从多个角度认识和分析一下二进制数 (一)

从多个角度认识和分析一下二进制数（一）

近几年，山东省高考基本能力测试中，多次出现了与二进制有关联的试题，为此，有必要与同学们共享一下有关二进制方面的认识与技法。

莱布尼兹与二进制的发明：

二进制的发明人是德国著名的数学家和哲学家莱布尼兹（1646～1716），二进制对现代计算机系统有着重要意义，为了加快研制计算机的进程，莱布尼兹在法国巴黎定居4年，所以有不少人错误认为他是法国人。

莱布尼兹与计算机

莱布尼兹对帕斯卡的加法机很感兴趣。于是，他也开始了对计算机的研究。

1672年1月，莱布尼兹搞出了一个木制的机器模型，向英国皇家学会会员们做了演示。但这个模型只能说明原理，不能正常运行。此后，为了加快研制计算机的进程，莱布尼兹在巴黎定居4年。此期间，他与一位著名钟表匠奥利韦合作，他对奥利韦作了一些机器制作的简单说明，制造工作就全部由这位钟表匠独自去完成。1674年，最后定型的那台机器，就是由奥利韦一人装配而成的。莱布尼兹的这台乘法机长约1米，宽30厘米，高25厘米。它由不动的计数器和可动的定位机构两部分组成。整个机器由一套齿轮系统来传动，它的重要部件是阶梯形轴，便于实现简单的乘除运算。

莱布尼兹设计的样机，先后在巴黎，伦敦展出。由于他在计算设

备上的出色成就，被选为英国皇家学会会员。1700年，他被选为巴黎科学院院士。

同学们都知道，第一台计算机是1946年在美国宾西法尼亚大学诞生，起名“埃尼阿克”，但从上述材料，我们应明白这样一个道理：历史上任何一项重大科学技术发明都是无数人长期探索的结果，并不是一个神人一夜之间就能够梦出来的。

二进制与中国

上个世纪八十年代在大学数学系读书期间，给我们讲《数学史》的老师曾说：莱布尼兹认为中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想，他是从研究中国的八卦受到启发才发明了二进制数，当时觉得真是令人振奋，我们的老祖宗能耐竞这么大。而当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想，可是这本中国古籍《易经》中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。

《易经》是我国伏羲、周文王等当政者积累观天测算经验而成的关于天象气象和人变易的经典，从八卦到六十四卦，就是二进制三位到六位的表达（23=8，26=64）。

进一步查阅有关资料，得知：①莱布尼兹于1716年发表了《论中国的哲学》一文，专门讨论八卦与二进制，指出二进制与八卦有共同之处。莱布尼兹就是在研究易经时受到启发才发明了二进制。

②莱布尼兹在法国定居时，同在华的传教士白晋有密切联系。白晋曾为康熙皇帝讲过数学课，他对中国的易经很感兴趣，曾在1701

年寄给莱布尼兹两张易经图，其中一张就是有名的“伏羲六十四卦方位圆图”。莱布尼兹惊奇地发现，这六十四卦正好与64个二进制数相对应。莱布尼兹认为中国的八卦是世界上最早的二进制记数法。为此，莱布尼兹非常向往和崇尚中国的古代文明，他把自己研制的乘法机的复制品赠送给中国皇帝康熙，以表达他对中国的敬意。

二进制数的特点与二进制运算规则

ⅰ、二进制数的特点：

①仅有两个数字0和1

②逢2进1，退1当2

这一点可对照十进制进行学习、理解和记忆。

ⅱ、二进制运算规则

算术运算：

加法：0+0=0，0+1=1 ，1+0=1， 1+1=10（向高位进位）

减法：0-0=0，0-1=1（向高位借位） 1-0=1，1-1=0

乘法：0 * 0 = 0 0 * 1 = 0，1 * 0 = 0，1 * 1 = 1

二进制的除法：0÷0 = 0，0÷1 = 0，1÷0 = 0 （无意义），1÷1 = 1

逻辑运算：

或运算（or）：遇1得1 ———— 1 or 1 = 1 1 0r 0 = 1 0 or 1 = 1

与运算（and）：遇0得0 ———— 1 and 1 = 1 1 and 0 = 1 0

and 1 = 0

非运算（not）：各位取反。———— not 1 = 0 not 0 = 1

二进制与其他进制的转换

首先我们得了解一个概念，叫“权”。“权”就是进制的基底的n 次幂。如二进制的权就是2n了，十进制的权就是10n，看到十进制我们就很自然的想到科学计数法中的10n，对吧？

举个例子：比如二进制数1110中从左往右数的数位权分别是：23、22 、21、20

有了权这个定义之后，我们就可以随便把一个进制的数转化成另一个进制的数了。日常生活中，由于电脑的字节，汉字西文的字节的原因，二进制最常见的转换是八进制，十六进制，三十二进制，当然还有十进制。

二进制转换成十进制的原则是：基数乘以权，然后相加，简化运算时可以把数位数是0的项不写出来，（因为0乘以其他不为0的数都是0）。小数部分也一样，但精确度较少。

例：（11001）2 =1*24+1*23+1*20=16+8+1=（25）10

十进制转换成二进制的原则是：整数部分除2取余，小数部分乘2取整。可参看下列图片：

看了图片以后，如果问问十进制数115.625转换成二进制数，结果应该是什么呢？

不难看出：（115.625）10=（1110011.101）2

请同学们找一下规律什么？

二进制与八进制的转换：采用“三位一并法”（是以小数点为中心向左右两边以每三位分组，不足的补上0）这样就可以轻松的进行转换。

请看下图加深理解：

十进制数转换为八进制可模仿十进制转换为二进制数进行。

二进制与十六进制的转换：采用的是“四位一并法”，就如二进制与八进制的转换一样。

十六进制转换为二进制可模仿十进制转换为二进制进行。