清华大学2006数学分析真题参考答案

清华大学2006数学分析真题参考答案

1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤g g g 则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-g g g （n=2,3,….）

那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，

{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有

n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-

1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-

2．证：（反证法）

（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和

3()f x 。

(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在

412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。

(ii)

()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得

51()()f x f x =，也得到矛盾。

(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。由介值定理，存在

412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。 ∴f(x)在I 必严格单调。

3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。 由罗尔定理，存在12(,)c x x ∈，使()0f c '= （1）

因为()0f x ≥，从而为()f x 极小值点，由费马定理 12()()0f x f x ''∴== （2） 由（1），（2）对()f x '在1[,]x c 和2[,]c x 用罗尔定理，则存在3144(,),(,),x x c x c x ∈∈ 使34()()0f x f x ''''==。再一次对()f x ''在34[,]x x 上应用罗尔定理，

34[,](,)x x a b ξ∃∈⊆，使(3)()0f ξ=。

4．证：令t=a+b-x,则

()()()b

b b

a

a

a

f x dx f a b t dt f a b x dx =+-=+-⎰

⎰⎰。对6

a π

=

，

3

b π

=

用前一部分结果，有 原式

33

2

3

66

6

sin 111

1211

3[]ln ln 2(2)2(2)22226

x dx dx dx x x x x x x x π

ππ

πππ

π

ππππ

πππππ

===

+==----⎰⎰⎰

5．解：令x n =1y n =+e

小⇔比较ln x xy

x 与ln y xy y 的大小⇔比较ln x x

与ln y y 的大小。

故考察函数ln ()(0)x f x x x =

> ，2

1ln ()x

f x x -'=

当x e >时，()0f x '<，从而e x y ≤<时，()()f x f y >则 ln ln (

)()x y

xy xy x y

> ()e x y ≤< 从而ln ln y x

x y e

e > 即当e x y ≤<时，y x x y > ，8n >时1e n n <+1

()

(1)n n n n +∴>+6．证：由条件lim ()0x f x →+∞

=，对任给的0ε>，存在0A >，使当x A ≥时，()f x ε<，故

对

一

切

t A

>，有

0001111()

0()()()()t A t A A t A f x dx f x dx f x dx f x dx t t t t t ε-≤≤+≤+⎰⎰⎰⎰于是对

1

0,0lim

()x f x dx t

εε→+∞∀<≤≤，原式得证。

7．证：0x >时

21

[]xy Ax Ax A

x e dy xe Axe A

+∞---==

⎰

()(0)t f t te t -=≥Q ，最大值1(1)e f -=，故211

0xy

A

x e

dy e A +∞

--≤≤⎰

，20

sup

0()xy A

x x e dy A +∞->>→+∞⎰

因此反常积分在0x >上一致收敛。

8．证：在z u =平面上，将圆2221

x y z z u ⎧++=⎨=⎩

表示成参数就是