山东省菏泽一中2019-2020学年高三3月线上模拟考试试题
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平面 平面 ， 平面
平面 ，又 平面 ， .
又 ， ， ， ，
， ，
.
的中点 就是三棱锥 的外接球的球心，球的半径为 ，
表面积是 ，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力,考查立体几何中的平行、垂直的判定定理和性质定理，考查余弦定理，属于难题.
13．
【解析】
8．C
【解析】
【分析】
【详解】
当P是椭圆的上下顶点时, 最大, 则椭圆的离心率 的取值范围为 ,故选C.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系,考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.
从箱子中一次摸出 个球共有 种情况；颜色相同的共有 种情况
摸到的球颜色相同的概率
故选：
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
判断函数为偶函数，取特殊点 ，判断得到答案.
【详解】
，且 ，函数为偶函数
故选：D
【点睛】
本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
故选:
【点睛】
本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.
11．AC
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题.
【详解】
因为该函数是奇函数，故 在R上的解析式为：
绘制该函数的图像如下所示：
对A：如图所示直线 与该函数有7个交点，故A正确；
A． B． C． D．
11．已知定义域为R的奇函数 ，满足 ，下列叙述正确的是（）
A．存在实数k，使关于x的方程 有7个不相等的实数根
B．当 时，恒有
C．若当 时， 的最小值为1，则
D．若关于 的方程 和 的所有实数根之和为零，则
12．如图，矩形 ， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连接 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）
在 中，由余弦定理得：
是定值， 是定值，故 正确；
对于C，如图 所示
，即 ，设 为 中点，连接 ，则
若 ，由于 ，且 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，则 ，
由于 ，故 不成立，故 不正确；
对于D，根据题意知，只有当平面 平面 时，
三棱锥 的体积最大，取 的中点为 ， 为 中点，
连接 ，如图
， ， 平面 平面
本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型.
18．（1）证明见解析（2） ；
【解析】
【分析】
（1）两式相加得到 ，两式相减得到 ，得到证明.
（2）计算 ， ，解不等式得到答案.
【详解】
（1）由 和 相加得：
所以 ，因此数列 是以2为公差的等差数列
（1）求 的值；
（2）现用Байду номын сангаас层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？
（3）已知 ，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.
21．已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 两点，且 .
（1）求抛物线的方程;
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求 的值.
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：
下列叙述正确的是（）
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
10．已知 ， ，下列不等式成立的是（）
2．C
【解析】
【分析】
先求得 ,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可
【详解】
解: ,
,
由 为实数,则 ,即 ,
故选:C
【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用
3．A
【解析】
【分析】
直接根据频率和为1计算得到答案.
【详解】
设第七组的频率为 ，
则 ，故 .
故第七组的频数为： .
故选： .
（2）记数列 的前n项和为 ，求 及使得 的n的取值范围.
19．如图，在三棱台 中， ，G，H分别为 ， 上的点，平面 平面 ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的大小.
20．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .
山东省菏泽一中2019-2020学年高三3月线上模拟考试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．集合 ， ，则 为( )
A． B． C． D．
2．设复数 ，若 为实数，则 （）
A．1B． C．1或 D．2
3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（）
【详解】
对于A，取 的中点为 ，连接 ，设 ，如图 所示
则 平面 平面 ， 平面 .
四边形 是平行四边形， ，同理可证 平面 .
又 ，且 平面 ， 平面 平面 .
平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
.
如果 ，则 ，由于 ，则 ，
由于三线 共面且共点，这是不可能的，故 不正确；
对于B，如图 ，由等角定理可得 ，又 ，
16．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，点 的坐标为 ， 为 的角平分线，则 _______
17． 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
（1）求角C；
（2）延长线段 到点D，使 ，求 周长的取值范围．
18．已知数列 ， 满足： ， ， ， ， .
（1）证明：数列 为等差数列，数列 为等比数列；
22．已知函数 ，且 在 处切线垂直于 轴．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最小值；
（3）若 恒成立，求满足条件的整数 的最大值．
（参考数据 ， ）
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，再计算 得到答案.
【详解】
， ，
故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
A．8B．10C．12D．16
4．设函数 的定义域为R，满足 ，且 则 （）
A． B． C． D．
5．在直角梯形 中， ， ， ， ， 是 的中点，则 （）
A． B． C． D．
6．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，若一次摸出2个球，则摸到的球颜色相同的概率是（）
A． B． C． D．
7．函数 的图象大致为（）
【详解】
不妨设A在双曲线的右支上,
∵ 为 的平分线，
∴ ，
又∵ ，解得 ，故答案为6.
【点睛】
本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题.
17．(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用余弦定理 化简整理再用角 的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.
由 和 相减得： ，
所以 ， ，因此数列 是以 为公比的等比数列
（2） ， ，两式相加得：
所以
因为 ，所以
又因为 ， ，
所以使得 的n的取值范围为 .
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19．（1）证明见解析（2）
A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中， 的长是定值
C．若 ，则 ；D．若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积是 .
13．函数 的图象在点 处的切线方程是_______________.
14．已知等比数列 的前n项和为 ， .若 ，则 ______.
15． 展开式的常数项为． （用数字作答）
12．BD
【解析】
【分析】
对于A，取 的中点为 ，连接 ，设 .通过证明平面 平面 ，得 .假设 ，得到 ， ，这是不可能的，故 不正确；对于B，在 中，由余弦定理得 是定值，故 是定值，故 正确；对于C，若 ，可证 平面 ，得到 ，此时 ，由于 ，故 不成立，故 不正确；对于D，只有当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，取 的中点为 ，证明 ，故 就是三棱锥 的外接球的球心，故D正确.
10．ACD
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性可判断 ；由作差法和不等式的性质可判断 ；可根据换底公式，取 ， ，运用对数函数单调性，可判断 ；运用作差法和不等式的性质，可判断 .
【详解】
由 ， ，可得 ，故 正确；
由 ， ， 可得 ， ，故 错误；
由 ， ， ， ，则 ，则 ，可得 ，故 正确；
由 ， ， 可得 ，故 正确.
(2)易得 的周长等于 ,再利用正弦定理将 用角 表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.
【详解】
解法一：（1）根据余弦定理得
整理得 ，
，
（2）依题意得 为等边三角形，所以 的周长等于
由正弦定理 ，
所以 ，
， ，
，
，
所以 的周长的取值范围是 ．
解法二：（1）根据正弦定理得
,
,
，
，
，
（2）同解法一
【点睛】
A． B．
C． D．
8．设椭圆 的两焦点为 ，若椭圆上存在点 ，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围为( ).
A． B． C． D．
9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
9．ABD
【解析】
【分析】
根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】
对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；
对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占 是正确的，
对B：当 时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如图直线 ，与函数图交于 ，
故当 的最小值为1时， ，故C正确；
对D： 时，若使得其与 的所有零点之和为0，
则 ，或 ，如图直线 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.
【分析】
借助求导公式求出 ,因为切线的斜率为 , 代入 求得切点,即可求出切线方程.
【详解】
，∴ 且 ，所以函数 的图象在 处的切线方程是 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易.
14．2；
【解析】
【分析】
根据等比数列公式化简得到 ， 得到答案.
【详解】
由数量积的几何意义可得： 的值为 与 在 方向投影的乘积，
又 在 方向的投影为 =2，
∴ ，同理 ，
∴ ，
故选D.
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.
6．C
【解析】
【分析】
利用组合数计算得到基本事件总数和颜色相同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】
【点睛】
本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.
4．B
【解析】
【分析】
取 ，代入 ，计算得到答案.
【详解】
.
故选： .
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
5．D
【解析】
【分析】
由数量积的几何意义可得 ， ，又由数量积的运算律可得
，代入可得结果.
【详解】
∵ ，
故B正确；
对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，
故C错误；
对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，
故上旬空气质量比中旬的要好.故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.
，故 ，即 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.
15．-160
【解析】
【分析】
【详解】
由 ，令 得 ，所以 展开式的常数项为 .
考点：二项式定理.
16．6
【解析】
【分析】
利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．
平面 ，又 平面 ， .
又 ， ， ， ，
， ，
.
的中点 就是三棱锥 的外接球的球心，球的半径为 ，
表面积是 ，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力,考查立体几何中的平行、垂直的判定定理和性质定理，考查余弦定理，属于难题.
13．
【解析】
8．C
【解析】
【分析】
【详解】
当P是椭圆的上下顶点时, 最大, 则椭圆的离心率 的取值范围为 ,故选C.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系,考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.
从箱子中一次摸出 个球共有 种情况；颜色相同的共有 种情况
摸到的球颜色相同的概率
故选：
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
判断函数为偶函数，取特殊点 ，判断得到答案.
【详解】
，且 ，函数为偶函数
故选：D
【点睛】
本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
故选:
【点睛】
本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.
11．AC
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题.
【详解】
因为该函数是奇函数，故 在R上的解析式为：
绘制该函数的图像如下所示：
对A：如图所示直线 与该函数有7个交点，故A正确；
A． B． C． D．
11．已知定义域为R的奇函数 ，满足 ，下列叙述正确的是（）
A．存在实数k，使关于x的方程 有7个不相等的实数根
B．当 时，恒有
C．若当 时， 的最小值为1，则
D．若关于 的方程 和 的所有实数根之和为零，则
12．如图，矩形 ， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连接 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）
在 中，由余弦定理得：
是定值， 是定值，故 正确；
对于C，如图 所示
，即 ，设 为 中点，连接 ，则
若 ，由于 ，且 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，则 ，
由于 ，故 不成立，故 不正确；
对于D，根据题意知，只有当平面 平面 时，
三棱锥 的体积最大，取 的中点为 ， 为 中点，
连接 ，如图
， ， 平面 平面
本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型.
18．（1）证明见解析（2） ；
【解析】
【分析】
（1）两式相加得到 ，两式相减得到 ，得到证明.
（2）计算 ， ，解不等式得到答案.
【详解】
（1）由 和 相加得：
所以 ，因此数列 是以2为公差的等差数列
（1）求 的值；
（2）现用Байду номын сангаас层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？
（3）已知 ，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.
21．已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 两点，且 .
（1）求抛物线的方程;
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求 的值.
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：
下列叙述正确的是（）
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
10．已知 ， ，下列不等式成立的是（）
2．C
【解析】
【分析】
先求得 ,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可
【详解】
解: ,
,
由 为实数,则 ,即 ,
故选:C
【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用
3．A
【解析】
【分析】
直接根据频率和为1计算得到答案.
【详解】
设第七组的频率为 ，
则 ，故 .
故第七组的频数为： .
故选： .
（2）记数列 的前n项和为 ，求 及使得 的n的取值范围.
19．如图，在三棱台 中， ，G，H分别为 ， 上的点，平面 平面 ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的大小.
20．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .
山东省菏泽一中2019-2020学年高三3月线上模拟考试试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．集合 ， ，则 为( )
A． B． C． D．
2．设复数 ，若 为实数，则 （）
A．1B． C．1或 D．2
3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（）
【详解】
对于A，取 的中点为 ，连接 ，设 ，如图 所示
则 平面 平面 ， 平面 .
四边形 是平行四边形， ，同理可证 平面 .
又 ，且 平面 ， 平面 平面 .
平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
.
如果 ，则 ，由于 ，则 ，
由于三线 共面且共点，这是不可能的，故 不正确；
对于B，如图 ，由等角定理可得 ，又 ，
16．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ，点 的坐标为 ， 为 的角平分线，则 _______
17． 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
（1）求角C；
（2）延长线段 到点D，使 ，求 周长的取值范围．
18．已知数列 ， 满足： ， ， ， ， .
（1）证明：数列 为等差数列，数列 为等比数列；
22．已知函数 ，且 在 处切线垂直于 轴．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最小值；
（3）若 恒成立，求满足条件的整数 的最大值．
（参考数据 ， ）
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，再计算 得到答案.
【详解】
， ，
故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
A．8B．10C．12D．16
4．设函数 的定义域为R，满足 ，且 则 （）
A． B． C． D．
5．在直角梯形 中， ， ， ， ， 是 的中点，则 （）
A． B． C． D．
6．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，若一次摸出2个球，则摸到的球颜色相同的概率是（）
A． B． C． D．
7．函数 的图象大致为（）
【详解】
不妨设A在双曲线的右支上,
∵ 为 的平分线，
∴ ，
又∵ ，解得 ，故答案为6.
【点睛】
本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题.
17．(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用余弦定理 化简整理再用角 的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.
由 和 相减得： ，
所以 ， ，因此数列 是以 为公比的等比数列
（2） ， ，两式相加得：
所以
因为 ，所以
又因为 ， ，
所以使得 的n的取值范围为 .
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19．（1）证明见解析（2）
A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中， 的长是定值
C．若 ，则 ；D．若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积是 .
13．函数 的图象在点 处的切线方程是_______________.
14．已知等比数列 的前n项和为 ， .若 ，则 ______.
15． 展开式的常数项为． （用数字作答）
12．BD
【解析】
【分析】
对于A，取 的中点为 ，连接 ，设 .通过证明平面 平面 ，得 .假设 ，得到 ， ，这是不可能的，故 不正确；对于B，在 中，由余弦定理得 是定值，故 是定值，故 正确；对于C，若 ，可证 平面 ，得到 ，此时 ，由于 ，故 不成立，故 不正确；对于D，只有当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，取 的中点为 ，证明 ，故 就是三棱锥 的外接球的球心，故D正确.
10．ACD
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性可判断 ；由作差法和不等式的性质可判断 ；可根据换底公式，取 ， ，运用对数函数单调性，可判断 ；运用作差法和不等式的性质，可判断 .
【详解】
由 ， ，可得 ，故 正确；
由 ， ， 可得 ， ，故 错误；
由 ， ， ， ，则 ，则 ，可得 ，故 正确；
由 ， ， 可得 ，故 正确.
(2)易得 的周长等于 ,再利用正弦定理将 用角 表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.
【详解】
解法一：（1）根据余弦定理得
整理得 ，
，
（2）依题意得 为等边三角形，所以 的周长等于
由正弦定理 ，
所以 ，
， ，
，
，
所以 的周长的取值范围是 ．
解法二：（1）根据正弦定理得
,
,
，
，
，
（2）同解法一
【点睛】
A． B．
C． D．
8．设椭圆 的两焦点为 ，若椭圆上存在点 ，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围为( ).
A． B． C． D．
9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
9．ABD
【解析】
【分析】
根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】
对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；
对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占 是正确的，
对B：当 时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如图直线 ，与函数图交于 ，
故当 的最小值为1时， ，故C正确；
对D： 时，若使得其与 的所有零点之和为0，
则 ，或 ，如图直线 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.
【分析】
借助求导公式求出 ,因为切线的斜率为 , 代入 求得切点,即可求出切线方程.
【详解】
，∴ 且 ，所以函数 的图象在 处的切线方程是 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易.
14．2；
【解析】
【分析】
根据等比数列公式化简得到 ， 得到答案.
【详解】
由数量积的几何意义可得： 的值为 与 在 方向投影的乘积，
又 在 方向的投影为 =2，
∴ ，同理 ，
∴ ，
故选D.
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.
6．C
【解析】
【分析】
利用组合数计算得到基本事件总数和颜色相同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】
【点睛】
本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.
4．B
【解析】
【分析】
取 ，代入 ，计算得到答案.
【详解】
.
故选： .
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
5．D
【解析】
【分析】
由数量积的几何意义可得 ， ，又由数量积的运算律可得
，代入可得结果.
【详解】
∵ ，
故B正确；
对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，
故C错误；
对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，
故上旬空气质量比中旬的要好.故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.
，故 ，即 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.
15．-160
【解析】
【分析】
【详解】
由 ，令 得 ，所以 展开式的常数项为 .
考点：二项式定理.
16．6
【解析】
【分析】
利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．