二阶闭环的频率特性
闭环频率特性的基本特点
闭环频率特性的基本特点1．在低频段Φ(jω)≈1(或Φ(jω)≈1/H(jω))通常在低频段其幅值A(ω)>>1 。
于是对于单位反馈系统，由式(5.28) 可得在低频段其闭环频率特性为上式表明：在闭环频率特性的低频段，由于这时开环幅值远大于1，故单位反馈系统的闭环频率特性Φ(jω)≈1。
一般来说：一个系统的开环频率特性保持高增益的频率范围越宽，其(闭环)输出复现输入信号就越好。
这就是所谓的“高增益原则”。
对于非单位反馈系统，由式(5.26)可得在低频段其闭环频率特性为这说明： 在低频段由于 A(ω)=|G(jω)H(jω)|>>1，故非单位反馈系统的闭环频率特性近似等于反馈通道频率特性的倒数。
2. 在高频段Φ(jω) ≈G(jω)系统的开环频率特性在高频段 |G k (jω)|<< 1 ，于是有上式表明：在高频段，由于开环频率特性的幅值很小，故反馈控制系统的闭环频率特性与前向通道的频率特性几乎重合。
3. 在中频段闭环频率特性中频段的形状对系统暂态特性的影响很大，通常用两组特征量：带宽频率ωb 和谐振峰值M r 、谐振频率ωr ，来加以刻画。
(1) 带宽频率与带宽闭环幅频特性的幅值下降到零频幅值的 0.707( 即 0.707M(0))、或闭环对数幅频特性的增益下降到零频增益值以下 3 分贝时，其对应的频率ωb 称为带宽频率 ( 或系统的截止角频率 )；闭环对数幅频特性的增益不低于 -3 分贝时所对应的频率范围，即 0 ≤ω≤ωb ，称为系统的带宽 ( 或通频带 ) 。
带宽与系统暂态响应速度之间的关系控制系统的带宽与暂态响应的速度具有密切的关系。
一般来说：系统的带宽越大，暂态响应的速度就越快；而且对于低价系统，它们之间还具有确定的函数关系。
对于一阶系统，带宽越大，即带宽频率ωb越高( 系统极点p=-1/T=- ωb离虚轴越远) ，相应的时间常数T 便越小，系统响应的速度就越快。
闭环频率特性
( ) j (
)
M ()e j ()
闭环系统的幅频特性与相频特性为 M () ( j)
() ( j) 闭环系统对数幅频特性为 20lg M () 20lg ( j)
闭环幅频特性如下图示，其主要的频域指标有：
M ()
Mr
M (0) 1 0.707
0
r
b
▪ 闭环幅频特性的零频值M(0)
零频率振幅值M(0)即ω为零时闭环幅频特性值。它反应了 系统的稳态精度，M(0)越接近于1，系统的精度越高。M(0)≠1 时，则表示系统有稳态误差。
▪ 二阶系统
闭环系统为二阶闭环系统的闭环频率特性为
(
j )
C( R(
j ) j )
(1
2 n2
1 )
j2 n
M ( )e j ( )
闭环幅频特性、相频特性为
M ()
1
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
2
(
)
arctg
1
n 2
n2
0 0.707 时，产生谐振
令
dM
d
0
得谐振频率r
n
1 2 2
第七节 闭环频率特性
闭环系统的时域性能，可以根据闭环频率特性来估算。 对一、二阶系统，时域指标与闭环频域指标有着确定的关系， 对于高阶系统，二者则有近似的对应关系。
一、闭环频率特性主要性能指标
闭环和开环频率特性之间的关系为：
R(s)
-
G(s)
C(s)
( j) G( j) 1 G( j)
1
A()e j A()e
▪ 高频段
高频段指开环幅相特性曲线在中频段以后的区段 10c 这部分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
4.6 系统瞬态响应指标和频率响应指标间的关系
P% e
Mr
1 2
100%
1 2 1 2
由此可知，Mr 和σp%随ξ变化的趋势一致。若已知Mr ，可确定σp% ，反之
亦然。
4.6.2 二阶系统的闭环频率特性和 时域指标间的关系
Mr 和ts的关系
ts
4
n
或者t s
3
n ，可以看出Mr 和ωnts随ξ的变化规律相似，可求得ωnts，
4.6.2 二阶系统的开环频率特性和 时域指标间的关系
ωc和ξ、 ωn之间的关系
c ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
γ和ξ的关系
1 4 4 2 2
2 1 4 4 2 2
arctg
γ和σp%的关系
γ越大， σp%越小，若γ已知，则σp%完全确定
γ、ωc和ts的关系
t sc
进而求得ts。 ωb和tP的关系 tP 或者t Pn d n 1 2 1 2 由此可知， tPωb和ωb/ωn随ξ的变化趋势相反，ωb大时，tP小，系统反应迅速。
穿越频率ωc是一个重要的参数，它不仅影响系统的相位裕量，还影响系统的瞬态 响应时间。
6 ，如果γ一定，则t 和ω 成反比。 s c tan
4.6.2 二阶系统的闭环频率特性和 时域指标间的关系
ωr、Mr 、 ωb和ξ的关系
r n 1 2 2
Mr 1 2 1 2
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
4.6 系统时域指标与频域指标间的关系
概述 二阶系统的开环频率特性和时域指标间的关系 二阶系统的闭环频率特性和时域指标间的关系
4.6.1 概述
工程控制基础实验1
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生姓名：学号：指导老师：实验项目名称：二阶系统时频域分析实验一. 实验目的通过二阶系统的时频域分析验证课程讲授内容，加深学生对理论知识的理解程度，扩大学生视野，掌握基本的频域图解方法和时域系统校正方法。
1. 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及Ⅰ型二阶闭环系统的传递函数标准式。
2. 研究Ⅰ型二阶闭环系统的结构参数--无阻尼振荡频率ωn 、阻尼比ξ对过渡过程的影响。
3. 掌握欠阻尼Ⅰ型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp 、ts 的计算。
4. 观察和分析Ⅰ型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的瞬态响应曲线，及在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp 、tp 值，并与理论计算值作比对。
5. 了解和掌握Ⅰ型二阶开环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性)Re(ω 和虚频特性)Im(ω的计算。
6. 了解和掌握欠阻尼Ⅰ型二阶闭环系统中的自然频率n ω、阻尼比ξ对开环参数幅值穿越频率c ω和相位裕度γ的影响，及幅值穿越频率c ω和相位裕度γ的计算。
7. 研究表征系统稳定程度的相位裕度γ和幅值穿越频率c ω对系统的影响。
8. 了解和掌握Ⅰ型二阶开环系统对数幅频曲线、相频曲线、和幅相曲线的构造及绘制方法二. 实验原理及装置图1-1是典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统。
图1-1 典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统Ⅰ型二阶系统的开环传递函数：)1()(+=Ts s T K s G i Ⅰ型二阶系统的闭环传递函数标准式：2222)(1)()(nn ns s s G s G s ωξωωφ++=+= 自然频率（无阻尼振荡频率）：TT Ki =n ω 阻尼比：KT T 21i =ξ有二阶闭环系统模拟电路如图1-2所示。
它由积分环节（A2单元）和惯性环节（A3单元）的构成，其积分时间常数T i =R 1*C 1=1秒，惯性时间常数 T =R 2*C 2=0.1秒。
频域性能指标和时域性能指标的关系
5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。
常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。
虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。
5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。
图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。
令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。
图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。
这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。
系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。
当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。
此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。
闭环频率特性
1
90 - tg -1 tg 1
1
有了γ 与ξ 之一一对应的关系，近似 ξ =0.01γ ，且ξ ～δ ﹪有一一对应的关系。
在已知M（ω ），α （ω ）前提下， 可得到|GB（jω ）|，∠GB（jω ）。
§5—7 系统频域分析
一、频域指标：
1、零频值：M（0）或A（0） 频率为0时，闭环频率特性的幅频值，零频值 M（0）与系统型别的关系。
k 1 v 0 M (0) lim G ( j ) 1 k 1 v0
1 M r 1.8 p 0.16 0.4(M r 1) 多阶：估算公式： k ts c k 2 1.5( M r -1) 2.5( M r -1) 1 M r 1.8
且
Mr 1 sin
（35°≤γ ≤90°）
三、由闭环幅频特性曲线估算时域指标
d 2 1 g ( ) 2(1 2 )( 2 2 ) 2(2 )2 0 dt n n n n
2 2 n (1 2 2 ) 2 2 g ( ) 4 (1 ) 2 n 2
2 2 g ( ) (1 2 ) (2 ) n n
ω M α
ω1
ω2
ωr Mr
2、尼柯尔斯图（以φ 为横坐标，L(ω )为纵坐标）
将等M圆和等N圆转换成对数幅值和相角坐标图上， 形成尼柯尔斯图。 P187图 5—59
绘入对数幅—相图，对应有：
ω M(db) α （ω ） ω1 ω2 ……
自动控制原理-频率特性与系统性能的关系
A(ω)= ω
1
ω 2ζωn
第四节 频率特性与系统性能的关系
二阶系统的开环对数频率特性曲线
时域法中：
L(ω)/dB
σ%—系统的平稳性
-20dB/dec
ts —系统的快速性
0
ωc
Φ(ω)
2ξ ωn
ω
频域法中：
0
-40dB/dec
ω
ωc
-90
—系统的快速性 -180
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
频率特性法是通过系统的开环频 率特性和闭环频率特性的频域性能指 标间接地表征系统瞬态响应的性能。
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高 三个频段。
第四节 频率特性与系统性能的关系
（2）中频段的斜率与动态性能的关系 频段较Φ设(宽s系)=，统1可+G中G(近频s()s似)段=认斜1+为率ωSωS整2c为22c2个-=4曲0Sd2ω+线Bωc/2是dce2 c一，条且斜中 率为-40系dB统/d处ec的于直临线界。稳定状态。
开环传递函数：
L(ω)/dB
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。
（1）穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为20dB/dec且中频
段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
第四节 频率特性与系统性能的关系
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：
G解对(设 ωj：tωt应g性1g：)-的(-1=11ωω的的ωω)变ωcjω3c2曲频关ω--3c化tt(g线=率系g1ω-ω范K-+111如3特。3jc(21围=ω==ω性图+73110j2ω8):ω～o(o12ω+) j2ωω,0可3L-)2(求ω0ωd)B1得//dd-ω4Be0:c2dBω/d-4ec0cdBω/d3ec ω
控制工程(自动控制)第十八课 频率特性与时域指标
闭环频率特性主要性能指标
带宽频率ω 带宽频率ωb:当闭环幅频特性下降到频率为零时的分 贝值以下3分贝时,对应的频率称为带宽频率ω 贝值以下3分贝时,对应的频率称为带宽频率ωb . 频率范围(0,ωb)称为系统的带宽. 频率范围( 称为系统的带宽.
ω > ωb
20 lg Φ ( jω ) < 20 lg Φ ( j 0) 3
πζ / 1ζ 2
ζ =
1 1 1 2 Mr 2
π
2 M r M r 1 2 M r + M r 1
σ% = e
× 100%
ts =
3.5
ζωn
( = 0.05, 0 < ζ < 0.9)
因此,若知道频域指标中的任两个, 因此,若知道频域指标中的任两个,就可解算 从而求出时域指标.反之, 出ζ和ωn,从而求出时域指标.反之,给出时域指 标的任两个,就可确定闭环频域指标. 标的任两个,就可确定闭环频域指标.
高阶系统
1 Mr = ( 35 ° ≤ γ ≤ 90 ° ) sin γ σ = 0 . 16 + 0 . 4 ( M r 1) (1 ≤ M ts = kπ ≤ 1 .8 )
r
ωc
(1 ≤ M
r
k = 2 + 1 . 5 ( M r 1) + 2 . 5 ( M r 1) 2
≤ 1 .8 )
2 b 2 2 n
1 = 20 lg 2
ω jα ( ω ) Φ ( jw) = = M (ω )e 2 2 ( jω ) + 2ζω n ( jω ) + ωn
2 n
M (ω ) =
1
ωb2 2 ωb 2 [1 2 ] + [2ζ ] ωn ωn
第五章--闭环频率特性
在闭环频率特性的低频段，由于这时开环幅值远大于1，故单位反馈系统
的闭环频率特性M(jω)≈1。
在高频段，由于开环频率特性的幅值很小，故反馈控制系统的闭环频率特 性与前向通道的频率特性几乎重合。
对非单位反馈系统，M(j)与G(j)的关系为:在低频段由于 A(ω)=|G(jω)H(jω)|>>1，故非单位反馈系统的闭环频率特性 近似等于反馈通道频率特性的倒数。
“频带宽、峰值小，过渡过程性能好”
闭环频率特性中频段的形状对系统暂态特性的影响很大，
通常用带宽频率、谐振峰值和谐振频率来加以刻画。
二阶系统的谐振频率及谐振频率
r n 1 2
2
M
r
1 2 1
2
0
2 2
0 . 707
截止频率及带宽 零频幅值M(0) 表示频率接近于零时，系统输出的幅值与输入幅值之比 。 在频率接近于零时，M(0)=1，则输出幅值能完全准确地反映输入 幅值。零频幅值M(0)越接近于1，系统稳态误差就将越小。 M(jω)| ω=0=M(0)
G (j ) 1 G (j ) H (j ) 1 H (j ) 1 G (j ) H (j ) 1 H (j ) 1 G K (j ) G K (j ) G (j ) H (j )
M (j )
闭环频率特性曲线绘制的方法 o 等M圆和等N圆 o 尼柯尔斯曲线 • 如何利用闭环频率特性分析动态响应：
二阶系统的闭环频域指标
谐振峰值
Mr
：
Mr 1 2 1
2
谐振峰值
(0 0.707)
河南理工大学自动控制原理第5章 第4讲 系统的闭环频率特性及性能指标和利用开环频率特性分析系统的性能2012
主要内容系统闭环频率特性通过频率特性曲线分析稳态性能指标频域动态性能指标频率域特性指标与时域瞬态指标的关系2)()(1)()()(1s H s G s H s G s H +⋅=4环幅频特性。
闭环幅频特性曲线闭环对数幅频曲线二、由闭环频率特性分析系统的时域响应频率特性分析法比时域性能分析简便，且有成熟的图解法可供使用，但频率特性分析是一种概略性的间接方法，在要求系统性能指标直接而具体时，还需从时域响应面进行讨论。
在已知闭环系统稳定的条件下，可根据系统的闭环幅频特性曲线，对系统的动态过程进行定性分析与定量估算。
51、通常的闭环频域有以下几个指标：V零频幅值：ω=0时闭环幅频特性的数值(反映系统静差（误差）)V谐振频率ωr：闭环系统频率特性出现谐振峰值时的频率值V谐振峰值M r：系统闭环频率特性幅值的最大值，反映系统的平稳性，并非所有闭环频率特性的中频段有谐振峰值，若出现了谐振峰值，表明系统的阻尼比较小615M r、σ与ζ的关系曲线当相角裕量γ为30o ~60o 时，对应二阶系统的阻尼比ζ为0.3~0.6在ζ≤0.707时，二阶系统的相角裕量γ与阻尼比ζ之间的关系近似为：ζ=0.01γV谐振频率ωr表征系统瞬态响应的速度。
ωr值越大,响应时间越快。
对于弱阻尼系统(ζ较小),谐振频率ωr与阶跃响应的阻尼振荡频率ωd接近。
V截止频率（带宽频率）ωb当系统闭环幅频特性的幅值M(ω)降到零频率幅值的0.707(或零分贝值以下3dB)时，对应的频率ωb称为截止频率。
0～ωb的频率范围称为带宽它反映系统的快速性和低通滤波特性。
V剪切率ωc幅值=1时的频率ωc，称为剪切率，它既反映系统的相角裕度(相角裕度大,剪切率应较平缓),又表征系统从噪声中辨别信号的能力(剪切率平缓,带宽ωb大,对高频噪声的抑制不利)。
17应注意，剪切频率ωc处斜率平缓(如以-20dB/dec过0dB线)时，系统相角裕量大；而斜率陡峭时，说明具有负相角的环节集图5 剪切率中叠加于此，带来大的负相角,如图5所示，则易造成系统不稳定。
5.6频率域性能指标
G s e s
X s e
s
其频率特性为：
G j e
j
1
e
j
据此，可以容易地画出它的Bode图。
7-5 时延环节的频率响应（补充知识）
xt
时延环节
xt
xt
时延环节
xt
X s
时延环节 e
s
X s e
s
其传递函数为：
GH s
1 s0.2 s 1
GH s e
s
1 s e s0.2s 1
X s
5.6 频率域性能指标
一、闭环系统频率域性能指标 稳定裕度是闭环系统的性能指标，但却是利 用开环频率特性来定义的。除此之外，频率域内， 还有下述常用的，直接利用闭环频率特性来定义 的系统频率域性能指标。 1、系统带宽 b 系统带宽度量了闭环系统具有或保持一定的 信号复现能力的频率范围。以低频段有限直流增 益的系统为例，其带宽定义为幅值增益下降3dB时 的对应频率。
记 ( j ) 为系统闭环频率特性曲线， 则有：当 b 时，
20lg ( jb ) 20lg ( jo) 3
例如，对一阶系统，按定义应该满足 ：
20 lg ( jb ) 20 lg 1 1 T 2b 2 1 20 lg 2
可求得带宽为 性。
1 b T
闭环系统的相角为：
(u jv ) (1 u jv )
tg
1
v v 1 ( ) tg ( ) u 1 u
整理得如下等N圆
1 1 1 2 u 0.5 v 1 2 2N 4 N
2
实验三 频率特性曲线测试
1364957203实验三 频率特性曲线测试3.2.3 二阶闭环系统的频率特性曲线一．实验目的1． 了解和掌握二阶闭环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性)Re(ω和虚频特性)Im(ω的计算。
2． 了解和掌握欠阻尼二阶闭环系统中的自然频率ωn 、阻尼比ξ对谐振频率ωr 和谐振峰值L(ωr )的影响及ωr 和L(ωr ) 的计算。
3． 观察和分析欠阻尼二阶开环系统的谐振频率ωr 、谐振峰值L(ωr )，并与理论计算值作比对。
4． 改变被测系统的电路参数，画出闭环频率特性曲线，观测谐振频率和谐振峰值，填入实验报告。
二．实验内容及步骤1．被测系统模拟电路图的构成如图3-2-3所示，观测二阶闭环系统的频率特性曲线，测试其谐振频率r ω、谐振峰值)(r L ω。
2．改变被测系统的各项电路参数，画出其系统模拟电路图，及闭环频率特性曲线，並计算和测量系统的谐振频率r ω及谐振峰值)(r L ω，填入实验报告。
图3-2-3 二阶闭环系统频率特性测试电路实验步骤：（1）将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入。
（2）构造模拟电路：按图3-2-3安置短路套及测孔联线，表如下。
（a ）安置短路套 （b ）测孔联线（3）运行、观察、记录：①将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入，运行LABACT程序，在界面的自动控制菜单下的线性控制系统的频率响应分析实验项目，选择二阶系统，就会弹出‘频率特性扫描点设置’表。
在该表中用户可根据自己的需要填入各个扫描点频率（本实验机选取的频率值f，以0.1Hz 为分辨率），如需在特性曲线上标注显示某个扫描点的角频率ω、幅频特性L(ω)或相频特性φ(ω)，则可在该表的扫描点上方小框内点击一下（打√）。
设置完后，点击确认后将弹出虚拟示波器的频率特性界面，点击开始，即可按‘频率特性扫描点设置’表规定的频率值，实现频率特性测试。
②测试结束后（约十分钟），可点击界面下方的“频率特性”选择框中的任意一项进行切换，将显示被测系统的闭环对数幅频、相频特性曲线（伯德图）和幅相曲线（奈奎斯特图）。
二阶系统的频率响应与频率特性测量
实验四二阶系统的频率响应与频率特性测量一、实验目的1．掌握频率特性的实验测试方法，进一步理解频率特性的物理意义2．掌握根据频率响应实验结果绘制Bode图的方法3．根据二阶系统的Bode图，确定系统的数学模型4．掌握二阶系统的频域指标与时域指标的对应关系二、实验仪器与设备1．自动控制原理学习机2．计算机（安装自动控制原理实验系统）3．万用表及接线三、实验原理1．输入、输出波形直接测试法如图4-1所示，给定的被测对象是一个稳定的系统。
由实验系统提供正弦信号，每选择一个频率，即可利用实验系统获得输入、输出随时间变化的曲线，取输出稳定后同周期的输入、输出曲线如图4-2。
图4-1 测量被控系统的频率响应图4-2 稳定后系统的输入输出曲线幅频特性)(2)(2)(ωωωmmXYjG=相频特性oTtjG360)(⨯∆-=∠ω2．李沙育图形法取被测对象某一选定频率下的输入信号x （t ）和输出信号y （t ）（去掉不稳定部分），利用实验系统做X-Y 图，得到一个椭圆图形，如图4-3所示。
图4-3 李沙育图形幅频特性：)(2)(2)(ωωωm m X Y j G =相频特性：如图4-3，椭圆长轴在第一、三象限，()()()ωωωφm 01-2Y 2Y sin=若椭圆长轴在第二、四象限，()()()ωωωφm 01-o 2Y 2Y sin-180=随着角频率的增加，大多数情况下椭圆逆时针运动，表明输出信号Y （t ）滞后于输入信号X （t ），相位的计算结果要添加一个负号，如果椭圆顺时针运动，Y （t ）超前于X （t ），计算结果为正。
幅值取两倍是为了便于测量。
3．测试频率的选取选取合适的实验测试频率范围是准确确定系统频率特性的关键。
控制系统多为低通滤波器，在频率很低时，系统的输出能够复现输入信号，通常，取被测对象转折频率的1/10作为起始测试频率，若对象模型未知，则先确定最大测试频率，方法是先测出输入信号频率为0时输出的幅值Y （0），逐渐增大输入信号频率，直至输出幅值Y m 为Y （0）/（50-100），此时频率便可确定为最大测试频率，测试频率可以在0与max ω之间选取若干点。
东北大学自动控制原理必备课后简答
第一章1.什么是自动控制系统？自动控制系统通常由哪些基本环节组成？各环节起什么作用？1)在无人直接参与下可使生产过程或其他过程按期望规律或预定程序进行的控制系统。
2)6部分：控制对象：要进行控制的设备或过程；执行机构：直接作用于控制对象，使被控制量达到所要求的数值；检测装置：检测被控制量；给定环节：设定被控制量的给定值的装置；比较环节：检测的被控制量与给定量比较，确定两者之间的偏差量；中间环节：一般为放大环节，将偏差信号变换成适于控制执行机构执行的信号。
2.试比较开环控制系统与闭环控制系统的优缺点1)工作原理：开环控制系统不能检测误差，也不能校正误差，控制精度和抑制干扰的性能都比较差，而且对系统参数的变动很敏感。
闭环控制系统可以根据检测误差，从而抗干扰性强。
2)结构组成：开环系统没有检测设备，组成简单。
闭环系统由于添加了纠正偏差的环节，所以成本较高。
3)稳定性：开环控制系统的稳定性比较容易解决。
闭环系统中反馈回路的引入增加了系统的复杂性。
3.什么是系统的暂态过程？对一般的控制系统，当给定量或扰动量突然增加到某一个值时，输出量的暂态过程如何？1)系统从一个稳态过度到另一个稳态的需要经历的过渡过程。
2)单调过程；衰减振荡过程；持续振荡过程；发散振荡过程。
第二章1.什么是系统的数学模型？在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些？1)描述系统因果关系的数学表达式2)微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。
2.简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。
1)确定系统的输入量和输出量；2)从系统的输入端开始，沿着信号传递方向，逐次依据组成系统各元部件的有关物理规律，列写元件或环节的微分方程；3)消除中间变量，建立只有输入量和输出量及其各阶导数构成的微分方程。
3.什么是小偏差线性化？这种方法能够解决哪类问题？就是将一个非线性函数在工作点展开成泰勒级数，略去二次以上的高次项，得到线性化方程，用来替代原来的非线性函数。
实验四-二阶闭环系统的频率特性曲线
实验四 二阶闭环系统的频率特性曲线3.2 二阶闭环系统的频率特性曲线一．实验要求1． 了解和掌握二阶闭环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性)Re(ω和虚频特性)Im(ω的计算2． 了解和掌握欠阻尼二阶闭环系统中的自然频率ωn 、阻尼比ξ对谐振频率ωr 和谐振峰值L(ωr )的影响及ωr 和L(ωr ) 的计算。
3． 观察和分析欠阻尼二阶开环系统的谐振频率ωr 、谐振峰值L(ωr )，并与理论计算值作比对。
二．实验内容及步骤本实验用于观察和分析二阶闭环系统的频率特性曲线。
本实验以第3.1.2节〈二阶系统瞬态响应和稳定性〉中‘二阶闭环系统模拟电路’为例，令积分时间常数为Ti ，惯性时间常数为T ，开环增益为K ，可得： 自然频率：TiT K =n ω 阻尼比：KT Ti 21=ξ （3-2-1）谐振频率：221ξωω-=n r 谐振峰值：2121lg 20)(ξξω-=r L（3-2-2）频率特性测试电路如图3-2-2所示，其中惯性环节（A3单元）的R 用元件库A7中可变电阻取代。
图3-2-4 二阶闭环系统频率特性测试电路积分环节（A2单元）的积分时间常数Ti=R 1*C 1=1S ，惯性环节（A3单元）的惯性时间常数 T=R 3*C 2=0.1S ，开环增益K=R3/R 。
设开环增益K=25（R=4K ），各环节参数代入式（3-2-1），得：ωn = 15.81 ξ= 0.316；再代入式（3-2-2），得：谐振频率：ωr = 14.14 谐振峰值：44.4)(=r L ω注1：根据本实验机的现况，要求构成被测二阶闭环系统的阻尼比ξ必须满足102.0≥ξ，否则模/数转换器（B7元）将产生削顶。
注2：实验机在测试频率特性时，实验开始后，实验机将按序自动产生0.5Hz~16Hz 等多种频率信号，当被测系统的输出mV t C 60)(±≤时将停止测试。
实验步骤：（1）将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入。
闭环频率特性曲线的绘制
5.7 闭环频率特性曲线的绘制反馈控制系统的性能，除了用其开环频率特性来估算外，也可以根据闭环频率特性来分析。
确定闭环频率特性有不同方法，下面仅讨论通过系统的开环频率特性来求闭环频率特性的图解法。
5.7.1 用向量法求闭环频率特性对于单位反馈系统，如果以幅值和相角形式表示开环频率特性()()()ϕωωω=j G j A e则闭环频率特性可以表示为：()()()()1()Φαωωω==ω+ωj G j j M G j e其中，闭环频率特性的幅值和相角可以分别表示为1122()12cos ()()11()()()G j M G j A A ωϕωωωωω−⎡⎤⎛⎞⎢⎥==++⎜⎟⎢⎥+⎝⎠⎢⎥⎣⎦（5-83） ()sin ()()arctan 1()cos ()()G j G j A =∠=++ωϕωαωωϕωω （5-84）在G 平面上，系统开环频率特性可用向量表示，如图5-57所示。
当频率1ωω=时，向量OA 表示)(1ωj G 。
向量PA 表示1)(1ωj G +。
因此，闭环频率特性)(1ωj Φ可由两个向量之比而求得：PAj =Φ)(1ω即有1()OAM PA ω=uuu r uuu r1()OA PA =∠−∠=−αωϕuuu r uuu rθ图5-57 开环频率特性与 闭环频率特性的向量关系可见，只要给出系统的开环幅相特性)(ωj G ，就可在∞=~0ω的范围内采用图解计算法逐点求出系统的闭环频率特性。
用这种方法求闭环频率特性，几何意义清晰，容易理解，但过程比较麻烦。
5.7.2 尼柯尔斯图线用开环频率特性求系统的闭环频率特性时，需要准确绘制出系统的开环幅相特性曲线)(ωj G ，这样做一般比较麻烦，因此希望通过开环对数频率特性来求闭环频率特性。
为查对方便和互相换算，将式（5-83）和式（5-84）的关系在对数幅相平面上绘制成标准图线，这就是尼柯尔斯图线，如图5-58所示。
尼柯尔斯图线由两簇曲线所组成。
锁相技术复习要求
锁相技术复习要点第1章 锁相环路的基本工作原理一、考核知识点（一）锁相环路的基本工作原理；（二）锁相环路的相位数字模型及其微分方程；（三）锁相环路的基本性能。
二、考核要求（一）锁定与跟踪的概念1、识记：（1）相位的概念；（2）锁相环路的定义；（3）环路的捕获带（4）环路的同步带。
2、领会：（1）锁相环路是一个相位跟踪系统，它建立了输出信号瞬时相位与输入信号瞬时相位的控制关系（2）几个重要参数：载波相位、瞬时相位、自由振荡角频率、瞬时相差、移稳态相差；（3）环路的两种基本工作状态：捕获过程、锁定状态。
3、应用：（1）环路是处于锁定状态的判定依据；（2）一阶环稳态相差的计算。
（二）环路组成1、识记：（1）环路的基本部件；（2）鉴相器的作用与数学模型；（3）鉴相器的分类：模拟乘法器鉴相器、序列电路（数字鉴相器）；（4）环路滤波器的作用与数学模型；（5）压控振荡器的作用与数学模型；（6）压控灵敏度；（7）压控振荡器的种类。
2、领会：（1）锁相环路的组成及框图；（2）正弦鉴相器及数学模型；（3）几种常用的环路滤波器及传递函数；（4）锁相环路的相位数学模型。
3、应用；（1）理想积分滤波器分析；（2）非常用环路滤波器的传递函数求解。
（三）环路的动态方程1、 识记：（1）瞬时频差；（2）控制频差；（3）固有频差；（4）环路增益K。
2、 领会：（1）锁相环路动态方程3、应用：（1）锁相环路动态方程的含意；（2）稳态相差的求解。
（四）一阶环路的捕获、锁定与失锁。
1、识记：（1）一阶环路；（2）相点；（3）相轨迹（4）相平面。
2、领会：（1）一阶环路的非线性微分方程；（2）相轨迹上相点的含义。
3、应用：（1）频率牵引现象；（2）一阶环路的捕获带、同步带、快捕带。
第二章 环路跟踪性能一、考核知识点（一）锁相环路的线性相位模型及传递函数；（二）锁相环路的性能指标；（三）二阶环路在典型输入下的响应；（四）环路的频率响应。
5.7闭环系统的频率特性
三、等相角轨迹（等N圆）
2020年4月13日
F( jw ) P jQ
1 P jQ
tg1 Q tg1 Q
P
1 P
设
tg=N N
tg(tg1 Q P
tg1 Q ) 1 P
Q P2 P Q2
整理可得
(P 1)2 (Q 1 )2 1 ( 1 )2
(w) F( jw) G( jw) 1 G( jw)
R(s) 1
H (s)
C(s) G(s)H (s)
-
对于非单位反馈系统，闭环系统的频率特性F(jw)
F( jw )
G( jw )
1
G( jw)H ( jw) 1
GK
( jw
2
)
1 G( jw )H ( jw ) H ( jw ) 1 G( jw )H ( jw ) H ( jw ) 1 GK ( jw )
震荡频率wn。
tp
wn
1z 2
wd
z
d % e 1z 2 100%
ts
4
zw3 n
，当Δ ，当Δ
2时 5时
zwn
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
⒊ 对高阶系统，如果有主导极点存在，也可利用上述公 式进行计算。
16
（二） 频域性能指标
⑴开环频率特性性能指标
① 幅值稳定裕度 Kg(Lg) 系统开环相频特性为－180°时，系统开环频率特性幅值的
的频率 wb 称为带宽频率。频率范围 w [0, wb ] 称为
系统带宽。
（三） 频率特性的重要性质
⒈ 频率尺度与时间尺度的反比关系
若有两个系统的频率特性F1(jw)和F2(jw)有如下关系
二阶闭环系统的频率特性曲线
C1=2u，C2=1u，R=4K谐振频率ωr=14.451325谐振峰值L(ωr)= 4.334100穿越频率ωc=14.451325阻尼比ξ=0.320478自然频率ωn=16.212000超调量Mp= 34.546302调节时间ts=0.577414(△=5%时) 相位裕度γ=35.414490峰值时间tp=0.204572C1=2u，C2=1u，R=10K谐振频率ωr=7.539822谐振峰值L(ωr)= 1.117100穿越频率ωc=8.168140阻尼比ξ=0.511743自然频率ωn=10.925687超调量Mp=15.392685调节时间ts=0.536563(△=5%时) 相位裕度γ=51.450690峰值时间tp=0.334686C1=2u，C2=1u，R=2K谐振频率ωr=21.362829谐振峰值L(ωr)= 7.062500穿越频率ωc=21.362829阻尼比ξ=0.227724自然频率ωn=22.565034超调量Mp= 47.964002调节时间ts=0.583817(△=5%时) 相位裕度γ=25.796690峰值时间tp=0.142981C1=2u，C2=2u，R=4K谐振频率ωr= 10.053096谐振峰值L(ωr)= 7.100200穿越频率ωc=10.053096阻尼比ξ=0.226681自然频率ωn=10.613229超调量Mp=48.134456调节时间ts=1.246978(△=5%时) 相位裕度γ=26.200920峰值时间tp=0.303918C1=2u，C2=3u，R=4K谐振频率ωr=8.796459谐振峰值L(ωr)= 9.015800穿越频率ωc=8.796459阻尼比ξ=0.180026自然频率ωn=9.096198超调量Mp= 56.272701调节时间ts=1.832007(△=5%时) 相位裕度γ=20.375660峰值时间tp=0.351111C1=1u，C2=1u，R=4K谐振频率ωr= 21.362829谐振峰值L(ωr)= 7.137700穿越频率ωc=21.362829阻尼比ξ=0.225649自然频率ωn=22.541387超调量Mp= 48.303609调节时间ts=0.589804(△=5%时) 相位裕度γ=25.810810峰值时间tp=0.143060。
幅频特性及相频特性实例
M ( )
令 其谐振频率为
n 2
(n 2 2 ) 2 (2n ) 2
dM ( ) 0 d
(0 0.707)
r n 1 2 2
因为当 0 时，幅频值 M (0) 1 其幅频特性峰值即谐振峰值为
Mr
1 2 1 2
(0 0.707)
180 (c ) 180 90 arctan c arctan
c
5
19.5
当K从10变到100时, 20lgK=20lg20＝26dB, 如图中虚线所示。
c 40 lg 20 lg K 20 lg 20 1
所以K=100时对应的剪切频率为 c 20 4.472 。
Lg 20 lg A( g ) 20 lg 10
g 1 g
2
25 g
2
9.54
dB
当K=100时
Lg 20 lg A( g ) 20 lg 100
g 1 g
2
25 g
2
10.5
dB
幅频特性及相频特性实例
幅频特性及相频特性实例
幅频特性及相频特性实例
幅频特性及相频特性实例
由图看出， M r 越小， %越小，即系统的阻尼性能越好。如 果谐振峰值较高，系统动态过程超调大，收敛慢，平稳性及快 速性都差。 当 0.707 时，幅频特性单调 衰减，不存在谐振峰值。
幅频特性及相频特性实例
M 、r、b 与 t s 的关系。 （2）
在带宽频率 b 处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为
中频段
中频段是指开环对数幅频特性曲线在截止频率 c 附近（零 分贝附近）的区段。中频段集中反映了闭环系统动态响应的平 稳性和快速性。 反映中频段形状的三个参数为截止频率 c ，中频段的斜 率和中频段的宽度。下面对开环对数幅频特性曲线 L( ) 中频 段的斜率和宽度分两种情况进行分析。
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同济大学电子与信息工程学院实验中心实验报告
实验课程名称：自动控制原理
任课教师：王中杰
实验项目名称：二阶闭环系统的频率特性曲线
二阶闭环系统的频率特性曲线
一．实验要求
1． 了解和掌握二阶闭环系统中的对数幅频特性)(ωL 和相频特性)(ωϕ，实频特性
)Re(ω和虚频特性)Im(ω的计算
2． 了解和掌握欠阻尼二阶闭环系统中的自然频率ωn 、阻尼比ξ对谐振频率ωr 和谐振
峰值L(ωr )的影响及ωr 和L(ωr ) 的计算。
3． 观察和分析欠阻尼二阶开环系统的谐振频率ωr 、谐振峰值L(ωr )，并与理论计算值
作比对。
二．实验内容及步骤
本实验用于观察和分析二阶闭环系统的频率特性曲线。
本实验以二阶闭环系统模拟电路为例，令积分时间常数为Ti ，惯性时间常数为T ，开环增益为K ，
可得： 自然频率：TiT K
=n ω 阻尼比：KT Ti
2
1=ξ 谐振频率：221ξωω-=n r
谐振峰值：2
121lg
20)(ξ
ξω-=r L
频率特性测试电路如图1所示，其中惯性环节（A3单元）的R 用元件库A7中可变电阻取代。
图1 二阶闭环系统频率特性测试电路
积分环节（A2单元）的积分时间常数Ti=R 1*C 1=1S ，
惯性环节（A3单元）的惯性时间常数 T=R 3*C 2=0.1S ，开环增益K=R3/R 。
设开环增益K=25（R=4K ），ωn = 15.81 ξ= 0.316：谐振频率：ωr = 14.14 谐振峰值：44.4)(=r L ω
注1：根据本实验机的现况，要求构成被测二阶闭环系统的阻尼比ξ必须满足102.0≥ξ，否则模/数转换器（B7元）将产生削顶。
注2：实验机在测试频率特性时，实验开始后，实验机将按序自动产生0.5Hz~16Hz 等多种频率信号，当被测系统的输出mV t C 60)(±≤时将停止测试。
实验步骤：
（1）将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入。
（2）构造模拟电路：按图2安置短路套及测孔联线，表如下。
（a ）安置短路套 （b ）测孔联线
（3）运行、观察、记录：
①将数/模转换器（B2）输出OUT2作为被测系统的输入，运行LABACT程序，在界面的自动控制菜单下的线性控制系统的频率响应分析-实验项目，选择二阶系统，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始，实验开始后，实验机将自动产生0.5Hz~16Hz等多种频率信号，等待将近十分钟，测试结束后，观察闭环对数幅频、相频曲线和幅相曲线。
②测试结束后，可点击界面下方的“频率特性”选择框中的任意一项进行切换，将显示被测系统的闭环对数幅频、相频特性曲线（伯德图）和幅相曲线（奈奎斯特图）。
图3-2-4的被测二阶系统的闭环对数幅频所示。
③显示该系统用户点取的频率点的ω、L、 、Im、Re
实验机在测试频率特性结束后，将提示用户用鼠标直接在幅频或相频特性曲线的界面上点击所需增加的频率点（为了教育上的方便，本实验机选取的频率值f，以0.1Hz为分辨率，
例如所选择的信号频率f值为4.19Hz，则被认为4.1 Hz送入到被测对象的输入端），实验机将会把鼠标点取的频率点的频率信号送入到被测对象的输入端，然后检测该频率的频率特性。
检测完成后在界面上方显示该频率点的f、ω、L、ϕ、Im、Re相关数据，同时在曲线上打‘十字标记’。
如果增添的频率点足够多，则特性曲线将成为近似光滑的曲线。
鼠标在界面上移动时，在界面的左下角将会同步显示鼠标位置所选取的角频率ω值及幅值或相位值。
在(\Aedk\LabACT\两阶频率特性数据表)中将列出所有测试到的频率点的闭环L、ϕ、Im、Re等相关数据测量。
注：该数据表不能自动更新，只能用‘关闭后再打开’的办法更新。
④谐振频率和谐振峰值的测试：
在闭环对数幅频曲线中用鼠标在曲线峰值处点击一下，待检测完成后就可以根据‘十字标记’测得该系统的谐振频率ωr ，谐振峰值L(ωr)，见图3；实验结果可与式（3-2-9）的计算值进行比对。
注：用户用鼠标只能在幅频或相频特性曲线的界面上点击所需增加的频率点，无法在幅相曲线的界面上点击所需增加的频率点。
⑤改变惯性环节开环增益：改变运算模拟单元A3的输入电阻R=10K、4K、2K。
Ti=1（C1=2u），T=0.1（C2=1u）（R減小（ξ減小））。
改变惯性环节时间常数：改变运算模拟单元A3的反馈电容C2=1u、2u、3u。
Ti=1（C1=2u），K=25（R=4K），（C2增加(ξ減小)）。
改变积分环节时间常数：改变运算模拟单元A3的反馈电容C1=1u、2u。
T=0.1（C2=1u），K=25（R=4K），(C1減小（ξ減小）)。
重新观测结果，界面上方将显示该系统用户点取的频率点的ω、L、φ、Im、Re、谐振
频率ωr ，谐振峰值L(ωr)等相关数据，填入实验报告。
图3 被测二阶闭环系统的对数幅频曲线
三、实验结果
50K频幅特性
50K相频特性
谐振频率ωr
谐振峰值L(ωr)
50K幅相特性
100K频幅特性
100K相频特性
100K幅相特性
200K频幅特性
200K相频特性
200K幅相特性
2U频幅特性
2U相频特性
2U幅相特性
3U频幅特性
3U相频特性
,.
3U 幅相特性
四、实验结论
二阶系统的闭环频率响应特性为 自然频率：TiT K =
n ω 阻尼比：KT Ti 2
1=ξ 谐振频率：221ξωω-=n r 谐振峰值：2121
lg 20)(ξξω-=r L。