数的整除综合
数的整除的综合运用(一) 3.差系：7 11 13 能否被 7 11 …
数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
四年级奥数-数的整除的综合运用(二)
【例1】(★★) 试说明任意一个4位数，原序数与反序数的和一定是11 的倍数 (如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和 7557是11 的倍数。)
【例2】(★★★) 四个学生各任意写一个六位数且个位不为 0。把个位数字移到 首位，其它位数字依次向后移一位。把得到的新的六位数与原 六位数做和，得到以下结果：172536、568741、620708、 845267。哪个结果有可能是正确的？
【例5补充】(★★) 已知数200920092009…200909能被11整除，那么n Байду номын сангаас个2009 的最小值是多少？
【例5再补充】(★★★) 已知数1222……221能被999999999整除，那么n的最小值是多少？ n个2
本讲知识总结
位值原理的使用 分类讨论的使用
2
【例3】(★★★) 在小于 5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数， 共有______个。
【例4】(★★★☆) 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25倍，那么，这个五位数的前两位组成的两位数的最大值是 ______。
1
【例5】(★★) 已知数298329832983…298302能被18整除，那么n n个2983 的最小值是多少？
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(一)
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b ｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【例 2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 4】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 5】201202203300⨯⨯⨯⨯的结果除以10，所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第____次除以10时，首次出现余数.【考点】整除之2、5系列【难度】5星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第7题【例 6】用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
数的整除知识点总结数的整除知识整理
数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。
2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。
3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。
4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。
a的因数包括1和a本身。
5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。
a的倍数包括0和任意正负整数。
6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。
7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。
质数只有两个因数，即1和该数本身。
10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。
合数有多个因数。
11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。
12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。
13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。
这些是数的整除的基本知识点。
“数的整除”总复习综合练习教学设计
的 身边 ， 现 实 生 活 密 切 联 再 做 一 个 游 戏 ： 同 学 们 在 一 组 数 中 我 请 迅 速 找 出 一 个 与 众 不 同 的数 ．用 手 势 告 诉 大 家 是 第 几
『 析 ： 学 生 在 寻 找 “ 众 不 同 的 数 ” 进 一 步 比 评 让 与 中
较 辨 析 了概 念 。 １ ３游 戏 — — 破 译 密 码 。 ．
３请 学 号 是 ３ 的 倍 数 的 同 学 坐 下 。 么 样 的 数 是 ３ ． 什 的倍 数 ？
和 同 学 ｆＪ 起 学 得 真 开 心 ．我 非 常 想 和 我 们 班 的 『一 每 个 同学 做 朋 友 ． 们 愿 意 和 老 师 做 朋 友 吗 ？ 们 互 换 你 我
被 ５整 除 呢 ？
师 ： 一 猜 ． 师 会 提 什 么 问 题 ？ （ 个 数 不 是 合 猜 老 哪
数 ） 桌 相 互 说 明理 由 。 同
（ ７， ４． ， ５，９ ５） １ ２１ ５ ４
师 ： 同学 们 帮 个 忙 。 一 组 问题 可 以 怎 样 问 ？小 请 这 组 内商 量 一 下 ？
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叵匡匝
离 ，激 发 起 学 生 学 习 的 热 情 。学 生 很 快 进 入 了学 习状 态 。】
二 、 念 回顾 概 数 的 整 除 这 部 分 内 容 的 概 念 比 较 多 ， 了 能 被 ２、 除
Ａ 是 偶 数 ． 既 是 质 数 又 是 偶 数 ， 加 上 一 就 是 最 Ｂ Ｃ 小 的 合 数 ， 是 ２和 ３的 最 小 公 倍 数 ． 是 最 小 质 数 的 Ｄ Ｅ ４倍 ， Ｆ既 不 是 质 数 。 也 不 是 合 数 ， 是 １ 以 内 最 大 的 Ｇ ０
数的整除的综合运用(一)
【今日讲题】 例2，例3，例5 【讲题心得】 __________________________________________________________________ ___________________。 【家 评价】 【家长评价】 __________________________________________________________________ ______________________________________________________________。
【例1】(★★) 下面五个自然数 128114 94146 64152 6139 491678 哪些能被7 下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678，哪些能被7 整除? 哪些能被11整除? 哪些能被13整除?
【例3】(★★★★) 小新一共买了28支价格相同的钢笔给大家作为奖品，共付人民币 9□ 2□元。已知在□处数字相同。请问，每支钢笔多少元？ 9□.2□元。已知在□处数字相同。请问，每支钢笔多少元？ 1
【例4】(★★★★)
(1) 如果六位数 1992□□能被105整除，那么它的末两位数是多少？ (2) 如果六位数 如 位数 2003□□ 能被 整除 能被99整除，那么它的末两位数是多少？ 它的末 位数是多少
【超常大挑战】(★★★★) 在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
数的整除的综合运用(一)
本讲主线
1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三类数字整除特征 2 三种判断整除方法 2.
1. 尾数系：2，5；4，25；8，125 (1)末一位：2、5 (2)末两位：4 25 (2)末两位：4、25 (3)末三位：8、125
小升初专题培优：数的整除之四大方法综合应用(含答案)全国通用
数的整除之四大方法综合应用一、整除的定义：当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为零时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，二、数的整除性质：⑴对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
记作：a|b，b|a，则a＝b。
⑵传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
记作：若a|b，b|c，则a|c。
⑶若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作：若a|b，a|c，则a|(b－c)。
⑷若a|b，m≠0，则am|bm。
⑸若am|bm，m≠0，则a|b。
三、整除特征⑴1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。
0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。
⑵看末位若一个整数的末位能被2和5，则这个数能被2和5整除。
若一个整数的末尾两位数能被4和25整除，则这个数能被4和25整除。
若一个整数的未尾三位数能被8和125整除，则这个数能被8和125整除。
⑶看数字和若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
⑷看奇数位与偶数位的差若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
⑸后三位截断法若一个数的末尾三位与前面其余数位的差分别是7、11或13整除，则这个数能被7、11、13整除求满足下面各小题条件的a ：⑴5|12a a⑵9|10a a求满足下面各小题条件的整数a ：⑴8|1234a a a a a⑵9|1234a a a a a⑶11|1234a a a a a62□是一个三位数，在□中依次填入一个数字，使所组成的三位数，能被6整除，这个数是_____。
(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛)731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，这三个数之和是_____。
数的整除综合练习
一、判断。
1、40能被8整除。
·····················································（）2、10能被8除尽。
·····················································（）3、13是13的倍数。
····················································（）4、1是14的约数。
整章综合测试(数的整除)
整章综合测试第一组1-171、找出下列各句话中哪些是错的，并将其改正：（1）24的素因数有2，3；（2）10，22，25，30，48中能同时被2、5整除的数有10，30；（3）a与a+1一定互素；（4）0是整数但不是自然数。
2、用短除法求下列各组数的最大公因数：（1）24，36；（2）12，15，183、用短除法求下列各组数的最小公倍数：（1）30，45；（2）10，12，154、有一个四位数，它的四个数字中有两个是奇数，两个是偶数，两个是合数，两个是素数，而且两个合数不互素，两个奇数也不互素，四个数字从大到小排列，请问：这个四位数是多少？5、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，已知其中一个数是12，求另一个数。
6、一个数去除16，24，32正好都能整除，则这个数最大是多少？7、有两个合数，而且互素，已知它们的最小公倍数是90，求这两个数。
8、三个素数，它们的乘积是1001，请你计算这三个素数各是多少？9、用3，4，0，5四个数字，按下列要求排成一个没有重复数字的四位数：（1）既能被2整除，又能被3整除；（2）能同时被2、3、5整除。
10、阅读课上，老师借来了24本科技类和18本人文类书籍，老师把这些书籍分成本数相等的科技、人文均有的若干组，每组中科技类和人文类书籍本数相等，请问：这些书籍最多分成几组？每组中各类书籍有几本？11、小明和小华两家是邻居，小明家每5天去超市购物一次，小华家每6天去同一家超市购物一次，中秋这天两家都去这家超市购物，那么再经过多少天他们又会在同一天都去超市购物？12、某校大约有80人至100人参加“3.12植树造林活动”，如果4人一组，6人一组，8人一组都恰好分完，那么全校参加植树造林活动的学生有多少人？13、阅读理解：例题：求1×2×3×4×5×…×29×30的积的末尾有几个连续的0.分析：因为2×5=10，所以只要含有一个素因数2和一个素因数5，乘积的末尾就有1个0，而这30个数中，素因数2的个数多于素因数5的个数，因此只要找素因数5的个数即可。
沪教版 六年级(上)学期数学 数的整除综合复习 (含解析)
沪教版六年级（上）数学辅导教学讲义1．会求是互素数或有倍数关系的两个数的最大公因数与最小公倍数；掌握两个数的最小公倍数与最大公约数的关系，并会处理相关问题；2．会求三个数的最大公因数与最小公倍数；3．复习数的整除章节知识点．知识点1：整除、因数、倍数1．下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A、25÷4B、25÷0.5C、25÷25D、0.4÷0.4A、11÷5＝2……1B、27÷3＝9C、18÷4＝4.5D、2.4÷0.6＝43．12的因数有；4．一个数最小的倍数是；知识点2：奇数、偶数、素数5．既是素数又是偶数的数是；6．下列关于1的叙述，不正确的是（）A、1是最小的自然数；B、1既不是素数也不是合数；C、1是奇数；D、1的因数只有1个知识点3：能被2、5整除的特征7．在18，27，30，46，51，65，102这些数中，能被2整除的数是；能被5整除的数是；8．能同时被2、5整除的最小三位数是；9．能被5整除的数，个位数字一定是；10．能同时被2、3、5整除的最小三位数是；11．在75，42，50，88，40中，既是2的倍数又能被5整除的数有；知识点4：分解素因数12．把18分解素因数；13．30的素因数有；14．已知A＝2×2×5，则它的所有因数有个；15．24、50和75分别分解素因数，发现它们公共的素因数是（）A、2B、5C、2和5D、2、3和5知识点5：公因数、公倍数、最大公因数与最小公倍数16．如果数A＝2×2×5，B＝2×3×3，那么A和B的最小公倍数是；最大公因数是；17．两个连续奇数的和是24，那么这两个数的最小公倍数是；参考答案：1、C；2、B；3、1，2，3，4，6，12；4、本身；5、2；6、A；7、18，30，46，102；30，65；8、100；9、0或5；10、120；11、50，40；12、18＝2×3×3；13、2，3，5；14、6；15、A；16、180，2；17、143；例题1：问题1：观察：（1）3和5的最大公因数是；1所以最大公因数是2，最小公倍数是180；归纳总结：1、三个数的最大公因数要找三个数的公有的素因数，如果其中的两个商还有素因数，也不要往下除；2、最小公倍数的计算要把三个数的公有素因数和独有素因数都要找全，最后除到两两互素为止。
数的整除之四大判断法综合运用竞赛集训题
千里之行，始于足下。
数的整除之四大判断法综合运用数的整除之四大判断法2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除判断7、11、13整除特征的主意⑴倘若该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，倘若差是7或11或13的倍数，这个数也能被7或11或13整除；⑶从末三位开始，三位为一段，倘若奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数也能被7或11或13整除。
异常的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
【例 1】将天然数N接写在随意一个天然数的右面，倘若得到的新整数能被N整除，那么称N为“魔术数”。
问小于1996的天然数中有多少个魔术数？第 1 页/共 3 页朽木易折，金石可镂。
【例 2】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【例 3】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满意A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除。
则ABCDEF的最小值是，最大值是。
〖答案〗【例 1】14个【例 2】共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819千里之行，始于足下。
【例 3】210769，840736第 3 页/共 3 页。
整除的性质
数的整除性质能被2整除：个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除。
能被3整除：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。
能被4整除：个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除。
能被5整除：个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除。
能被6整除：如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。
能被7整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数余类推。
能被8整除: 百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除。
能被9整除: 各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。
能被10整除: 如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
能被11整除: “奇偶位差法”奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除: 若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
能被13整除: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数则原数能被17整除。
数的整除之四大判断法综合运用一教师版
---数的整除之四大判断法综合运用(一）.教师版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质;2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被２或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被４或2５整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或１25整除，这个数就能被８或1２5整除;2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被９整除，这个数就能被９整除；３．如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被1１整除，那么这个数能被１1整除．4．如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、1１或1３整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是9９的倍数,这个数一定是9９的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立．)二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱ａ, c︱ｂ，那么c︱(a±b)．性质2 如果数ａ能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被ｃ整除．即如果ｂ∣a,c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出:性质3如果数ａ能被数b与数ｃ的积整除，那么ａ也能被ｂ或ｃ整除.即如果bｃ∣a，那么b∣a，c∣a.性质4如果数ａ能被数b整除,也能被数c整除，且数b和数c互质,那么a一定能被ｂ与c的乘积整除.即如果ｂ∣ａ，c∣ａ,且（b，c)=1,那么bc∣a．例如:如果3∣１2,4∣12,且(3,4)=1，那么（３×4) ∣1２．性质5 如果数a能被数b整除，那么ａm也能被bm整除.如果b|a,那么bｍ|am(m为非0整数)；性质6如果数a能被数ｂ整除,且数c能被数d整除,那么aｃ也能被bd整除．如果ｂ｜a，且ｄ|c，那么ｂd｜aｃ;例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□,要使这个连乘积的最后４个数字都是０,那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【解析】积的最后4个数字都是0,说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5.9755539=⨯，=⨯⨯,9355187 97222243=⨯⨯,共有3个5,２个2，所以方框内至少是22520⨯⨯=．【答案】22520⨯⨯=【例 2】从５0到100的这５1个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?【考点】整除之２、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】首先，50、60、7０、80、９０、100中共有７个0．其次，55、6５、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0,而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0,所以一共有742114+++=个0．【答案】14个连续的0【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?【考点】整除之2、５系列【难度】4星【题型】解答【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对２和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数,而相邻5个数中才有一个５的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．551=⨯，……,=⨯，3056=⨯，1553=⨯，2555=⨯，2054=⨯,1052发现只有25、50、75、10０、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11213+=个因数5，所以至少应当写到55。
小学高级奥数第34讲-整除问题综合
<作业7> 1a87a2 是2008的倍数。则 a=？
课后作业
精讲4
整除判断方法
能被11整除
奇数位上的数字和与偶 数位上的数字和的差能 被11整除。
能被7、11、 13整除
末三位上数字所组成的数 与末三位以前的数字所组 成的数之差能被7、11、 13整除。
975 935 972 □，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最
小应填什么数？
11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数 的平均数是多少？
1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________ 。
一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数 的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这 两个4位数的和到底是多少?
8ab8ab8ab8ab8ab 是77的倍数，则 ab 最大为多少？
在六位数11 □□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整
除，那么方框中的两位数是多少?
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么， 这个6位数除以667的结果是多少？
若 4b 2c d 32 ，试问 abcd 能否被8整除?请说明理由。
甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031。如果 甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________。
这个“两头蛇数”是
。（写出所有可能）
学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个 数字的和，所得结果就是我的年龄。”老师今年 岁。
预初作业-数的整除综合
张江集团学校2014学年第一学期预初数学作业（3）班级 学号 姓名 成绩一、判断题1．24和36相同的素因数是2，3。
（ ）2．如果c b a c b a , ,( =⨯都是正整数），那么c 一定是a 和b 的最小公倍数（ ） 3．两个数的最大公因数一定能被这两个数整除……（ ） 4．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数（ ） 5．互素的两个数没有最大公因数….（ ） 二、填空题6．在数5，9，11，21，51，31，67，91中，素数有 . 7．84分解素因数是 。
8．两个数的最大公因数是1，最小公倍数是34，则这两个数是 . 9．一个数被2除余1，被3除余2，被5除余4，则这个数最小是_____________.10. 100以内， 和 既是素数，又是互素的两个相邻的自然数．11．n m ,和p 都是自然数，且12 ,2=÷=÷n m p n ，那么 ,n m 和p 的最大公因数是 ． 12．一个数的最小倍数是49，则这个数的所有因数有 ； 所有素因数有：13．能同时整除 2，3，5的最小正整数是 .14. a,b 都是自然数，5a b =⨯,那么a,b 的最大公因数是 ；最小公倍数是 . 15．m 是n 的倍数，且360m n ⨯=,m 和n 的最大公因数是6，则m= , n= . 16. 如果一个两位数不能被 整除，那么这个两位数一定是素数.17.已知2335A =⨯⨯⨯,223B =⨯⨯,那么A 和B 的最大公因数是 ，最小公倍数是 . 18．已知n A ⨯⨯=53，n B ⨯⨯=73的最小公倍数是210，则_______=n ，A 和B 的最大公因数是 ． 19．数a 和b 是两个相邻的自然数，且都是合数，那么它们的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．20．任何一个两位数顺次写三遍，所得的六位数一定能被_____________这些不同的素因数整除. 21.规定一种新运算，对于一个合数n,（n ）表示不是n 的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5，那么（60）+（84）= . 22.一筐苹果，一次拿2个，一次拿3个，一次拿4个，一次拿5个，都正好剩余1个，这筐苹果最少应有 个． 三、选择题：23．下列说法正确的是……………………………………………( ) (A) 最小的素数是1； (B) 自然数和负整数统称为整数；(C) 因为2.6 1.32÷=,所以2.6能被1.3整除； (D) 16的因数有2，4，8，16。
333 数的整除综合【学生版】
数的整除综合知识定位本讲主要是对数做进一步的认识，要求在小学对整数的运算基础上，进一步了解素数、合数、整除、分解素因数等基本概念。
另外，需要我们主要能被2,3,5整除的各个数的特征，这在今后的学习中都会得到非常重要的运用。
还有分解素因数除了在找几个数的最大公因数和最小公倍数得4也是到运用意外，在处理不能整除的余数相同问题时，优势也是非常明显的。
这些结题技巧和想法，对启迪我们今后的学习，意义重大。
知识梳理知识梳理1.整数和整除定义1.零和整数统称为自然数.正整数、零、负数，统称为整数.2.整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.【注】整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零.知识梳理2.因数、倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a因数.【注】因数和倍数是相互依存的.知识梳理3.特殊的整除1.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.奇数：1,3,5,7,9，11,13…偶数：2,4,6,8,10,12,14…2.个位上时0或者5的整数都能被5整除3.补充：能被3 整除的数：各个数位的和是3的倍数.知识梳理4.素数、合数的定义、分解素因数素数、合数1、素数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）。
2、合数：一个数除了1和它本身，还有别的数，这个数叫做合数。
3、按照一个数的因数的个数分类，正整数可以分三类：素数 1 合数分解素因数1、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数2、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
3、分解素因数的方法：（1）数枝分解法（2）用短除法分解素因数．用短除法分解素因数的步骤：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始．．．．．．）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序．．．．．．．．写成连乘的形式；4．最后别忘了检验一下每个因数．．．。
第8讲数的整除的综合运用(一)
【大海传功】数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位能否被4或25整除是看末两位能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数 这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】(★★★)要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】(★★★)某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★★)在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】(★★)从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？数的整除的综合运用（一）【例6】(★★★)下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A的末尾共有多少个0？【例7】(★★★★)右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
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第十三讲 数的整除综合
一、填空
（1）用12个边长是1cm 的小正方形摆一个长方形，你会几种摆法？
①可以摆成长是 厘米，宽是 厘米的长方形，即 × ＝12。
②也可以摆成长是 厘米，宽是 厘米的长方形，即 × ＝12。
③还可以摆成长是 厘米，宽是 厘米的长方形，即 × ＝12。
以上所填的都是12的 ，12是这些数的 。
（2）如果a ×b ＝c (a 、b 、c 是不为0的整数)，那么，c 是 和 的倍数，
a 和
b 是
c 的 如果A 、B 是两个整数（B ≠0），且A ÷B ＝2，那么A 是B 的 ，B 是A 的 。
（3）在1、6、7、12、14、49这六个数中，是7的倍数的数有
（4）12的因数有 ，4的倍数有： (从 小到大写5个)，一个数的倍数的个数是
（5）在1，2，3，6，9，12，15，24中，6的因数有 ，6的倍数有
（6）一个数，它的倍数的个数是 ，其中最小的一个因数是 ，最大的一个因数是 。
（7）6的因数有 ，6的倍数有 （写5个），
6既是6的 ，又是6的 。
二、判断 （1）一个数的因数的个数是无限的，而倍数的个数是有限的 （2）因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数 （3）14比12大，所以14的因数比12的因数多 （4）1是1，2，3，4，5… 的因数 （5）一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
（6）一个数的最小倍数是它本身
（7）12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。
（ ） 三、选择题
（1）属于因数和倍数关系的等式是（ ）
A 、2×0.25＝0.5
B 、2×25＝50
C 、2×0＝0
（2）下列各数中，不是12的倍数的数是（ ）
A 、12
B 、24
C 、38
D 、48
（3）下面各数中，不是60的因数的数是（ ）
A 、15
B 、12
C 、60
D 、24
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
四、把下列各数填入相应的椭圆中。
4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36
五、猜电话号码
0592－A B C D E F G
提示：A ——5的最小倍数 B ——最小的自然数 C ——5的最大因数 D ——它既是4的倍数，又是4的因数
E ——它的所有因数是1，2，3，6
F ——它的所有因数是1， 3
G ——它只有一个因数
这个号码就是
六、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是多少?
七、一个数是18的倍数，它又是18的因数，问这个数是多少?
八、（1）一个数是48的因数，这个数可能是
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个可能是
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是多少?
九、新图书馆开馆了，小红每隔3天去图书馆一次，小灵每隔4天去一次，请问小红和小灵某天在图书馆相遇后，请问经过多少天她们有可能会在图书馆再次相遇?
十. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数?
1、13、24、29、41、57、63、79、87
合数有：
质数有：
十一. 分解质因数。
65 56 94 76 135 105 87 93
十二. 两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？
十三. 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少?
十四. 用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是几?最大是几?
十五. 判断：
（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。
（）
（2）偶数都是合数，奇数都是质数。
（）
（3）7的倍数都是合数。
（）
（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。
（）
（5）只有两个约数的数，一定是质数。
（）
（6）两个质数的积，一定是质数。
（）
（7）2是偶数也是合数。
（）
（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。
（）
（9）除2以外，所有的偶数都是合数。
（）
（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。
（）
十六.思考题.
1.有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。
每段最长是多少米？一共可以截多少段？
2.一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？
3.一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。
这个班共有多少人？
4.一筐苹果5个5个地数，8个8个地数，10个10个地数，都正好数完，没有余下的。
这筐苹果最少是多少个？
5.甲、乙、丙三班同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要有多少条船？
6.有若干名学生上体育课，内容是学习篮球、排球和足球。
规定每二人合用一只排球，每三人合用一只足球，每四人合用一只篮球，共用了26只球。
问有多少名学生?。