《常微分方程》期末试卷

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(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。

常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　xoy 平面．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的充分条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分期末考试试题和答案

《常微分方程》期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是。

2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果。

5、当时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解。

7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。

8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程的解。

9、如果),(y x f 在R 上且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。

11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。

13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。

(完整版)常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一．填空题（30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。

3．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。

4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。

二．计算题（60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。

12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

常微分方程期末试卷(A卷)

四川民族学院数学系《常微分方程》期末考试卷(A) 评分标准既参考答案
一、空题(5×6=30) 1、
dy f ( x) ( y ) dx
2、
dy P( x ) y Q( x ) y n dx
z= y
1 n
M x, y N x, y M x, y N x, y y x y x x ， y 3、 N M
1 1, 2 5 ，
故通解为 x(t ) c1 e
t
……………..(2 分)
c 2 e 5t
…………..(4 分) ……..(6 分)
2 不是特征根，所以方程有形如 x(t ) Ae 2t
把 x(t ) 代回原方程
4 Ae 2t 12 Ae 2t 5 Ae 2t e 2t
1 x x ， x 1 ，在任何不包含原点的区间 2 x2 t
a t b 上的基解矩阵.
2 、设 t 为方程组 x Ax （ A 为 n n 的常数矩阵）的标准基解矩阵（即 0 E ），证明 :
t 1 0 (t t0 ) ，其中 t0 为某一值.
一、填空题 (5×6=30) 1、形如 2、形如换的方程，称为变量分离方程，这里. f ( x), ( y ) 分别为 x, y 的连续函数. 的方程，称为伯努利方程，这里 P ( x), Q ( x)为x 的连续函数, n 0,1 可化为线性微分方程. 引入变量变
3、方程 M x, y dx N x, y dy 0 它有只含 x 的积分因子的充要条件是________,有只含 y
A
1 21
t
………………..(8 分)

常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6）学院 _＿＿_＿_ 班级＿__＿＿__ 学号 _____＿＿姓名 _______成绩 ______＿一．填空题 (共30分，９小题，1０个空格,每格3分)。

1．当______＿___＿＿＿__时,方程Ｍ（x ，y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

２、_____________＿__称为齐次方程。

3、求dxdy =f （x,ｙ)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程＿_＿_____＿___________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件,则方程),(y x f dxdy = 的解 y ＝),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是＿______＿_＿。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是___________＿_＿_＿_＿＿_＿＿_＿________＿____＿___＿。

6、方程组x t A x )(/=的_＿_＿_＿_＿__＿______称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵,则e ｘpAt =__＿_＿＿＿_____。

８、满足_______＿______＿_＿__的点(**,y x )，称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部____＿__＿时，零解是稳定的,对应的奇点称为____＿____＿_。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

１、求解方程：dx dy =312+++-y x y x ２.解方程：（２x ＋2y-1)dx ＋(ｘ+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解4、求解常系数线性方程:t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dt dx =+=, （1）的奇点类型，其中ａ,b,c 为常数,且a ｃ≠0。

常微分方程期末选择题题库

常微分方程期末选择题题库选择题1、下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e ++=特解的形状为( )(A)2-21x y ax ey = (B) 2-21() x y ax bx c e =++(C)22-21()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21()xy x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)22 5,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) y x y c e = (B)()y x y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y∂∂+=∂∂ 7、下列微分方程是线性的是（） (A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+(C)2' y by cx += (D) 4'0y xy +=8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]xy e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)31, , x x (B)2 22,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() x y x e c =+ (B)( ) x x y e c =+ (C)(-) xx y c e = (D)(-)xy x e c =(A)22-10 x y += (B) 2' xy y= (C)222222u u ux y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（）(A) dy dx yx= (B)2y '+6y '=1 (C) y '=y3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin(C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t tt--3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C) ∂∂∂∂u t u x=22(D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数）17、下列微分方程是线性的是（）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Ae x1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t u x=22(D) ''+=y y e x2'22、下列微分方程是线性的是（）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C) y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31xy Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)2,,x x x e xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 21,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x )26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（） (A)1sin yxcx= (B) sin yx =x +c (C)sin y x =c x (D) sin x y=c x 27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y )29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A) c x c x 123+ (B) c x c x123+ (C) c e c e x x123+- (D)c e c e x x123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dy dxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y-=+1 (B) e x y++=10 (C) e x y=+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+ (C) c e c e x x123+- (D) c e c e xx123-+35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解(C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x+ (D)1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy ce arctgy=-++1(C) x arctgy ce c arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy=-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（）(A) e c x c x c x+++1223(B) c x c x c 1223++(C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dy dx x =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y-=+1 (B) e x y++=10 (C) e x y=+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件yx ==01,y x '==03的特解是y=( )(A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) e c x c x x-+31222(cos sin ) (B) e c x c x x21233(cos sin )-(C)e c x c x x 31222(cos sin )- (D)e c x c x x -+21233(cos sin )46、微分方程y y x c '++=20满足y x ==20的特解y =（）(A) 4422xx -(B)x x2244-(C))2ln (ln 2-x x(D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx yx 'cos -+=2的通解是（）(A) 1()cos x c x y=+ (B) ()cos y x c x =+(C)1cos x x c y=+(D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（）(A) cos2a x (B) cos2ax x (C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（）(A)e x xx -++574774sin cos (B)ex xx++574774sin cos(C)e x xx -++6574774sin cos(D)e e x x xx--+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u ut x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -=54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++--(C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +---56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（）(A)2xe ln (B)22xe ln (C)2xe ln + (D)22xe ln +57、若3312,xxy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y yy y--不是常数，则该方程的通解为（）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+(C)11232c y c y y ++(D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()10()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（）(A)1n n cx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（）(A)12xy c e c =+ (B)12xxy c e c e -=+ (C)212xy c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)xae bx + (D)xaxe b +63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（）(A)()xax b e -+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（）(A) x axe (B)()xax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e +67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式为（）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()xax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e -++=特解的形式为（）(A)22xy ax e -= (B)22()xy ax bx c e -=++(C)22()xy x ax bx c e -=++(D)222()xy x ax bx c e -=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =-72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt ==--的（） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（） (A)2xy z c-= (B)2x c y= (C)2xyz c-=(D)2xz xc-=75、方程22222dx dy dzxy z xy xz==--的首次积分是（）(A)2x y zc x ++= (B)222x y z c y++= (C)y c x=(D)z c x =76、系统22dxx y dt dy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点(C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点 77、系统3474dx x y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（）(A) 鞍点 (B) 焦点(C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe -+=有形如（）特解(A)xy Axe -= (B)21()xy Ax Bx c e -=++(C)1()xy Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（）(A)21()tx At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1tx Ate =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（）(A)1cos xy A xe -= (B)1sin xy A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（）(A)21()cos t x At Bt c e t =++ (B)21()sin tx At Bt c e t =++(C)1(cos sin )tx e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0x y y xye e dx xe e dy ---++=的通解为（）(A)x y ye xe c -= (B)y x ye xe c -= (C)x yye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x xe y y x dx e y x dy -++=的通解为（）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c +=(C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0y ye dx x xy e dy -+=的通解为（）(A)2y xe y c += (B)2ye y c x += (C)yxe xy c +=x85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（）(A)32xxe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)xx x e x y c --+= (D)232(2)xx e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'xy Ae = 87、方程432422(22)(3)0yyxy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（）(A)21()x x μ= (B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ=88、方程(2)0yye x xy e dy -+=的积分因子为（）(A)21()x x μ= (B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D)1()y yμ=89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（）(A) 1()x xμ= (B)2()x x μ= (C) 1()y yμ=(D)2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（）(A)()xx e μ= (B)()xx e μ-= (C)()yy e μ= (D)()yy e μ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（）(A) 1()x x μ= (B)21()1x xμ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（）(A) 1()x x μ= (B) 21()x xμ=(C) 1()y yμ=(D)21()y y μ=93、方程(2cos )0xxe dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（）(A) 21()x x μ= (B) 21()y y μ=(C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x yμ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（）(A) 21x μ= (B)1xy μ=(C)221x y μ= (D)21x y μ=《常微分方程》选择题及答案 1996、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（）(A)x μ= (B)y μ=(C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（） (A)2-210x x += (B) 2 ' y xy =(C) 2222u u ut x y ∂∂∂=+∂∂∂(D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（） (A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e +=(C)2"0 y x += (D)2 '-y y xy =。

临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案

15、满足初值条件的解称为它的（2.0）
A、阶 B、解 C、通解 D、特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间（2.0）
A、必为(-∞,+∞) B、必为(0,+∞) C、必为(-∞, 0) D、将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、判断题（共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案：正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案：正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案：错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n个。

2、一阶微分方程2dy x dx的通解为2y xC （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为21y x，与直线y=2x+3相切的解是24yx，满足条件303ydx 的解为22y x。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。

4、对方程2()dy x y dx作变换u x y，可将其化为变量可分离方程，其通解为tan()y x C x。

5、方程过点共有无数个解。

6、方程''21yx的通解为4212122xxyC x C ，满足初始条件13|2,|5xxy y 的特解为421912264xxyx。

7、方程无奇解。

8、微分方程2260d y dy ydxdx可化为一阶线性微分方程组6dyzdx dz z ydx。

9、方程的奇解是 y=0。

10、35323d y dy x dxdx 是 3阶常微分方程。

11、方程22dy xy dx满足解得存在唯一性定理条件的区域是xoy 平面。

12、微分方程22450d y dy y dxdx通解为512xxy C e C e，该方程可化为一阶线性微分方程组45dy zdx dz z ydx。

21d d y xy )1,2(xxyxy d d y xy d d13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()yx yx 成为其基本解组的充要条件是线性无关。

14、设1342A，则线性微分方程组dX AX dt有基解矩阵25253()4t t tte et ee。

二、解方程（每个小题8分，共120分）1、答案：方程化为令，则，代入上式，得分离变量，积分，通解为∴原方程通解为2、答案：特征方程为即。

特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为∴原方程组的通解为。

3、答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+0d d )2(y x x y xxy xy 21d d xu y xu xu xy d d d d uxu x 1d d 1Cx uxCx y 2yxtyy x t x 4d d d d 01411E A 03223112031413111b a 2111b a 122122b a tt tt C C yx 2ee2ee2331xy xy 2e3d d xC y 3e xx C y3e)(Cx C x 5e 51)(xC y 3ex2e 514、2x ydy dx；答案：2x ydy dx是一个变量分离方程变量分离得22yxdydx两边同时积分得22yxc （其中c 为任意常数）5、答案：积分：故通解为：6、)(22xdydx y xx y 答案：)(22dxy xx xdy ydx 两边同除以22y x得022xdx y x xdy ydx ，即021)(2dxy x arctgd ，故原方程的解为Cxyx arctg2217、2453dxx ydt dy x ydt.答案：方程组的特征方程为203A E45即(2)(3)(4)(5)0，即25140特征根为17，22对应特征向量应满足112740537a b ，可得1145a b xyexy dx dy xyxexyedxdy xyxydxy xe xdy xy)(dxxe ydx xdyxydxxe dxyxyxdx e dxy xycx exy2210212c exxy同样可算出22时，对应特征向量为2211a b ∴原方程组的通解为72127245t t ttx ee C C yee8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为9、0)2()122(dyy x dx y x 答案：，令z=x+y ，则所以–z+3ln|z+1|=x+， ln =x+z+即10、22d x dx x dtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。

《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

《常微分方程》福师期末试题与解答

《常微分方程》福师期末试题与解答常微分方程福师期末试题与解答试题一1. 求解以下常微分方程：(a) $y'' + 5y' + 6y = 0$;(b) $y'' + 2y' + y = e^{-x}$;解答一1. (a) 特征方程为 $r^2 + 5r + 6 = 0$，解得 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = -3$。

因此齐次方程的通解为 $y_c = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。

(b) 齐次方程的特征方程为 $r^2 + 2r + 1 = 0$，解得 $r = -1$（重根）。

因此齐次方程的通解为 $y_c = (C_1 + C_2x)e^{-x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。

对于非齐次方程，根据常数变易法，假设非齐次方程的特解为$y_p = Ae^{-x}$，代入方程得到 $Ae^{-x} = e^{-x}$，解得 $A = 1$。

因此非齐次方程的特解为 $y_p = e^{-x}$。

综上所述，非齐次方程的通解为 $y = (C_1 + C_2x)e^{-x} +e^{-x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。

试题二2. 解析解以下常微分方程：(a) $y' + \frac{1}{x}y = x^2$，已知 $y(1) = 2$；(b) $xy' - y = x^2$。

解答二2. (a) 首先将方程改写为标准形式 $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$。

根据线性一阶常微分方程的解法，通过乘以积分因子$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|$，得到方程的通解为 $y = \frac{1}{|x|}\left(\int x^2 |x| dx + C\right)$，其中 $C$ 为常数。