高中数学必修一对数函数

高中数学必修一对数函数卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 若对数式log（t−2）3有意义，则实数t的取值范围是（）$A.[2, +∞)B.(2, 3)∪(3, +∞)C.(−∞, 2)D.(2, +∞)2. 函数t(t)=log t(t2−tt)(t>0, t≠1)在[2, 3]为增函数，则t的取值范围是（）A.(1, +∞)B.(0, 1)C.(0, 1)∪(1, 2)D.(1, 2)#3. 已知2t=3t，则tt=()A.lg2lg3B.lg3lg2C.lg23D.lg324. 若log t(2t−1)>log t(t−1)，则有（）A.0<t<1，t>0B.0<t<1，t>1C.t>1，t>0D.t>1，t>1—5. 对数式log t t=t化为指数式为（）A.t t=tB.t t=tC.t t=tD.t t=t6. 已知函数t(t)=log2(t2−2t−3)，则使t(t)为减函数的区间是（）]A.(−∞, −1)B.(−1, 0)C.(1, 2)D.(−3, −1)7. 对数式log（t−2）(5−t)中实数t的取值范围是()A.(−∞, 5)B.(2, 5)C.(2, 3)∪(3, 5)D.(2,+∞).8. 已知函数t(t)=log t 1−ttt−1(t>0，且t≠1)在其定义域上是奇函数，则t=()A.1−32B.−1 C.−23D.−329. 设t>0，则lg100t−lg t100()A.1B.2C.3D.4]10. 三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为( )A.0.76<log0.76<60.7B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.711. 已知t(t)=log2t，函数t=t(t)是它的反函数，则函数t=t(1−t)的大致图象是．（）@A. B.C. D.12. 据资料显示，可观测宇宙中普通物质的原子总数t≈1080，某两状态空间复杂度的上限分别为t= 1016，t=2480，则（参考数据：lg2≈0.3)()A.tt=12t B.tt=2t C.tt=t2 D.tt=√t卷II（非选择题）￥二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分，）13. 若3t=2，t=log23，则tt=________，2t+2−t=________.14. 比较大小：212_______log32(填">"或"<").]15. 对数函数t(t)的图象经过点(14, 2)，则t(t)=________．16. 完成下列空格：；17. 函数t(t)=log12(−t2+4t−3)的定义域为________．18. 设函数t(t)、t(t)的定义域分别为t，t，且t⊆t，若对任意的t∈t，都有t(t)=t(t)，则称t(t)是t(t)的“拓展函数”．已知函数t(t)=13log2t，若t(t)是t(t)的“拓展函数”，且t(t)是偶函数，则符合条件的一个t(t)的解析式是________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分，）、19. 函数t=1tt t t在t∈[1, 16]的最大值比最小值大4，求t的值．20. 设t(t)=(log2t)2−2t log2t+t(t>0)．当t=1时，t(t)有最小值−1．4：(1)求t与t的值；(2)求满足t(t)<0的t的取值范围．<21. （1）求值：lg2⋅lg50+lg5⋅lg20−lg100⋅lg5⋅lg2； 21.（2）已知log73=t，log74=t，求log4948．22. 设t>0且t≠1，函数t(t)=log t(t−2t)+log t(t−3t)的定义域为[t+3, t+4]．（1）讨论函数t(t)的单凋性；（2）若t(t)≤1恒成立，求实数t的取值范围．)23. 已知函数t(t)=log4(tt2+2t+3)．(1)若t(t)的定义域为t，求实数t的取值范围；￥(2)若t(1)=1，求函数t(t)的单调区间；(3)是否存在实数t，使得函数t(t)的最小值为0若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．高中数学必修一对数函数参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【考点】 ·对数及其运算 【解答】解：要使对数式log （t −2）3有意义，须{t −2>0t −2≠1；解得t >2且t ≠3，∴ 实数t 的取值范围是(2, 3)∪(3, +∞)． 故选：t ．2. 【考点】 "对数函数的单调性与特殊点 【解答】解：t 2−tt 的对称轴为t =t 2，由题意可得，当t >1时，t2≤2，且4−2t >0，∴ 1<t <2． 当1>t >0时，t 2≥3，且9−3t >0，故t 无解． 综上，1<t <2， 故选 t ． 3. 【考点】 {换底公式的应用指数式与对数式的互化 【解答】解：2t =3t ，可得t lg 2=t lg 3， ∴ t t =lg 3lg 2． 故选：t ． 4.|对数函数的单调性与特殊点 【解答】解：当t >1时，由log t (2t −1)>log t (t −1)，可得{2t −1>t −1t −1>0，求得t >1；当0<t <1时，由log t (2t −1)>log t (t −1)，可得{2t −1<t −12t −1>0，求得t 无解．故选：t ． 5.~【考点】指数式与对数式的互化 【解答】解：对数式log t t =t 化为指数式为：t t =t ， 故选t .】6.【考点】对数函数的单调区间 【解答】解：由t 2−2t −3>0解得，t >3或t <−1， 则函数的定义域是(−∞, −1)∪(3, +∞)，令t =t 2−2t −3=(t −1)2−4，即函数t 在(−∞, −1)是减函数，在(3, +∞)是增函数， ∵ 函数t =log 2t 在定义域上是增函数， ∴ 函数t (t )的减区间是(−∞, −1)． 故选t ． [ 7.【考点】对数函数的定义 【解答】解：由log （t −2）(5−t )可得{5−t >0,t −2>0,t −2≠1, 解得 {t <5,t >2,t ≠3,即实数t 的取值范围是2<t <3或3<t <5,/8.【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解答】解：∵ 函数t(t)=log t 1−ttt−1(t>0，且t≠1)在其定义域上是奇函数，∴ t(−t)+t(t)=0，即log t 1+tt−t−1+log t 1−ttt−1=0∴ 1+tt−t−1×1−ttt−1=1∴ 1−t2t2=1−t2∴ t2=1∴ t=±1当t=1时，1−ttt−1=−1，不合题意；当t=−1时，t(t)=log t 1+tt−1，符合题意故选t．"9.【考点】对数的运算性质【解答】解：∵ t>0，∴ lg100t−lg t100=lg100+lg t−lg t+lg100=2lg100=4．故选t．！10.【考点】指数函数与对数函数的关系【解答】解：由对数函数t=log0.7t的图象和性质,可知：log0.76<0.由指数函数t=0.7t，t=6t的图象和性质,可知0<0.76<1，60.7>1.∴ log0.76<0.76<60.7.故选t.@11.【考点】对数函数的图象与性质解：由于函数t=t(t)是t(t)=log2t的反函数，故t(t)=2t，可得t(1−t)=21−t，故选t．;12.【考点】对数及其运算【解答】解：由恒等式10lg2=2可得，tt=1016×2480=1016×(10lg2)480=1016×(100.3)480=10160=t2 .故选t.^二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）13.【考点】换底公式的应用指数式与对数式的互化，【解答】解：由题意得t=log32，t=log23，tt=log32⋅log23=1，2t+2−t=2log23+12log23=3+13=103.故答案为：1，103.14.【考点】指数式、对数式的综合比较，【解答】解：212=√2.1<√2<2. log32<1,故212>log32.故答案为：>.15.【考点】对数函数的定义 。

【解答】解：设数函数t (t )=ttt t t (t >0且t ≠1), ∵ 图象经过点(14, 2)， ∴ ttt t 14=2, 得t =12,∴ t (t )=ttt 12t ,故答案为ttt 12t .16. 【考点】 反函数 … 【解答】解：①由t =3t 解得t =13t ，再将t 与t 互换即可得出反函数t =13t ．可知定义域与值域都为t ． ②由t =2t3t −1解得t =t3t −2，再将t 与t 互换即可得出原函数t =t3t −2．可知定义域与值域分别为反函数的值域与定义域．故答案为如下表格：17.【考点】对数函数的定义域 【解答】解：由函数t (t )=log 12(−t 2+4t −3)可得−t 2+4t −3>0，即 t 2−4t +3<0，解得 1<t <3， 故答案为 (1, 3)． 18. 【考点】求对数函数解析式【解答】解：t(t)=13log2t的定义域t=(0, +∞)，t(t)=13log2|t|的定义域t=(−∞, 0)∪(0, +∞)，满足t⊆t，又当t>0时，t(t)=13log2|t|=13log2t=t(t)，故t(t)=13log2|t|是t(t)的“拓展函数”，故答案为：t(t)=13log2|t|．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）19.【考点】对数函数的值域与最值【解答】解：当t>1时，t=log t t在[1, 16]上最大值为log t16，最小值为log t1，由log t16=4log t2=4，得t=2；当0<t<1时，t=log t t在[1, 16]上最大值为log t1，最小值为log t16，由log t16=4log t2=−4，得t=12．所以t的值为12或2．20.【考点】对数函数的单调区间对数及其运算【解答】解：(1)t(t)=(log2t)2−2t log2t+t=(log2t−t)2+t−t2(t>0)，当t=14时，t(t)有最小值−1，∴ {log214=tt−t2=−1，解得：{t=−2t=3；(2)由(1)得：t(t)=(log2t)2+4log2t+3，t(t)<0即(log2t+3)(log2t+1)<0，解得：18<t<12．21.【考点】对数的运算性质解：（1）原式=lg 2⋅(lg 5+1)+lg 5⋅(lg 2+1)−2⋅lg 5⋅lg 2 =lg 2+lg 5=1（2）∵ log 73=t ，log 74=t ，∴ log 4948=12log 7(3×16)=12(log 73+log 716)=12(log 73+2log 74) =12(t +2t )22.【考点】对数函数的图象与性质【解答】解：（1）∵ 设t >0且t ≠1，函数t (t )=log t (t −2t )+log t (t −3t ) ∴ t >2t ，且t >3t ，即t >3t ，∵ 定义域为[t +3, t +4]．∴ t +3>3t ， t <32，当1<t <32时，函数t (t )=log t (t −2t )+log t (t −3t )单调递增， 当0<t <1时，函数t (t )=log t (t −2t )+log t (t −3t )单调递减（1）∵ t (t )≤1恒成立 ∴ {1<t <32t (t +4)≤1①或{0<t <1t (t +3)≤1② 即{1<t <32(4−t )(4−2t )≤t①或{0<t <1(3−t )(3−2t )≥t ② 13−√414<t <13+√414， ∵ 13−√414>32∴ ①无解；∵ (3−t )(3−2t )≥t 即t ≥5+√72或t ≤5−√72∴ ②的解集为：0<t <1综上：实数t 的取值范围0<t <123.【考点】对数函数图象与性质的综合应用解：(1)因为t(t)的定义域为t，所以tt2+2t+3>0对任意t∈t恒成立，显然t=0时不合题意，从而必有{t>0△=4−12t<0，解得t>13，即t的取值范围是(13, +∞)．(2)因为t(1)=1，所以log4(t+5)=1，因此t+5=4，t=−1，这时t(t)=log4(−t2+2t+3)．由−t2+2t+3>0得−1<t<3，即函数定义域为(−1, 3)．令t(t)=−t2+2t+3．则t(t)在(−1, 1)上单调递增，在(1, 3)上单调递减，又t=log4t在(0, +∞)上单调递增，所以t(t)的单调递增区间是(−1, 1)，单调递减区间是(1, 3)．(3)假设存在实数t使t(t)的最小值为0，则t(t)=tt2+2t+3应有最小值1，因此应有{t>03t−1t=1，解得t=12．故存在实数t=12，使t(t)的最小值为0．。