轴向拉压时斜截面上的应力

二向应力状态下的强度理论
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应力状态概念
单元体
– 围绕某研究点所截取的一个微小六面体，其三个对应 面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。 – 主平面 • 切应力等于零的平面 – 主应力 • 主平面上对应力的正应力； σ1＞ σ2＞ σ3; 应力状态 单向应力状态

三个主平面上只有一对 主应力不等于零。
二向应力状态 三向应力状态
二向应力状态下的强度理论
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广义胡克定律
胡克定律
– 当正应力不超过某一极限值时： σ=Eε; ε’= -νε；
ห้องสมุดไป่ตู้广义胡克定律
– 设三向应力状态下主应力σ1方向的伸长应变ε1’；主应力σ2 、σ3引起 σ1方向的应变为ε1’’ 、ε1’’’，结合上式并利用叠加原理则有： ε1=[σ1ν(σ2 +σ3)]/E；即：
的许用应力
实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料 沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或 三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
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第二强度理论
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
– 这一理论认为，最大伸长线应变ε1达到单向拉伸的极 限值ε1jx ，材料就发生脆性断裂；即： ε1=ε1jx ；或： σ1-ν（ σ2 + σ3 ）/E = σb/E； – 引入安全系数：其强度设计准则为： σr2= σ1-ν（ σ2 + σ3 ） ≤[σ] 式中： σr2 为第二强度理论的相当应力。 – 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等
强度理论的适用范围
在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是 塑性材料，都会发生断裂，应采用最大拉应 力理论，即第一强度理论。 在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是 塑性材料，都会屈服破坏裂，适于采用形状 改变比能理论或最大切应力理论，即第四或 第三强度理论。 一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强 度理论。 一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强 度理论。
τmax ＝ (σ1－σ3)/2;τs=σs/2
其强度设计准则为： σr3 =σ1－ σ3≤[σ] 式中： σr3 称为按第三强度理论计算的相当应力 – 实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出现塑 性变形的现象。但是，由于没有考虑σ2的影响，故按
这一理论设计构件偏于安全。
二向应力状态下的强度理论
强度理论－第一强度理论
强度理论
– 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
第一强度理论（最大拉应力理论）★★★★

只要有一个主应力的值达到单向拉伸时σ b，材料就发生屈服； 即： σ1＝ σ b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件 为：

σr1＝ σ1≤[σ]， 式中： σr1称为第一强度理论的相当应力； [σ]为单向拉伸时
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第四强度理论
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服 破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态 下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时 的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
图2
图3
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斜截面上应力公式
即斜截面上应力公式为：
正应力公式为： cos
2

2
(1 cos 2 ) 2
切应力公式为： cos sin sin 2
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轴向拉压时斜截面上的应力
轴向拉压横截面正应力计算 公式 – σ=F/A
对于和横截面有夹角的斜截面，
图1
其面积之间有关系式 A=Aαcosα 如图2：pα=F/ Aα=σcosα

将pα向斜截面法向和切 向分解，可得到： σα=pαcosα τα=pαsinα 如图3所示
r4
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2


式中： σr4是按第四强度理论计算的相当应力。
– 实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验
结果，因此在工程中得到广泛的应用。
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二向应力状态斜截面上的应力
如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
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脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。 但是，其实验结果只和很少材料吻合，因此已经很少 使用。
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第三强度理论－最大切应力理论
第三强度理论（最大切应力理论）★★★★
– 材料无论处在什么应力状态下，只要最大切应力τmax达 到了单向拉伸时切应力屈服极限τs (= σs /2)；材料就出现 屈服破坏，即：
1 1 [ 1 ( 2 3 )]； E 1 2 [ 2 ( 3 1 )]; E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
这就是广义胡克定律
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由以上公式可以看出： 在横截面上，即α=00 时 σα=σmax=σ；τ=0
当α=450 时：
•对于如铸铁这种脆性材料，
其抗拉能力比抗剪能力差， 故而先被拉断
•对于低碳钢这种塑性材料，
σα=σ/2；τα=τmax=σ/2
其抗拉能力比抗剪能力强， 故而先被剪断；而铸铁压缩 时，也是剪断破坏。