件A 发生的概率:P(A)=p这种定义方法为“代替准则”中的“频率代替”构造了基础，由于概率是频率的极限，所以在试验次数较大时，可以用频率代替概率或总体比例。
3. 几何概型：事件用几何区域表达的情形：P （A ）=的测度的测度ΩA定义3.3 面对不确定性，由个人判断某事件发生的可能性称为主观概率。
例3．2 对某国经济地位样本空间S={无变化，改善，恶化}3.2 概率的运算法则3.2.1 加法公式事件间的关系：1．和事件：事件A 与事件B 中至少有一个发生，C=A+B2．积事件：事件A 与事件B 中同时发生，C=AB3．差事件：事件A 发生但事件B 不发生，C=A —B4．互斥事件（互不相容事件）：事件A 与事件B 不可能同时发生，AB=φ5．逆事件：A+B 是必然事件，A 与B 是互斥事件，A+B=S ，AB=φ事件的概率之间的关系：性质1 若AB=φ，则有：P(A+B)=P(A)+P(B)性质2 A 与B 是互斥事件，A+B=S ，AB=φ，用B=A 表示，由加法公式：1=P （S ）=P （A+B ）=P （A ）+P （B ）或P （A ）=1-P （A ）性质3 概率加法公式（加法定理）：A 、B 是任意随机事件，则：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）— P （AB ）例 甲、乙两高射炮手，各自单独击中敌机的概率分别为0.8和0.6，求敌机被击中的概率。
解：设A 表示事件“甲击中敌机”， B 表示事件“乙击中敌机”， C 表示事件“敌机被击中”。
由题意有：C=A ∪B ，所以：P （C ）=P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）- P （A B ）== P （A ）+P （B ）- P （A ）P(B ）=0.8+0.6-0.48=0.92即两个人打比一个人打更容易击中。
例3.4 某企业职工中女职工占60%，管理人员占20%，从该企业职工中任选一人，是女职工或管理人员的概率是多少？解：令A 表示女职工，B 表示管理人员。
则：P(A)= 0.60, P(B)=0.20,P(AB)=0.60×0.20=0.12, 从该企业职工中任选一人，是女职工或管理人员的概率为： P （A+B ）=0.60+0.20 — 0.12 = 0.683．2．2 乘法公式1．条件概率在许多情况下，我们需要研究某些事件出现时对另一事件所发生概率的影响，这就是条件概率。
我们以下列例子说明无条件概率和条件概率是不同的。
例如，两张足球票，十个人依次抽，每个人抽得足球票的无条件概率是102，但如果已知第一个人已经抽得一张足球票的情况下，第二个人抽得球票的概率为91，如果已知第一个人没有抽得足球票，第二个人抽得球票的概率为92。