八年级上册第十五章分式知识点总结及练习
八上数学第十五章知识点总结
八上数学第十五章知识点总结一、分式的概念。
1. 分式的定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(x)/(x + 1)，(1)/(x)等都是分式，而(3)/(5)不是分式，因为分母5是常数，不含有字母。
2. 分式有意义的条件。
- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。
例如对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，该分式有意义。
3. 分式的值为零的条件。
- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。
比如对于分式(x - 1)/(x+1)，当x - 1 = 0（即x = 1）且x+1≠0（x≠ - 1）时，分式的值为0。
二、分式的基本性质。
1. 基本性质。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
例如(2x)/(3y)=(2x×2)/(3y×2)=(4x)/(6y)。
2. 约分。
- 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。
- 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
像(x + 1)/(x^2+1)就是最简分式。
3. 通分。
- 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定最简公分母。
例如对于分式(1)/(x)和(1)/(x + 1)，最简公分母是x(x + 1)，通分后分别为(x+1)/(x(x + 1))和(x)/(x(x + 1))。
三、分式的运算。
1. 分式的乘除。
- 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型
.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
八年级数学上册第十五章分式总结(重点)超详细(带答案)
八年级数学上册第十五章分式总结(重点)超详细单选题1、已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程y+3ay−3+4a3−y=2的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．20B．18C．17D．15答案：D分析：根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a，∴8−6＜a＜8＋6．即：2＜a＜14，∵y+3ay−3+4a3−y=2，∴y＝6−a，∵解是非负数，且y≠3，∴6−a≥0，且6−a≠3，∴a≤6且a≠3，∴2＜a≤6且a≠3，∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15．故选：D．小提示：本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．2、下列运算正确的是（）A．2x2+x2=2x4B．x3⋅x3=2x3C．(x5)2=x7D．2x7÷x5=2x2答案：D分析：根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．A.2x2+x2=3x2，故本选项不符合题意；B.x3⋅x3=x6，故本选项不符合题意；C.(x5)2=x10，故本选项不符合题意；D.2x7÷x5=2x2，正确．故选：D．小提示：本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式等知识点，能正确求出每个式子的值是解答此题的关键．3、已知x＝3是分式方程kxx−1−2k−1x=2的解，那么实数k的值为( )A．－1B．0C．1D．2 答案：D解：将x=3代入kxx−1−2k−1x=2，得：3k2−2k−13=2，解得：k=2，故选D．4、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．5、下列运算中，错误的是( )A．ab =acbc(c≠0)B．−a−ba+b=−1C．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD．x−yx+y=y−xy+x答案：D分析：分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据此作答．解：A、分式的分子、分母同时乘以同一个非0的数c，分式的值不变，故A正确；B、分式的分子、分母同时除以同一个非0的式子（a+b），分式的值不变，故B正确；C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，故C正确；D、x−yx+y =−（y−x）y+x，故D错误．故选D．小提示：本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．6、(−b2a)2n（n为正整数）的值是（）A．b2+2na2n B．b4na2nC．−b2n+1a2nD．−b4na2n答案：B分析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．故选：B．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．7、某中学“启明文学社”的全体同学租一辆面包车去某景点游览，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名其他社团的同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“启明文学社”有x人，则所列方程为（）A．180x −180x−2=3B．180x−180x+2=3C ．180x+2−180x =3D ．180x−2−180x =3答案：B分析：利用总的租价除以人数求得每个同学的车费，再根据增加人数前后每人的均摊车费差列方程即可； 解：由题意得：180x −180x+2=3，故选： B ．小提示：本题考查了分式方程的实际应用，找准题中等量关系列方程是解题关键．8、化简1x+1−x +1得（ ） A ．2−x 2x+1B ．−x 2+2x x+1C ．2−x 2D ．−x 2x+1答案：A分析：异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解：1x+1-x +1=1x+1-（x -1）=1x+1-x 2−1x+1=2−x 2x+1故选：A ．小提示：本题考查了分式的加减运算，熟练通分是解题的关键．9、若a 2=b 3=c 4，则2a 2−3bc+c 2a 2−2ab−c 2的值是( )A ．13B ．−13C ．12D ．−12 答案：C∵a 2=b 3=c 4， ∴b =32a ，c =2a ，则原式2a 2−3bc+c 2a 2−2ab−c 2=2a 2−9a 2+4a 2a 2−3a 2−4a 2=−3a 2−6a 2=12. 故选C. 10、解分式方程x 2x−1+21−2x =3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．x+2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1)D ．x+2＝3(2x ﹣1)答案：C分析：最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程．方程两边都乘以(2x ﹣1)，得x ﹣2＝3(2x ﹣1)，故选C ．小提示：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．填空题11、当x________时，分式x+12x−1有意义．答案：≠12． 分析：分母不为零时，分式有意义.当2x ﹣1≠0，即x ≠12时，分式x+12x−1有意义．故答案为≠12．小提示：本题考点：分式有意义.12、计算(12)−2−30=_________． 答案：3分析：分别计算负整数指数幂和零指数幂，再相减即可．解：(12)−2−30=1(12)2−1=4−1=3 ，所以答案是：3．小提示：本题考查实数的混合运算．掌握负整数指数幂和零指数幂的运算法则是解答本题的关键．13、关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2无解，则m的值为_______．答案：1或6或−4分析：方程两边都乘以(x+2)(x−2)，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．解：∵2x−2+mxx2−4=3x+2，∴2x−2+mx(x+2)(x−2)=3x+2，∴2(x+2)+mx=3(x−2)，∴(m−1)x=−10，当m=1时，显然方程无解，又原方程的增根为：x=±2，当x=2时，m−1=−5，∴m=−4，当x=−2时，m−1=5，∴m=6，综上当m=1或m=−4或m=6时，原方程无解．所以答案是：1或6或−4．小提示：本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．14、若x−3n=6，则x6n=__________．答案：136分析：根据负整数指数幂的逆运算解答即可．∵x-3n=6，∴x6n=1x−6n =1(x−3n)2=162=136.故答案是：136.小提示：考查负整数指数幂问题，解题关键是计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义变形．15、若分式2x−3的值为2，则x的值是_______．答案：4分析：根据题意建立分式方程，再解方程即可；解：由题意得：2x−3=2去分母：2=2(x−3)去括号：2=2x−6移项，合并同类项：2x=8系数化为1：x=4经检验，x=4是原方程的解，所以答案是：4；小提示：本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．解答题16、学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？答案：科普类图书平均每本的价格为20元．分析：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书比用9000元购买文学类图书数量少100本，可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据题意得：10000x =9000x−5−100，化简得x2+5x-500=0，解得：x=20或x=-25（舍去），经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意．答：科普类图书平均每本的价格为20元．小提示：本题考查了分式方程的应用以及解一元二次方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17、计算：(1)a 2a−b +b 2b−a(2)x 2x−1−x −1(3)先化简，再求值：a 2−4b 2a 3−4a 2b+4ab 2，其中a =−3，b =1． 答案：(1)a +b(2)1x−1 (3)a+2b a 2−2ab；−115 分析：（1）先变符号，然后分母不变，分子相加，因式分解后约分即可；（2）先通分，然后利用公式法展开，合并即可；（3）先因式分解，再约分，化为最简分式，代入数值，计算即可．（1）解：a 2a−b +b 2b−a =a 2a−b −b 2a−b =a 2−b 2a−b =(a+b )(a−b )a−b =a +b ；（2）解：x 2x−1−x −1=x 2x−1−(x+1)(x−1)x−1=x 2−x 2+1x−1=1x−1；（3）解：a 2−4b 2a 3−4a 2b+4ab 2=(a+2b )(a−2b )a (a−2b )2=a+2b a (a−2b )=a+2ba 2−2ab ， 当a =−3，b =1时，原式=a+2b a 2−2ab =−3+29−2×(−3)×1=−115．小提示：本题考查分式的加减运算，分式化简求值，掌握分式的加减运算法则，分式化简求值方法与步骤，通分，约分，因式分解是解题关键．18、若a ＞0，M =a+1a+2，N =a+2a+3．（1）当a =3时，计算M 与N 的值；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．答案：（1）M ＝45，N ＝56；（2）M ＜N ；证明见解析.分析：（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．（1）当a=3时，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：M﹣N=a+1a+2−a+2a+3=(a+1)(a+3)−（a+2）2(a+2)(a+3)=−1（a+2）（a+3）．∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴−1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；方法二：猜想：M＜N．理由如下：M N =a+1a+2⋅a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4．∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．小提示：本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．。
人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
八年级数学上册第十五章分式重点知识归纳(带答案)
八年级数学上册第十五章分式重点知识归纳单选题1、下列分式x2−2x2y−xy ，x+1x2+1，−2a2−2a，12xy9z3中，最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．解：x2−2x2y−xy =x(x−2)y(2−x)=−xy，故原式不是最简分式；x+1x2+1是最简分式，−2a2−2a是最简分式，12xy 9z3=4xy3z3，故原式不是最简分式，最简分式有2个故选：B小提示：本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．2、计算(x−2)x=1，则x的值是()A．3B．1C．0D．3或0答案：D分析：根据实数的性质分类讨论即可求解．当x=0，x-2≠0时，(x−2)x=1，即x=0;当x-2=1时，(x−2)x=1，即x=3，故选D．小提示：此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．3、已知8a3b m÷28a n b2=27b2，则m、n的值为（）A．m=4,n=3B．m=4,n=1C．m=1,n=3D．m=2,n=3答案：A分析：先运用单项式除法法则运算，然后令a的次数为0，b的次数为2解答即可．解：8a3b m÷28a n b2=27b28a3b m÷28a n b2=27a3−n b m−2令3-n=0，m-2=2，解得n=3，m=4．故答案为A．小提示：本题考查了单项式除法，灵活运用单项式除法法则是解答本题的关键．4、若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3答案：D分析：分式有意义的条件是分母不为0．∵代数式x+1x−3有意义，∴x−3≠0，∴x≠3故选D．小提示：本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．5、化简a−1a ÷a−1a2的结果是（）A．1a B．a C．a−1D．1a−1答案：B分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：a−1a ÷a−1a2=a−1a×a2a−1=a．故选：B小提示：本题考查的是分式的除法运算，解题的关键是掌握进行分式除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．6、化简a 2+2ab+b 2a 2−b 2−b a−b 的结果是（ ） A ．a a−b B ．b a−b C ．a a +b D ．ba +b答案：A分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解:原式=（a+b)2(a+b)(a−b)-b a−b =a+b a−b -b a−b =a+b -b a−b=a a−b ．故选：A ．小提示：本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键．7、已知分式P =a−5a−3+2a+6a 2−9，Q =1a ，当a >1时，P 与Q 的大小关系是（ ） A ．P >Q B ．P =Q C ．P <Q D ．无法确定答案：A分析：根据分式的加减法法则化简P −Q ，再根据a >1判断P −Q 的正负即可得．解：因为P =a−5a−3+2a+6a 2−9，Q =1a ，所以P −Q =a−5a−3+2a+6a 2−9−1a =a −5a −3+2(a +3)(a +3)(a −3)−1a=a −5a −3+2a −3−1a=1−1a=a−1a ，因为a >1，所以a−1a >0，所以P −Q >0，即P >Q ，故选：A ．小提示：本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．8、计算(−a)2×ba 2 的结果为A ．bB ．−bC ．abD ．b a 答案：A分析：先计算（-a ）2，然后再进行约分即可得.(−a)2×b a 2 =a 2×b a 2 =b ，故选A.小提示：本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键.9、当x =1时，下列分式没有意义的是（ ）A ．x+1xB ．x x−1C ．x−1xD ．x x+1 答案：B分析：由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.x x−1,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.小提示：本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.10、某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ）A ．400x−50=300x B ．300x−50=400x C ．400x+50=300x D ．300x+50=400x答案：B分析：设实际平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．解：设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据题意，可列方程：300x−50=400x ， 故选：B ．小提示：此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．填空题11、某公司用汽车将货物发往甲地，用火车将货物发往乙地．第一次发货时，发往甲、乙两地货物的吨数之比为1:2，且每吨运费之比为4:3．第二次发货时，由于受汽油价格上涨的影响，汽车每吨运费上调了20%（火车每吨运费不变），因此发往甲地货物吨数只有第一次发往甲地货物的59，且第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总运费之比为2:3．则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是______．答案：715分析：设出第一次和第二次发往甲乙两地的吨数与每吨的运费，建立等式后进行化简并求解即可．解：设第一次发往甲、乙两地货物的吨数分别为x ，2x ，且每吨运费分别为4y 元，3y 元，第二次发往乙地m 吨．由题可得：(1+20％)×4y×59x 3ym =23， ∴m =43x ，∴(x +59x):(2x +m )=149x:103x =715， 所以答案是：715．小提示：本题考查了分式的应用，解题关键是设出未知数，找到相等关系列出相应代数式并进行转化．12、化简；x 2−4x+4x 2+2x ÷（4x+2﹣1）=______． 答案：-x−2x分析：直接利用分式的混合运算法则即可得出.原式=(x 2−4x+4x 2+2x )÷(4−x−2x+2)，=(x−2)2x(x+2)÷(2−xx+2)，=(x−2)2x(x+2)⋅(−x+2x−2)，=−x−2x.故答案为−x−2x.小提示：此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.13、分式3−x2−x 的值比分式1x−2的值大3，则x为______．答案：1分析：先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可．根据题意得：3−x2−x -1x−2=3，方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），解得：x=1，检验：把x=1代入x-2≠0，所以x=1是所列方程的解，所以当x=1时，3−x2−x 的值比分式1x−2的值大3．小提示：本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键．14、若√a−2+|b+1|=0，则(a+b)2020=_________．答案：1分析：根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．∵√a−2+|b+1|=0∴a=2，b=−1，∴(a+b)2020=12020=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．15、若方程axa+1−1=21−x的解与方程6x=3的解相同，则a=________．答案：−13分析：求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值．解：方程6x=3去分母得：3x＝6，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解，根据题意将x＝2代入第一个方程得：2aa+1−1=21−2解得：a=−13，经检验a=−13是原分式方程的解，则a=−13．所以答案是：−13．小提示：此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．解答题16、下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x2−9x2+6x+9−2x+1 2x+6=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)第一步=x−3x+3−2x+12(x+3)第二步=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)第三步=2x−6−(2x+1)2(x+3)第四步=2x−6−2x+12(x+3)第五步=−52x+6第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．答案：任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：−72x+6；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．分析：任务一：①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；任务二：根据分式的混合运算法则解答；任务三：可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．解：任务一：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；所以答案是：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；所以答案是：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：原式=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)=x−3x+3−2x+12(x+3)=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)=2x−6−(2x+1)2(x+3)=2x−6−2x−12(x+3)=−72x+6．任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．小提示：本题考查了分式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则、明确每一步计算的根据是解题的关键．17、中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？答案：（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒分析：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；（2）设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进(100−m)盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．根据题意，得4000 x +10=84001.4x．解得x=200．经检验：x=200是原方程的根．∴1.4x=1.4×200=280（元）．∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进(100−m)盒．打折前A种茶叶的利润为m2×100=50m．B种茶叶的利润为100−m2×120=6000−60m．打折后A种茶叶的利润为m2×10=5m．B种茶叶的利润为0．由题意得：50m+6000−60m+5m=5800．解方程，得：m=40．∴100−m=100−40=60（盒）．∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．小提示：本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．18、解分式方程：x−2x −3x−2=1．答案：x=45分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．方程x−2x −3x−2=1，x2−4x+4−3x=x2−2x，−5x=−4，x=45，经检验x=45是分式方程的解，∴原分式方程的解为x=45．小提示：本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．。
2021年八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(答案解析)
一、选择题1．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：660660(110%)x x -+=6，题中x 表示的量为（ ） A ．实际每天铺设管道长度B ．实际施工天数C ．计划施工天数D ．计划每天铺设管道的长度 2．关于分式2634m n m n--，下列说法正确的是（ ） A ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值也扩大2倍B ．分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值扩大2倍C ．分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值不变D ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变3．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）A ．50.2510-⨯B ．60.2510-⨯C ．72.510-⨯D ．62.510-⨯ 4．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B ．0 C ．－3 D ．－45．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a b ab+=( ) A ．-2020B ．-2C ．1D ．2 6．若方程21224k x x -=--有增根，则k =（ ） A ．4- B ．14- C ．4 D ．147．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ）A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x -=-C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 8．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ）A ．1524x x 3=+B ．1524x x 3=- C ．1524x 3x =+ D ．1524x 3x =- 9．下列变形不正确．．．的是（ ） A ．1a b a b a b-=-- B ．1a b a b a b +=++ C ．221a b a b a b +=++ D ．221-=-+a b a b a b10．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=100%⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（ ）A ．660840014710x x ⨯= B ．6608400147660840010x x ⨯=++ C ．660840014147660840010x x ⨯=⨯++ D ．7840066010146608400x x ++⨯= 11．已知227x ,y ==-，则221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．3 12．若分式2-3x x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x >32 B ．x <32 C ．x =32 D ．x ≠3213．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±114．如果111a b a b +=+，则b a a b +的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2- 15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．计算22a b a b a b-=-- _________． 17．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y =+_____． 18．计算：112a a-＝________． 19．211a a a-+=+_________． 20．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．21．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 22．当2x =，3y =-时，代数式22222-⋅++x y x x x xy y的值为________． 23．计算：()1211x x x x x ⎡⎤-⋅=⎢⎥+-⎣⎦______． 24．方程111x x x x -+=-的解是______． 25．方程2111x x x =--的解是___________． 26．方程22020(1)1x x x ++-=的整数解的个数是_____．三、解答题27．先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中12a =，112b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 28．计算：（1）2031(2021)|13|(2)4； （2）2222()()ab a ab b a b a ab b ．29．武汉某道路工程项目，若由甲、乙两工程队合作20天可完工；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完工．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲、乙工程队合作施工时对道路交通有影响，独施工时对交通无影响且要求整个工期不能超过24天，问如何安排两队施工，对道路交通的影响会最小？30．水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用2000元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用2496元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？。
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点一、分式的定义与意义1. 分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
整式是分母中没有字母的代数式，而分式是分母中含有字母的代数式。
2. 分式有意义的条件：分母不能为0，即B≠0时，分式A/B才有意义。
3. 分式无意义的条件：分母为0，即B=0时，分式A/B无意义。
二、分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母同乘 （或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：若C≠0，则A/B = A×C / B×C。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母是取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。
三、分式的运算1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
即：(a/b) ×(c/d) = ac/bd。
2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即：(a/b) ÷(c/d) = (a/b) ×(d/c) = ad/bc。
3. 乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即：(a/b)^n = a^n/b^n （其中n为正整数）。
4. 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：(a/c) ±(b/c) = (a±b)/c。
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
四、分式方程的解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解法步骤：1. 去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母，得到整式方程。
2. 解整式方程：解这个整式方程，得到整式方程的解。
人教版八年级数学上册第十五章分式全章知识点总结及经典例题复习
分式全章知识点总结及经典例题复习知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ）②分式无意义：分母为0（0B）③分式值为0：分子为0且分母不为0（0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（00B A 或00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（0BA 或00BA ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）经典例题1、代数式14x是（）A.单项式B.多项式C.分式D.整式2、在2x，1()3x y ，3，5ax，24x y中，分式的个数为（）A.1B.2C.3D.43、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9元的甲种糖果的质量为千克.4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（）A.1a aB.21a aC.211a aD.211a a5、当1x 时，分式①11x x ，②122x x，③211x x，④311x中，有意义的是（）A.①③④ B.③④ C.②④D.④6、当1a 时，分式211a a（）A.等于0B.等于 1C.等于－1D.无意义7、使分式8483x x 的值为0，则x 等于（）A.38B.12 C.83D.128、若分式2212x xx 的值为0，则x 的值是（）A.1或－1 B.1 C.－1D.－29、当x 时，分式11x x 的值为正数. 10、当x 时，分式11x x 的值为负数.11、当x时，分式132x x的值为 1.12、分式1111x有意义的条件是（）A.0xB.1x且0x C.2x 且0x D.1x 且2x 13、如果分式33x x的值为1，则x 的值为（）A.0xB.3xC.0x 且3x D.3x 14、下列命题中，正确的有（）①A 、B 为两个整式，则式子A B 叫分式；②m 为任何实数时，分式13m m有意义；③分式2116x有意义的条件是4x；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1. comA.1个B.2个 C.3个D.4个15、在分式222x ax xx中a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为0？知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
人教版数学 八年级上 第十五章 分式 小结及习题训练 复习课件
再 见
知识体系
定义
有关概念 分式有意义的条件
分式值为零的条件
约分
分
基本性质性质 通分
式
分式的运算
分式的加减、乘除、乘方、混合运算
分式方程
分式方程的定义 分式方程的解法 分式方程的应用
知识体系
概念
的形式
B中含有字母 B≠0
约分
分式的基本性质
通分
分 式
分式的乘除
分式的运算 分式的加减
分式有意义 分式的值为0
(1)该学生解答过程是从第 一步开始出错的，其错
误原因是 分式的性质用错了 . （2）请写出此题的解答过程。
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2018吉林中考
如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和 两名同学所列的方程。
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队 修路400米与乙队修路 600米所用时间相等，乙 队每天比甲队多修20米， 求甲队每天修路的长度。
根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示 甲队每天修路的 长度， 庆庆同学所列方程中的y表示 甲队修路400米 所；用的天数 （2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的 问题．
解：（2）选冰冰所列方程 甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等； 选庆庆所列的方程， 乙队每天修路长度与甲队每天修路长度的差等于20米。
最简分式
去分母
解分式方程
解整式方程
验根
分式方程应用
变式提高
其中B型垃圾箱的成本比A型高3元，A、B两型号 垃圾箱的单价各是多少？ 问题2：由题可得
小结
【小结】
本节课有哪些的收获？
山东菏泽市八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含解析)
一、选择题1．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．3x =±D ．以上均不对B解析：B【分析】根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．【详解】由题意得：290,30x x -=-≠，解得x=-3，故选：B ．【点睛】此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 2．若关于x 的一元一次不等式组()()1112232321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．3A解析：A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】 关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩， ∵325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩恰有3个整数解， ∴2015a +<≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--，整理得：6y a =， ∵3133y ay y y ++=--有正整数解且63a≠，∴满足条件的整数a 的值为：1，3∴所有满足条件的整数a 的值之和是4，故选A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．3．已知2,1x y xy +==，则y x x y +的值是（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2D 解析：D【分析】 将y x x y+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案． 【详解】 解：2222()2221=21y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．4．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书（ ）A ．20本B ．25本C ．30本D ．35本A 解析：A【分析】设张明平均每分钟清点图书的数量为x ，则李强平均每分钟清点图书的数量为x ＋10，由张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．【详解】设张明平均每分钟清点图书x 本，则李强平均每分钟清点(10)x +本， 依题意，得：20030010x x =+，解得：20x ， 经检验，20x是原方程的解， 所以张明平均每分钟清点图书20本．故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用．找到题中的等量关系，列出分式方程，注意分式方程一定要验根．5．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ）A ．1524x x 3=+B ．1524x x 3=-C ．1524x 3x =+D ．1524x 3x =- D 解析：D【分析】由设硬面笔记本每本售价为x 元，可得软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据小红和小丽买到相同数量的笔记本列得方程．【详解】解：设硬面笔记本每本售价为x 元，则软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据题意可列出的方程为：1524x 3x =-． 故选：D ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程是解题的关键．6．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④C 解析：C【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案．【详解】解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()a a 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭=()()aa 1a 1a a 1÷+-+ =()()a a 11a 1a a+⋅+-=11a -；∵a为负整数，且a1≠-，∴1a-是大于1的正整数，则111a2 <<-．故选C．【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．7．将0.50.0110.20.03x x+-=的分母化为整数，得（）A．0.50.01123x x+-=B．5051003xx+-=C．0.50.01100203x x+-=D．50513xx+-= D解析：D【分析】根据分式的基本性质求解．【详解】解：将0.50.0110.20.03x x+-=的分母化为整数，可得50513xx+-=．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．8．下列式子的变形正确的是（）A．22b ba a=B．22+++a ba ba b=C．2422x y x yx x--=D．22m nnm-=- C解析：C【分析】根据分式的性质逐一判断即可．【详解】解：A.22b ba a=不一定正确；B.22+++a ba ba b=不正确；C. 2422x y x yx x--=分子分母同时除以2，变形正确；D. 22m n n m-=-不正确； 故选：C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．9．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．±1A 解析：A【分析】根据分式值为零的条件列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．【详解】由题意得：|x|−1＝0，x 2−3x+2≠0，解得，x ＝-1，故选：A ．【点睛】本题考查的是分式为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．10．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<<B ．b a c d <<<C ．b a d c <<<D ．a b d c <<< D解析：D【分析】 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】 解：21000.39a -=-=-，2193b -==--，2913c -⎛⎫=- ⎪⎭=⎝，0113d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵10011999-<-<<， ∴a b d c <<<， 故选D ．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．二、填空题11．计算：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝_____．2a4b5【分析】直接利用积的乘方运算法则化简再利用整式的除法运算法则计算得出答案【详解】解：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝4a ﹣4b2÷2a ﹣8b ﹣3＝2a-4-(-8)b2-(-3)=2a解析：2a 4b 5．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝4a ﹣4b 2÷2a ﹣8b ﹣3＝2a -4-(-8)b 2-(-3)，=2a 4b 5．故答案为：2a 4b 5．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练应用法则是解题关键．12．规定一种新的运算“ JX x A B →+∞”，其中A 和B 是关于x 的多项式，当A 的次数小于B 的次数时． 0JX x A B →+∞=；当A 的次数等于B 的次数时， JX x A B→+∞的值为A 、B 的最高次项的系数的商，当A 的次数大于B 的次数时， JX x A B →+∞不存在，例如： 201JX x x →+∞=-，2 2212312JX x x x x →+∞+=+-，若223410211A x x B x x -⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭，则 JX x A B →+∞的值为__________．【分析】根据已知条件化简分式即可求出答案【详解】解：∵的次数等于的次数故答案为：【点睛】本题考查了分式的混合运算熟练分解因式是解题的关键 解析：12【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案．【详解】 解：223410(2)11A x xB x x -=-÷-- ()()()225223111x x x x x x ---⎛⎫=÷ ⎪-+-⎝⎭ ()()()1125112252x x x x x x x x +--+⎛⎫=⨯= ⎪--⎝⎭ 12x x+=， ∵A 的次数等于B 的次数， ∴12x A JXB →+∞=， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．13．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +-+==+---，212(1)332111a a a a a -+-==-+++．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1a a =+_________； （2）①将321a a +-变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=-_________；②若321a a +-为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________．2或6【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；（2）①根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；②令可先求出a 与x 是整数时的对应值再从所得结果中找出符合条 解析：111a -+ 531a +- 2或6 【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a a +变形为满足要求的形式； （2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把321a a +-变形为满足要求的形式；②令325311a x a a +==+--，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件的a ，x 的值，即可得出结论．【详解】 解：（1）1111111a a a a a +-==-+++； 故答案为：111a -+； （2）①323(1)553111a a a a a +-+==+---； 故答案为：531a +-； ②∵323(1)553111a a a a a +-+==+--- 令531x a =+-， 当x ， a 都为整数时，11a -=±或15a -=±，解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4，当a ＝2时，x ＝8；当a ＝0时，x ＝-2；当a ＝6时，x ＝4；当a ＝-4时，x ＝2；∵x ， a 都为正整数，∴符合条件的a 的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．14．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y =+_____．1【分析】先进行分式计算再解方程组代入即可求解【详解】解：原式==xy+2x+2y 解方程组得：当x=3y=﹣1时原式=﹣3+6﹣2=1故答案为：1【点睛】此题考查了分式的化简求值熟练进行分式化简解出解析：1【分析】先进行分式计算，再解方程组，代入即可求解．【详解】解：原式=()22xy x y x y x y++⋅++=xy +2x +2y ， 解方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩得：31x y =⎧⎨=-⎩， 当x =3，y =﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练进行分式化简，解出二元一次方程组是解本题的关键． 15．符号“a bc d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a bc d ＝ad ﹣bc ，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值．若2111111xx =--，那么x ＝__．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的解析：4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．【详解】解：∵211111xx --=1， ∴21111x x-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，即x ＝4是分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．16．H 7N 9病毒直径为30纳米（1纳米＝10－9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小为________米．【分析】根据题意列得这个病毒直径为计算并用科学记数法表示即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查实数的乘法计算科学记数法正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键解析：8310-⨯【分析】根据题意列得这个病毒直径为93010-⨯，计算并用科学记数法表示即可．【详解】983010310--⨯=⨯，故答案为：8310-⨯ ．【点睛】此题考查实数的乘法计算，科学记数法，正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键．17．化简：（﹣2y x）3÷（223⋅y x x y ）＝_______________．﹣【分析】按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】解：原式＝﹣÷＝﹣•＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查分式的混合运算按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键解析：﹣25y x【分析】按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】 解：原式＝﹣36y x ÷y x＝﹣36y x •x y＝﹣25y x， 故答案为：﹣25y x． 【点睛】本题考查分式的混合运算，按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键． 18．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．【分析】根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】当＜时＞2方程变形得：＝−2去分母得：1＝解得：（不符合题意舍去）；当＞即＜2方程变形得：＝−2去分母得：3＝解得：经检验是分式方程的解综 解析：4x =-【分析】根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可．【详解】 当12x -＜32x -时，x ＞2，方程变形得：12x -＝52x x --−2， 去分母得：1＝()522x x ---，解得：=2x -（不符合题意，舍去）； 当12x -＞32x -，即x ＜2，方程变形得：32x -＝52x x --−2， 去分母得：3＝()522x x ---，解得：4x =-，经检验4x =-是分式方程的解，综上，所求方程的解为4x =-．故填：4x =-．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．19．计算：201(1)2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭_____．【分析】先利用零次幂绝对值负整数次幂化简然后再计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了零次幂绝对值负整数次幂以及实数的运算灵活应用相关知识点成为解答本题的关键解析：1--【分析】先利用零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可．【详解】解：201(1)|2|2π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭124=+1=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂以及实数的运算，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．20．计算：()222333a b a b --⋅=_______________．【分析】根据单项式乘单项式计算法则以及幂的乘方与积的乘方负整数指数幂计算即可【详解】原式=故答案为：【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方负整数指数幂属于基础计算题 解析：3a b【分析】根据单项式乘单项式计算法则以及幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，计算即可．【详解】原式=44334343113333a a b a b a b a b b ----+-===故答案为：3a b ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，属于基础计算题．三、解答题21．先化简，再求值：214111x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中5x = 解析：12x -；13【分析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值即可【详解】 解：214111x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭ 2111114x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++-⎝⎭ ()()21122x x x x x ++=⋅++- 12x =- 把5x =代入上式，得：1112523x ==-- 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序正确计算是解题关键．22．为做好新冠肺炎疫情防控，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费3200元，购买消毒液花费3000元，购买的洗手液瓶数是消毒液瓶数的2倍，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格高7元．（1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？（2）入冬以后，常见呼吸道传染病进入高发期，加剧了疫情防控的复杂性，学校决定第二次购入一批洗手液与消毒液，洗手液和消毒液的瓶数分别都比第一次的购入量多100瓶．适逢经销商进行价格调整，每瓶洗手液的价格比第一次的价格降低5%4a ，每瓶消毒液的价格比第一次的价格降低%a ，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液 与消毒液的总费用多400元，求a 的值．解析：（1）一瓶洗手液的价格为8元，一瓶消毒液的价格为15元；（2）20a =．【分析】（1）设一瓶洗手液的价格为x 元，则一瓶消毒液的价格为（x +7）元．根据题意可列出关于x 的分式方程，求出x 即可．（2）先求出第二次购入洗手液和消毒液各多少瓶，再结合题意列出关于a 的一元一次方程，解出a 即可．【详解】（1）设一瓶洗手液的价格为x 元，则一瓶消毒液的价格为（x +7）元． 根据题意可列方程：3200300027x x =⨯+， 解得：8x =，经检验8x =是原方程得解．故一瓶洗手液的价格为8元，一瓶消毒液的价格为8+7=15元．（2）第二次购入洗手液32001005008+=瓶，购入消毒液300010030015+=瓶． 根据题意可列等式：55008(1%)30015(1%)320030004004a a ⨯⨯-+⨯⨯-=++． 解得：20a =．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用．根据题意找准等量关系，列出相应方程是解答本题的关键．23．先化简，再求值：2246221121x x x x x x ++⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，其中x 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数． 解析：22(1)x x -+；3x =-；4 【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可．【详解】 原式2462(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦ 224(1)(1)(1)(2)x x x x x +-=⋅+-+ ()211x x -=+221x x -=+ 当3x =-时，原式2(3)2431⨯--==-+． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．24．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】（1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．25．随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．（1）使用智能分拣设备后，每人每小时可分拣快件多少件？（2）已知某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，每天工作时间为8小时，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作？解析：（1）使用智能分拣设备后每人每小时可分拣快件2100件；（2）每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作【分析】（1）设用传统方式每人每小时可分拣x 件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，利用时间差为4小时列方程80008000452520x x=-⨯，再解方程，检验即可得到答案； （2）利用每天工作总量（10万件）除以工作效率（每人每天分拣82584⨯⨯件），结果取符合题意的正整数即可得到答案．【详解】（1）解：设用传统方式每人每小时可分拣x 件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x 件， 由题意，得80008000452520x x=-⨯． 解得84x =．经检验，84x =是原方程的解，∴252100x =，∴使用智能分拣设备后每人每小时可分拣快件2100件；（2）∵1000002058425821=⨯⨯， ∵2055621<<， ∴每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握工作量等于工作时间乘以工作效率是解题的关键． 26．（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数2342n n -=-+________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数0.20.50.3x y x y-=-_______． （3）若分式231x x +-的值是整数，求整数x 的值． （4）已知12x x +=，求2421x x x ++的值． 解析：（1）2324n n --；（2）10253x y x y --；（3）0，2，6，-4；（4）13 【分析】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以-1即可；（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可；（3）将分式变形得521x +-，要使结果是整数，x-1=±1，或x-1=±5，进而求出x 的整数值即可；（4）倒数法，先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以-1得，2342n n -=-+2324n n --； （2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，0.20.50.3x y x y -=-10253x y x y--； （3）231x x +-=2251x x -+-=22511x x x -+--=521x +-， 要使分式的值为整数，∴x-1=±1，或x-1=±5，解得，x 1=0，x 2=2，x 3=6，x 4=-4，答：整数x 的值为0，2，6，-4． （4）∵12x x +=， ∴221422x x+=-=， ∵422221113x x x x x ++=++=， ∴242113x x x =++． 【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提．27．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭． 解析：（1）5；（2）-42；（3）222xy x y +；（4）67x ．【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）根据负指数整数幂、零指数幂、绝对值的意义及乘方，计算即可；（3）去括号，然后合并同类项即可；（4）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可．解：（1）2152224-⨯+÷ =115522-+=； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭=271161-⨯-+=2716142--+=-；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦ =22223242xy x y x y xy +--=222xy x y +；（4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭ =6633192727x x x x -+-⋅=67x ．【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则． 28．先化简，再求值：2222631121x x x x x x x ++-÷+--+，其中2x =-． 解析：21x +，-2 【分析】 先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的减法即可．【详解】 解：2222631121x x x x x x x ++-÷+--+ 222(3)(1)1(1)(1)3x x x x x x x +-=-⋅++-+ 22(1)11x x x x -=-++ 21x =+， 当2x =-时，原式222211===--+-．本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．。
八年级上册第十五章分式知识点总结及练习
第十五章分式一、知识概念：1.分式：形如公,A、B是整式,B中含有字母且B不等于0的整式叫B做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的根本性质：分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式,分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式〔不为1的数〕约去,这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.6.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四那么运算：⑴同分母分式加减法那么：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：-±b bc c c⑵异分母分式加减法那么：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法那么进行计算.用字母表示为：a_c =ad^cbb d bd⑶分式的乘法法那么：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：旦父8=空b d bd⑷分式的除法法那么：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：旦,c Md =鲍b d bc bc『、n n⑸分式的乘方法那么：分子、分母分别乘方.用字母表示为：心=2I b J b n8.整数指数哥：⑴a m M a n=a m杂〔m、n是正整数〕n⑵〔a m〕=a mn〔m、n是正整数〕⑶〔ab〕n = a n b n〔n是正整数〕⑷ a m+a n=a m H 〔a#0, m、n 是正整数,m>n〕「a J a n⑸二〔n是正整数〕<b J bn 1 一 , 一〔6〕a =-n〔a#0, n 是正整数〕a9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母〔方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程〕;②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根〔求出未知数的值后必须验根,由于在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根〕.分式常考例题精选1 .假设分式——有意义,那么a的取值范围是()A.a=0B.a=1C.aw-1D.aw02 .把分式方程——=-转化为一元一次方程时,方程两边需同乘以()A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3 .分式方程一-一一的解为( )A.3B.-3C.无解D.3 或-34 .今年我省荔枝喜获丰收,有甲、乙两块面积相同的荔枝园,分别收获荔枝600kg和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意,可得方程( )A. --- = ---B. ------------------------ = -----C. --- = ---D. ------------------------ = -----5 .假设分式——有意义,那么x的取值范围是.6 .假设代数式——1的值为零,那么x= .7 .假设关于x的分式方程—=--2有非负数解,那么a的取值范围是8.化简:9.先化简,再求值：— -+ ------------ ,其中 m=-3, n=5.10 .某车队要把4000t货物运到雅安地震灾区〔方案定后,每天的运量不变〕.〔1〕从运输开始,每天运输的货物吨数n〔单位：t〕与运输时间t〔单位：天〕之间有怎样的函数关系式？〔2〕因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原方案少运20%那么t迟1天完成任务,求原方案完成任务的天数.11 .先化简,再求值：---- ----- + --------- ,其中x是不等式3x+7>1的负整数解.12 .某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼,派王老师和李老师去购置一些篮球和排球.回校后,王老师和李老师编写了一道题：〔王老师说广篮丽单价比排球的单价多胤元;李老师说广用1 000元购置的排球个数和请求出篮球和排球的单价各是多少元用I 600元购置的断球个数相等x — b 2x — b .........8・当x=1时,分式3无意义；当x = 2时,分式式的值为°,那么升b11 .分式£7有息乂,那么x 的取值氾围是〔〕2,以下各分式与b 相等的是〔〕a_ 23,以下分式的运算正确的选项是〔 〕 12 3 A.-+h=^r^ a b a+ b J b 2 । -C. , 一 a+ b a+ ba+ b 2 a 2 + b 2 B D 3 一 a 1 .a 2 —6a+ 9 3 —a 4 .化简〔a+ 当4〕〔1 —士〕的结果等于〔〕 a — 3 a — 2 a — 2 A. a —2c B. a+ 2 C.—; a — 3 D. a — 3a —a-2 15 .右x= 3是分式方程 一 ^ = 0的根,那么a 的值是〔〕 x x —26,关于x 的分式方程 E + /—=1的解是非负数,那么m 的取值范围 x —1 1 —x是〔〕A. m>2 B, m>2C. m>2且 mw3D. m>2 且 m*37.小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本,本月再去买时,恰 遇此文具店搞优惠酬宾活动,同样的笔记本,每本比上月廉价1元,结果小明只比上次多用了 4元钱,却比上次多买了 2本.假设设他上月买了 x 本笔记本,那么根 据题意可列方程〔 A. 24 x + 2 20_ x 〕o 20 24 ,八24 20 d 20 24 d 不=1 肛一.=1 a .— 7=15 79.万程-=-^的解是x= .x x—2 ------------------c 3x 2x 1 .10.假设(x —y—2)2+|xy+3| = 0,那么(/—一)；的值是.......... .... m 111.关于x的分式方程x2_4 — £^2 =0无斛,那么m =.12.计算或化简：⑴诋-2 1+*-1|; ⑵急一占；3-a 5(3)2a-44(a+2-a-2),13.解分式方程:1 x — 2(1)x一丁=1；--2x—1 2 4x —2........ 1 x — 1 ........... .一一 .一14.先化简〔1+x^〕工2_4x+4,再从1, 2, 3三个数中选一个适宜的数作为x的值,代入求值；15.小明去离家2.4 km的体育馆看球赛,进场时,发现门票还放在家中, 此时离比赛还有45 min,于是他立即步行〔匀速〕回家取票,在家取票用时2 min, 取到票后,他马上骑自行车〔匀速〕赶往体育馆.小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min,骑自行车的速度是步行速度的3倍.〔1〕小明步行的速度是多少？〔2〕小明能否在球赛开始前赶到体育馆？。
新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题
新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型练习【知识网络】【思维方式】1。
转变观念转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章中常用的数学方法包括：因式分解、一般除法、除法归约、分母去除等。
运用数学知识解决实际问题时，首先要建立简单的数学模型，通过数学模型解决实际问题，并经历了“实际问题-分数阶方程模型-求解-解释解的合理性”的数学过程，了解分数阶方程的模型思想对培养解决实际问题的数学建模思想具有重要意义。
3.类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一课分数运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分数运算相关的算法3分数的减少和评估（一般分数和减少）4幂算法【主要公式】1.同分母加减法则:bcb?ca?a?a?a?0?2.不同分母的加减法则：ba?dc?bcac?daac?bc?daac?a?0,c?0?;3.分式的乘法与除法:ba?dc?bdac,ba?cbdbdd?a?c?ac4.同基幂的加减算法：实际上，它是将相似的5项同基幂的乘法和除法合并；A.m●an=am+n;am÷an=am－n6.产品和功率的功率：（AB）=ambn，（上午)Nm=amn7.负指数幂：a-p=1apa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型问题类型1：测试分数的定义1【例1】下列代数式中：x?,12x?y,a?bx2?y2x?ya?b,x?y,x?y，是分式的有：.问题类型2：检查分数的有意义条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）x?4x?4（2）3x26?x1x2?2（3）x2?1（4）|x|?3（5）x?1问题类型3：检查分数值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）x?1x|?23x?3（2）|x2?4（3）x2？2倍？x2？5倍？六题型四：考查分式的值为正、负的条件[例4]（1）当x是什么值时，分数48?x为正；（2）当x为何值时，分式5.x3？（x？1）2为负；（3）当x为何值时，分式十、二x?3是一种非负数练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）16|x|?3（2）3?x1(x?1)2?1（3）1.1x2。
八年级数学上册第十五章分式知识汇总大全(带答案)
八年级数学上册第十五章分式知识汇总大全单选题1、化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ） A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1答案：A分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．原式=（a ﹣1）÷1−a a •a =（a ﹣1）•a −(a−1)•a =﹣a 2，故选A ．小提示：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．2、下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．x+12+y 3=3（x +1）+2yB ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =2a−3b 4c+5d C ．a−b d−c =b−a c−d D ．2a−2b c+d =a−b c+d答案：C 分析：根据分式的性质逐项分析即可．A 选项分子分母同时乘以6，B 选项分子分母同时乘以100，C 选项分子分母同时乘以-1，D 选项分子因式分解．A ．x+12+y 3=3(x+1)+2y 6， 故该选项不正确，不符合题意； B ．0.2a−0.03b 0.4c+0.05d =20a−3b 40c+5d ， 故该选项不正确，不符合题意； C ．a−b d−c =b−a c−d ，故该选项正确，符合题意；D ．2a−2b c+d =2(a−b )c+d，故该选项不正确，不符合题意； 故选C小提示：本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．3、某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．180−xx =180−x1.5x+1B．180−xx=180−x1.5x−1C．180x =1801.5x+2D．180x=1801.5x−2答案：A分析：根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．由题知：180−xx =180−x1.5x+1故选：A．小提示：本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．4、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.5、若分式1x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠－5B．x≠0C．x≠5D．x＞－5答案：A分析：根据分式有意义的条件列不等式求解．解：根据分式有意义的条件，可得：x+5≠0，∴x ≠−5，故选：A ．小提示：本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．6、对分式y 2x ，x 3y 2，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ．24x 2y 2B ．12x 2y 2C ．24xy 2D ．12xy 2答案：D分析：利用分式通分即可求出答案．最简公分母为：12xy 2．故选D ．小提示：本题考查了分式的通分，属于基础题型．7、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3 答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．8、若a ＝﹣0.32，b ＝(﹣3)﹣2，c ＝(﹣13)﹣2，d ＝(﹣13)0，则( ) A ．a ＜b ＜c ＜dB ．a ＜b ＜d ＜cC ．a ＜d ＜c ＜bD ．c ＜a ＜d ＜b答案：B∵a ＝－0.32=-0.09，b ＝(－3)－2=19，c ＝(−13)−2=9，d ＝(−13)0=1，∴a＜b＜d＜c.故选B.9、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A．v1+v22千米B．v1v2v1+v2千米C．2v1v2v1+v2千米D．无法确定答案：C平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2．依题意得：2÷（1v1+1v2）=2÷ v1+v2v1v2= 2v1v2v1+v2千米．故选C．小提示：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．10、方程12x =2x+3的解为（）A．x=﹣1B．x=0C．x=35D．x=1答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．填空题11、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x<m+1得：x<m+13，∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m≤2；y y−1=4−m 2y−2去分母得2y=4−m，解得y=4−m2，∵m≤2，∴4−m≥2∴y=4−m2≥1，又∵y−1≠0，∴y>1，∴y的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．12、记a※b=(a+b)2−(a−b)2，设A为代数式，若A※14x2−16y2=x−2yx+2y，则A=_____．答案：(x−2y)2分析：先利用完全平方公式化简a※b=(a+b)2−(a−b)2=4ab，由此可得4A⋅14x2−16y2=x−2yx+2y，进而得到A=x−2yx+2y ÷44x2−16y2，化简右边分式即可解答．∵(a+b)2−(a−b)2=(a+b+a−b)(a+b−a+b)=4ab∴a※b=(a+b)2−(a−b)2=4ab，∵A※14x2−16y2=x−2yx+2y，∴4A⋅14x2−16y2=x−2yx+2y∴A=x−2yx+2y÷44x2−16y2=x−2yx+2y⋅4(x+2y)(x−2y)4=(x−2y)2，所以答案是：(x−2y)2．小提示：本题主要考查分式的除法、完全平方公式、因式分解和分式的性质，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．13、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．答案：14##0.25分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=14．所以答案是：14．小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．14、（1）(5x23y )2=________；（2）(2a3bc2)3=________；（3）(3a2b−2c3)3=________；（4）(−3x22y2z)5=________．答案：25x49y28a9b3c6−27a6b38c9−243x1032y10z5分析：根据分式乘方的运算法则计算即可；解：（1）(5x23y )2=25x49y2，（2）(2a3bc2)3=8a9b3c6（3）(3a2b−2c3)3=−27a6b38c9，（4）(−3x22y2z )5=−243x1032y10z5，所以答案是：25x 49y 2，8a 9b 3c 6，−27a 6b 38c 9 −243x 1032y 10z 5小提示：本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键15、某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款的总额为6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等，则第一次捐款的总人数为________人．答案：300分析：先设第一次的捐款人数是x 人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x 的值，再进行检验即可求出答案．解：设第一次的捐款人数是x 人，根据题意得：6600x =7260x+30， 解得：x ＝300，经检验x ＝300是原方程的解，故答案为300．小提示：此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．解答题16、计算：(13)−1+(√23−1)0−√4． 答案：2．分析：根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．(13)−1+(√23−1)0−√4 =3+1−2=2．小提示：本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．17、先化简，再求值：(1+1x+1)⋅x 2−1x+2，其中x =2．答案：x −1，1分析：根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，然后根据分式的性质计算，最后将字母的值代入求解．解：原式=x+2x+1⋅(x+1)(x−1)x+2=x−1．当x＝2时，原式=2−1=1．小提示：本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．18、观察以下等式：第1个等式：13×(1+21)=2−11第2个等式：34×(1+22)=2−12第3个等式：55×(1+23)=2−13第4个等式：76×(1+24)=2−14第5个等式：97×(1+25)=2−15······按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第6个等式____________；(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．答案：（1）118×(1+26)=2−16；（2）2n−1n+2×(1+2n)=2−1n，证明见解析．分析：（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．（1）由前五个式子可推出第6个等式为：118×(1+26)=2−16；（2）2n−1n+2×(1+2n)=2−1n，证明：∵左边=2n−1n+2×(1+2n)=2n−1n+2×n+2n=2n−1n=2−1n=右边，∴等式成立．小提示：本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．。
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第十五章 分式
一、知识概念： 1.分式：形如
A
B
，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b
c
c
c
±±=
⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb
b
d
bd
±±=
⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c
ac b d
bd
⨯=
⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b
d
b c
bc
÷=⨯=
⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n
n n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
8.整数指数幂：
⑴m n m n
a a a +⨯=（m n 、是正整数）
⑵()
n
m mn a
a =（m n 、是正整数）
⑶()n
n n
ab a b =（n 是正整数）
⑷m
n m n
a a a
-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）
⑸n
n n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（n 是正整数）
⑹
1
n
n
a a -=（0a ≠，n 是正整数）
9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式常考例题精选
1.若分式2
a+1有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1
D.a ≠0
2.把分式方程2
x+4=1
x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.x
B.2x
C.x+4
D.x(x+4)
3.分式方程12x 2−9-2x−3=1
x+3的解为 ( ) A.3
B.-3
C.无解
D.3或-3
4.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ，根据题意，可得方程 ( )
A.8 600x = 9 800x+60
B.8 600x = 9 800x−60
C.
8 600
x−60 =
9 800
x D.
8 600
x+60 =
9 800
x
5.若分式 2
x−1 有意义，则x 的取值范围是 .
6.若代数式 2
x−1 -1的值为零，则x= ________.
7.若关于x 的分式方程x
x−1=3a
2x−2-2有非负数解，则a 的取值范围是 .
8.化简：(a −1a
)÷
a 2−2a+1
a
.
9.先化简，再求值：
(1m −1
n )÷
m 2−2mn+n 2
mn
，其中m=-3，n=5.
10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?
(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.
11.先化简，再求值：(x+2x
−
x−1x−2
)÷
x−4
x 2−4x+4
，其中x 是不等式3x+7>1的负
整数解.
12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题： 请求出篮球和排球的单价各是多少元?
1．分式
1
x －1
有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x ≠1 C ．x<1 D ．一切实数
2．下列各分式与b
a 相等的是( )
A .b 2a 2
B .b ＋2a ＋2
C .ab
a 2 D .a ＋
b 2a
3．下列分式的运算正确的是( )
A .1a ＋2b ＝3
a ＋
b B ．(a ＋b
c )2＝a 2＋b 2c 2
C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b
D .3－a a 2－6a ＋9＝13－a
4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1
a －2
)的结果等于( )
A ．a －2c
B ．a ＋2
C .a －2a －3
D .a －3
a －2
5．若x ＝3是分式方程a －2x －1
x －2
＝0的根，则a 的值是( )
A ．5
B ．－5
C ．3
D ．－3
6．已知关于x 的分式方程m x －1＋3
1－x
＝1的解是非负数，则m 的取值范围
是( )
A ．m>2
B ．m ≥2
C ．m ≥2且m ≠3
D ．m>2且m ≠3
7．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )
A .24x ＋2－20x ＝1
B .20x －24x ＋2＝1
C .24x －20x ＋2＝1
D .20x ＋2－24x ＝1
8．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b
3x ＋a
的值为0，则a ＋b
＝ ．
9．方程5
x＝
7
x－2
的解是x＝．
10．若(x－y－2)2＋|xy＋3|＝0，则(
3x
x－y
－
2x
x－y
)÷
1
y的值是．
11.关于x的分式方程
m
x2－4
－
1
x＋2
＝0无解，则m＝．
12．计算或化简：
(1)3
8－2－1＋|2－1|；(2)
2x
x2－4
－
1
x－2
；
(3)3－a
2a－4
÷(a＋2－
5
a－2
)．
13．解分式方程：
(1)1
x－
x－2
x＝1; (2)
1
2x－1
＝
1
2－
3
4x－2
.
14．先化简(1＋
1
x－2
) ÷
x－1
x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数
作为x的值，代入求值；
15．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．
(1)小明步行的速度是多少？
(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？。