(完整版)命题及其关系、充分条件和必要条件-知识点和题型归纳
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1－m≤1＋m， 又集合 S 为非空集合，则1－m≥－2， 所以 0≤m≤3.
1＋m≤10， 所以当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件， 即所求 m 的取值范围是[0，3]. 答案： [0，3]
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根据充要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之 间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用 两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端 点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
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2．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤b
C．若 a＋c>b＋c，则 a>b
D．若 a>b，则 a＋c≤b＋c
A [命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否
命题为“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”．]
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3．(2019·甘肃酒泉一诊)在下列四个命题中，所有真命题的编号是( ) ①“若 x>y，则 x>|y|”的逆命题； ②“若 a·b＝a·c，则 a⊥(b－c)”的否命题； ③“若 x2>0，则 x>1”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为 60°”的逆命题． A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
－1 或 y≠－1，
所以¬p：x＋y＝－2，¬q：x＝－1 且 y＝－1.
因为¬q⇒¬p，但¬p⇒/ ¬q，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的
充分不必要条件．]
理科数学学霸笔记02命题及其关系、充分条件与必要条件
考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。
2021届高考数学总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件
2021届高考数学总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识点1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论。
2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同。
3．A是B的充分不必要条件⇔非B是非A的充分不必要条件。
4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。
(3)若A＝B，则p是q的充要条件。
一、走进教材1．(选修2－1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”。
故选C。
答案 C2．(选修2－1P 10练习T 3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2。
故选B 。
答案 B二、走近高考3．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1。
(完整word版)高考数学题型归纳完整版
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1 集合的基本概念题型1-2 集合间的基本关系题型1-3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7 判断命题的真假题型1-8 含有一个量词的命题的否定题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1 映射与函数的概念题型2-2 同一函数的判断题型2-3 函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解题型2-5 函数定义域的应用题型2-6 函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断题型2-8 函数单调性（区间）的判断题型2-9 函数周期性的判断题型2-10 函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12 二次方程的实根分布及条件题型2-13 二次函数“动轴定区间”“定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质题型2-16 指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18 对数函数的图象与性质题型2-19 对数函数中恒成立问题第七节幂函数题型2-20 求幂函数的定义域题型2-21 幂函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22 判断函数的图象题型2-23 函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24 求函数的零点或零点所在区间题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27 函数与数列的综合题型2-28 函数与不等式的综合题型2-29 函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1 导数的定义题型3-2 求函数的导数第二节导数的应用题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5 函数的极值与最值的求解题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7 讨论含参函数的单调区间题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题题型3-9 不等式恒成立与存在性问题题型3-10 利用导数证明不等式题型3-11 导数在实际问题中的应用第三节定积分和微积分基本定理题型3-12 定积分的计算题型3-13 求曲边梯形的面积第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别题型4-2 α2是第几象限角题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算题型4-4 三角函数定义题型4-5 三角函数线及其应用题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型4-8 诱导求值与变形第二节三角函数的图象与性质题型4-9 已知解析式确定函数性质题型4-10 根据条件确定解析式题型4-11 三角函数图象变换第三节三角恒等变换题型4-12 两角和与差公式的证明题型4-13 化简求值第四节解三角形题型4-14 正弦定理的应用题型4-15 余弦定理的应用题型4-16 判断三角形的形状题型4-17 正余弦定理与向量的综合题型4-18 解三角形的实际应用第五章平面向量第一节向量的线性运算题型5-1 平面向量的基本概念题型5-2 共线向量基本定理及应用题型5-3 平面向量的线性运算题型5-4 平面向量基本定理及应用题型5-5 向量与三角形的四心题型5-6 利用向量法解平面几何问题第二节向量的坐标运算与数量积题型5-7 向量的坐标运算题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示题型5-9 平面向量的数量积题型5-10 平面向量的应用第六章数列第一节等差数列与等比数列题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求解题型6-2 等差、等比数列的求和题型6-3 等差、等比数列的性质应用题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列题型6-5 等差数列与等比数列的综合第二节数列的通项公式与求和题型6-6 数列的通项公式的求解题型6-7 数列的求和第三节数列的综合题型6-8 数列与函数的综合题型6-9 数列与不等式综合第七章不等式第一节不等式的概念和性质题型7-1 不等式的性质题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式第二节均值不等式和不等式的应用题型7-3 均值不等式及其应用题型7-4 利用均值不等式求函数最值题型7-5 利用均值不等式证明不等式题型7-6 不等式的证明第三节不等式的解法题型7-7 有理不等式的解法题型7-8 绝对值不等式的解法第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域题型7-10 平面区域的面积题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围题型7-12 简单线性规划问题的实际运用第五节不等式综合题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围题型7-14 函数与不等式综合第八章立体几何第一节空间几何体的表面积与体积题型8-1 几何体的表面积与体积题型8-2 球的表面积、体积与球面距离题型8-3 几何体的外接球与内切球第二节空间几何体的直观图与三视图题型8-4 直观图与斜二测画法题型8-5 直观图、三视图题型8-6 三视图⟹直观图——简单几何体基本量的计算题型8-7三视图⟹直观图——简单组合体基本量的计算题型8-8 部分三视图⟹其余三视图第三节空间点、直线、平面之间的关系题型8-9 证明“线共面”、“点共面”或“点共线”题型8-10 异面直线的判定第四节直线、平面平行的判定与性质题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系第五节直线、平面垂直的判定与性质题型8-12证明空间中直线、平面的垂直关系第六节空间向量及其应用题型8-13 空间向量及其运算题型8-14 空间向量的立体几何中的应用第七节空间角与距离题型8-15 空间角的计算题型8-16 点到平面距离的计算第九章直线与圆的方程第一节直线的方程题型9-1 倾斜角与斜率的计算题型9-2 直线的方程第二节两条直线的位置关系题型9-3 两直线位置关系的判定题型9-4 有关距离的计算题型9-5 对称问题第三节圆的方程题型9-6 求圆的方程题型9-7 与圆有关的轨迹问题题型9-8 点与圆位置关系的判断题型9-9 圆的一般方程的充要条件题型9-10 与圆有关的最值问题题型9-11 数形结合思想的应用第四节直线与圆、圆与圆的位置关系题型9-12 直线与圆的位置关系的判断题型9-13 直线与圆的相交关系题型9-14 直线与圆的相切关系题型9-15 直线与圆的相离关系题型9-16 圆与圆的位置关系第十章圆锥曲线方程第一节椭圆题型10-1 椭圆的定义与标准方程题型10-2 离心率的值及取值范围题型10-3 焦点三角形第二节双曲线题型10-4 双曲线的标准方程题型10-5 双曲线离心率的求解及其取值范围问题题型10-6 双曲线的渐近线题型10-7 焦点三角形第三节抛物线题型10-8 抛物线方程的求解题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题第四节曲线与方程题型10-11 求动点的轨迹方程第五节直线与圆锥曲线位置关系题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系题型10-13 中点弦问题题型10-14 弦长问题第六节圆锥曲线综合题型10-15 平面向量在解析几何中的应用题型10-16 定点问题题型10-17 定值问题题型10-18 最值问题第十一章算法初步题型11-1 已知流程图，求输出结果题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图题型11-3 求输入参数题型11-4 算法综合第十二章计数原理第一节计数原理与简单排列组合问题题型12-1 分类计数原理与分步计数原理题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合第二节排列问题题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题题型12-5 元素相邻排列问题题型12-6 元素不相邻排列问题题型12-7 元素定序问题题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列第三节组合问题题型12-9 单纯组合应用问题题型12-10 分选问题和选排问题题型12-11 平均分组问题和分配问题第四节二项式定理题型12-12 证明二项式定理题型12-13 T r+1的系数与x幂指数的确定题型12-14 二项式定理中的系数和题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值题型12-16 二项式定理的综合应用第十三章排列与统计第一节概率及其计算题型13-1 古典概型题型13-2 几何概型的计算第二节概率与概率分布题型13-3 概率的计算题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差题型13-5 正态分布第三节统计与统计案例题型13-6 抽样方法题型13-7 样本分布题型13-8 频率分布直方图的解读题型13-9 线性回归方程题型13-10 独立性检验第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型14-1 归纳猜想题型14-2 类比推理第二节直接证明和间接证明题型14-3 综合法与分析法证明第三节数学归纳法题型14-4 数学归纳法的完善题型14-5 证明恒等式题型14-6 整除问题题型14-7 不等式证明题型14-8 递推公式导出{a n}通项公式的猜证及有关问题的证明第十五章复数题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件题型15-2 复数的几何意义第十六章选讲内容第一节几何证明选讲（选修4-1）题型16-1 圆和直角三角形中长度和角的计算题型16-2 证明题题型16-3 空间图形问题转化为平面问题第二节坐标系与参数方程（选修4-4）题型16-4 参数方程化为普通方程题型16-5 普通方程化为参数方程题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程第三节不等式选讲（选修4-5）题型16-7含绝对值的不等式题型16-8 不等式的证明题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）题型16-10 数学归纳法。
第二讲：命题及其关系、充要条件与必要条件
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件【知识要点精解】一、命题的概念1、命题的概念在数学中，可以判断真假的用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。
注意：一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可。
2、判断一个语句是否是命题的标准判断一个语句是否是命题要看它是否同时满足以下两个条件：①：语句是陈述句；②：语句能够判断真假。
注意：①、一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；②、对于含有变量的句子，要注意到能否判断出真假，若能，则是命题；若不能，则不是命题；③、还有一些语句，尽管目前不能判断出真假，但是从事物的本质而论，是可以判断出真假，尤其是科学上的一些猜想，这类语句是真命题。
3、命题的形式数学中通常把命题写成“若P,则q”的形式，其中P是条件，q是结论。
有些命题不是这种形式，不过通过改写条件可以把它变成这种形式。
二、四种命题及其关系1、四种命题的形式原命题的表示形式为：若P,则q；逆命题的表示形式为：若q,则P；否命题的表示形式为：若⌝P,则⌝q；逆否命题的表示形式为：若⌝q,则⌝P。
注意：一些常见词语的否定总结如下：由上表可知：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．因此，在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么0个，要么2个，要么4个。
注意：写一命题的其他三种命题时，需注意①、对于不是“若P,则q”形式的命题，需先改写；②、当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；③、对于多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提。
三、充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件(1) 如果pÞq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果pÞq，且qÞp，那么称p是q的充要条件，记作pÛq.(3) 如果p Þq ，q Þ/p ，那么称p 是q 的充分不必要条件． (4) 如果q Þp ，p Þq ，那么称p 是q 的必要不充分条件．(5) 如果p Þ/ q ，且q Þ/ p ，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件． 注意：①、充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分2、从集合的观点看充分条件与必要条件 若p 以集合A 的形式出现，q 是以集合B 的形式出现，即A={P(x)},B={q(x)},则关于充分条件、必要条件的定义又可以作一下叙述：①、若A ⊆B ，则p 是q 的充分不必要条件; ②、若B ⊆A ，则p 是q 的必要不充分条件；③、若A=B ，则p 是q 的充分必要条件；④、若,A B B A ⊄⊄，则p 是q 的既充分不必要条件。
命题及其关系、充分条件与必要条件
题型二
充分必要条件的判定
师生共研
典例 (1)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的 A.充分不必要条件 √ C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析
答案
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的 A.充分不必要条件 √ C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
所以逆命题为假，则否命题也为假.故选B.
解析 答案
4.设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是
若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 ___________________________________.
答案
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2) 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题， 只需举出反例即可. (3) 根据“ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假” 这 一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的 真假.
知识梳理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题，其中 判断为真 的语句叫做真命题， 判断为假 的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 若q，则p
若綈p，则綈q
若綈q，则綈p
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同 的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系 . 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且q⇏p
2命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题(2)3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果pÞq，q⇏p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果qÞp，p⇏q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇏q，且q⇏p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．题型二充分条件与必要条件例3已知p：“a，b，c成等比数列”，q：“b＝ac”，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件变式训练在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．。
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
p是q的充 分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p A B
p是q的既不充分条件 也不必要条件
p q且q p A B且A B
二、“基本技能”运用好 1．通过对四种命题及其相互关系的复习，提高学生的抽象概
答案：A
[一“点”就过] 判断命题真假的 2 种方法
直接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理 证明；说明一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题 间接 与否命题同真同假”这一性质，当一个命题 判断 直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否
命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改 写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前 提．(3)命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是条 件不变只否定结论．
答案：充分不必要 充要
三、“基本思想”很重要 1．利用等价转化思想判断命题真假及充分与必要条件． 2．利用集合思想、数形结合思想解决充分、必要条件的应用
问题．
1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是
()
A．若α≠π4，则tan α≠1
B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4
答案：C
3．(2020·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
()
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
最经典总结-命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[知识感悟]1．四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B 的充要条件．[知识自测]1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题[解析] 对于A ，其逆命题是若x ＞|y |，则x ＞y ，则真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y .[答案] A2．(2017·天津)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以是充分不必要条件，选A.[答案] A3．在下列三个结论中，正确的是 ________ .(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，△＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析] 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． [答案] ①②题型一四种命题及相互关系(基础拿分题——自主练透)(1)(2018·广东肇庆一模)原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[解析]原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．[答案]C(2)(2018·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④[解析]对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.[答案]A思维升华1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假方法感悟1．写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对补偿】1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．“若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数”B．“若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数”C．“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”D．“若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数”[解析]由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案]C2．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数，是真命题”[解析]由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案]D题型二充分条件，必要条件的判断(高频考点题、共同探讨)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件； (3)与命题的真假性相交汇命题． 考向一 与不等式有关的题型1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＜⎝⎛⎭⎫x 2＋12x －32min ， 令f (x )＝x 2＋12x －32，则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12，故m ≤－12”是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.[答案] B考向二 与三角有关的题型2．(2018·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案] A考向三 与向量有关的题型3．(2018·甘肃省兰州市二模)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵a ⊥b ，∴(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，化为：2x 2－3x －2＝0，解得x ＝－12或2.∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．故选：B. [答案] B考向四 与数列有关的题型4．(2018·北京市西城区一模)数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)．则“c ≤1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －c |(n ∈N *)，若“{a n }为递增数列”，则a n ＋1－a n ＝|n ＋1－c |－|n －c |＞0，即(n ＋1－c )2＞(n －c )2，解得c ＜n ＋12，∵n ＋12≥32，∴c ≤1是{a n }为递增数列充分不必要条件，故选A.[答案] A考向五 与几何问题有关的题型5．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若a ，b 相交则α，β一定相交．若α，β相交则不能得出a ，b 相交．故选A. [答案] A考向六 与函数有关的题型6．(2018·合肥一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ≤0或a ＞1B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ＜0[解析] 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.[答案] D方法感悟充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：常见题型求解策略与不等式相关的充分必要条件的判断可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断与平面向量相关的充分必要条件的判断该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理与三角相关的充分必要条件的判断熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键与数列相关的充分必要条件的判断熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、a n与S n的关系与立体几何相关的充分必要条件的判断可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断与解析几何相关的充分必要条件的判断首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断【针对补偿】3．(2018·东北三省四市联考)“x＜2”是“x2－3x＋2＜0”成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由x2－3x＋2＜0，解得1<x<2，因为{x|1<x<2}{x|x<2}，所以“x<2”是“x2－3x ＋2<0”成立的必要不充分条件，故选A.[答案]A4．(2018·广西名校联考)在△ABC中，命题p：“B≠60°”，命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]命题p：“B≠60°”则(A＋C)－2B＝π－B－2B≠0，⇔命题q：“△ABC的三个内角A，B，C不成等差数列”，故选C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，最小值为－b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24，t ≥－b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为－b24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A.[答案] A题型三 充分必要条件的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·皖北第一次联考)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析] ∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，∵p是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.[答案] B(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ________ .[解析] 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.故答案为⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 方法感悟根据充要条件求解参数范围的注意点1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【针对补偿】6．已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] p ：－1≤x ≤4，q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0)， 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ＞4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ＜－1，3－m ＞4，解得m ≤－4或m ≥4，选C.[答案] C7．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是______．[解析] 由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1， 若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.[答案] ⎣⎡⎦⎤－12，43 ◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二)[A 基础巩固练]1．(2018·山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定[解析] 命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．[答案] B2．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若x >|y |，则x >y 或x >－y ，若x >y ，当y >0时，x >|y |，当y <0时，不能确定x >|y |.故选C.[答案] C3．(2018·河北保定二模)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1[解析] 由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m <0，即m >14.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m >0，故选C.[答案] C4．(2018·北京市朝阳区二模)“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy ≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy≥2”的充分而不必要条件．故选：A.[答案] A5．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A ．“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac”，则a，b，c不成等比数列[解析]根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模) 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p⇒q，但q⇒p不一定成立，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p是q的充分不必要条件．故选A.[答案]A7．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：______.[解析]原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．[答案]“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”8．(2018·湖南常德一中月考)若“x2－2x－3＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a 的最小值为________.[解析]由x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.因为“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－1或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.[答案]39．有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．其中真命题的序号为________.[解析]命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a＞b，则a 2＞b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x ＞－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．[答案] ①10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. [B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 由函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数可得：f (－x )＝f (x )⇒g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，充分条件成立，当函数g (x )是奇函数时，有g (－x )＝－g (x )，又g (x )＝11－2x －12f (x )，可得函数f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，即必要条件也成立，所以p 是q 的充要条件．[答案] C2．(2018·长春市质监二)已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由p 成立，则a ≤1，由q 成立，则a >1，所以綈p 成立时a >1是q 的充要条件．故选C.[答案] C3．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确的是________.[解析]由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由|AB|2＋|AC|2＝|BC|2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．[答案]①④4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，此时x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要5．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．[解]A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a } 则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }， 则a ≤2或a ≥43，即a ＜0.当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)． [C 尖子生专练](2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件[解析] 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.[答案] B。
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件(知识梳理)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件复习目标学法指导1.命题的概念.2.命题的否定,命题的逆命题、否命题、逆否命题.3.四种命题间的相互关系.(1)四种命题间的相互关系.(2)利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判断命题的真假.会列举四种命题的相互转化. 4.充分条件与必要条件:必要条件、充分条件的含义.5.充要条件:充要条件的含义. 会证明具体问题中的必要性和充分性. 1.明确命题的结构与类型是解决命题问题的前提.本节涉及三种类型:若p则q型、量词型. 2.命题真假的判定与应用是重点,关键在于掌握不同类型的判定法则.3.善于利用逆否命题的等价性化难为易地解决问题.4.理解充分条件、必要条件的定义,明确充分性、必要性的相对性.5.掌握充分性、必要性的判定方法,能灵活选择、准确应用.6.能利用充分性、必要性解决参数求值问题.一、命题1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的逆否关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有确定的关系.1.概念理解(1)判断一个语句是否为命题,首先确定是否为陈述句,否则一定不是命题.(2)改写命题为“若p则q”形式时,应使p,q构成完整的叙述部分,同时注意大前提的存在.(3)四种命题之间的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题、否命题、逆否命题”.2.与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提,其他三种命题需保留大前提;(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题:前者既否定条件,又否定结论,后者只否定命题的结论;(3)常见词语的否定形式有:词语是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假3.与命题真假相关联的结论(1)给出一个命题,要判定它是真命题,需经过严格的推理证明或转化为等价命题后再判定,而要说明它是假命题,只需举一反例即可;(2)命题与命题的否定真假相反;(3)互为逆否关系的命题真假相同,所以四种命题的真假个数一定为偶数.二、充要条件1.相关概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q﹁pp是q的必要不充分条件p q且q⇒p p是q的充要条件p⇔q p是q的既不充分也不必要条件p q且q p 2.集合与充要条件p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分不必要条件(p⇒q且q p ) A是B的真子集(A B) p是q的必要不充分条件(p q,q⇒p) B是A的真子集(B A) p是q的充要条件(p⇔q) A=B p是q的既不充分也不必要条件A,B互不包含1.概念理解(1)要弄清先后顺序:“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B,且B不能推出A;而“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A 不能推出B.(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.2.与充要条件的判定相关的结论判断充分必要条件的常用方法(1)定义法.(2)集合法.(3)等价转化法:利用p⇒q与﹁q⇒﹁p,q⇒p与﹁p⇒﹁q,p⇔q与﹁q ⇔﹁p的等价关系.对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价转化法.1.下列命题中为真命题的是( A )(A)命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题(B)命题“若x>1,则x 2>1”的否命题 (C)命题“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题 (D)命题“若x 2>0,则x>1”的逆否命题解析:对于A,其逆命题:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|=(0),(0),y y y y ≥⎧⎨-<⎩必有x>y;对于B,其否命题:若x ≤1,则x 2≤1,是假命题,如x=-5,x 2=25>1;对于C,其否命题:若x ≠1,则x 2+x-2≠0,因为x=-2时,x 2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x 2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.故选A.2.(2019·金华十校高考模拟)已知a,b ∈R,下列四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( B ) (A)a>b-1 (B)a>b+1 (C)|a|>|b| (D)2a >2b解析:a>b+1⇒a>b,反之a>b 不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b 的充分不必要条件. 故选B.3.(2019·北京卷)设函数f(x)=cos x+bsin x(b 为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( C ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为f(x)=cos x+bsin x 为偶函数, 所以对任意的x ∈R 都有f(-x)=f(x),即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x, 所以2bsin x=0. 由x 的任意性,得b=0.故f(x)为偶函数⇒b=0.必要性成立.反过来,若b=0,则f(x)=cos x 是偶函数.充分性成立. 所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件. 故选C.4.若“m ≤a ”是“方程x 2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .解析:因为一元二次方程x 2+x+m=0有实数根的充要条件是Δ=1-4m ≥0,即m ≤14,而“m ≤a ”是“方程x 2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,所以a>14. 答案:(14,+∞)考点一 四种命题及其真假判断 [例1] (1)原命题为“若12nn aa ++<a n ,n ∈N +,则{a n }为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性依次如下,正确的是( ) (A)真、真、真 (B)假、假、真 (C)真、真、假 (D)假、假、假(2)以下说法正确的有 (填写所有正确命题的序号). ①“若log 2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题为真命题.解析:(1)原命题即“若a n+1<a n,n∈N+,则{a n} 为递减数列”为真命题,则其逆否命题为真,逆命题是“若{a n}为递减数列,n∈N+ ,则a n+1<a n”为真命题,所以它的否命题也为真命题. 故选A.(2)对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=log a x在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,否命题为“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”,是假命题.答案:(1)A (2)②(1)在判定四个命题之间的关系时,首先要分清命题的“大前提、条件、结论”,再进行比较.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质,当一个命题的真假不易判定时,可转化为判断其等价命题的真假.考点二充分必要条件的判断[例2] 如果x,y∈R,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:设p:x≠y,q:cos x≠cos y,所以﹁p:x=y,﹁q:cos x=cos y,显然﹁q是﹁p的必要不充分条件,所以p是q的必要不充分条件,故选B.(1)在求解这类问题时应注意以下三点:一要分清条件与结论分别是什么;二要从充分性、必要性两个方面进行判断;三直接判断比较困难时,可举出反例说明.(2)等价转化法:当命题的条件与结论带有否定性词语时,常转化为其逆否命题来判断真假.(2019·浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为a>0,b>0,若a+b≤4,所以ab a+b≤4.所以ab≤4,此时充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,这与a+b ≤4矛盾,因此必要性不成立.综上所述,当a>0,b>0时,“a+b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件. 故选A.考点三 充分条件、必要条件的探求与应用[例3] (1)(2018·台州中学模拟)设a,b ∈R,则使a>b 成立的一个充分不必要条件是( )(A)a 3>b 3 (B)1a <1b(C)a 2>b 2 (D)a>b+|b|(2)已知命题p:x 2+2x-3>0,命题q:1x a x a --->0,且﹁q 的一个必要不充分条件是﹁p,则a 的取值范围是( ) (A)[-3,0] (B)(-∞,-3]∪[0,+∞) (C)(-3,0) (D)(-∞,-3)∪(0,+∞)解析:(1)选项A 是充要条件,在选项B 和C 中,当a 取负数,b 取正数时,显然不能推出a>b,选项D,由|b|≥0,b+|b|≥b,又因为a>b+|b|,所以a>b 成立,由a>b 不能得到a>b+|b|.故选D. (2)x 2+2x-3>0的解集为x>1或x<-3, 故﹁p:-3≤x ≤1;1x ax a --->0的解集为x>a+1或x<a,故﹁q:a ≤x ≤a+1;﹁q 的一个必要不充分条件是﹁p, 所以[a,a+1][-3,1],故11,3a a +≤⎧⎨≥-⎩且等号不能同时取到,解得a ∈[-3,0],故选A.解决由充分必要条件求参数范围问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解,要注意区间端点值的检验.直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( C )(A)-3<m<1 (B)-4<m<2 (C)0<m<1 (D)m<1解析:若直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点,12m 2即|m+1|<2,解得-3<m<1,这是直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点的充要条件,因此直线x-y+m=0与圆x 2+y 2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件可以是0<m<1, 故选C.考点四 易错辨析[例4] 条件p:-2<x<4,条件q:(x+2)(x+a)<0;若q 是p 的充分条件,则a 的取值范围是 .解析:设集合A={x|-2<x<4},B={x|(x+2)(x+a)<0}, 因为q 是p 的充分条件, 所以B ⊆A.①当a=2时,B={x|(x+2)2<0}=∅,显然B ⊆A.②当a ≠2时,因为B ⊆A,所以B={x|-2<x<-a},所以4,2,a a -≤⎧⎨->-⎩得4,2,a a ≥-⎧⎨<⎩即-4≤a<2. 综上可知,a ∈[-4,2].答案:[-4,2](1)误将“充分条件”理解为“充分不必要条件”,造成漏解端点值,得到错误答案;(2)易忽略∅的情形,得到错误答案;(3)列举不等关系时忽略非空集合B 存在的前提-a>-2,导致错解.1.(2019·浙江“五校联考”高考模拟)已知x+y>0,则“x>0”是“2|x|+x 2>2|y|+y 2”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:取特殊值,“x=2,y=3”推出2|x|+x 2<2|y|+y 2,所以充分性不成立.构造函数f(x)=2|x|+x 2,为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,若f(x)>f(y),则|x|>|y|,又x+y>0,所以x>0,必要性得证.故选B.2.已知p:51x +≥1,q:x 2-2x+1-m 2<0(m>0),若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .解析:由51x+≥1移项通分得41xx-+≥0,解得-1<x≤4;由x2-2x+1-m2<0得[x-(1-m)][x-(1+m)]<0,因为m>0,所以解得1-m<x<1+m;因为p是q的必要不充分条件,则11,14,0,mmm-≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得0<m≤2.答案:(0,2]。
命题及其关系,充分条件和必要条件 知识点+例题 分类全面
命题：两直线平行，同位角相等.1．四种命题之间的关系2．四种命题的真假关系（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆命题“若0ab=，则0a=”是假命题．（2）原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0a≠，则0ab≠”是假命题．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆否命题“若0ab≠，则0a≠”是真命题．（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．3．否命题及命题的否定否命题是对原命题既否定其条件，又否定其结论；即“若p⌝，则q⌝”命题的否定是只否定命题中的结论. 即“若p，则q⌝”4．常见的一些词语和它的否定词语对照表原词语等于（=）大于（>）小于（<）是都是至多有一个否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是至少有两个原词语至多有n个至少有一个任意的能p或q否定词语至少1n+个一个也没有某个不能p⌝且q⌝[例1]若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q与r的关系是____________.（互为逆命题，互为否命题，知识模块2四种命题的关系精典例题透析解析：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)原命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0. 逆命题：若x 2－2x －3＝0，则x ＝3； 否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0； 逆否命题：如果x 2－2x －3≠0，那么x ≠3.[巩固]下列四个命题：①“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题；④若“m >2，则x 2－2x ＋m >0，x ∈R”．其中真命题的个数为________.1个题型三：命题的否定与否命题[例]写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．（1）若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数； （2）若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0； （3）若一个数是质数，则这个数是奇数．解析：(1)命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题． 原命题的否命题：若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，是假命题． (2)命题的否定：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0，为假命题． 原命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题． (3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题． 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题． [巩固]命题“若a ＝－1，则a 2＝1”的逆否命题是__________________．答案：若a 2≠1，则a ≠－1题型四：充要条件的判断[例] （1）(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的_____________条件.（2）如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的____________条件.解析 (1)将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，(2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[巩固]（1）(2014·湖北)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的___________条件.（2）(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件.解析(1)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．(2)当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．题型五：根据充要条件求解参数的取值范围[例]函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x>0，－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是________________.a<0解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.观察选项，{a|a<0}[巩固]（1）条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是() (－∞，－4)（2）设p：|x－1|＜1，q：x(x－a)＜0，若p是q的充分不必要条件，试求实数a的取值范围．(2，＋∞)1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A2．“如果x、y∈R，且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是_________________.答案若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为03．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”夯实基础训练解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0， 即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.4．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的___________条件.解析 当a ＝2时，因为B ＝{1,2，b }，所以A ⊆B ；反之，若A ⊆B ，则必有2∈B ，所以a ＝2或b ＝2，故“a ＝2”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．选A.5．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是________________.解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．6．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的_____________条件.解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ，所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”； 当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是__________.解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”， 显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是__________.m ＝－2 =9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．11．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．13．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的___________条件. 解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．14．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的_________________条件. 解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1. 又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．15．给定两个命题p 、q ，若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的__________条件. 答案 充分不必要条件解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．16．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围 为______________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 将两个命题化简得，命题p ：x >m ＋3或x <m ，命题q ：－4<x <1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4，或m ≥1，故m 的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (2，＋∞)能力提升训练解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件． 正确的是________． 答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确． 由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零， 反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0， 所以③不正确，④正确．。
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 如果 p，则 q
如果q，则p
如果 ¬ p，则 ¬ q ¬ ¬ 如果 q，则 p
(2)四种命题间的逆否关系 四种命题间的逆否关系
逆命题
否命题
逆否命题
(3)四种命题的真假关系 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题， 的真假性； ①两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题， ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性
解析 ①由 2>－3 ⇒ 22>(－3)2 知，该命题为假； 该命题为假； － － ②a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|，该命题为真； ，该命题为真； ③a>b⇒a＋c>b＋c，又 a＋c>b＋c⇒a>b； ⇒ ＋ ＋ ， ＋ ＋ ⇒ ； ∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题． ” ＋ ＋ ”的充要条件为真命题．
第一章第二节命题及其关系充分条件与必要条件
[归纳领悟]
在有些含字母参数的数学命题中，可以借助p和q间
“条件”的关系，确定相应等式(或不等式)，从而建立 关于参数的方程(或不等式)，进而求得参数的取值范围．
一、把脉考情 从近两年的高考试题看，充要条件的判定、命题真假的
判断等是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，分值为 5分，属中低档题目．本节知识常和函数、不等式、向量、 三角函数及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相 结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与 平面位置关系判定的掌握程度．
3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存 在，求出m的范围； (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存 在，求出m的范围．
解：(1)由 x2－8x－20≤0 得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件，∴P＝S， ∴11－ ＋mm＝ ＝－102 ，∴mm＝ ＝39 . ∴这样的 m 不存在． (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P. ∴11－ ＋mm≥ ≤－102 .∴m≤3. 综上，可知 m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．
(2)等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命 题来判断． 注意：从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大 范围不能推出小范围.
[题组自测] 1．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，
则l1∥l2的充要条件是a＝______.
解析：由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时， 两条直线重合，所以a＝－1.
[归纳领悟] 1．在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的
命题考点和题型归纳
命题及其关系、充分条件与必要条件考点和题型归纳一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p 是q 的充分不必要条件，等价于非q 是非p 的充分不必要条件．其他情况以此类推． 考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1，则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1.可知非q ⇒非p ，非p 非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以{ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，解得{m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵非P 是非S 的必要不充分条件，∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP .∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A 、D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题； ②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。
(通用版)高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义理
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件 的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必 要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C 命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C 当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D ①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒] (1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析] (1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案] (1)A (2)B (3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判 直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断 即可解决充分必要性的问题利用等价转 化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B 若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析] (1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案] (1)C (2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A 因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1， 故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A 由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A “若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C ①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反 数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B 由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C 若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C 根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B ∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B ∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。
命题及其关系、充分条件与必要条件
有且只有一个零点的充要条件为
a≤0 或 a＞1.由选项可知，使“a≤0 或 a＞1”成立的充分条件为 选项 D. 答案 (1)C (2)D
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
规律方法 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，
p是q的充分不必要条件
p是q的 必要不充分 条件 p是q的 充要 条件
p⇒q且q
p
p
q且q⇒p
p⇔q
p是q的 既不充分也不必要 条件
p
q且q
p
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
辨 析 感 悟 1．对四种命题的认识 π (1)(2012· 湖南卷改编)命题“α＝4，则 tan α＝1”的否命是“若 π α＝4，则 tan α≠1”． (×) (2)若原命题“若 p，则 q”为真，则在这个命题的否命题、逆 命题、逆否命题中真命题的个数为 1 或 2. (×) (3)命题“若 x2－3x＋2＞0，则 x＞2 或 x＜1”的逆否命题是 “若 1≤x≤2，则 x2－3x＋2≤0”． (√)
)．
有且只有一个零点的充分不必
要条件是 ( A．a≤0 或 a＞1 1 C.2＜a＜1 1 B．0＜a＜ 2 D．a＜0
诊断基础知识 突破高频考点 培养解题能力
)．
审题路线 (1)A∩B≠
A 与 B 有交集．
(2)先求函数 f(x)有且只有一个零点的充要条件 M⇒由选项推出 M 成立的充分条件⇒结合选项可得结论 解析 (1)A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，如图所示： ∵A∩B≠∅，∴a＞－1. (2)因为
解析 “直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交 |1－0－k| 点”等价于 ＜ 2，解得 k∈(－1,3)．四个选项中只有 2 (0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是 0＜k＜3. 答案 C
第一轮复习命题及其关系充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件■ 考点与要求1•了解命题的概念.2•了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3•理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.疯’知识与方法梳理一、基础知识A.命题1 .命题可以判断真假的陈述句，叫做命题.注：(1 )数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等.(2)判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点.例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③ 2x 1 ^3 ；④若a」,c』，则a c =b d .以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假. “天气不错”的标准不明确.②是陈述句，且能判断正确，因此是命题.对于③，当x二时，为真；当xT时，为假.这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题.④显然是命题.2 .假命题、真命题真命题：可以判断为真的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题.假命题：可以判断为假的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题.注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.延伸阅读：开句、命题函数、开句的取真集(内容不要求掌握)(1)开句、命题函数形如’2x 1 =3 : x 3 2 ”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言.这些语句在数理逻辑上叫做开句.开句又叫做命题函数，意思是当变元(这里的x )取不同的个体的时候，就得到不同的命题.开句常记作P(x)、Q(y)，其中变元x,y是在一定范围里变化.当x取某个个体a时，开句P(x)就变成了命题P(a)(与开句相对，有的书上把命题叫做句).如：对于“x 3 .2 ”而言，当x 时，为真；当时，为假.(2)开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假.例如，对于吹視泮”而言，“”时为真;时为彳使开句p(x) 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{ x| P(x)}.对开句来说，取真集为{x|x 3 2}={x|x .4}.解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集.(3)将命题函数P(x)变成命题命题函数P(x)变成命题的方法有两个.方法一：将命题函数P(x)中的x用特殊个体a代入，从而得到对特殊个体a进行判断的命题，这种命题叫做单称命题P(a).例如“张三是共产党员”其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词.再如，命题函数P(x): x 3 2，对x赋值1,：，可得到命题P(1)和P(3)，即P(1)：1 3 .2，和P(A):(A) 3 .2 .当然P(1)是真命题，P( -3)是假命题.方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数P(X)：X .3 2，前面添加量词“所有的”或“有”得到命题“所有的实数x都有X .3 .2 ”或“有实数使X .3 2 ”. 前者是假命题，后者是真命题.3 •命题的形式若p，则q •其中p叫做命题的条件(或题设)，q叫命题的结论.注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题.B •四种命题及其关系1 •四种命题及其关系(1)四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题2)设原命题为：“若p，则q”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q，则p ”.否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若-p，则-q ”.逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若-q，则-p”.延伸阅读：偏逆命题(内容不要求掌握)当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子.当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题.如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：A :垂直于弦”、B :过圆心”；结论也有两个：C :平分这条弦”、b :平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A,.、B T C/P，该命题的所有偏逆命题有：A C_；B D :弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；A D >BC :垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；B C >A D :平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；B D「.AC :平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦.2•四种命题的真假关系(1)四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系.(2)具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题. 具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题. 具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题.(3)等价命题：同真同假的两命题称为等价命题•具有互为逆否关系的两个命题等价.注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假.(4)不等价关系：两命题的真假性没有关系•互逆命题、互否命题不等价.C •充分条件与必要条件记命题“若p，则q ”为“ q t p ”，若命题“若p，则q ”为真，则进一步记作“ p= q ” 为假时，则记作p-q •1.基本概念(1)若p= q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若p=q，且p —q，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若p= q，且p •二q，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条件.4)若p x.q，且p q，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p的不充分不必要条件.为真，但其逆命题‘q _；P ”却未必为真，因此，当条件q 成立时，结论p 不一定成立. 条件q 不成立时，结论p 一定不成立.视“开关A 的闭合”为条件 图①中， 图②中， 图③中，图④中，p ，“灯泡B 亮” 为结论q ，则条件 p 是结论q 的条件. 充分不必要条件( 条件 p 是结论 q 的条件. 必要不充分条件( 条件 p 是结论 q 的条件. 充要条件(p 二.q 条件 p 是结论 q 的条件.不充分不必要条件(3)从集合间的包含关系理解“充分条件”与 设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合 “必要条件”即 p: A 二｛x|p(x)｝，q:B 二｛x|q(x)｝. ①若A B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件.T A 二B可得x 三B p = .q 且p ...=q ，.: p 是q 的充分不必要条件.注：(1 )在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件” (2)叙述充要条件的等价语句：“当且仅当、“必须且只须、“若且仅若”等.其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、 只须、仅若”表达的是条件的必要性.2 .对“充分条件”与“必要条件”的理解(1)从定义本身去理解充分条件：要使结论 q 成立，只要具备条件 p 就足够了.事实上，式子p=・q 已经表明，条件p 成立时，结论q —定成立，就是说，要使结论 q 成立，只要具备条件 p 就足够了. 必要条件：当条件q 成立时，结论p不一定成立，但条件 q 不成立时，结论p 一定不成立 依题意，条件为q 、结论为p .一方面，虽然命题“ p —q ”另一方面，命题“P q ”为真，从而其逆否命题“ F ”也真，即p ，据此可知,(2)利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”事实上，若有X 三A ,T A [B ，可得x zB ，即p 二.q ，.:p 是q 的充分条件.② 若B A ，则p 是q 的必要条件，若 B A ，则p 是q 的必要不充分条件.事实上，若有x ：=A ，T A 匚B ，可得x ：=B ，即p=.q ，Aq 是p 的必要条件. 若有x =A ，V A _B ，可得x 三B ， p = .q 且p ...=q ，A p 是q 的必要不充分条件.③ 若A =：B ，则p 与q 互为充要条件.事实上，若有x^A ，TA -B ，可得xWB ，即p = .q ，若有x WB ，v A -B ，可得x WA ，即q=.p ，A p 、q 互为充要条件.④ 若A 二B 且B 二A ，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件.事实上，若有x WA ，v A ZB ，可得x .-B ，即p p.q ，同理p 丄口，p 是q 的既不充分也不必要条件.、基本思想方法③ ④② p=.q,p ：.一-q ) p w.q, p.二q ),p.二q )( Pp.q, p...=q )等价转化的思想示例求实数m已知p:|1 一匸1］乞2，q：x2 _2x・1 —m2 _0(m . 0)，若-p是一q的充分不必要条件, 3的取值范围.解：由|i X _1|•咚得，A gx| _2 兰也°}.由x2_2x 1 _m2叩(m 0)得，B Jx|1「m 兰<1 m,m 0}. 3Tq 二.p，二 B 二A .±1 -m _2,结合数轴有1 m -£10, 解得0：：卩叩.m>°.点评与警示：本题利用等价转化思想，把T-. q转化为q二.p，进一步转化为B是A的子集，然后利用数轴列出不等关系.A.命题的判断、命题的真假判断例判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题?(1)(2)(3)(4)(5) 空集是任何集合的真子集；命题；假命题.三角函数是单调函数吗？疑问句，不是命题. 空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行；x ::: 3 ；开句，不是命题.若x • R，则2x2-x 1 占0 ).下，始终有2x2(6)若整数a是素数，(7) ■_/( -2) = -2 .命题；假命题.-X 1 0 ；命题；真命题(T二次三项式2X2-X 1的判别式二_7 ：：0 ,在XWR条件a是奇数；命题；假命题(T a』时，由条件推不出结论).命题；假命题.点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假.B .命题的形式例把下列命题改写成“若p，则q ”的形式，并判断命题的真假.(1)周长相等的两个三角形面积相等；(2)偶数能被2整除；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)同弧所对的圆周角不相等；(5)菱形对角线互相平分；(6)垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(7)负数的立方是负数；(8)对顶角相等.解：(1)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等. 假命题.(2 )若一个数是偶数，则它能被2整除. 真命题.(3)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称. 真命题.(4)若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等. 假命题.(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分. 真命题.(6 )若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.真命题.(7)若一个数是负数，则这个数的立方是负数. 真命题.(8)若两个角是对顶角，则这两个角相等. 真命题.选填②C •四种命题的概念例把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)当x =2 时，x2 -3x =0 ;(2)对顶角相等；(3)等底等高的两三角形全等；(4)两边及夹角对应相等的两三角形全等.解：(1)原命题：若X J，则X2」X!：；2 =0 •逆命题：若X2_3x ：：2』，则X / •否命题：若X -2，则X2_3x亠2 .-0 •逆否命题：若X2_3x亠2 一-0，则x .-2 •(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等. 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.(3)原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等.(4)原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等.否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等.点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”D.四种命题之间的关系例写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假.(1)垂直于平面:内无数条直线的直线|垂直于平面：•；(2)若q ：：:0，则方程x2 x ^0有实根；(3)若x2' y2 =0，则x = y =0 ；(4)菱形对角线垂直且相等.解：(1 )原命题：若直线|垂直于平面：•内无数条直线，则直线i垂直于平面:-• 假命题.逆命题：若直线i垂直于平面：•，则直线i垂直于平面：•内无数条直线. 真命题.否命题：若直线i不垂直于平面:-内无数条直线，则直线i不垂直于平面:-•真命题.逆否命题：若直线i不垂直于平面：•，则直线i不垂直于平面：•内无数条直线. 假命题.(2 )逆命题：若方程x2 x q =0有实根，则q ：：0 • 假命题.否命题：若q _0，则方程x2 x q =0无实根. 假命题.逆否命题：若方程x2 x q =0无实根，则q _0 •假命题.(3)逆命题：若x -y ，则x2 y2•真命题.否命题：若x2：：；y2 -0，则x,y中至少有一个不为0. 真命题.逆否命题：若x, y中至少有一个不为0，则x2 ' y2 -0 •真命题.否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等. 假命题.逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形. 假命题.E •利用等价命题证明例证明：若x2- y2 =0，贝V x = y = 0.分析：将“若x y2=0，则X』」”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0，则x2 y2 =0 ”为真命题.证明：若x,y中至少有一个不为0，不妨设x M ,则x2 0 ,A x2亠y2 0，即x2亠y2 =_0 .因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.F •充要条件的判定例指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p:a，b=2，q :直线x y =0 与圆(x -a)2(y -b)2=2 相切.(2)p：|x|=x，q :x2x _0 .(3)设l,m 均为直线，:-为平面，其中I 二-，m 二:：i，p:l//〉，q:l//m .(4)设，一，，一，q:、「I'， q : ta n：.；：ta n：.1 2 2丿I 2 2丿(5)△ ABC 中，内角A, B 对边的长分别为a,b，p : a b，q :si nA .si nB .解：(1)充分不必要条件；(2 )充分不必要条件；(3)必要不充分条件；(4)充要条件；(5)充要条件.G .由充分条件、必要条件求参数取值范围2n d已知条件p: -乞0，条件q:x2x :::a^a，且_p是_q的一个充分不必要条件，则a的2 -2取值范围是1 1 1 —A. [-2,-；]B. {-,2}C. [-1,2]D. (-2,；山[2,：：)2 2 22n丰亠i(2x丰一)(2x -2) <0 1解：不等式一7 - S等价于x 即-乞2x：：'2，解得，乞x：：1，二条件p对应的取值集合M =[J3,2).2 -2 i 2 -2 我，8由x2 x ::a2 -a，得(x -a)[x _(a」)]：：0 .T -p是-q的充分不必要条件，是p的充分不必要条件，从而条件q对应的取值集合N是条件p对应的取值集合M的真子集.1当£ ：：a」，即a 3时，解集为(~a,a 4)，这时条件q对应的取值集合N=(^,a _1)；当-a J，即a 4时，解集为;<：，这时N二:乍23当-a a □，即a ::寸时，解集为N =(a J,-a).a 1时'时, N二._，显然有N三M ;『3 € a 1N =( _a,a J)，由N 三M，得_解得-:::a 岂2 ;1 .:：a _J, 2■ _i _3 _^a i i当a，2时，N二a」，卫)，由N三M，得'解得二乞a ：：运.综上，a的取值范围是[」,2].答案：C.H .错解剖析写出命题“若a =b， c =d，则a • c = b • d ”的否命题和逆否命题.否命题是：________________________________ .逆否命题是： ___________________________________ .错解：否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b，c与d都不相等，则a -^b d .逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a <-b d，贝U a与b，c与d都不相等.错因分析：事件“ a母，c」"的正确否定应为：①a与b、c与d不都相等；②a-b或c=-d.正解：否命题：已知a，b，c,d是实数，若a」，c卫中至少有一个不成立，则a 7一-b ~d .逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a亠c =-b亠d，贝U a」，c 中至少有一个不成立.M .方法规律探究四种条件的判定方法.(1)定义推断法：分别去判断p=q和q= p是否成立，然后形成结论.(2)原、逆命题推断法：原真逆假二条件为：充分不必要；原假逆真二条件为：必要不充分；原真逆真条件条件为：充要；原假逆假条件为：不充分不必要.(3)逆否命题判别法：判断命题-p》-q的真假，改为判断其逆否命题q > p的真假.(4)集合推断法：具体内容见前面.(5)传递法：即p i =卩2 = R —川一p n，得卩=P n .' 课堂练习一、选择题1 .下列语句不是命题的有①x2 -3 0 ；②与一条直线相交的两直线平行吗？③ 3 1 =5 ；④5x -3 6 .A .①③④B .①②③C.①②④D.②③④解：①开句，不是命题.②疑问句，不是命题.③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题.④开句，不是命题.答案：C .2 .若M,N是两个集合，则下列命题中的真命题是A .如果M - N，那么M C1N =MB .如果M C1N=N，那么M-NC .如果M〈N，那么MUN =MD .如果MUN =N，那么N〈M答案：A.3 .有下列四个命题：①“若x亠y 0,则x, y互为相反数”的逆命题；②“若a b，则a3 b2”的逆否命题；③“若x乞；，则x2・x-6 0 ”的否命题；④“若a b是无理数，则a,b是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：①逆命题为：x, y互为相反数，则x：：；y -0 . 真命题.②逆否命题为：若a2吵2，则a吵. 假命题.③否命题为：若x ，则x2::x _6乞0 . 假命题(T x2：：x d岂0：< ：_ 3岂x冬2 , x .- ： .3乞x哆).④逆命题为：若a,b是无理数，则a b是无理数. 假命题(T a =^,2) 2, b = 2时，a b =2不是无理数).答案：B.二、判断题4.把下列命题改写成“若p，则q ”的形式，并判断命题的真假.(1)等边三角形的三个内角相等；2)当a .0时，函数y =ax・b的值随x值的增加而增加.解：(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等.真命题.(2)当a 0时，若x的值增加，则函数y =ax b的值也增加，真命题.5 .把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假•(1)矩形的对角线相等；(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)实数的平方是非负数.解：(1)若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题.(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题.(3)若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除滇命题.(4)若一个为实数，则这个数的平方为非负数.真命题.6.给出以下命题，判断p是q的什么条件？(1) p:A=B，q :s in A =s in B ；(2) p : x 2 且y 3，q : x y 5 ；(3) p :正方形，q :菱形；(4) p :a b，q :4:-.a b解：(1)充分不必要条件；(2 )充分不必要条件；(3)充分不必要条件；(4)不充分不必要条件.44逆否命题：若方程mx2 _x '1 =0有实根，则m"：：匸.二、解答题7 .把下列命题改写成“若p，则q ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题.(1)ac bc= a b ；1(2)当m 时，mx2—x V =0无实根.4解：(1 )若ac bc，则a b . 否命题：若ac <bc，贝U ca . 逆否命题：若a <b，贝U ac ^bc .1 1(2 )若m ?■-，则方程mx2-x 1 =0无实根. 否命题：若m空，则方程mx2 -x "1 =0有实根.4 48. 有下列四个命题：①“若x y =0，则x, y互为相反数”的逆命题；②“若a b，则a2 b2”的逆否命题；③“若x乞；，则x2・x-6 0 ”的否命题；④“若a b是无理数，则a,b是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：①逆命题为：X, y互为相反数，则X-.-y -0 . 真命题.②逆否命题为：若a2吵2，则a吵. 假命题.③否命题为：若x ,.3，则x2 -x -6 _0 . 假命题(T x2亠x _6 v；。
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●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.★备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.一、知识梳理《名师一号》P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题原词语等于（=）大于（>）小于（<）是否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是原词语都是至多有一个至多有n个或否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且原词语至少有一个任意两个所有的任意的（1）充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。
（2）必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件q p ⇒⇔q p ⌝⇒⌝即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。
(补充)（3）充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当p ”等 (补充)2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义：若q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；（2）必要但不充分条件 定义：若p q⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件（3）充要条件定义：若q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；（4）既不充分也不必要条件定义：若q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）． 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若B A =，则p 是q 的充要条件（4）若B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例1.(1)《名师一号》P4 对点自测1命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题 是()A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案 C例1.(2)《名师一号》P5 高频考点 例1下列命题中正确的是()①“若a ≠0，则ab ≠0”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④ 解读:①中否命题为“若a ＝0，则ab ＝0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确， 故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意：《名师一号》P5 高频考点 例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为 原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 例1.(3)《名师一号》P4 对点自测2(2014·陕西卷)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解读 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真， 设z 1＝3＋4i ，z 2＝4＋3i ，则有|z 1|＝|z 2|，但是z 1与z 2不是共轭复数，所以逆命题为假， 同时否命题也为假．注意：《名师一号》P5 问题探究 问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．例2．(1)(补充)（2011山东文5)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3， 则222a b c ++≥3”的否命题．．．是（） (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3(D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A【解读】命题“若p ，则q ”的否命题是：“若p ⌝，则q ⌝” 例2．(2)(补充)命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否定．．是：________ 【答案】若0xy =，则0x ≠且0y ≠【解读】命题的否定只改变命题的结论。
注意： 命题的否定与否命题的区别（二）充要条件的判断与证明例1.(1)(补充)（07湖北）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤答案:Ｂ注意：1、利用定义判断充要条件q r s p《名师一号》P6特色专题方法一 定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系． q p ⇒ 则p 是q 的充分条件； q 是p 的必要条件2、利用逆否法判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法三 等价转化法当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换．常利用原命题与逆命题的真假来判断p 与q 的关系．令p 为命题的条件，q 为命题的结论，具体对应关系如下：①如果原命题真而逆命题假，那么p 是q 的充分不必要条件；②如果原命题假而逆命题真，那么p 是q 的必要不充分条件；③如果原命题真且逆命题真，那么p 是q 的充要条件；④如果原命题假且逆命题假，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 例1.(2)《名师一号》P6特色专题 例1(2014·北京卷)设{a n }是公比为q 的等比数列．则“q >1”是“{a n }为递增数列”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【规范解答】若q >1，则当a 1＝－1时，a n ＝－q n －1，{a n }为递减数列，所以“q >1” ⇒/ “{a n }为递增数列”；若{a n }为递增数列，则当a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 时，a 1＝－12，q ＝12<1，即“{a n }为递增数列”⇒/“q >1”．故选D.例1.(3)《名师一号》P6特色专题 例2(2014·湖北卷)设U 为全集．A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝φ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【规范解答】 如图可知，存在集合C ，使A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则有A∩B ＝φ.若A∩B ＝φ，显然存在集合C.满足A ⊆C ，B ⊆∁U C.故选C .例1.(4)《名师一号》P4 对点自测5已知p ：－4<k <0，q ：函数y ＝kx 2－kx －1的值 恒为负，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解读:－4<k <0⇒k <0，Δ＝k 2＋4k <0，函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负，但反之不一定有－4<k <0，如k ＝0时，函数y ＝kx 2－kx －1的值恒为负，即p ⇒q ，而q ⇒/ p . 可用定义或集合法注意：3、利用集合法判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法二 集合法涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性．具体对应关系如下：若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若B A =，则p 是q 的充要条件（4）若B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件例2.《名师一号》P5 高频考点 例3函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x >0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的 充分不必要条件是()A ．a ≤0或a >1B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a <0 解读:因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a >1.由选项可知，使“a ≤0或a >1”成立的充分条件为选项D.注意：《名师一号》P5 高频考点 例3 规律方法有关探求充要条件的选择题，解题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项； 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．务必审清题，明确“谁是条件”！此题选项是条件！练习：(补充)已知:3≠p x 且2≠y ，:5+≠q x y ，则p 是q 的 条件。