平方差公式因式公解
公式法因式分解 ——平方差公式
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
把填上的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于
x2 5x 6
(5) 从第(2)、(3)、(4)题，你能看出把因式分解的关键步骤是什吗？ 将常数项6分解成两个因式的积， 两因数的和恰好等于一次项系数．
例4 把多项式 x2 x 2 因式分解
x2 x 2
x 2 x 1
在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式 的形式，这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出．
2. 公式法.
把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用， 就可以把某些类型的多项式因式分解．
在因式分解中需要注意以下几个问题：
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解． （2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止， 至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这 跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数 的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的 乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
x2 9x 3x 3
3 4x2 20x 25
2x 52
4 4a4 12a2b2 9b4
2a2 3b2 2
例3 把下列多项式分解因式
1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
x 1 x2 1
2 ax bx ay by
因式分解-平方差公式-讲解学习
看（11）a2－82 = (a+8) (a －8)
谁快（22 ）16x2 －y2 =(4x+y) (4x －y)
又 对
(33)
－
1 9
y2
+
4x=2 (2x
+
1 3
y) (2x －31
y)
(44) 4k2 －25m2n=2 (2k+5mn) (2k －5mn)
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式 (6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －
x2
填空：
铺路之石
± （1）
1 36＝（（来自)2;1 )2 ; 6
±
（3）9m2 ＝ )2;
(
3±m2(a)-2b; )
(2) 0.81= ± 0.9
± (4) 25a2b2=( 5ab
;
（3） x2-25 = (x+5)( x-5
);
（4） a2-b2 = (a+b)( a-b
)。
知识探索
1、能否用提公因式的方法把多项式 x2-25，9x2-y2分解因式?
提示：a2-b2=(a+b)(a-b)
解：x2-25 = x2 - 52 =(x+5)(x-5) 9x2-y2 =(3x)2-y2 =(3x+y)(3x-y) 利用平方差公式进行因式分解
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
a 2 ▲- b 2 = ( a ▲+ b )( a -▲ b )
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
因式分解与平方差公式PPT
B、等边三角形 D、不能确定
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X² -y³
D
D. - X² + y²
(4) 0.16(a–b)
2 2=_______ [0.4(a-b)] ;
第十五章 因式分解 八年级 数学 把下列各式分解因式 平方差公式 :a2-b2 =(a+b)(a-b)
a2 − b2 = (a + b) (a-b)
2 =x² 1 =（x+1) (x-1) (1) x² - 1 2 =m² 3 (2) m²- 9 =（m+3)(m-3) (3) x² - 4y² =x² - (2y)2 =（x+2y) (x-2y)
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
平方差公式：
整式乘法
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法与因 式分解是互逆 的过程
两个数的平方差， 等于这两个数的和 与这两个数的差的 a²- b² = (a+b)(a-b) 积
因式分解
第十五章 因式分解 八年级 数学 1.把下列各式写成完全平方的形式：
如：36x2y4=( 6xy2) 2
(1)4x2 – 9
(2)(x+p)2 – (x+q) 2
用平方差公式分解因式
a
b a
a+b a-b
a2 - b2= (a+b)(a-b)
b
aห้องสมุดไป่ตู้
a2 - b2= (a+b)(a-b)
a-b a+b
b a
a-b a+b
a2 - b2= (a+b)(a-b)
b
a
a2 -
b2=
1 2
(2a+2b)(a-b)
=(a+b)(a-b)
2b
a-b 2a
分解因式: (1) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2) (2) 4x3 -x =x(4x2-1)
=25×400×130
=1.3 ×106
1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²)
= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
谈谈有何收获
那你和你表
妹今年分别 等一下，我能够 几岁了？
算出来！
今年我的年龄
和我表妹年龄 的平方差是87。
聪明的同学，你们能 算出来吗？
将边长为a的正方形一角剪去一个边长为b 的小正方形，观察你剪剩下的部分。
思考（： 1 ） 你 能 将 它 剪 成 两 部 分 然 后 拼 成 一 个新的图形吗？ （2）你能根据先后两个图形的关系说明 一个等式吗？
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解-平方差公式
牛刀小试
9.利用因式分解计算：
（1）2.882-1.882；
（2）782-222。
小结
1．如果多项式各项含有公因式，则第 一步是提出这个公因式． 2．如果多项式各项没有公因式，则第 一步考虑用公式分解因式． 3．第一步分解因式以后，所含的多项 式还可以继续分解，• 则需要进一步分 解因式．直到每个多项式因式都不能 分解为止．
D
）
）
D. - X² +y
2) -4a²+1分解因式的结果应是
A. -(4a+1)(4a-1) B.
（
D
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式：
D.
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2(3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
7. 把下列各式分解因式
(1)16a 1
2
(2)4 x 2 m 2 n 2
解1）16a² -1=(4a)²- 1
=(4a+1)(4a-1)
9 1 2 (3) x y2 25 16 2 (4) 9 x 4 解:4x² - m² n²
=(2x)²- (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
公式法(1)
(a+b)(a－b) = a2－b2 a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积. 【规律总结】凡是符合平方差公式左边特 点的二项式 a²-b² ，都可以运用平 方差公式分解因式．
Байду номын сангаас堂检测
数学平方差公式
数学平方差公式数学平方差公式是用于求解两数平方之差的公式。
它在代数学中起着重要的作用，并且在许多数学问题的解答中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将学习数学平方差公式的定义、推导过程以及一些实际应用。
首先，让我们来看一下数学平方差公式的定义。
数学平方差公式可以表示为：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2其中，a和b是任意实数。
该公式可以用于计算数a和b的平方之差。
接下来，我们将推导数学平方差公式的过程。
假设我们有两个实数a和b，我们想要求解它们的平方之差。
我们可以首先将公式(a + b) * (a - b)展开，得到：(a + b) * (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba是相等的，我们可以将它们合并，得到：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2这就是数学平方差公式。
接下来，让我们通过一些实际应用来展示数学平方差公式的用途。
首先，数学平方差公式在因式分解中起着重要的作用。
当我们需要因式分解一个平方差时，数学平方差公式可以帮助我们简化计算过程。
例如，假设我们想要因式分解x^2 - 4，我们可以使用数学平方差公式来得到：x^2 - 4 = (x + 2) * (x - 2)通过使用数学平方差公式，我们可以将平方差分解为两个因子的乘积，这可以帮助我们更快地解决问题。
另一个应用是在计算几何中。
当我们需要计算两点之间的距离时，数学平方差公式可以帮助我们简化计算过程。
假设我们有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用数学平方差公式来计算它们之间的距离。
距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)通过将平方差公式应用于坐标差的平方和，我们可以快速计算出两点之间的距离。
最后，数学平方差公式还有其他许多实际应用。
它可以在代数学和几何学中用于求解方程、证明定理以及解决各种数学问题。
总结起来，数学平方差公式是一个用于求解两数平方之差的有用工具。
平方差公式因式分解案例
平方差公式因式分解的教学案例一、教学目标：1、理解运用平方差公式进行因式分解的意义。
2、能正确运用提公因式法和平方差公式进行较复杂的因式分解。
二、教学重点：用平方差公式进行因式分解。
三、教学难点：把多项式进行必要的变形，灵活运用平方差公式分解因式。
四、教学过程：1、复习引入：师：我们学习了整式乘法中的平方差公式是什么样的？生1：两个数的和与这两个数的差的积等于两数的平方差。
师：用字母怎么表示平方差公式？生2：（a + b）（a – b）= a2– b2师：我们把平方差公式反过来就是怎么样的？生3：两数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积即：a2– b2 =（a + b）（a – b）2、合作探究：（1）师生共同研究书本上116页例3分析：先观察多项式的各项，不能直接运用平方差公式因式分解时，根据公式的特征，把各项改写整式的平方的形式，在运用平方差公式因式分解。
（2）书上116页例4因式分解时，先观察多项式各项有无公因式，如有先提公因式，再进一步因式分解。
3、基础巩固：（1）下列多项式可以用平方差公式因式分解吗？①x2-y2 ②x2+y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2 ⑤64-a2 ⑥4x2-9y2根据平方差公式的特点：两数平方的差，来做判断，进一步巩固运用平方差公式因式分解。
（2）因式分解：①x2-4y2 ②-9a2+4b2③x4-1 ④-0.25a2+9学生演板后，请学生订正。
因式分解一定要分解每个因式不能再分解为止。
4、能力提升：（1）因式分解：①2x2 -32 ②-x4+x2 y2③(a+b) 2 -4a2④16(a-b) 2 -9(a+b) 2归纳：因式分解时，先观察多项式能否提公因式，如有，能提先提，再明确公式中的a,b具体题目中分别代表什么，最后套用公式。
（2）在实数范围内分解因式：①4x2 -3 ②x4-4注意：因式分解一定要分解每个因式不能再分解为止。
5、课堂小结：今天学习了因式分解的什么方法？有什么收获？通过课堂小结，回顾本节新课学习内容及方法。
平方差公式法因式分解
平方差公式法因式分解掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。
[ 教学重点 ] 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式[ 教学难点 ] 使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。
[ 教学过程 ] 一：复习旧知：A 因式分解的概念是什么？B 平方差公式的内容用字母怎样表示？计算：1）运用平方差公式计算：2+a)(a-2);(-4s+t)(t+4s)(m2+2n2)(2n 2- m2)(x+2y) (x-2y)(2a +b-c)(2a-b+c )二：导入新课： 平方差公式： (a+b)(a-b) = a 2 - b 2理解运用平方差公式分解因式与整式乘法是相反的变形： 对照平方差公式怎样将下面的式子相乘过程与方法： 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；[ 教学目标 ]知识与技能：(1) (m+4 (m-4) (2 ) (2x —3y)(2x+3y)(m+4 (m-4)=m2-162 2(2x —3y)(2x+3y)=4x -9y这是我们学习的整式的乘法运算。
如果上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？01-9= ( m+4 (m-4)16x2-9y2=(2x —3y)(2x+3y)三：新课讲解:我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法,像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。
今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式反过来可得：a2-b 2=(a+b)(a-b)这个公式叫做因式分解中的平方差公式。
学生思考：当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解? 1、填空：(1)a 6=( ) 2; (2) 9x 2=()(4) 25x4=( ) 2 (5) 0.25a 2=()4平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，8 10 z 、⑶ m n =()2等于这两个数的和与这两个数的差的练习I :2、分解因式：(1) 16a2- 1 四：练习巩固分解因式：(1)(2 )(3)2 2 2 2 2 2 (2 ) 4x 2 m2n2 (3) 1-25a ;⑷-9x +y; (5) a b-c ;2 2 (a+b) -(a-c); x4-16;3x3-12x;(9y 2-x2)+(x+3y).(5) ( x + z )2- ( y + z ) 2(6) 4( a + b) 2- 25(a - c) 2 (7) 4a3- 4a4、练习巩固2:分解因式:(1) -a 4 + 16 (2) 6a2b _54b(3) (x+y+z) 2 - (x-y-z) 23⑷(x-y) +(y-x).5、用平方差公式进行简便计算：382-37 2五：类型小结: 平方差公式的四种应用1、直接应用例1、分解因式解：：x2-4=x2- 22= (x+2)( x-2) 2、提后用公式例2、分解因式：3x2-27=解: 3x2-27=3 (X2-9)=3( x2- 32)=3 (x+3)( x-3)3、变化指数后用公式例3、224-1能被1和10之间的两个数整除。
平方差公式法分解因式
②两个平方项异号；
例3分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析: 在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3
2,即可用平方差公式分解因式.
解（1）4x2 – 9
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x-3)
（2）（x+p)2-(x+q)2
(1)x2 y2-36
(2)18a2-50 (3)-3ax2+3ay4
(4)(2a b)2 4a2
(5)(x2 3x)2 x 12 6x4 16
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
应用新知，尝试练习
1、因式分解（口答）： ① x2-16=(_x_+_4_)(_x_-_4_) ②9-t2=_(3_+_t_)_(3_-_t_) _ 2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 ×
√②x2-y2
③-x2+y2 √
×④-x2-
思y2考：能用平方差公式因式分解的多项
式有何特①征有？只有两个平方项；
课后练习
分解因式: a2- b215 2;
(2)9a2-4b2;
(3) x2y – 4y ; (4) –a4 +16.
利用因式分解计算
1.10122-9882 2.73×1452-1052×73
创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5, 求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.
当堂检测 把下列各式分解因式：
15.4.2 因式分解(平方差公式)
(3) m2 - 0.01n2; (4) 4x2-9.
(1) 1-25b2 = 12-(5b)2 = (1+5b) (1-5b) (2) x2y2-z2 = (xy)2- z2 = (xy+z) (xy-z) (3) m2- 0.01n2 = m2- (0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n) (4) -9+4x2 = (2x)2 - 32 = (2x +3) (2x-3)
（１）(x+p)2-(x-q)2;
（２）16(a-b)2-9(a+b)2.
练习2 把下列各式因式分解：
(1) (m+n)2 - n2 (2) (2x-y)2 - (x+2y)2 (3) (a+b+c)2 - (a-b+c)2
例题3 把下列各式因式分解：
（１） a3b - ab （２） x4 - y4
三维课堂 P74 第十四课时
把下列各式因式分解： （1）x2-4 =(x+2)(x-2) (2) 9-y2 =(3+y)(3-y) (3) 1-a2b2 =(1+ab)(1-ab) (4) 4x2-y2 =(2x+y)(2x-y).
把下列各式因式分解：
（1）36-m2 ＝（6+m) (6-m) (2) 4x2-9y2 = (2x+3y) (2x-3y)
P168页 练习 ：1
(3)a2-１１６
x2
=(a+
1 4
x)(a-
1 4
x)
(4) 0.81b2-16c2 = (0.9b + 4c) (0.9b - 4c)
例题2 把下列各式因式分解：
公式法分解因式-平方差公式
②两个平方项异号(一正一负)；
练习
1、下列多项式是否可以用平方差公 式分解因式？
(1) 4x2+y2； (2) a2-4 ； 2-y2； 2+y2； (3) -4x (4) -4x 2-(-y)2 ； (5) 4x
把下列各式分解因式:
(1) 2 解：36-25x =62-(5x)2
2 36-25x
平方差平方差，两数和乘以两数差
a2-b2=(a+b)(a-b)
△22=（△+
）（△-
）
2-尾2=（首+尾）（首-尾） 首
1 2 16 2 1 4 a b ( a ) ( b) 4 25 2 5
2
2
1 4 1 4 ( a b)( a b) 2 5 2 5
口答下列各题： (a+1)(a-1) a 1 (1) a2-1=__2-__2=_________ (x2y) (x2y+2)(x2y-2) 2 (2) x4y2-4= ____2-___2=_______________ (3) 0.49x2-0.01y2= (4) 0.0001-121x2= 3、能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？ ①有且只有两个平方项；
(2) 解： 16a2-9b2
=(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b) (4)x4 y² －4
2-9b2 16a
=(6+5x)(6-5x) 练习：(3)a² －1
将多项式分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b) ]2-[2(a-b) ]2 =[3(a+b) +2(a-b) ] [3(a+b)-2(a-b) ] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
平方差公式分解因式
平方差公式分解因式
平方差公式是一种常见的数学公式，它可以用来分解差的平方。
具体来说，平方差公式可以将形如a^2 - b^2的表达式分解为(a + b)(a - b)的形式。
这个公式在代数中有广泛的应用。
它可以用来简化复杂的代数表达式，方便计算和推导。
同时，通过平方差公式，我们也可以找到一些特殊的值。
应用平方差公式可以十分简单地分解因式。
我们只需要确定a和b的值，然后将其代入公式中即可。
例如，将a和b分别设为x和y，那么x^2 - y^2可以被分解为(x + y)(x - y)。
除了常见的平方差公式，还有一些类似的公式可以用来分解更复杂的表达式。
比如，立方差公式可以将形如a^3 - b^3的表达式分解为(a - b)(a^2 + ab + b^2)。
这个公式在代数中也非常有用。
总结来说，平方差公式是一种重要的工具，可以帮助我们简化和分解代数表达式。
通过熟练掌握和灵活运用这个公式，我们可以更高效地解决数学问题。
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体现
发挥 激发 贯彻
学生主体地位
教师主导作用 学生创新意识 先进教学理念
设计流程
01 教学结构体系 02 课堂教学引入 03 课堂内容创新 04 资源运用与教学评价
三、课堂内容创新
创新1 例题变式 一题多解
2、已知把：-4my²、+2n5同x²因时式满分足解方.程4m+n=45和方程2m-3n=10,
求代数式(m+2n)²-(3m-n)²
方方法法通一一过：：解二元一次方方法程二：方法将二代：数式【培进设养行计因学意式图生分】
结 构
自信难展点示 精彩点评
拓展将延某伸些单运项用式提化高为平方形式，再用平方 差公式分解因式；培养学生多步骤分解
反思小因结式体的验能收力获。
设计流程
01 教学结构体系 02 课堂教学引入 03 课堂内容创新 04 资源运用与教学评价
二、课堂教学引入
学号为20号以后的同学报上自己的学 号，然后将该学号减去10，再求该学号与 得数的平方差。
分解解题的简便性，体会因式分解的重要性。
三、课堂内容创新
创新2 设置游戏，增添趣味
游戏规则：每一轮分别由两个同学亮出手中的牌 子，根据牌子上的代数式作差，然后进行因式分 解，最先回答出来的这位同学给与奖励。
【设计意图】活跃课堂气氛，让学生享受一个快乐 的学习过程，激发学生的学习兴趣。
二、课堂内容创新
组-解4y出²+m2、5xn²的值，再-代4y²+25解x，²再整体代的入创即可新。能
=入2代5x数²-式4。y²
=-(4y²-25x²)
力和解题
==【另((55设一xx+)方计²2-面意y()2(通图5yx)过】²-2两一y)种方方面==法一--[((2的题2yy比多+)5²较解-x(5)，可(x2)让以y²-]学激5x生发) 体学会生能到的力用思。因维式，
因式分解 法(1)
法(2)
第1课时 第2课时 第3课时 第4课时 第5课时
因式分解 会用提公 熟练提公 平方差公 完全平方
的概念 因式法 因式法
式
公式
一、教学结构体系
创设情境 导入课题
重点
探究让新学知生掌形握成运概用念平方差公式分解因式，
教 学
例培 的题养能精学力讲生。观新察知、运分用析问题和探究知识
则x-y=_______；
【设计意图】培养学生独立思考的能力，使学生在合 作交流中成长，在展示中树立自信，体会成功的喜悦， 增强学生学习数学的兴趣。
设计流程
01 教学结构体系 02 课堂教学引入 03 课堂内容创新 04 资源运用与教学评价
四、资源运用与教学评价
1、教材
4、网络资源
2、导学案
5、实物投影仪
（第一课时）
说课者：罗敏
设计流程
01 教学结构体系 02 课堂教学引入 03 课堂内容创新 04 资源运用与教学评价
一、教学结构体系
整式乘法
湘教版 七年级（下）第三章
第3节 公式法(1)
分式、一元二 次方程、函数 的重要基础
提公因式法
因式分解的概念 平方差公式
完全平方公式
一、教学结构体系
多项式的 提公因式 提公因式 公式法(1) 公式法(2)
3、、资源运用与教学评价
紧抓教材 立足教材
深挖教材 超越教材
教材资源
认真的 教教材
灵活运 用教材
四、资源运用与教学评价
网络资源
四、资源运用与教学评价
导学案
其
它
教
学
PPT课件
资
源
实物投影仪
生活资源
教学评价
以问题为载体
以发展思维 过程为主线
以培养思维 能力为目标
创新3 引入新颖
学号为20号以后的一个同学报上学号，然后将 该学号减去10，老师在5秒内计算出学号与得数的平 方差。 【设计意图】激发学生的学习兴趣，调动学生学习 的积极性和求知欲望。
三、课堂内容创新
创新4 自信展示 精彩点评
1、把下列各式因式分解. (1) (x+y)²- 9 (2) -16a²+ 81b² 2、把(x+p)2 - (x+q)2因式分解. 3、 已知x+y=5,x2-y2=10,