随机变量及其分布列经典例题

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随机变量的分布列

(1) 某人射击可能环数（整数）：0环、1环、2环、…，10环。 (2) 某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任一抽取4件，其中可能含有
的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件。 (3) 掷一枚硬币，可能出现正面或反面。 (4) 掷一个骰子向上的点数。 (5) 掷一个骰子向上的点数为奇数或偶数。
5
例2：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出
3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
解：ξ的所有取值为：3、4、5、6．
“ 3” 表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小
“ 4” 表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小
“ 5” 表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小
Cnk pk qnk b(k; n, p)
例 : 某人射击击中目标的概率是0.2，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率（精确到0.01）。
解: 设在这10次射击中击中目标的次数是ξ,则 ξ～B(10,0.2).
P( 5) P( 0) P( 1) P( 5)
1
12
6
1 12
例4:已知随机变量ξ的分布列如下：
－2 －1 0 1 2 3
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
分别求出随机变量
解：(2)由2
(1)1
1;
2
(2)2
2得2的取值为0,1, 4, 9.
2
.的分布列．
P(2 P(2
0) 4)
P( 0) P( 2)
1 3

高三数学随机变量的分布列试题

高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。

离散型随机变量及其分布列测试题（含答案）

离散型随机变量及其分布列测试题（含答案）离散型随机变量及其分布列测试题⼀、选择题：1、如果X 是⼀个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每⼀个可能值的概率都是⾮负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某⼏个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某⼀范围内取值的概率⼤于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台⼀⼩时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取⼀个数X ；③某超市⼀天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（）A ．12 B ．6 C ．3 D ．44、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===??，则λ的值为（）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某⼗字路⼝的汽车的数量是随机变量；②在⼀段时间内，某侯车室内侯车的旅客⼈数是随机变量；③⼀条河流每年的最⼤流量是随机变量；④⼀个剧场共有三个出⼝，散场后某⼀出⼝退场的⼈数是随机变量．其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（）A. 4B. 6C. 10D. ⽆法确定7、投掷两枚骰⼦，所得点数之和记为X ，那么4X =表⽰的随机实验结果是（）A. ⼀枚是3点，⼀枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. ⼀枚是3点，⼀枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．⾄多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题) 如果nx x ??? ?-3223 的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为 A.3 B.5 C.6 D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰⼦得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹⾓为θ，则??π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位⽼⼈拍照，要求排成⼀⾏，2位⽼⼈相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期⽇参加公益活动，每⼈⼀天，要求星期五有2⼈参加，星期六、星期⽇各有1⼈参加，则不同的选派⽅法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种⼆、填空题：13 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10 ，则X 的取值为 15、⼀袋中装有5只同样⼤⼩的⽩球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最⼤号码数X 可能取值为16. (2007年重庆卷第4题)若1nx x ?+展开式的⼆项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____17、某城市出租汽车的起步价为10元，⾏驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不⾜1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于⾏车路线的不同以及途中停车时间要转换成⾏车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机⼀次接送旅客的⾏车路程ξ是⼀个随机变量，他收旅客的租车费可也是⼀个随机变量 (1)求租车费η关于⾏车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，⽽出租汽车实际⾏驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多⼏分钟?18、⼀盒中放有⼤⼩相同的红⾊、绿⾊、黄⾊三种⼩球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的⼀半．现从该盒中随机取出⼀个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出⼀球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每⼀值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中⾄少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷) ⼀个坛⼦⾥有编号为1，2，…，12的12个⼤⼩相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是⿊球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且⾄少有1个球的号码是偶数的概率为多少 21、⼀个类似于细胞分裂的物体，⼀次分裂为⼆，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，⽽随机终⽌．设分裂n 次终⽌的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终⽌后所⽣成的⼦块数⽬，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州⾼⼆检测)甲、⼄等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位⾄少有⼀名志愿者．② ()1,2,3,4,5,P X k k k=== ④⑤(1)求甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、⼄两⼈不在同⼀个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的⼈数，求X 的分布列．⾼中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案⼀、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B ⼆、填空题： 13、③④ 14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 2017、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==．19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，⽽“⾄少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++?+??C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=??-?=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终⽌后所⽣成的数⽬X 的分布列为．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、⼄两⼈同时参加同⼀岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、⼄两⼈不在同⼀岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两⼈同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

随机变量及其分布列习题(含解析)

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

概率论典型例题

20
4
故Y
~
B
⎛ ⎜⎝
3,
1 4
⎞ ⎟⎠
。
于是
C P{Y = 2} =
2⎛ 3 ⎜⎝
1 4
⎞2 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
=
9 64
。
注：本例既需要掌握二项分布的由来及其概率分布，还需掌握连续型随机变
量由密度函数求其在某个区间上的取值概率。有离散也有连续，需要区分清楚，
掌握牢固，这是容易出问题的地方。
解：(1)当 y > 0 时，
FY ( y) = P(Y
≤
y)
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
0
⎞ ⎟⎠
+
P
⎛ ⎜⎝
0
<
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
当 y < 0 时，
=
P(X
<
0) +
⎛ P⎜
⎝
X
≥
1 y
⎞ ⎟ ⎠
=
FX
(0) +1−
FX
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞ ⎟
；
⎠
FY ( y) =
P(Y
≤
X2 0
1
4
9
pk 0.1 0.3 0.3 0.3
注：对离散型随机变量，其函数的分布列的求法比较简单。只要从分布列定
义中包含的两部分：可能取值与对应概率出发，必定能求出。
另外，值得提醒的是，如果分布列中有未知参数，一定要通过分布列的性质
（一般是归一性的应用），将其求出，再进行其他计算。

随机变量及其分布_真题(含答案与解析)-交互

随机变量及其分布(总分102, 做题时间90分钟)一、单项选择题(每题的备选项中，只有1个最符合题意)1.下列关于“右偏分布”的表述错误的是( )。

SSS_SINGLE_SELA 右偏分布是正态分布的形式之一B 符合右偏分布的随机变量大量取值在左边，少量分布在右边C 符合右偏分布的随机变量少量取值在左边，大量分布在右边D 随机变量的分布很散分值: 1答案:B[解析] 对数正态分布的特点之一就是“右偏分布”，符合右偏分布的随机变量的取值大量在左边，少量取值在右边，并且很分散。

2.对于产品的某个质量特性X的不合格品率，在计算之前需要知道的条件有( )。

SSS_SINGLE_SELA产品质量特性X的分布，在过程受控情况下X的分布常为正态分布(μ，σ2)，这是稳定过程的概括B 某个公认标准对产品特性的要求C 企业对产品下达的任务书D X低于下规范限的概率和X高于上规范限的概率分值: 1答案:A[解析] 产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事：①质量特性X 的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布N(μ，σ2)，这是稳定过程的概括；②产品的规格限，包括上规格限TU 和下规格限TL。

3.设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数P=( )。

SSS_SINGLE_SELA 0.1B 0.3C 0.7D 0.9分值: 1答案:A[解析] 此二项分布记为b(n，p)，则E(X)=np，Var(X)=np(1-p)，根据题意，代入数据可得np=3，np(1-p)=2.7，所以p=0.1。

4.对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是( )。

SSS_SINGLE_SELA 两点分布b(1,的方差：np(1-B 超几何分布h(n，N，的方差：n(N-/(N-1)•(M/(1-(M/)C均匀分布U(a，的方差：(b+ 2/12D对数正态分布LN(μ，σ2)的方差：分值: 1答案:B[解析] A项两点分布的方差为p(1-p)；C项均匀分布的方差为(b-a)2/12；D项对数正态分布的方差为。

随机变量及其分布函数习题

第2章随机变量及其分布习题 21．设有函数⎩⎨⎧≤=其它，,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。

解：不能，易知对21x x <，有：),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。

然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。

2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。

在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。

解：X 的可能值为3，4，5，6，7。

在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。

}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C 种取法，故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C 种取法，故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C 种取法，故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C 种取法，故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数，并作出其图形。

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

二、随机变量及其分布(答案)

概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。

现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

第二章《随机变量及其分布》练习题

第二章《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．142．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．343．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.284．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.1257．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.411．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.614.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.556415．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．14[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．34[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3b ＝0.5.所以a －b ＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2，P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. [答案] A二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：254.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，1203373731049()60C C C C P A C346310()(0,1,2,3)k k c c p xk k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.随机变量X 的分布列为数学期望113161236210305E X ．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝74.3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24C 35＝35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝325，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝1950， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325，∴X 的分布列为E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.114.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A－B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。

离散型随机变量及其分布列(含解析)

离离离离离离离离离离离离一、单选题1. 随机变量X的分布列如下表所示：则P(X≤2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.42. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=( )A. 23B. 12C. 13D. 14二、解答题3. 一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(1)若有放回地抽取，求X的分布列；(2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．①求误差不超过0.2的X的值；②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．4. 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有2的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前3三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1，p2=0．}为等比数列；①试证明：{p n−13②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p10与q10的大小．5. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金;若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金;若中三次奖，则共获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利⋅的概率都是146. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．答案和解析1.解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1，可得m=0.2，所以P(X ≤2)=P(X =1)+P(X =2)=0.1+0.2=0.3．故选：C ．2.解：因为X 的分布列服从两点分布，所以，因为所以，，故选C ．3.解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p =13×13=19，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知X∽B(3,19)，所以P(X =k)=C 3k×(19)k ×(89)3−k ，k =0，1，2，3，故X 的分布列为： X 0123P512729 6424382431729所以X 的期望E(X)=3×19=13．(2) ①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n −1次传球之前球在甲脚下的概率为p n−1，第n −1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−p n−1，则p n =p n−1×0+(1−p n−1)×12=−12p n−1+12，即p n −13=−12(p n−1−13)，又p 1−13=23，所以{p n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列． ②由 ①可知p n =23(−12)n−1+13，所以p 10=23(−12)9+13<13，所以q 10=12(1−p 10)=12[23−23(−12)9]>13，故p 10<q 10．4.解：(1)解：设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621;(2)解：设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取值为0，n ，3n ，6n;(单元：元)ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 30(14)0(1−14)3=2764，同理P(ξ=n)=C 31(141(1−14)2=2764,P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964,P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164;顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n16，由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．5.解：(1)P =1−C 62C 102=1−1545=23，即该顾客中奖的概率为23．(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60．且P(X =0)=C 62C 102=13，P(X =10)=C 31C 61C 102=25， P(X =20)=C 32C 102=115，P(X =50)=C 11C 61C 102=215，P(X =60)=C 11C 31C 102=115．故X 的概率分布列为：6.解：(1)一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X 表示样本中一等品的个数．若有放回地抽取，X ～B(4,25)，∴P(X =0)=C 40(35)4=81625， P(X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P(X =2)=C 42(25)2(35)2=216625， P(X =3)=C 43(25)3(35)=96625，P(X =4)=C 44(25)4=16625，∴X 的分布列为：(2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X 服从超几何分布，样本中一等品的比例为X4，而总体中一等品的比例为40100=0.4，①|X4−0.4|≤0.2，解得0.8≤X≤2.4，所以X=1或X=2，②P(|X4−0.4|≤0.2)=P(X=1)+P(X=2)=C401C603+C402C602C1004．。

随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析)

随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 多项选择题 3. 综合分析题单项选择题每题1分。

每题的备选项中，只有1个符合题意。

1．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值的样本标准差S皆为正数，如果每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是()。

A．和S都扩大2倍B．和S都不变C．扩大2倍，S扩大4倍D．扩大4倍，S扩大2倍正确答案：C解析：由E(aX+b)＝aE(X)+b var(ax+b)＝a2var(X)可知。

知识模块：随机变量及其分布2．以下分别用来表示分布的中心位置和散布的大小的特征值是()。

A．均值、方差B．方差、均值C．标准差、均值D．方差、标准差正确答案：A解析：均值表示了分布的中心位置，方差和标准差表示分布的散布的大小。

知识模块：随机变量及其分布设随机变量Z的分布列为：X：0 1 2 3 4 P：0.50.20.10.15 0.05则3．E(X)为()。

A．0.105B．2.0C．1.6D．1.0正确答案：A解析：(1)E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.15+4×0.05＝0.105知识模块：随机变量及其分布4．P(0≤X＜3)为()。

A．0.9C．0.4D．0.7正确答案：B解析：(2)P(0≤X＜3)＝0.5+0.2+0.1＝0.8知识模块：随机变量及其分布5．设X为[a、b)上的连续型随机变量，已知a＜c＜d＜b，且c-a＝d-c＝b-d，则下列结论成立的是()。

A．P(a＜X≤d)＝2P(a＜X≤c)B．P(c＜X≤d)＝P(d＜X≤b)C．P(a≤X＜b)＝1/3D．P(X＝a)＝P(X＝b)正确答案：D解析：对于连续型随机变量，在给定区间上取值的概率P是以在取值区间上，概率密度分布曲线与X轴所夹的曲边梯形的面积。

对于连续随机变量X取一点的概率为0，所以选D。

知识模块：随机变量及其分布6．设X～N(1，4)，则P(0≤X＜2)可表示为()。

常见离散型随机变量分布列示例

常见随机事件的概率与分布列示例1、耗用子弹数的分布列例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P 0.9 0.09 0.009 0.0001说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，541.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然，5=ξ还有一种算法：即0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．分析：发生事件A的次数()p n B ,~ξ，所以，),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p kn k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住np q )(+与np q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的．3、根据分布列求随机变量组合的分布列例已知随机变量ξ 的分布列为ξ－2 －1 0 1 2 3P121123 124 121 122 121 分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==的分布列．解：由于ξ η 211=对于不同的ξ 有不同的取值x y 21=，即2321,121,2121,021,2121,121665544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ，所以1η 的分布列为1η－121- 021 132 P121123 124 121 122 121 22ξ η =对于ξ 的不同取值－2，2及－1，1，2η分别取相同的值4与1，即2η 取4这个值的概率应是ξ 取－2与2值的概率121与122合并的结果，2η 取1这个值的概率就是ξ 取－1与1值的概率123与121合并的结果，故2η 的分布列为 2η0 1 4 9P124 124 123 121 说明：在得到的1η 或2η 的分布列中，1η 或2η 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．4、成功咨询人数的分布列例某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kk k ξ，分布列为ξ 0 1 2 3P641 649 6427 6427说明：次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．5、盒中球上标数于5关系的概率分布列例盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．解：分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况．设随机变量为ξ ，它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为P x P ==)(1ξ （取出的球号码小于5）＝105， P x P ==)(2ξ （取出的球号码等于5）＝101， P x P ==)(3ξ （取出的球号码大于5）＝104．故ξ 的分布列为ξ1x 2x 3xP21101 52小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11=∑=ni ip进行检验．6、求随机变量的分布列例一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为ξ3 4 5P101103 106 说明：对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P 所以ξ 的分布列为ξ0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．8、关于取球的随机变量的值和概率例袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．解：设集合},,{321x x x M =，其中1x 为“取到的球为红色的球”，2x 为“取到的球为白色的球”，3x 为“取到的球为黑色的球”．我们规定：)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ，即当i x x =时，i x =)(ξ，这样，我们确定)(x ξ 就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ∈，而随机变量ξ 本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得ξ 分别取1，2，3三个值的概率，即.2163)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．。

第二章随机变量及其分布练习题

第二章随机变量及其分布练习题1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是〔〕Ａ．1.4 Ｂ．0.9Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 2．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于〔〕Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．7163．设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3 P 16 13 12则E (X ＋2)的值为 ( )．A.113 B ．9 C.133 D.734．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为〔〕Ａ．abＢ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --5．某一般高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能到达合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )A ．0.015B ．0.005 6．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于〔〕Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()．A.35 B.25 C.110 D.598．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，则P(B|A)＝()．A.18 B.14 C.25 D.129．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．A.12p B．1－p C．1－2p D.12－p10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.假设μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( ) A．0.135 9 B．0.135 8C．0.271 8 D．0.271 611．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜〞，即以先赢2局者为胜．依据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()．A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：处字迹模糊，但能断定这两个“？〞处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________．14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，假设该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，假设中奖，商场返回忆客现金100元．某顾客现购置价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购置台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．18．某公司“咨询热线〞共有8路外线，经长期统计发觉，在8点到10点这段时间内，外线同时打入情况如下表所示：同时0 1 2 3 4 5 6 7 8打入个数x概率p 0．13 0．35 0．27 0．14 0．08 0．02 0．01 0 0〔1〕假设这段时间内，公司只安排了2位接线员〔一个接线员一次只能接一个〕①求至少一路不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度〞，求上述情况下公司形象的“损害度〞．〔2〕求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内，同时打入数X的均值．19．某仪表厂从供给商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，假设3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)假设该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)假设该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5该商品3件，当天营业结束后检查存货．假设发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。

随机变量及其分布习题解答

第二章随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，那么X 的可能值为；投保一年因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 的分布律为：2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3，4，5P ：106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，〔1〕求X 的分布律，〔2〕画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0，1，2P ：351,3512,35224、进展重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) 〔1〕将实验进展到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

〔此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

〕〔2〕将实验进展到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

〔此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

〕〔3〕一篮球运发动的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：〔1〕P (X=k )=q k －1p k=1,2,……〔2〕Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，那么 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k 〔3〕P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是翻开的。

19 概率、随机变量及其分布列

1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( ).A ．5B ．6C ．7D 2．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )． A.827 B.6481 C.49 D.893．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )．A.34B.23C.45D.7105．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为( )．6．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ＜30)＝0.2，则P (30＜ξ＜50)＝________.7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．8．盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，则X 的数学期望E (X )＝________.9．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．10．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．11．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932. (1)求小李第一次参加考核就合格的概率P 1；(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E (X )．。

随机变量及其分布列经典例题(高三数学一轮复习试题)

随机变量及其分布列典型例题1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为_________2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为________3.设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y ＝2X ＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列.4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．5、安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．6、一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．7、从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．8、甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．9．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．10、某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.12.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.13.有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.。

随机变量及其分布选择题真题

随机变量及其分布选择题真题一．选择题（共30小题）1．（2015•河北）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3122．（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%3．（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）4．（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47725．（2014•新课标II）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.456．（2014•浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）7．（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．38．（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A．B．C．D．9．（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关10．（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．11．（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.57612．（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．13．（2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214．（2010•辽宁）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．15．（2010•湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．16．（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．40017．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A．P1=P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能18．（2010•山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）=（）A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.97719．（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．20．（2008•福建）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．21．（2008•湖南）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．422．（2008•安徽）设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＞σ2B．μ1＜μ2，σ1＜σ2C．μ1＞μ2，σ1＞σ2D．μ1＞μ2，σ1＜σ223．（2008•重庆）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（）A．B．C．D．24．（2007•浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（）A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.64825．（2007•四川）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（）A．150.2克B．149.8克C．149.4克D．147.8克26．（2007•浙江）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.8427．（2007•湖南）设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（﹣1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（）A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.97528．（2007•安徽）以Φ（x）表示标准正态总体在区间（﹣∞，x）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则概率P（|ξ﹣μ|＜σ）等于（）A．Φ（μ+σ）﹣Φ（μ﹣σ）B．Φ（1）﹣Φ（﹣1）C．D．2Φ（μ+σ）29．（2005•天津）某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．30．（2004•辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2B．p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1）C．1﹣p1p2D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）随机变量及其分布选择题真题参考答案一．选择题（共30小题）1．A；2．B；3．C；4．C；5．A；6．A；7．A；8．B；9．A；10．D；11．B； 12．B； 13．C； 14．B； 15．C； 16．B； 17．B； 18．C； 19．B；20．B； 21．B； 22．A； 23．D； 24．D； 25．B； 26．A； 27．C； 28．B；29．A； 30．B；。

随机变量及其分布例题和知识点总结

随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。

理解和掌握随机变量及其分布对于解决各种概率问题至关重要。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解相关知识点。

一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点对应到一个实数。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

例如，抛一枚硬币，出现正面记为 1，出现反面记为 0，这里定义的变量就是一个离散型随机变量。

二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。

常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。

例题 1：一批产品的次品率为 01，从中有放回地抽取 10 次，每次取一件，求抽到次品数 X 的概率分布。

解：这是一个二项分布问题，其中 n ＝ 10，p ＝ 01。

P(X ＝ k) ＝ C(10, k) × 01^k × 09^（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10知识点：二项分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) ，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。

例题 2：某商店每月销售某种商品的数量服从泊松分布，平均每月销售 5 件。

求每月销售 3 件的概率。

解：设每月销售的商品数量为 X，λ ＝ 5P(X ＝ 3) ＝（e^（－5) × 5^3) ／ 3!知识点：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ) × λ^k)／ k! ，其中λ 是平均发生的次数。

三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值是连续的区间。

常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布等。

例题 3：设随机变量 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，求 X 的概率密度函数。

解：概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，a ≤ x ≤ b ；f(x) ＝ 0 ，其他。