(完整版)命题及其关系、充分条件和必要条件-知识点和题型归纳

●高考明方向

1.理解命题的概念．

2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、

否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

★备考知考情

常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，

考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目，

命题的重点主要有两个：

一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；

二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.

一、知识梳理《名师一号》P4

知识点一命题及四种命题

1、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

注意：

命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句

都不是命题。

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系．

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)

1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题

原词语等于（=）大于（>）小于（<）是

否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是

原词语都是至多有一个至多有n个或

否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且

原词语至少有一个任意两个所有的任意的

（1）充分条件：

q p ⇒ 则p 是q 的充分条件

即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，

亦即要使q 成立，有

p 成立就足够了，即有它即可。 （2）必要条件：

q p ⇒ 则q 是p 的必要条件

q p ⇒⇔q p ⌝⇒⌝

即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)（3）充要条件

q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔

则

p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）

“p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当

p ”等 (补充)2、充要关系的类型

（1）充分但不必要条件

定义：若q p ⇒，但p q ⇒/，

则p 是q 的充分但不必要条件；

（2）必要但不充分条件 定义：若p q

⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件

（3）充要条件

定义：若q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔，

则p 、q 互为充要条件；

（4）既不充分也不必要条件

定义：若q p ⇒/，且p q ⇒

/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．

3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题

①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）． 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 集合法----利用集合的观点概括充分必要条件

若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

（1）若⊂≠

A B ，则p 是q 的充分但不必要条件

（2）若⊂≠B A ，则

p 是q 的必要但不充分条件

（3）若B A =，则p 是q 的充要条件

（4）若B A ⊂/，且B A ⊃

/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则

（1）小范围是大范围的充分但不必要条件

（2）大范围是小范围的必要但不充分条件

二、例题分析

（一）四种命题及其相互关系

例1.(1)《名师一号》P4 对点自测1

命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题 是()

A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数

B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数

C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数

D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数

答案 C

例1.(2)《名师一号》P5 高频考点 例1

下列命题中正确的是()

①“若a ≠0，则ab ≠0”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．

A ．①②③④

B ．①③④

C ．②③④

D ．①④ 解读:

①中否命题为“若a ＝0，则ab ＝0”，正确；

②中逆命题不正确；

③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确， 故其逆否命题正确；

④中原命题正确故逆否命题正确．

答案 B

注意：《名师一号》P5 高频考点 例1 规律方法

在判断四个命题之间的关系时，

首先要分清命题的条件与结论，

再比较每个命题的条件与结论之间的关系．

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为 原命题，也就相应的有了它的“逆命题”

“否命题”“逆否命题”；

判定命题为真命题时要进行推理，

判定命题为假命题时只需举出反例即可．

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 例1.(3)《名师一号》P4 对点自测2

(2014·陕西卷)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()

A ．真，假，真

B ．假，假，真

C ．真，真，假

D ．假，假，假

解读 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真， 设z 1＝3＋4i ，z 2＝4＋3i ，则有|z 1|＝|z 2|，

但是z 1与z 2不是共轭复数，所以逆命题为假， 同时否命题也为假．

注意：《名师一号》P5 问题探究 问题2

四种命题间关系的两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

互为逆否命题的两个命题同真假．

(2)当判断一个命题的真假比较困难时，

可转化为判断它的逆否命题的真假．

同时要关注“特例法”的应用．

例2．(1)(补充)

（2011山东文5)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3， 则222a b c ++≥3”的否命题．．．

是（） (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3

(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3

(C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3

(D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3

【答案】A

【解读】命题“若p ，则q ”的否命题是：“若p ⌝，则q ⌝” 例2．(2)(补充)

命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否定．．

是：________ 【答案】若0xy =，则0x ≠且0y ≠

【解读】命题的否定只改变命题的结论。

注意： 命题的否定与否命题的区别

（二）充要条件的判断与证明

例1.(1)(补充)（07湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）

A.①④⑤

B.①②④

C.②③⑤

D.②④⑤

答案:Ｂ

注意：

1、利用定义判断充要条件

q r s p