第8讲 初中几何经典模型：相似模型
2023年中考数学常见几何模型(全国通用版)：相似模型(解析版)
专题06相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。
“母子”模型（斜射影）双垂直（射影定理）“母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA .1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ，:1:2AC AB ，则ADC 与ACB △的周长比是（）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ，则可得12AC AD CD AB AC BC ，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC，∵12AC AB ，∴12AC AD CD AB AC BC ，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF 绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ．(1)如图1，若CE CF ，求证：DE DF ；(2)如图2，若CE CF ，求证：2CD CE CF ；(3)如图2，过D 作DG BC 于点G ，若2CD，CF DN的长．∵DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∴∠DGN =∠ECN =90°，∠当CD =2，CF =2时，由CD 在Rt △DCG 中，CG DG ∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC 3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（）A ．2B ．12C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，2,AB AD ADE B ．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG ，4．（2022.浙江中考模拟）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3， ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．∵△ABC 的面积＝12AB•CD ＝12AC•BC ，∴CD ＝AC BC AB ＝125．（3）存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由如下：在△BOC 中，∵∠COB ＝90°，BC ＝3，OC ＝125，∴OB ＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t ，解得t ＝98，即98BQ CP ，∴915388BP BC CP ．在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ ，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB ，∴335t t ，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ，即1581255PE ，∴PE ＝910．在△BPE中，2740BE ，∴92795408OE OB BE ，∴点P 的坐标为99(,810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．模型2.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC ，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC 所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABCS DE S BC ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在 ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4．(1)若8AB ，求线段AD 的长．(2)若ADE 的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB即可求出；（2）利用平行条件证明ADE EFC ∽ ，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S V 、ABC S ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S 求出．(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB ，∵DE 1BC 4 ，∴AD 1AB 4，∴118244AD AB ；(2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ，∴ADE EFC ∽ ∴2ADE EFC S DE S FC，∵DE 1BC 4，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE ，∴133DE DE FC DE ，∴221139ADE EFC S DE S FC ，∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4 ，∴2211416ADE ABC S DE S BC ，∵1ADE S △，∴9,16EFC ABC S S ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ，求证：DG EG ．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3 CG DE CD AE ，求DE BC的值．(3)如图3，在ABCD 中，45, ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ， EF EG 交BC 于点F ．若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG ，CG DE ，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，∴, DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF．∵BF CF ，∴DG EG ．(2)解：由（1）得DG EG ，∵CG DE ，∴6CE CD ．∵3AE ，∴9AC AE CE ．∵DE BC ∥，∴ADE ABC ．∴13DE AE BC AC ．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．在ABCD 中，,45 BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得 ME GE ，∵ EF EG ，∴10 FM FG ，∴ EFM EFG ．∵40 EGF ，∴40EMF ，∴50EFG ．∵FG 平分EFC ，∴50 EFG CFG ，∴18030 BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN 中，sin 305,cos30 MN FM FN FM ∵45, MBN MN BN ，∴5 BN MN ，∴5 BF BN FN 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：52DF DE ；(2)如图2，将EDF 绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB 时，求DN 的长．【答案】(1)见解析(2)2FN ，理由见解析(3)103【分析】（1）连接AF ，可得AF BC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DF AC根据中位线定理可得122DE BC ，即可得证；（2）证明DNF DME ∽，根据（1）的结论即可得FN；（3）连接AF ，过点C 作CH AB 于H ，证明AGD AHC ∽，可得125GD HC ，勾股定理求得,GE AG ，根据3tan 4AG ADG GD ，EMG ADG ，可得3tan 4EG EMG MG ，进而求得MG ，根据MD MG GD求得MD ，根据（2）的结论2DN DM，即可求解．(1)证明：如图，连接AF ，∵4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，122DE BC ，AF BC ， 12DF AC ， DF ，(2)2FN，理由如下，连接AF ，如图，∵4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，1,2EF AC CD EF DC∥， 四边形CDEF 是平行四边形，DEF C ，∵12DF AC DC ，DFC C ，DEF DFC ，180180DEF DFC ， DEM DFN ，∵将EDF 绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ， EDF PDQ ，FDN NDE EDM NDE ∵，FDN EDM ，DNF DME ∽，NF DF EM DE，FN ，(3)如图，连接AF ，过点C 作CH AB 于H ，Rt AFC △中，122FC BC ,4AF ，1122ABC S BC AF AB CH∵，5BC AF HC AB ，∵DP AB ，AGD AHC ∽，12GD AD HC AC，12GD HC Rt GED中，255GE Rt AGD中，355AG，3535tan 44AG ADG GD ，EF AD ∥∵，EMG ADG ，3tan 4EG EMGMG，4433515MG GE，1553MD MG GD，∵DNF DME ∽，DN DF DMDE103DN DM ．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．模型3.“X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X ”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】是5【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°，∴△ACG ≌△CFD ，∴∠CAG =∠FCD ，∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB ∵AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AE BD BE ，即23AE BE ，∴25AE BE ，∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求ANND 的值．【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；(2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AMBM BC，求出AN 的长，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BCBC BM，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．(1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ，∴AM BM ，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ，∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC，∴92342AN ，∴7162AN ，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ；(3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，∴CE BC BC BM ，∴344BM ，∴163BM ，∴162633AM AB BM ，由（2）同理得，AN AMBM BC，∴231643AN ，解得：AN ＝89，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣89＝289，∴8292879AN ND ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC ，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AOAD的值为______；(2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC，求OE 的长；②如图3，当60ACB 时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE ②见解析【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD 于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论．(1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ，即2DO AO ，133AO AO AD AO DO A AO O，故答案为：等腰三角形，13．(2)①过点E 作EF AD 于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ，∴30BAD ，∴在Rt ADB 中，2AD BD ， AB ，又∵2BD AC ，32AC，∴6,AD AB ∴132AH DH AD ，又Rt ADB ，∴EH又由（1）知13AO AD =，∴123AO AD ，则1OH ，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE ②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE 是等边三角形，∴ABD △绕点D 顺时针旋转60 后与ECD 重合，∴90ECD ABD ，又∵60BCD ACB ，∴30ACF FCB FBC ，∴2FC FB AF ，∴13AF AO AB AD ，又OAF DAB ，∴AOF ADB △∽△，∴90AFO ABD ，∴OF AB ．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CEFB DC EA．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD ，CE CDEA AG ，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AYXC ZA YB．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF ，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC ，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．代入∴YBX YAE YXB E ZCX ，；故可知△YBX ∽△YAE ，△ZCX ∽△课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE 和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE 和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出AO OBCO OD，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴AOCO＝OBOD，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵AO CO＝OB OD，∴OA OB＝OC OD，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P 作PG ⊥BC 于G ，∴∠BGP ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBG ，∴AB BC BP BG ，∴25159BG，∴BG ＝15925＝275＜BC ，∴点G 在线段BC （不包括端点）上，②过点P 作PG ''⊥AC 于G ''，∴∠AG ''P ＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△APG ''，∴AB AC AP AG ，∴252016AG，∴AG ''＝201625 ＝645＜AC ，∴点G ''在线段AC （不包括端点）上，③过点P 作PG '⊥AB ，交直线BC 与G '，交直线AC 于H ，∵∠APG '＝∠APH ＝90°＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△G 'BP ，∴AB BC BG BP ，∴25159BG ，∴BG '＝25915＝15＝BC ，∴点G '和点H 都和点C 重合（注：为了说明问题，有意将点G '和点H 没画在点C 处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC hV ，12DBC S BC h △．∴ABC DBC S S ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ，则ABC DBC S hS h△△．证明：∵ABCS (2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM△△．证明：过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，则90AEM DFM ，∴AE ∥．∴AEM △∽．∴AE AM DF DM．由【探究】（1）可知ABC DBC S S △△，∴ABC DBC S AM S DM△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC 于点M ，过点D 作DN BC 于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE V V ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM ，12DBC S BC DN ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h ∵，12DBC BC h S ，ABC DBC S h S h ．(2)证明：过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，则90AEM DFM，AE DF ∥．AEM DFM ．AE AM DF DM．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF V V ，ABC DBC S AM S DMV V ．(3)解：过点A 作AM BC 于点M ，过点D 作DN BC 于点N ，则90AME DNE，AM DN P ，AME DNE V V ，AM AE DN DE，∵点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ， 1.5DE ， 3.571.53AM DN ，又12ABC S BC AM ∵，12DBC S BC DN ，73ABC DBC S AM S DN V V ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，60BAC ，6AC ，AD 平分BAC ，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA ∽，根据相似性质即可求解；（2）先证明DF AG ，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ，60BAC ，∴30DAC ．在Rt ACD 中，90ACD ，30DAC ，6AC ，∴CD 在Rt ACB 中，90ACB ，60BAC ，6AC ，∴BC∴BD BC CD ．∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ．∴4DE．（2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM ．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DM AG AM ．∴DF AG ．∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ∴23EF DF ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN ∥OE ，∴△DMN ∽△DOE ，∴，∴，∴MN ＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S △ADE ，S △ABC 和a ，b ，c ，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 22ADE ABC S a S a b ．根据上述这两个式子，可以推出：22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ．（2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：ADE ABC S ac S a b c d ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABD ADC BD AH S BD S DC DC AH ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABC S S ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABC S S ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用：32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S ,根据题意，进而得出152ADE S ,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S．【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB ∽,∴a c c d a b，∴ 22()()ADE ABC S b a S c a c ac c d a b c d a d ；探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN a b,121()()2ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S 平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ,∵AM =DM ,MN AF ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12 S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC ，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2 OG GH ，若56OE OA ，求12S S值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，则9OB ON BN n ，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；。
最全相似模型专题(中考数学必考)
几何模型09——相似模型三角形相似是每一年中考必考的知识点，相似模型主要包括：“A”型和“X”型相似，母子模型相似（共边共角型），一线三等角，双垂直模型和旋转相似，中考命题者经常把这些模型放在圆，四边形，或函数图象当中，特别要留意母子模型相似的一种特殊情况：射影定理中的知二求四和一线三垂直（k型相似），下面对这些类型做如下总结：一、“A”型和“X”型相似例1.如图，在△ABC中，点D是AC上的点，且AD＝2CD，过D作DE∥BC交AB于E，过D作DF∥AB交BC于F．（1）若BC＝15，求线段DE的长．（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．变式1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．变式2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．变式3.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE＝12，BE＝9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．变式4.如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．变式5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN 交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．变式6.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；变式7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在CB上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为E．（1）求证：DE∥OA；（2）若AB＝10，tan∠DEO＝2，求⊙O的半径．例2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH 的边长．（相似比等于高之比）例3.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．求证：PA•PB＝PD•PC（割线定理）；变式1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．变式2.如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是的中点，连接DE ．（1）求证：△ABC 是等腰三角形．（2）若BC ＝10，CE ＝6，求线段AD 的长．变式3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连结EB ，OD ，DE ．（1）求证：OD ⊥EB ．（2）若DE ＝，AB ＝10，求AE 的长．例4.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ． 求证：2OE CO OD BO ==变式1.如图，AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，点E 、F 分别为AC 、BD 的中点，连接OE 、OF ，若∠A ＝∠D ，OA ＝OF ＝6，OD ＝9，求OE 的长．变式2.如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（相交弦定理）（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．变式3.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．例5.如图，过△ABC的边AC的中点D作直线交AB于E，交BC的延长线于F．求证：＝；（梅捏劳斯定理特殊情况）变式1.如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE．DE 交AC于点F，试证明：AB•DF＝BC•EF．变式2.如图，△ABC中，D为BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F．求证：＝．变式3.如图，△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AE＝AF．二、共边共角型相似例1.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．（1）求证：；（2）若AC＝2，BC＝4，设△ADC面积为S1，△ABD面积为S2，求证：S2＝3S1．变式1.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ACD＝∠B，若AC＝6，BC＝5，CD＝4，求AD，AB的长．变式2.如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC、AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．若CD＝1，BC＝2，求AD 的长度．例2.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG＝CG．（2）求证：AG2＝GE•GF．变式1.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2＝PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE＝2，EF＝6，求FB的长．例3.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（切割线模型）（1）求证：∠CAD＝∠BDC；（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．变式1.如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C 在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．若AB＝3P A，求的值．例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．（1）（射影定理）求证：AC2＝AD•AB；BC2＝BD•BA；CD2＝AD•BD；（2）若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD的长；（知二求四）（3）若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC的长；（知二求四）（4）求证：AC•BC＝AB•CD．（等面积法）变式1.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D．若CD＝4，BD＝3，求⊙O的半径长．（直径所对的圆周角为直角）变式2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F．已知：AB＝6，AC＝8，求AF的长．变式3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．例4.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）（3）若AB＝5CE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）变式1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．三、双垂直例1.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AF⊥DE，垂足为F，AD＝4，CE＝2，DE ＝2，求DF的长．变式1.如图，点P是正方形ABCD边AD上一点，Q是边BC延长线上一点，若AB＝12，P A＝5，PQ⊥BP．求CQ的长．变式2.如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，若AE＝5，AD＝6，CD＝2．求EB的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．四、一线三等角例1.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；例2.如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．变式1.如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E．且AD＝8，DC＝6，则＝．五、旋转相似例1.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．变式1.如图，△ABC和△CEF中，AB＝BC，CF＝EF，∠CBA＝∠CFE＝90°，E在△ABC 内，∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE＝1，AE＝2，求EF的长．。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
中考必会几何模型：相似模型
相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12 OF OE ODOA OC OB===．解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴12DEBC=．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴12OE DEOC BC==．同理：12OFOA=，12ODOB=．∴12 OF OE ODOA OC OB===．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴12GF BFAD BC==．∵AD＝CD，∴12GFAD=．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴12OF GFOA AD==．同理12OEOC=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A∴12HD DF HFAB AF FB===，∴HD＝1．5a，13FHBH=，∴FH＝13BH∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.5324HG HD aGB EB a===，∴47BGHB=∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBG BH==跟踪练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15 DE AC=∵DE//AC，∴15BE DEBC AC==，∴14BEBC=，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=12BC，∴G为AF中点∴12EGBF=，12EG OE DEFC OC BC===，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB AC BD CD=．方法一：过点C CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴AB BDCE CD=∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴AB BDAC CD=方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，12ABDS BD h=，12ACDS CD h=过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则12ABDS AB DE=，12ACDS AC DF=11221122ABDACDBD h AB DESS CD h AC DF==，又∵1=2，∴DE=DF，∴AB BDAC CD=5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF∵AE ：EB=2：1，∴BF=12AC=12BC=CD ，又AC=CB ，∠ACD=∠CBF=90° ∴△ACD ≌△CBF ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°∴∠4=90°，∴CE ⊥AD模型2 共边共角型已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABCDAC B12模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC 进而可以得到：AC 2=AD AB 模型实例例1 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ，如果△ABD 的面积为15．那么△ACD 的面积为 ．AC DB解答：∵∠DAC =∠B ，∠C =∠C ，∴△ACD ∽△BCA ．∵AB =4，AD =2， ∴14ACD ABC S S ∆∆=，∴13ACD ABD S S ∆∆=，∵S △ABD =15，∴S △ACD =5 例2如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90o ，AD ⊥BC 于D ． （1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB 2=BD BC ，AC 2=CD CB ，AD 2=BD CD （3）求证：AB AC =BC ADDC BA解答（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA ；△ACD ∽△BCA ；△ABD ∽△CAD （2）∵△ABD ∽△CBA ，∴AB BD BC AB=．∴AB 2=BD BC ，∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =．∴AC 2=CD CB ，∵△ABD ∽△CAD ，∴AD BD CD AD =，∴AD 2=BC CD （3）1122ABCSAB AC BC AD ==，∴AB AC =BC AD跟踪练习：1．如图所示，能判定△ABC ∽△DAC 的有 ． ①∠B =∠DAC ②∠BAC =∠ADC③AC 2=DC BC④AD 2=BD BCB DC A【答案】①②③2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC =120o ．求证：（1）AB 2=BM BC ；（2）AC 2=CN CB ；（3）MN 2=BM NC ．CNM BA【答案】证明：∵∠BAC =120o，∴∠B +∠C =60o.∵△AMN 是等边三角形，∴∠B +∠1=∠AMN =60o ，∠C +∠2=∠ANM =60o.∴∠1=∠C ，∠2=∠B . (1)∵∠1=∠C ，∠B =∠B ，∴△BAM ∽△BCA .∴BM AB AB BC=.∴AB 2=BM BC （2）∵∠2=∠B ，∠C =∠C ，∴△CAN ∽△CBA .∴CN AC AC CB =.∴AC 2=CN CB （3）∵∠1=∠C ，∠2=∠B ，∴△BAM ∽△ACN .∴BM AMAN CN=. ∴BM CN =AN AM ∵AN =AM =MN ，∴AB 2=BM BC3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D ，AC =210，AD :DB =4:1．求CD 的长．OCB【答案】连接BC ，设AD =4x ，则DB =x .∴AB =5x .∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =90o又∵CD ⊥AB .∴△ACD ∽△ABC .∴AC 2=AD AB ，即2(210)45x x =，解得：x =2（舍负）.∴AD =42.∴CD =2222AC AD -=4．如图①，R t △ABC 中，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，我们可以利用△ABC ∽△ACD 证明AC 2=AD AB ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ．（1）试利用射影定理证明△BOF ∽△BED ； （2）若DE =2CE ，求OF 的长．图①DCBA【答案】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD =90o .∴BC 2=BO BD . ∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF BE .∴BO BD =BF BE .即BO BFBE BD =，又∵∠OBF =∠EBD ，∴△BOF ∽△BED .（2）∵BC =CD =6，而DE =2CE ，∴DE =4，CE =2.在Rt △BCE 中，BE 2226+=210 在Rt △OBC 中，OB 232BC =BOF ∽△BED ， ∴OF BODE BE =，即324210OF =∴65OF .模型3 一线三等角型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D结论：△ABC ∽△CDE模型分析如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型实例例1 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=23．则△ABC的边长为．60oDP CA解答∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60o．∵∠APC=∠B＋∠BAP，即∠APD＋∠DPC=∠B＋∠BAP，又∵∠APD=∠B=60o，∴∠DPC=∠BAP．又∵∠B=∠C，∴△PCD∽△ABP．∴DC PC BP AB=．设AB=x，则PC=x－1，2131xx-=，解得x=3．例2 如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△P AD与△PBC 相似，则这样的P点共有个．P C BDA 解答设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA PB AP BC =，即273xx -=， 解得：1x =或6x =，当△PDA ∽△PCB 时，AD AP BC PB =，即237xx=-， 解得：145x =，则这样的的点P 共有3个．练习：1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上一动点（不与B 、C 点重合），∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ED CBA1.解答： 0(1)901ABC BAC AB AC ∆∠===中，，，045.ABC ACB ∴∠=∠=045ADE ∠=，0135BDA CDE ∴∠+∠=，0135BDA BAD ∠+∠=又，.BAD CDE ∴∠=∠.ABD DCE ∴∆∆22222,.,...1) 1.1ABD DCE AB BD CD CE BD x CD BC BD x x CE CE x AE AC CE x x y x ∆∆∴==∴=-==∴=-∴=-=--=-+=+（）即（3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是AD =DE .,.1.2 1.,2 2.ABD DCE ABD DCE CD AB BD BD CE AE AC CE ∆∆∴∆≅∆∴==∴=-=∴=-=-又当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是ED =EA . 0045,90.ADE DEA ∠=∴∠=此时有即△ADE 为等腰直角三角形.11.22AE DE AC ∴=== 当AD =EA 时，点D 与点B 重合，不合题意，所以舍去. 122.2AE -因此的长为或2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝a ，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或252； ④0 6.4≤CE <其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上） 2.解答：1,.,..AB AC B C ADE B ADE C ADE ACD =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∆∆（）又 故①正确.4210,,cos .542cos 21016.56,10..,().AB AC ADE B a a BC AB B BD DC AB DC ABD DCE BAD CDE B C AB DC ABD DCE ASA =====∴==⨯⨯==∴=∴=∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆（）在和中故②正确.（3）当∠AED =900时，由可知：△ADE ∽△ACD . ∴ ∠ADC =∠AED . ∵ ∠AED =900， ∴ ∠ADC =900. 即 AD ⊥BC. ∵ AB =AC ， ∴ BD =CD .4cos 108.5ADE B a a AB BD ∴∠=∠====且，，当∠CDE =900时，易得△CDE ∽△BAD .004cos 108.59090.4cos ,10,54cos .525.2ADE B a a AB BD CDE BAD B a a AB AB B BD BD ∴∠=∠====∠=∴∠=∠===∴∠==∴=且，，，且故③正确.（4）易证△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，22,,.10.1616646410.(8)6410.0 6.4BD y CE x AB BD DC CE y y xy y x y x x ==∴=∴=--+=--=-∴≤设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.P A BD C O3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，折叠与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ； （2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边AB 的长．3.解答0001,,,90.,,,.90.90,,,.214,1.22,2,ABCD AD BC DC AB DAB B C D AP AB PO BO PAO BAO APO B APO APD CPO POC D C APD POC OCP PDA OCP PDA OC OP CPPD PA DAPD OC PA OP D ∴==∠=∠=∠=∠===∠=∠∠=∠∴∠=∴∠=-∠=∠∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆:∴===∴==（）四边形是矩形由折叠可得：（）与的面积比为02222.848.,,8.,90,4,,8,(8)4.5.210.A CP AD CP BC OP x OB x CO x Rt PCDC CP OP x CO x x x x AB AP OP ==∴=====-∆∠====-∴=-+=∴===，，设则在中解得：模型4 倒数型条件：AF ∥DE ∥BC 结论：111AF BC DE+=模型分析∵AF ∥DE ∥BC ，∴△BDE ∽△BAF ，△ADE ∽ABCABCDEFB∴DE BD AF AB =，DE ADBC AB=． ∴1DE DE BD AD AB AF BC AB AB AB +=+== 即1DE DE AF BC += ∴111AF BC DE+=（两边同时除以DE ） 仔细观察，会发现模型中含有两个A 型相似模型，它的结论是由两个A 型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．模型实例如图，AF ∥BC ，AC 、BF 相交于E ，过E 作ED ∥AF 交AB 于D ． 求证：111ABFABCABES S S ∆∆∆+=．证明： 分别过点C 、E 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别是K 、H 、G则111AF BC DE+=（模型结论）． ,.,,.111.111.111.111222111.ABF ABC ABEDEH BCK AF DE BC k FG EH CKAFG AF kFG DE kEH BC kCK kFG kCK kEH FG CK EHAB FG AB CK AB EH S S S ∆∆∆∆∆∴===∴===∴+=∴+=∴+=∆∴+=∽∽设跟踪练习1． 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上.求证：111.AB CD EF+= 答案：1、证明： 方法一：如图①ABCDEFE图1CGHABGFD CA EG F4321H DEA∵ 四边形EFGH 是正方形， ∴ EF ⊥AB ∵ CD ⊥AB ， ∴ EF ∥CD ，∴ △AEF ∽△ACD . ∴EF AECD AC =① ∵ EH ∥AB ，∴ △CEH ∽△CAB∴EH CEAB AC =∵ EH =EF ，∴EF CEAB AC=② ①+②得，1,EF EF AE CECD AB AC AC+=+= ∴111.AB CD EF+= 方法二：如图②，构造模型4过点C 作AB 的平行线交AH 的延长线于点K ， 依题意有，CK ∥EH ∥AB ，∴ 111.AB CK EH+= ∵,,EH AE EFEH EF CK AC CD === ∴ CK =CD .∴111.AB CD EF+=2．正方形ABCD 中，以AB 为边作等边三角形ABE ，连接DE 交AC 于F ，交AB 于G ，连接BF ．求证：(1) AF +BF =EF ； (2)111.AF BF GF+=答案：（1）如图①，在EF 上截取FH =AF . ∵ ∠EAB =600，∠BAD =900，AE =AD ， ∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600. ∴ △AFH 为等边三角形. ∴ ∠EAH =∠BAF . ∴ △EAH ≌△BAF . ∴ EH =BF .∴ AF +BF =FH +EH =EF.G F图2123KH CA EPOCDB A（2），如图②，过点G 作GK ∥BF 交AC 于点K . 由①可得∠BFC =600， ∴ AH ∥GK ∥BF .∴ 由模型4，得111.AH BF GK+= ∵ AH =AF ，GK =GF ，∴ 111.AF BF GF+=模型5 与圆有关的简单相似CCDC图3图2图1DPAOABD BEB模型分析图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△P AC ∽△PDB .图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD ∽△AEC . 图③中，已知AB 切⊙O 于点A ，如下图，过A 作直径AE ，连接DE ，则有∠EAD +∠E =900. 又∠BAD +∠EAD =900，∠BAD =∠E =∠C . 从而△BAD ∽△BCA .模型实例如图，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． 求证：P A ﹒PB =PD ﹒PC .答案：证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、AD .∵ ∠B =∠D ，∠C =∠A ，∴ △PBC ∽△PDA .∴.PB PCPD PA= ∴ P A ﹒PB =PD ﹒PC =（r +d ）（r -d ）= r 2-d 2DC连接AD 、B C ．∵四边形ADCB 内接于⊙O ， ∴∠1＝∠2． 又∵∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PCB ． ∴PA PD PC PB=． ∴PA PB PD PC ⋅=⋅．练习1．如图，P 是⊙O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦，设圆的半径为r ，OP d =．求证：22PA PB r d ⋅=-．答案证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、A D ． ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠A ， ∴△PBC ∽△PD A ． ∴PB PCPD PA=． ∴()()22PA PB PC PD r d r d r d ⋅=⋅=+-=-2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，延长AC 、BD 交于点E ． （1）求∠E 的度数；（2）点M 为BE 上一点，且满足2EM EB CE ⋅=，连接CM ，求证：CM 是⊙O 的切线．BA答案ABMDE CO（1）连接OC 、O D ．∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴AC CD DB ==．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ，∴△AOC 、△DOB 为等边三角形． ∴∠EAB ＝∠EBA ＝60°． ∴∠E ＝60°． （2）连接BC ，∵2EM EB CE ⋅=， ∴EM CE CE EB =． ∵∠E ＝∠E ，∴△CEM ∽△BE C ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∴∠ECB ＝90°，∴∠EMC ＝∠ECB ＝90°． ∵C 、D 是半圆三等分点， ∴∠AOC ＝∠DOB ＝60°， ∴OC ∥BE ．∴∠OCM ＝∠EMC ＝90°． ∴OC ⊥CM ．∴CM 为⊙O 的切线．模型6 相似和旋转如图①，已知DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转一定的角度，连接BD 、CE ，得到如图②． 结论：△ABD ∽△ACE ．绕点A 旋转△ADEEDCBACBEDA模型分析BCPA∵DE ∥BC ，∴AD AEAB AC=， 如图②，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ．该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．模型实例如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点P 在△ABC 内，且3PA =，PB ＝5，PC ＝2． 求ABCS．解答：如图，作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ACP ．∴AQ AB AP AC =，即AQ APAB AC =． 又∠QAP ＝∠BAC ＝60°， ∴△AQP ∽△ACB∴∠APQ=∠ACB ＝90°．∴AQ ＝2AP ＝23，PQ ＝3AP ＝3． ∴△APQ 与△APC 的相似比为2AQAP=． ∴24BQ CP ==． ∴22225BP BQ PQ ==+．∴∠BQP ＝90°．过A 点作AM ∥PQ ，延长BQ 交AM 于点M ． ∴AM ＝PQ ，MQ ＝AP ．∴()()222222883AB AM QM BQ PQ AP BQ =++=++=+ 故21367373sin 6032ABCSAB AC AB +=⋅︒===+． 练习1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CA E ＋∠ CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．解：（1）∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形．∴AC CEBC CF== ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ．（2）∵△CAE ∽△CBF ， ∴∠CAE ＝∠CBF，AE ACBF BC=又∵AE ACBF BC=，AE ＝2．∴2BF=BF又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°． ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°． ∴∠EBF ＝90°．∴2222213EF BE BF =+=+=．∴EF ∵2226CE EF ==，∴CE =2．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图①．若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝150°，P A ＝3，PC ＝4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图②，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数；（3）如图③，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且P APB ＝5，∠APC ＝120°，请直接写出PC 的长．EBFCA B C P 图②图①PC B A 图③PCBADQAB CP解：（1）如图，由旋转有，AD ＝AP ，BD ＝PC ，∠DAB ＝∠P AC ， ∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°．∴△ADP 为等边三角形．∴DP ＝P A ＝3，∠ADP ＝60°． ∴∠ADB ＝∠APC ＝150°， ∴∠BDP ＝90°，在Rt △BDP 中，BD ＝4，DP ＝3． 根据勾股定理得：PB ＝5．（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， ∴△APC ≌△AD B ．∴AD ＝AP ＝3，DB ＝PC ＝4，∠P AC ＝∠DAB ，∠APC ＝∠2． ∴∠DAP ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠DAP ＝60°，∴△DAP 是等边三角形． ∴PD ＝3，∠1＝60°，∴222222345PD DB PB +=+==． ∴∠PDB ＝90°． ∴∠2＝30°． ∴∠APC ＝30°．（3）作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ，∴∠AQB ＝∠APC ＝120°． ∵AB ＝2AC ，∴△ABQ 与△ACP 的相似比为2． ∴AQ ＝2AP ＝23，BQ ＝2CP ，∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°． 取AQ 中点D ，连接PD ， ∵AQ ＝2AP ，∴AD ＝AP ．∴△APD 是等边三角形．∴DP ＝DQ ． ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝30°．∴∠APQ ＝90°． ∴PQ ＝3．∴∠BQP ＝∠AQB －∠AQP ＝120°－30°＝90°．根据勾股定理得，224BQ PB PQ-=．∴122PC BQ==．赠送—高中数学知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
相似三角形12种基本模型证明
相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。
在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
相似三角形一般用比例关系表示。
下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。
证明：三角形的三个角之和为180度。
如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。
2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。
由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。
因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。
3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。
4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。
5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。
由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。
6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
三角形相似模型总结
三角形相似模型总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠三角形相似模型总结。
你们看啊，就说那相似三角形，不就好比是一对双胞胎嘛！两个三角形长得有点像，但又不完全一样。
比如说，咱有两个三角形，一个大的，一个小的，嘿，它们的角都一样大！这就叫相似呀！
就像一次数学测验里，有这样一道题，给你两个三角形，让你判断是不是相似。
你就得瞪大眼睛，瞅瞅它们的角，再看看它们边的比例是不是一样。
要是角相等，边的比例也对得上，那它们就是相似三角形没跑啦！
还有啊，相似三角形的性质也超级重要呢！比如对应边是成比例的，对应角相等。
这就好像两个小伙伴，有很多相同的地方，但又有各自的特点。
记得有次和同学一起做练习题，看到个三角形，我们很快就发现了它和另一个相似三角形的关系，那种感觉，哇，太爽了！
再来想想，相似三角形的判定也很有意思呀！就像要给三角形贴上一个“相似”的标签一样，得满足那些条件才行。
像是三边对应成比例，两角对应相等，这不就好比是进入一个秘密社团的密码嘛！
相似三角形在生活中也有很多用处呢！好比建筑师要盖房子，就得用相似三角形的知识来确保结构稳固。
咱平时看到的那些高楼大厦，说不定就有相似三角形在里面帮忙呢！
哎呀呀，三角形相似模型真的是太有趣太有用啦！总结起来就是，它就像一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门，能让我们发现生活中那些隐藏的数学奥秘。
大家一定要好好掌握它呀！。
初中数学重点模型08 相似三角形中的基本模型(基础)
专题08 相似三角形中的基本模型1.（2019 浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE△BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】C．【分析】先证明△ADN△△ABM得到＝，再证明△ANE△△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．【解答】解：△DN△BM，△△ADN△△ABM，△＝，△NE△MC，△△ANE△△AMC，△＝，△＝．故选：C．2.（2019 浙江温州中考）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD 于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN△BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】如图，连接ALGL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．【解答】解：如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，△点A，L，G在同一直线上，AM△GN，△△AML△△GNL，△＝，△＝，整理得a＝3b，△＝＝＝，故选：C．3.（2019 重庆中考）如图，△ABO△△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：△△ABO△△CDO，△＝，△BO＝6，DO＝3，CD＝2，△＝，解得：AB＝4．故选：C．4.（2019 河北辽宁沈阳中考）（2019•沈阳）已知△ABC△△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9【答案】C．【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：△△ABC△△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，△△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．5.（2019•哈尔滨）如图，在△ABCD中，点E在对角线BD上，EM△AD，交AB于点M，EN△AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D．【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：△在△ABCD中，EM△AD△易证四边形AMEN为平行四边形△易证△BEM△△BAD△△END△＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．6.已知△ABC△△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．【答案】B．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：△△ABC△△A'B'C'，△＝＝＝．故选：B．7.（2019 河北承德二中模拟）如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）【答案】A．【分析】过B作BC△y轴于C，过B1作B1D△y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，即可得到＝，再根据△BOC△△B1OD，可得OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，进而得出点B1的坐标为（2，﹣4）．【解答】解：如图，过B作BC△y轴于C，过B1作B1D△y轴于D，△点B的坐标为（﹣1，2），△BC＝1，OC＝2，△△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，△＝，△△BCO＝△B1DO＝90°，△BOC＝△B1OD，△△BOC△△B1OD，△OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，△点B1的坐标为（2，﹣4），故选：A．（二）填空题1.（2019 上海中考）在△ABC和△A1B1C1中，已知△C＝△C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD△△C1A1D1，那么AD的长是．【答案】．【分析】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出C1D1＝AD＝x，△A1C1D1＝△A，△A1D1C1＝△CDA，即可求得△C1D1B1＝△BDC，根据等角的余角相等求得△B1C1D1＝△B，即可证得△C1B1D△△BCD，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．【解答】解：如图，△在△ABC和△A1B1C1中，△C＝△C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，△AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，△△ACD△△C1A1D1，△C1D1＝AD＝x，△A1C1D1＝△A，△A1D1C1＝△CDA，△△C1D1B1＝△BDC，△△B＝90°﹣△A，△B1C1D1＝90°﹣△A1C1D1，△△B1C1D1＝△B，△△C1B1D△△BCD，△＝，即＝2，解得x＝，△AD的长为，故答案为．2.（2019 青海中考）（2019•青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．【答案】．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM△BN；易知：△ACM△△BCN；△＝，△杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，△＝，即AM＝5BN；△当BN≥10cm时，AM≥50cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．故答案为：50．3.（2019 内蒙呼和浩特中考）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．【答案】．【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG△△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，△正方形ABCD的面积是2，△AB＝BC＝CD＝DA＝，又△CE＝，△EFC△△EAB，△，即：F是CD的中点，△AH△BE，△△H＝△FBC，△BCF＝△HDF＝90°△△BCF△△HDF（AAS），△DH＝BC＝，△AH△BE，△△H＝△FBC，△HDG＝△BEG△△HDG△△BEG，△，在Rt△ABH中，BH＝，△BG＝，故答案为：4.（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图△，写出完整的证明过程．结论应用：在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图△，若△ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图△，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则△ABCD的面积为．【答案】6．【分析】教材呈现：如图△，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE△AC，DE＝AC，那么△DEG△△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图△．先证明△BEF△△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF ＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；（2）如图△，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG 的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出△ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图△，连结ED．△在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，△DE△AC，DE＝AC，△△DEG△△ACG，△＝＝＝2，△＝＝3，△＝＝；结论应用：（1）解：如图△．△四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，△AD△BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，△△BEF△△DAF，△＝＝，△BF＝DF，△BF＝BD，△BO＝BD，△OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，△正方形ABCD中，AB＝6，△BD＝6，△OF＝．故答案为；（2）解：如图△，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，△＝2．△△BEF与△OEF的高相同，△△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，△△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，△△BOC的面积＝，△△ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．5.（2019 广东茂名中考模拟）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k 的值为．【答案】8．【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出＝＝，进而得出假设BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y，根据△ABD的面积为1，求出xy＝2即可得出答案．【解答】解：过A作AE△x轴，△△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1：3，△＝，△OE＝AB，△＝＝．假设BD＝x，AB＝y△DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，△△ABD的面积为1，△xy＝1，△xy＝2，△AB•AE＝4xy＝8，即：k＝4xy＝8．故答案是：8．6.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．【答案】（，）．【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：△正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，△OA：OD＝2：3，△点A的坐标为（1，0），即OA＝1，△OD＝，△四边形ODEF是正方形，△DE＝OD＝．△E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．7.（2019 上海黄浦区中考模拟）（2019秋•黄浦区期中）在△ABC中，△C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．【答案】或．【分析】分类讨论：当△ABC△△CDE，如图1，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，证明BD＝AD即可解决问题；当△ABC△△DCE，如图2，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△B，接着证明CD△AB，利用面积法可计算出CD＝；当△ABC△△CED，如图3，△CDE＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，证明CD为斜边上的中线，则CD＝DA＝DB＝AB＝．【解答】解：△△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，△AB＝＝＝5，当△ABC△△C DE，如图1，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，△△ADC为等腰三角形，△CE＝AE，△ED△BC，△BD＝AD，△CD＝AB＝，当△ABC△△DCE，如图2，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△B，而△BCD+△DCE＝90°，△△B+△BCD＝90°，△CD△AB，△CD＝＝，当△ABC△△CED，如图3，△CDE＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，△DC＝DA，△△A+△B＝90°，△DCE+△BCD＝90°，△△B+△BCD＝90°，△DB＝DC，△CD＝DA＝DB＝AB＝，综上所述，CD的长为或．故答案为或．8.（2019 河北张家口中考模拟）（2019秋•大观区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD△BC，AD＜BC，△ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【答案】或1．【分析】分情况讨论：△CED＝90°和△CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．【解答】解：分两种情况：△当△CED＝90°时，如图1，过E作EF△CD于F，△AD△BC，AD＜BC，△AB与CD不平行，△当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，△△BEC＝△CDE＝△ADE，△△A＝△B＝△CED＝90°，△△BCE＝△DCE，△AE＝EF，EF＝BE，△AE＝BE＝AB＝，△当△CDE＝90°时，如图2，△当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，△△CEB＝△CED＝△AED＝60°，△△BCE＝△DCE＝30°，△△A＝△B＝90°，△BE＝ED＝2AE，△AB＝3，△AE＝1，综上，AE的值为或1．故答案为：或1．。
初三相似三角形的基本模型
初三相似三角形的基本模型相似三角形在数学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在相似三角形的证明中，常见的基本模型是AA、辅助线构造成比例线段和面积法。
AA模型AA模型指的是两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形DEF的两个角分别等于三角形ABC的两个角，那么我们就可以得出这两个三角形相似的结论。
辅助线构造成比例线段在相似三角形的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论。
常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。
例如，对于图中的问题，我们可以通过做平行线CE∥AD 来得到证明。
这种方法利用了“A”型图的基本模型。
面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题。
常用的面积法基本模型包括“山字”型。
“田字”型和“燕尾”型等。
在题型方面，与三角形有关的相似问题是常见的。
例如，对于图中的问题，我们需要证明角ADE等于角B，可以通过使用AA模型来得出结论。
在三角形ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，以BC为边在A点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．解：首先，我们需要构造双垂直辅助线，如图所示：由于△ABD为等腰直角三角形，所以AD=BD=AB=3，又由于BC=5，所以BD=5-3=2，根据勾股定理可得CD=√(BC²-BD²)=√(5²-2²)=√21．因此，线段CD的长为√21．例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC。
根据折叠可知XXX⊥CP。
由∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠XXX°可得∠2=∠CNM。
附8 相似三角形的常见模型
学霸班主任精编2022年中考数学相似三角形的常见模型1.了解相似三角形的性质定理与判定定理；2.能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决简单问题.1.相似三角形的判定；2.能构成相似三角形的常见模型.《模型分析》相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．在添加辅助线时，所添加辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系．相似基本模型专题探究之一线三等角【知识点睛】一.常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型二.模型性质应用：321321.3.2.1∽△∽△，则△，且如右图，若两相似中，可得三个三角形两中点型“一线三等角”；≌△时，△如图②，当；∽△易得△常用结论：右左DC BD CFD BDE DF DE =∠=∠=∠=模型构造：1.图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.2.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.3.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。
“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度.相似常见模型之平行相似【知识点睛】A 字图及其变型“斜A 型”一般地：当动点E 运动到底边的中点时，CF 有最大值当∠A=∠C 时△AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CD AB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用：如图可得：△PAB∽△PCD8字图及其变型“蝴蝶型”变型知识点睛一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．☆：A 字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型常见“∥”的引入方式：1.直接给出平行的已知条件2.平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行3.由很多中点构造的“中位线”的平行4.根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线当DE ∥BC 时△ADE ∽△ABC 性质：☆：“蝴蝶型”常见应用1.常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用2.出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”当∠ADE=∠ACB 时△ADE ∽△ACB 性质：当AB ∥CD 时△AOB ∽△DOC 性质：☆：“A 字图”最值应用A 字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN 为△ABC 中位线，矩形面积达到最大值！BC DE AC AE AB AD ==①ECAEDB AD =②BCDEAB AE AC AD ==OCOBOD OA CD AB ==2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形八大模型归纳例题
相似三角形八大模型归纳例题相似三角形，这可是个有趣的话题！大家好，今天我们就来聊聊这八大模型，轻松又幽默地让你了解它们，没问题吧？想象一下你在公园里散步，忽然看到两个小朋友，一个高一个矮，他们在玩搭积木。
高的小朋友把积木堆得高高的，矮的小朋友也不甘示弱，拼命地跟着学。
这不就是相似三角形的真实写照吗？他们的比例相同，但是大小却不一样，这样想就简单多了。
咱们得了解相似三角形的基本概念。
简单来说，相似三角形就像一对亲密无间的兄弟，虽然身高不一样，但长相、比例却是那么相似。
就好比你家猫咪和邻居的猫咪，虽然毛色不同，但总能一眼认出它们是亲戚。
这种相似可不光是外表，连角度都得一样。
没错，角度就像我们的性格，各有千秋但都能和谐共处。
我们来聊聊相似三角形的判定。
首先是AA判定，就是两个三角形的两个角相等，嘿，这简直像是两个人在合唱，和声完美，谁都不敢说不。
这一招，绝对是相似三角形的杀手锏。
然后就是SSS判定，三个边的比例相等，这可不简单，像极了团队合作，每个人都发挥了自己的作用，最终实现了目标。
SAS判定，两个边的比例相等，还有夹角相等。
这就像打麻将，牌虽然不一样，但搭配得当，赢的机会就大大增加了。
咱们再来看看实际应用。
比如，建筑师设计房子的时候，就得用到这些相似三角形的原理，保证建筑的稳定性和美观性。
你想想，如果房子的角度都乱了，那可就麻烦大了！还有航海测量，水手们通过相似三角形来测量距离，别小看这个，关键时刻可关乎生死，真是一不小心就得跳海了。
学习相似三角形不光是为了考试，生活中处处都能见到它的影子。
你去超市买东西，看到两瓶相同品牌的饮料，虽然瓶子大小不一样，但标签和设计却一模一样。
这样一来，你就能轻松判断哪瓶更划算。
这就像购物时遇到的“买一送一”，表面看似优惠，其实是相似三角形的另一种变相体现。
说到这里，可能有人会觉得相似三角形太抽象，不够有趣。
学数学就像是吃大餐，得慢慢品味，才能发现其中的美味。
想象一下，你在烧烤摊，烤肉时得掌握火候，太熟了或者太生了都不好，学数学也是如此，掌握了相似三角形的精髓，才能在考试时游刃有余。
初中数学常见全等、相似模型
常见全等、相似模型
专题3
04/一线三等角02/
垂直模型02/A 字、8字、射影01/
手拉手模型06/旋转相似
03/半角模型目录
手拉手模型
模型特征：两个等腰三角形或者两个等边三角形有公共的顶点。
解题思路：首先证明两个三角形全等(SAS，A为公共点所在的角)
模型特征：过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形顶点的一条直线
解题思路：过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段,会有两个三角形全等(AAS）
EF=AE+BF EF=AE-BF
模型特征：过等腰三角形顶角引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半。
常存在于正方形、等边三角形、等腰直角三角形等证明线段之间的数量关系
解题思路：通过旋转证明三角形全等，得出相关结论
A型、8字型
A
B C
D
射影型
结论：AD2=BD·DC AB2=BD·BC AC2=CD·BC 结论：BC2=BD·AB
一线三等（直）角
相似比为正切值
当三个直角形互相相似时，P为中点
旋转相似型
任意两个相似的三角形绕着对应的公共点旋转，会产生其他相似三角形
注意：两个等腰直角三角形成旋转全等
19真题
19淄博
19苏州
19盐城
节选19无锡
19无锡。
初中数学平面几何的相似性质知识点总结
初中数学平面几何的相似性质知识点总结在初中数学的学习过程中，平面几何是一个非常重要的内容，其中相似性质是一个重要的知识点。
相似性质是指两个图形在大小或形状上相似的性质。
在本文中，我们将对初中数学平面几何的相似性质知识点进行总结和介绍。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相似性质的三角形，它们有一些重要的性质：1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，可以使用以下方法：1. 直角边定理：如果两个直角三角形的两个直角边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
2. 边角边相似定理：如果两个三角形的两条边成比例，并且包含这两条边的两个角相等，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 两个高塔：如果两个高塔之间的距离和高度的比例相等，那么两个高塔分别投影到地面上的阴影也是相似的。
2. 飞机与观察点：当飞机与观察点组成的线段与投影地面上的线段成比例时，飞机的高度与距离观察点的距离也成比例。
3. 日影问题：根据前面提到的直角边定理，如果两个物体的高度和它们的阴影长度成比例，那么它们之间的角度也是相等的。
四、相似三角形的比较当我们比较两个相似三角形的相似比时，可以使用以下方法：1. 边比：两个相似三角形的对应边的比例相等。
2. 周长比：两个相似三角形的周长比等于对应边的比例。
3. 面积比：两个相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
五、相似三角形中的重要线段在相似三角形中，有一些重要线段需要我们注意：1. 高线：在一个三角形内，从顶点到对边所引的垂线称为高线。
在相似三角形中，高线的长度成等比例。
2. 角平分线：从一个三角形的顶点射出的线段，将对边的对应角分成相等的两个角，称为角平分线。
七年级数学平面形的相似性质
七年级数学平面形的相似性质在数学学科中，平面形的相似性质是七年级的基础内容之一。
相似性质是指两个或多个几何图形在对应的顶点间具有相等的角度比和相等的边长比。
通过研究相似性质，我们可以深入了解几何图形之间的关系，并应用到日常生活和实际问题中。
本文将详细介绍七年级数学平面形的相似性质，包括相似三角形以及相似四边形。
一、相似三角形在三角形中，当两个三角形的对应角度相等，且对应边长之间成一定比例时，称这两个三角形为相似三角形。
相似三角形有以下几个性质：1. 任意两个等腰三角形是相似的。
等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
由于等腰三角形的角度比是相等的，所以任意两个等腰三角形都是相似的。
2. 任意两个全等三角形是相似的。
全等三角形是指具有三个边相等的三角形。
由于全等三角形的角度和边长比都是相等的，所以任意两个全等三角形都是相似的。
3. 直角三角形的斜边与斜边的对边之间的比例相等。
在直角三角形中，两个直角相等，所以根据三角形内角和等于180度的特点可知，两个锐角也相等。
因此，直角三角形的斜边与斜边的对边之间的比例相等。
二、相似四边形在四边形中，当两个四边形的对应角度相等，且对应边长之间成一定比例时，称这两个四边形为相似四边形。
相似四边形有以下几个性质：1. 任意两个正方形是相似的。
正方形的四个角都是直角，所以任意两个正方形的对应角度都相等。
另外，正方形的边长比等于1，所以任意两个正方形也是相似的。
2. 任意两个长方形是相似的。
长方形有四个角，其中两个角是直角。
因此，两个长方形的对应角度相等。
同时，长方形的边长比不等于1，所以任意两个长方形也是相似的。
3. 任意两个等腰梯形是相似的。
等腰梯形是指具有两边平行且非平行边长度相等的四边形。
由于等腰梯形的对应角度相等且边长比相等，所以任意两个等腰梯形是相似的。
总结：相似性质在几何学中非常重要，它可以帮助我们判断两个图形是否相似，进而解决与图形相关的问题。
在七年级数学中，学生可以通过比较角度和边长的关系来判断平面形的相似性质。
八年级数学同步拔高第八讲《相似综合模型》讲义
9. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 FD，若∠BFA=90°， 给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD；②△FED 与 △DEB；③△CFD 与△ABO．其中相似的有_____________．
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 边于点 E，将∠B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 ________．
2
4. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点 E 在 BC 边上，AB=3，CD=2，BC=7．若△ABE 与△ECD 相似， 则 CE=___________．
5. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm， ∠B=60°．P 为下底 BC 上一点（不与点 B，C 重合），连接 AP，过 P 点作射线 PE 交线段 DC 于点 E，使得∠APE=∠B．若 DE:EC=5:3，则 BP=_________．
背景下首先要辨识其特征（三等角或半角），然后围绕该结构整
合信息（如果结构残缺需要构造），最后直接调用结论解决问题．
1
二、精讲精练
1. 如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若 DE=5，AB=8，则 S△ABF:S△FCE=_____．
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y = 1 x + 2 与 x 轴，y 轴 2
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分别交于 A，B 两点，以 AB 为边在第二象限内作矩形 ABCD， 使 AD= 5 ．则点 C 的坐标为_______，点 D 的坐标为 _______．
初中数学几何模型之相似三角形模型
数学模型-----相似三角形模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型． 一、模型类别二、相关结论的运用 （一）模型1：A 字型图1平行A 字型条件：//DE BC ，图1结论：~ADE ABC ； 图2斜交A 字型条件：C AED ∠=∠，图2结论：~ADE ABC ；典例精讲：如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．动点,M N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA CB 、向终点,A B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接,PM PN ，设移动时间为t （单位：秒，025t <<．）．（1）当t 为何值时，以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】根据勾股定理求得5cm AB =．（1）根据模型1：平行A 字型的结论得出APM ABC ∽，和模型1：斜交A 字型模型的结论得出AMP ABC ∽两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值． （2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，构造平行线//PH AC ，根据模型1：平行A 字型的结论得出PBH ABC ∽，从而求得以t 表示的PH 的值；然后根据“ABCBPHSSS=-”列出S 与t 的关系式24321(0 2.5)525S t t ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 【详解】解：∵如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．∴根据勾股定理，得5cm AB ==．（1）以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： ①当APM ABC ∽时，AM AP AC AB =，即45245t t--=，解得0t =（不合题意，舍去）．②当AMP ABC ∽时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =；综上所述，当32t =时，以A P M 、、为顶点三角形与ABC 相似．（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值． 如图，过点P 作PH BC ⊥于点H ．则//PH AC ， ∴PBH ABC ∽∴PH BPAC BA =， 即245PH t=． ∴85tPH =． ∴ABC BPN S S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅ ()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭． ∵405>， ∴S 有最小值． 当32t =时，215S =最小值．答：当32t =时，四边形A P NC 的面积S 有最小值，其最小值是215． 【解题技法】作平行线构造A 字型相似，是解题中常用的一种作辅助线的方法实战演练：1. 如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC=，则线段GE的长为（）A. 6B. 4C. 5D. 3【答案】D【解析】【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到12AE GEAC CD==，从而求出GE.【详解】解：∵AD经过ABC的重心，∴点D是BC中点，∵BC=12，∴CD=BD=6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∵点E是AC中点，∴12AE GEAC CD==，即162GE=，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.2. 如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，则下列结论正确的是（ ）A.AD DEDB BC= B.BF EFBC AD= C.EF BFAB BC= D.AE DEEC FC= 【答案】D 【解析】【分析】由两直线平行，得到两对同位角相等，证明△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB ；由等代换可证明△ADE ～△EFC ，最后由相似三角形的性质判断四个答案的正误． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，DE AD ADBC AB DB∴=≠ ∴答案A 错舍去； 又∵EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A ，∠CFE=∠B ， ∴△CEF ∽△CAB ，EF CE FC BFAB AC BC BC∴==≠ ∴答案C 错舍去； ∵//DE BC ，//EF AB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF∵∠ADE=∠B ，∠CFE=∠B ， ∴∠ADE=∠CFE ， 又∵∠AED=∠C ， ∴△ADE ～△EFC ，EF BF BFAD FC D B E FC C∴==≠ ∴答案B 舍去 ∵△ADE ～△EFC ，AE DEEC FC∴= ∴答案D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，重点掌握三角形相似的判定与性质，易错点学生不会找两个相似三角形对应边的比相等．3. 如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A.ADANAN AEB.BD MNMN CEC.DN NEBM MCD.DN NEMC BM【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBMAM AM MC BM MC，故选C.【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.（二）模型2：8字型图1平行8字型条件：//AB CD ， 图1结论：AOB DOC ∽△△； 图2斜交8字型条件：A D ∠=∠，，图2结论：AOB DOC ∽△△；典例精讲：如图1，在矩形ABCO 中，8,6,,OA OC D E ==分别是,AB BC 上一点，2,3,AD CE OE ==与CD 相交于点F ．（1）求证：OE CD ⊥；（2）如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长． 【思路点拨】（1）根据四边形ABCO 是矩形，可得8,6OA BC OC AB ====，根据模型1中的图1结论得出ADP OCP ∽，从而求出PA 和PO ，再根据模型2中的图1结论得出OPF ECF ∽，求出EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理可得CD =G 是CD 的中点，可得CG DG ==G 是CP 的三等分点，根据模型2中的图1结论得出OPG HCG ∽即可求出CH 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCO 是矩形， ∴8,6OA BC OC AB ====， 在Rt OCE 中，3CE =，∴OE ===∵//AB OC ，即//AD OC ，且2AD =， ∴ADP OCP ∽ ∴AD PAOC PO =， ∴268PA PA =+， ∴4PA =，∴12PO PA OA =+=， ∴在Rt OPC △中，6OC =，∴CP ===，∵//OA BC ，即//OP CE ， ∴OPF ECF ∽ ∴CE EF CFOP OF PF ==， ∴31124EF CF OF PF ===，∴15EF OE ==155CF CP ==∵22936955+=+=⎝⎭⎝⎭， ∴222EF CF CE +=， ∴CEF △是直角三角形， ∴90CFE ∠=︒， ∴OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理，得CD ===，∵点G 是CD 的中点，∴CGDG ==由（1）知：CP =，∴DP CP CD =-=∴点G 是CP 的三等分点， ∵//OA BC ，即//OP CH ， ∴APG HCG ∽ ∴CH CGOP GP=， ∴1122CH =， ∴6CH =． 答：CH 的长为6．【解题技法】利用A 字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得出线段的长或比值，解决本题的关键实战演练：4. 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）证明：AFG ∆∽CMG ∆ （2）求证：GF EFGM EM=； 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明AFG ∆∽CMG ∆；（2）由相似三角形的性质可知GF AF GM CM=，由AD∽BC 可知AF EFBM EM =，通过等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：AD ∥BCFAG MCG ∴∠=∠ AGF CGM ∠=∠ AFG ∴∆∽CMG ∆（2）证明：∵AFG ∆∽CMG ∆GF AFGM CM∴= ∽AD∽BC ， ∽AF EFBM EM= 又∵CM ＝BM ，AF EFCM EM∴=GF EFGM EM∴=【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果23CEBE=，求FEEG的值．【答案】916 FEEG=【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴EF BE EG ECAF AD AG AD＝，＝，∵23 CEBE=，∴3255 BE CEAD AD＝，＝，∴3255FE EGAF AG==，，∴3283FE EGAE AE==，，∴916FEEG=．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．6. 如图， ,BD AC 相交于点P ，连结,,,,AB BC CD DA DAP CBP ∠=∠． (1)求证: ADP BCP ∽；(2)直接回答ADP △与BCP 是不是位似图形? (3)若8,4,3AB CD DP ===，求AP 的长．【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）6AP = 【解析】【分析】（1）根据已知条件可知DAP CBP ∠=∠，根据对顶角相等可知DPA CPB ∠=∠，由此可证明ADP BCP ∽；（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）（3）由△ADP ∽△BCP ，可得AP BPDP CP=，而∠APB 与∠DPC 为对顶角，则可证△APB ∽△DPC ，从而得AP ABDP DC=，再根据8,4,3AB CD DP ===即可求得AP 的长．【详解】(1)证明:∵,DAP CBP DPA CPB ∠=∠∠=∠， ∴ADP BCP ∽；(2)点A 、D 、P 的对应点依次为点B 、C 、P ，对应点的连线不相交于一点，故ADP △与BCP 不是位似图形；(3)解:∵ADP BCP ∽ ∴=AP BP DP CP∵APB DPC ∠=∠，∴APB DPC ∽，AP ABDP DC∴= ∴8=43AP ∴6AP =．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．7. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AFBC ，交BE 的延长线于点F ，易得APPD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求APPD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1）32；（2）23；（3）6【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ． ∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ． ∵AF ∥DB ， ∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CEB ， ∴EF=BE ，AF=BC=2k ． ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB=5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．（三）模型3：k 字型图1一线三垂直条件：,,AB BD DE BD AC CE ⊥⊥⊥，图1结论：ABC CDE ∽△△； 图2一线三等角条件：B ACE D ∠=∠=∠，图2结论：ABC CDE ∽△△；典例精讲：如图，点P 是线段BD 上一个动点，90,6,4,B D AB CD BD a ∠=∠=︒===． （1）当90,14APC a ∠=︒=时，求BP 的长度；（2）若90APC ∠=︒时，点P 有两个符合要求即12,P P ，且122PP =，求a 的值； （3）若120APC ∠=︒时，点P 有且只有一个点符合要求，求a 的值．【思路点拨】（1）根据模型3：k 字型一线三垂直，证得ABP PDC △∽△，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP x =，则PD a x =-，根据模型3：k 字型的一线三垂直证得ABP PDC △∽△，由相似三角形的性质得到2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，根据题意即可得到()2121244x x x x =+-=，即可得到24244a -⨯=，解得即可；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒，解直角三角形求得33BE DF AE CF ====，根据模型3：k 字型的一线三等角证得EPA FCP ∽，由相似三角形的性质得到2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，根据题意241320a ⎛∆=--⨯⨯= ⎝⎭，即可即可．【详解】解：（1）∵90,90B D APC ∠=∠=︒∠=︒， ∴90A APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴A CPD ∠=∠， ∴ABP PDC △∽△， ∴BP AB CD PD =，即6414BP BP=-， 解得2BP =或12；（2）设BP x =，则PD a x =-， 由（1）可知ABP PDC △∽△， ∴AB BP PD DC=，即64xa x =-， ∴2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，∵122PP =， ∴122x x -=，∴()()2212121244x x x x x x -=+-=，∴24244a -⨯=， 解得10a =±（负数舍去）， ∴10a =；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒， ∴60AEB CFD ∠=∠=︒， ∵6,4AB CD ==，∴BE AB DF ====∴223AE BE CF DF ====∵120AEP CFP APC ∠=∠=∠=︒， ∴EAP CPF ∠=∠， ∴EPA FCP ∽， ∴AE EPPF FC=， 设EP x =，则3PF a x =--，=，∴2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，∵0=，∴2413203a ⎛--⨯⨯= ⎝⎭， ∵0a >，∴3a =+【解题技法】通过运用模型3：k 字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键．实战演练：8. 如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP =；（3）当03x ≤≤时，24482525d x =+；当39x ≤≤时，33355d x =-+；（4）23t s =【解析】【分析】（1）根据当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，即可求出答案； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，证明△APQ ∽△ABC ，可得2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据S S 上下=45可得 24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23AP AB =，求出AB=5，即可解出MP ；（3）先讨论当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ ·sinC ，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，根据d=CP·sinC 即可得出答案； （4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小， ∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形， ∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ， S 下=S 四边形BPQC ， ∵APQ B ∠=∠， ∴PQ ∥BC ， ∴△APQ ∽△ABC ，∴APAQPQAB AC BC ==， ∴2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23APAB =， AE=2BC·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5， ∴2253APMP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2， ∴25APx PQAB BC +==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ， d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．9. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1 x 的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为_____．【答案】-4【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BD OD OB OC AC OA==＝2，然后用待定系数法求解即可．【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴BD OD OB OC AC OA==，∵OB ＝2OA ，∴BD ＝2m ，OD ＝2n ，因为点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上， ∴mn ＝1，∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴B 点的坐标是(﹣2n ，2m)，∴k ＝﹣2n •2m ＝﹣4mn ＝﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B 的坐标(用含n 的式子表示)是解题的关键． 10. 如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】(1)理由见详解；（2）2BD =-1，理由见详解．【解析】【分析】∽1∽根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．∽2∽由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE ，②AD=DE ，③AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2 ①当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．②当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =③当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．11. 感知：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点P 在BC 边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝，BD＝4，则DE的长为．【答案】探究：见解析；拓展：52.【解析】【分析】感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．【详解】解：感知：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCD；探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD；拓展：同探究的方法得出，△BDP ∽△CPE ， ∴BD BP CP CE=， ∵点P 是边BC 的中点，∴BP ＝CP ＝，∵BD ＝4，CE=， ∴CE ＝92， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，即AC ⊥AB 且AC ＝AB ＝6，∴AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣92＝32，AD ＝AB ﹣BD ＝6﹣4＝2，在Rt △ADE 中，DE 52． 故答案是：52． 【点睛】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．解本题的关键是判断出△ABP ∽△PCD ．（四）模型4：母子型图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；典例精讲：1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【思路点拨】根据垂直母子型模型4证得ADC CDB ∽△△，再根据对应边成比例，即可求出CD 的值．【详解】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽△△， ∴CD AD BD CD=， ∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠．（1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【思路点拨】（1）根据已知得出APD B C ∠=∠=∠，再根据斜交母子型模型4得出ABP PCD ∽，根据相似三角形的性质得到AB CD CP BP ⋅=⋅，由AB AC =即可得到AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）由//PD AB 根据斜交母子型模型4得出BAP BCA ∽，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．【详解】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠．∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽， ∴BP AB CD CP=， ∴AB CD CP BP ⋅=⋅．∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽， ∴BA BP BC BA=． ∵10,12AB BC ==， ∴101210BP =， ∴253BP =．【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条件，把证明AC CD CP BP ⋅=⋅转化为证明AB CD CP BP ⋅=⋅是解题的关键． 实战演练：12. 如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C ，AB 交O 于点D ，E 为AC 的中点，连接CD ，DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若4BD =，3CD =，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）154=AC ． 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，EDC ECD ∠=∠，ODC OCD ∠=∠，然后利用等量代换即可得出DE OD ⊥，从而证明结论；（2）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后证明BCD BAC ∽△△，最后利用CD BD AC BC=求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BDC ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵E 为AC 的中点， ∴12DE EC AC ==， ∴EDC ECD ∠=∠，∵OD OC = ，∴ODC OCD ∠=∠，∵AC 切O 于点C ，∴AC OC ⊥．∴90EDC ODC ECD OCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）解：在Rt BCD 中，∵4BD =，3CD =，∴5BC ==∵90BDC BCA ∠=∠=︒，B B ∠=∠．∴BCD BAC ∽△△， ∴CD BD AC BC=， 即345AC =， ∴154=AC ．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．13. 如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为（ ）A. 2aB. 52aC. 3aD. 72a 【答案】C【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到ACDBCA ∆∆，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵CAD B ∠=∠，ACD BCA ∠=∠，∴ACD BCA ∆∆， ∴2ACD BCA S AC S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即14BCAa S ∆=，解得，BCA ∆的面积为4a ，∴ABD ∆的面积为：43a a a -=，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.14. 如图，点D 是△ABC 的边BC 的中点，且∠CAD ＝∠B ，若△ABC 的周长为10，则△ACD 的周长是（ ）A. 5 C. 52 D. 【答案】B【解析】 【分析】先根据已知证明△ACD ∽△BCA ，再根据相似三角形的性质得到AC 2=CD•CB ，设BD=CD=x ，得到x ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴AC CD BC AC=，即AC 2=CD•CB ， 设BD=CD=x ，∵点D 是△ABC 的边BC 的中点，∴BC=2x∴x ，∴=ABC 22ACD AC BC ==的周长的周长，即102ACD =的周长;∴△ACD 的周长故选B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．。
初中几何模型--相似模型
相似模型模型1 A 、8模型已知：21∠=∠ 结论：ABC ADE ∆∆∽模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A 型或8型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形 模型实例如图，在ABC ∆中，中线AF 、BD 、CE 相交于点O ，求证：21===OB OD OC OE OA OF解答证法一：如图①，连接DE ∵ D 、E 是中点 ∴21=BC DE ，BC DE // ∴ COB EOD ∆∆∽ （8模型）∴ 21==BC DE OC OE 同理：21=OA OF ，21=OB OD∴ 21===OB OD OC OE OA OF证法二：如图②，过F 作AC FG //交BD 于点G ∵ F 是中点 ∴21==BC BF CD GF ∵ CD AD = ∴21=AD GF ∵ AD FG //∴ DOA GOF ∆∆∽ （8模型）∴ 21==AD GF OA OF 同理：21=OC OE ，21=OB OD∴ 21===OB OD OC OE OA OF如图，点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且DF AE =，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于H ，若2=DF AF ，求BGHF的值解答∵ 四边形ABCD 是菱形 ∴ AD CD BC AB ===设a DF =，则a AE DF ==，a EB AF 2== ∵ AB HD // ∴ BFA HFD ∆∆∽∴21===FB HF AF DF AB HD ∴ a HD 5.1=，31=BH FH∴ BH FH 31=∵ EB HD // ∴ EGB DGH ∆∆∽∴ 4325.1===a a EB HD GB HG ∴ 74=HB BG∴ HB BG 74=∴ 1277431==BH BHBG HF如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且AC DE //，AE 、CD 相交于点O ，若25:1:=∆∆COA DOE S S ，则BDE S ∆与CDE S ∆的比是ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，此图中的相似三角形共有 对如图，在ABC ∆中，中线BD 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点F ，求证：点F 是BC 的中点在ABC ∆中，AD 是角平分线，求证：CDACBD AB =如图，ABC ∆为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且1:2:=EB AE ，求证：AD CE ⊥模型2 共边共角型已知：21∠=∠ 结论：ABC ACD ∆∆∽模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由ABC ACD ∆∆∽进而可以得到：AB AD AC ⋅=2模型实例如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，4=AB ，2=AD ，B DAC ∠=∠，如果ABD ∆的面积为15，那么ACD ∆的面积为解答∵ B DAC ∠=∠，C C ∠=∠ ∴ BCA ACD ∆∆∽ ∵ 4=AB ，2=AD ∴41=∆∆ABC ACD S S ∴31=∆∆ABD ACD S S ∵ 15=∆ABD S如图，在ABC Rt ∆中，090=∠BAC ，BC AD ⊥于D （1）途中有多少对相似三角形？（2）求证：BC BD AB ⋅=2，CB CD AC ⋅=2，CD BD AD ⋅=2； （3）求证：AD BC AC AB ⋅=⋅解答（1）三对，分别是：CBA ABD ∆∆∽；BCA ACD ∆∆∽；CAD ABD ∆∆∽ （2）∵ CBA ABD ∆∆∽ ∴ABBDBC AB =∴ BC BD AB ⋅=2∵ BCA ACD ∆∆∽ ∴ACCDCB AC =∴ CB CD AC ⋅=2∵ CAD ABD ∆∆∽ ∴ADBDCD AD =∴ CD BD AD ⋅=2（3）AD BC AC AB S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴ AD BC AC AB ⋅=⋅如图所示，能判定DAC ABC ∆∆∽的有①DAC B ∠=∠；②ADC BAC ∠=∠；③BC DC AC ⋅=2；④BC BD AD ⋅=2已知：AMN ∆是等边三角形，0120=∠BAC ，求证： （1）BC BM AB ⋅=2； （2）CB CN AC ⋅=2；（3）NC BM MN ⋅=2如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上的一点，过C 作AB CD ⊥于D ，102=AC ，1:4:=DB AD ，求CD 的长如图①，在ABC Rt ∆中，090=∠ACB ，AB CD ⊥，我们可以利用ACD ABC ∆∆∽证明AB AD AC ⋅=2，这个结论我们称之为射影定理。
初中数学重点模型08 相似三角形中的基本模型(能力)
专题08 相似三角形中的基本模型1.（2019 河南中考）在△ABC中，CA＝CB，△ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP△△BAD（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB△△P AC，即可解决问题．（3）分两种情形：△如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC 即可解决问题．△如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．△△P AD＝△CAB＝60°，△△CAP＝△BAD，△CA＝BA，P A＝DA，△△CAP△△BAD（SAS），△PC＝BD，△ACP＝△ABD，△△AOC＝△BOE，△△BEO＝△CAO＝60°，△＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．△△P AD＝△CAB＝45°，△△P AC＝△DAB，△＝＝，△△DAB△△P AC，△△PCA＝△DBA，＝＝，△△EOC＝△AOB，△△CEO＝△OABB＝45°，△直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．△CE＝EA，CF＝FB，△EF△AB，△△EFC＝△ABC＝45°，△△P AO＝45°，△△P AO＝△OFH，△△POA＝△FOH，△△H＝△APO，△△APC＝90°，EA＝EC，△PE＝EA＝EC，△△EP A＝△EAP＝△BAH，△△H＝△BAH，△BH＝BA，△△ADP＝△BDC＝45°，△△ADB＝90°，△BD△AH，△△DBA＝△DBC＝22.5°，△△ADB＝△ACB＝90°，△A，D，C，B四点共圆，△DAC＝△DBC＝22.5°，△DCA＝△ABD＝22.5°，△△DAC＝△DCA＝22.5°，△DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，△＝＝2﹣．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，△PC＝a﹣a，△＝＝2+．2.（2019 湖北黄石中考）如图，AB是△O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是△O上的两点，CE＝CB，△BCD＝△CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是△O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．【分析】（1）连接OC，可证得△CAD＝△BCD，由△CAD+△ABC＝90°，可得出△OCD＝90°，即结论得证；（2）证明△ABC△△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；（3）证明△CBD△△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC＝a，AC＝a，则由勾股定理可得AC的长．【解答】解：（1）连接OC，△AB是△O的直径，△△ACB＝90°，△△CAD+△ABC＝90°，△CE＝CB，△△CAE＝△CAB，△△BCD＝△CAE，△△CAB＝△BCD，△OB＝OC，△△OBC＝△OCB，△△OCB+△BCD＝90°，△△OCD＝90°，△CD是△O的切线；（2）△△BAC＝△CAE，△ACB＝△ACF＝90°，AC＝AC，△△ABC△△AFC（ASA），△CB＝CF，又△CB＝CE，△CE＝CF；（3）△△BCD＝△CAD，△ADC＝△CDB，△△CBD△△DCA，△，△，△DA＝2，△AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，解得：a＝，△．3.（2019 江苏南京中考）如图△，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图△，在边AC上取一点D，过点D作DG△AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．【解答】（1）证明：△DE＝DG，EF＝DE，△DG＝EF，△DG△EF，△四边形DEFG是平行四边形，△DG＝DE，△四边形DEFG是菱形．（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，△△C＝90°，AC＝3，BC＝4，△AB＝＝5，则CD＝x，AD＝x，△AD+CD＝AC，△+x＝3，△x＝，△CD＝x＝，观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．△DG△AB，△＝，△＝，解得m＝，△CD＝3﹣＝，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．△DG△AB，△＝，△＝，△n＝，△CG＝4﹣＝，△CD＝＝，观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD＜3时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．4.（2019 河辽宁大连北中考）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，△BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）△ABC＝△ACB+△BAE，△EAC的平分线与BC相交于点F，BG△AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现△BAE与△DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：△BAE＝△DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF＝FC，AF＝BF，通过证明△ABG△△BCA和△ABF△△BAD，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△ABH△△ACB，可得AB2＝AC×AH，设BD＝m，AB＝km，由勾股定理可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．【解答】证明：（1）△AB＝AD△△ABD＝△ADB△△ADB＝△ACB+△DAC，△ABD＝△ABC＝△ACB+△BAE△△BAE＝△DAC（2）设△DAC＝α＝△BAE，△C＝β△△ABC＝△ADB＝α+β△△ABC+△C＝α+β+β＝α+2β＝90°，△BAE+△EAC＝90°＝α+△EAC△△EAC＝2β△AF平分△EAC△△F AC＝△EAF＝β△△F AC＝△C，△ABE＝△BAF＝α+β△AF＝FC，AF＝BF△AF＝BC＝BF△△ABE＝△BAF，△BGA＝△BAC＝90°△△ABG△△BCA△△△ABE＝△BAF，△ABE＝△AFB△△ABF△△BAD△，且AB＝kBD，AF＝BC＝BF△k＝，即△（3）△△ABE＝△BAF，△BAC＝△A GB＝90°△△ABH＝△C，且△BAC＝△BAC△△ABH△△ACB△△AB2＝AC×AH设BD＝m，AB＝km，△△BC＝2k2m△AC＝＝km△AB2＝AC×AH（km）2＝km×AH△AH＝△HC＝AC﹣AH＝km﹣＝△5.（2019 上海中考）已知：如图，AB、AC是△O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD 并延长交△O于点E，联结CD并延长交△O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【分析】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出△ABO＝△AD B＝△BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，△AB、AC是△O的两条弦，且AB＝AC，△A在BC的垂直平分线上，△OB＝OA＝OC，△O在BC的垂直平分线上，△AO垂直平分BC，△BD＝CD；（2）如图2，连接OB，△AB2＝AO•AD，△＝，△△BAO＝△DAB，△△ABO△△ADB，△△OBA＝△ADB，△OA＝OB，△△OBA＝△OAB，△△OAB＝△BDA，△AB＝BD，△AB＝AC，BD＝CD，△AB＝AC＝BD＝CD，△四边形ABDC是菱形．6.（2019•宁夏）如图，在△ABC中，△A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ△BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM△△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【分析】（1）根据题意得到△MQB＝△CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．【解答】解：（1）△MQ△BC，△△MQB＝90°，△△MQB＝△CAB，又△QBM＝△ABC，△△QBM△△ABC；（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，△MN△BQ，BQ＝MN，△四边形BMNQ为平行四边形；（3）△△A＝90°，AB＝3，AC＝4，△BC＝＝5，△△QBM△△ABC，△＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x，△MN△BC，△＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，△当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．7.（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交△E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是△E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交△E于点G，连接BG；△当tan△ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；△求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明△EDO＝90°即可，可通过半径相等得到△EDB＝△EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，△ODB＝△OBD，得证；（2）△分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；△应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，△BC为圆的直径，△△BDC＝90°，△△BDA＝90°△OA＝OB△OD＝OB＝OA△△OBD＝△ODB△EB＝ED△△EBD＝△EDB△EBD+△OBD＝△EDB+△ODB即：△EBO＝△EDO△CB△x轴△△EBO＝90°△△EDO＝90°△点D在△E上△直线OD为△E的切线．（2）△如图2，当F位于AB上时，过F作F1N△AC于N，△F1N△AC△△ANF1＝△ABC＝90°△△ANF△△ABC△△AB＝6，BC＝8，△AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5△设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k△CN＝CA﹣AN＝10﹣3k△tan△ACF＝＝＝，解得：k＝△即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M△CA于M，△△AMF2△△ABC△设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k△CM＝CA+AM＝10+3k△tan△ACF＝解得：△AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．△方法1：如图4，过G作GH△BC于H，△CB为直径△△CGB＝△CBF＝90°△△CBG△△CFB△△BC2＝CG•CF△＝＝＝≤△当H为BC中点，即GH＝BC时，的最大值＝．方法2：设△BCG＝α，则sinα＝，cosα＝，△sinαcosα＝△（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα△sin2α+cos2α＝1，△sinαcosα≤，即≤△的最大值＝．8.（2019 江西中考）在图1，2，3中，已知△ABCD，△ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且△EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，△CEF＝°；（2）如图2，连接AF．△填空：△F AD＝△EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；△求证：点F在△ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【分析】（1）根据菱形的性质计算；（2）△证明△DAB＝△F AE＝60°，根据角的运算解答；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，证明△AFN△△EFM，根据全等三角形的性质得到FN＝FM，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据直角三角形的性质得到GH＝2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）△四边形AEFG是菱形，△△AEF＝180°﹣△EAG＝60°，△△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°，故答案为：60°；（2）△△四边形ABCD是平行四边形，△△DAB＝180°﹣△ABC＝60°，△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△F AE＝60°，△△F AD＝△EAB，故答案为：＝；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，则△FNB＝△FMB＝90°，△△NFM＝60°，又△AFE＝60°，△△AFN＝△EFM，△EF＝EA，△F AE＝60°，△△AEF为等边三角形，△F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，△△AFN△△EFM（AAS）△FN＝FM，又FM△BC，FN△BA，△点F在△ABC的平分线上；（3）△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△AGF＝60°，△△FGE＝△AGE＝30°，△四边形AEGH为平行四边形，△GE△AH，△△GAH＝△AGE＝30°，△H＝△FGE＝30°，△△GAN＝90°，又△AGE＝30°，△GN＝2AN，△△DAB＝60°，△H＝30°，△△ADH＝30°，△AD＝AH＝GE，△四边形ABCD为平行四边形，△BC＝AD，△BC＝GE，△四边形ABEH为平行四边形，△HAE＝△EAB＝30°，△平行四边形ABEN为菱形，△AB＝AN＝NE，△GE＝3AB，△＝3．。