质点运动学动力学作业解

解:两种势能零点如图所示
初态体系总能量为： 弹性势能零点
mgh + mgx 重力势能零点
末态体系总能量为：
机械能守恒
1 kx2 2
mgh + mgx = 1 kx2 2
x = mg + ( mg )2 + 2 mg h
k
k
k
三、计算题
1.一质点从静止开始作直线运动，开始加速度为a ，此后加 速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为 2a ，经过 时间 2τ后，加速度为 3a ，···。求经过时间 nτ后，
质点运动学和动力学 作业解
一、选择题
1.一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S = 5 + 4t − t 2
(SI)， 则小球运动到最高点的时刻是
[B]
(A) t =4s ； (B) t =2s ；(C) t =8s ；(D) t =5s
解:小球达到最高点时速度为零
υ = dS = 4 − 2t = 0
解:由几何关系得
xM = h1 xM − x h2
xM
=
h1 h1 − h2
x
υM
=
dxM dt
υ = dx dt
υM
=
h1 υ h1 − h2
2.在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间的关系
为υ＝ ct2 (式中c为常数)，则
从t＝0到t时刻质点走过的路程S(t)＝________________；
的天花板与底板相距 d = 20m，求螺钉从天花板落到底板 所需的时间。（取g = 9.8 m⋅s-2）
分析 相对升降机，螺母作初速为0的落体运动，运动距离20m
解 以升降机为参考系
a物 对 机 = a物 对 地 + a地对机
= 9.8 + 0.2 = 10
匀加速运动
h
=
1 2
a物对机t 2
a机对地
=
0−
1 2
mυ2
υ=
2µk gx +
k m
x2
= 5.83ms −1
5.有一门质量 M （含炮弹）的大炮，在一斜面上无摩擦地
由静止开始下滑，当滑下 L 距离时，从炮内沿水平方向射出
一发质量为 m 的炮弹。
求 要使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，炮弹的初速度应
为多少？ 解 把炮和弹看成质点系
过M程到一达：2时从的1速–度2为。设υ 0
[A]
质点系: 质点+容器
动能定理:
A外 + A内 = A重 + A摩 = ∆E动
A摩
=
1 2
mυ 2
− mgR
B点受力分析（法向）:
A摩
=
1 2
R( N
- 3mg )
N
−
mg
=
υ2
m
R
故选 [ A ]
二、填空题
1.灯距地面高度为 h1 ，一个人身高为h2 ，在灯下以匀速 率υ沿水平直线行走，如图所示。则他的头顶在地上的影 子M点沿地面移动的速度υM =
y
0
2R
∫ ∫ ∫ A = dA = 0 F0 xdx + 0 F0 ydy
A
=
1 2
F0 (2R)2
=
2F0 R2
x
故选 [ B ]
O
9.一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止
开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B点时，它对容器的
正压力数值为N ，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其
作的功为
a1= 2a2
a1=
2m2 g 4m1 + m2
T’ m2
m2g
6.如图所示，一斜面倾角为θ，用与斜面
成α角的恒力F将一质量为m 的物体沿斜面
拉升了高度h，物体与斜面间的摩擦系数 为µ，摩擦力在此过程中所作的功Wf ＝ ____。 解: 垂直斜面方向受力分析。
N + F sinα = mg cosθ
速运动，B车在后。当B车与A车距离为d 时，B以υ2开始
做匀减速运动，其加速度为a，B车速度υ2比A车速度υ1大，
那么两车不会相撞的最小距离为
[C]
(A) υ22 −υ12
2a
;(B)
υ
2 2
− υ12
;(C)
(υ2 −υ1)2
3a
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2a
; (D) (υ2 −υ1)2
3a
解:设地面为S系，A车为S′系。 两系均为惯性系a′ =a 。
h
t = 2h = 2s 10
4．如图所示，质量 m 为 0.1kg 的木块，在一个水平面上 和一个倔强系数k 为 20Nm-1 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧
由原长压缩了0.4m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
µk 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 υ 为多少?
动能定理
−
frx −
1 2
kx2
y方向 υ y = υ′y = 2ghsinα
y
υ′
x
α
u
υ=
υ
2 x
+
υ
2 y
=
u2 + 2gh + 2u
2gh cosα
γ = arctg υy = arctg 2ghsinα
υx
2ghcosα + u
3. 一升降机以加速度a = 0.2 m⋅s-2上升，在升降机上升的过 程中，有一螺钉从升降机的天花板上松动并脱落，升降机
dt
2τ
2
6τ
St =nτ
=
1 an2τ2 (3 + n) 6
2.一质点以相对于斜面的速度 υ′ = 2gy 从其顶端沿斜面下
滑，其中 y 为下滑的高度。斜面倾角为α，在地面上以水
平速度 u 向质点滑下的前方运动。求质点下滑高度为 h
时，它对地面速度的大小和方向。
υ质地 = υ质斜 +υ斜地
h
x方向 υx = υ′x + u = 2gh cosα + u
F =
2 jm
ti (SI) 作用，式中 t
⋅ s−1 的速度通过坐标原
点，则该质点在任意时刻的位置矢量是
解:
Fx
=
max
=
m dυx dt
=t
⇒
dυx
=
4tdt
积分得：
υx
=
dx dt
=
2t 2
⇒
dx
=
2t 2dt
积分得：
x = 2t3 3
Fy = 0 ⇒ dυy = 0 ⇒ υy = 2
r
=
2
t 3i
平均速率的大小为
υ = 2× 2πR = 2πR
2t
t
故选 [ B ]。
3. 一质点沿X轴运动，其速度与时间的关系为 υ = (4 + t 2 )
m/s，且当t =3s时，质点位于 x = 9m 处，则质点的运动方程为
(A) x = 2t + 3;(B) x = 4t + 1 t 2;(C) x = 4t + 1 t 3 −12 ; (D) x = 4t + 1 t 3 +12
。
7 质量为 m 的质点。以不变速率沿图中正三角形ABC
的水平光滑轨道运动。
[B]
求 质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量。
解 由动量定理
I
=
∆P
=
mυ 2
−
mυ 1
x 方向
I x = mυ2x − mυ1x = 0
y υ1
A
π
3
x
υ 2
y 方向
C
B
π I y = mυ2 y − mυ1y = −2mυsin 3 = − 3mυ
S′系上看： A车静止， B车做匀减速运动直线运动，初始速度
为 υ2 - υ1。末速（相碰）为0。 S′系上的匀减速运动直线运动公式
υ′2 −υ0′2 = 2a(x′ − x0′ )
两车不会相撞的最小距离为
υ′2 = (υ2 −υ1)2
2a′ 2a
故选[ C ]
5.竖立的圆筒形转笼，半径为R ，绕中心轴OO’转动，物 块A紧靠在圆筒的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为µ ， 要使物块A不下落，圆筒转动的角速度ω至少应为 [C]
2
3
3
解: υ = (4 + t 2 ) = dx
[C]
dt
dx = (4 + t 2 )dt
x = 4t + 1 t3 + C 3
当t =3s时，质点位于 x = 9m 处 C = 9 − 4× 3 − 1 × 33 = −12 3
故选 [ C ]。
4. 有A、B两辆车在同一直线轨道上同向行驶。A车以υ1匀
dt t = 2s
2. 一质点作半径为R的匀速率圆周运动，每 t 秒转一圈，则
在 2t 时间间隔内，其平均速度的大小和平均速率的大小分
别为
[B]
(A)
2πR , 0 (B) 0 ,
t
2πR ； (C)
t
2πR
t
, 2πR
t
； (D) 0 ,
0。
解: 质点在 2t 时间间隔内，正好转两圈，回到原点
平均速度的大小为零
+
2tj
3
υy
=
dy dt
=
2
⇒
dy
=
2dt
⇒
y
=
2t
5.图中所示的装置中，略去一切摩擦力以及滑轮和绳的质
量，且绳不可伸长，则 m1 质量为的物体的加速度
解：隔离物体，受力分析
N
m1 : m2 :
m1a1 = T m2a2 = m2
g
−
T
′
滑轮受力分析（质量为零）
T ′ = 2T
m1
T
m1g
x1= 2x2
3.一质点从静止(t＝0)出发，沿半径 R = 3m 的圆周运动，
切向加速度大小保持不变，为 at = 3ms-2。在t时刻，其
总加速度恰与半径成45°角，此时 t ＝_______ ，此时，
质点的速度大小为_______，质点的加速度大小为 ______。
解：切向加速度不变
at
=
dυ dt
= 不变
dt
式中 k 为常数，试证明电艇在发动机关闭后又行驶距离
时的速度为 υ = υ0e−kx，其中 υ0是发动机关闭时的速
度。
已知： dυ = dυ ⋅ dx = υ⋅ dυ = −kυ2 dt dx dt dx
dυ υ
冲量 I = − 3mυj
故选 [ B ]
8. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力
F = F0 (xi + yj ) 作用在质点上。在该质点从坐标原点运动到
(0，2R)位置过程中，力对它所作的功为
[B]
dA
=
F
⋅
dr
=
( F0
xi
+
F0
yj )
⋅
(dxi
+
dyj )
dA = F0 xdx + F0 ydy
摩擦力
f = µN
摩擦力作功 A = − fL = − f h sin θ
A = −µmgh ⋅ ctgθ + µFh sinα sinθ
7. 质量为m的物体，从高出弹簧上端h处由静止自由下落到 竖直放置在地面上的轻弹簧上，弹簧的倔强系数为k，则弹
簧被压缩的最大距离 x =______________________。
该质点的加速度和走过的距离。
加速度随时间均匀增加 at = a + ct
定c
t
=
τ时，at = τ
at =nτ =
=
a
2a
+
⇒c= a
a
nτ
τ
=
⇒ at = a
a(1 + n)
+
τ
a τ
t
at
=
dυ dt
⇒
dυ = (a +
a τ
t )dt
⇒
υ=
at
+
a t2 2τ
υ = dS ⇒ dS = (at + a t 2 )dt ⇒ S = 1 at 2 + a t 3
过程中 M 受到两个外力：重 力和支撑力，支撑力垂直运动
M
1 h
L
m
2α
υ
方向，不作功。外力作功为
A外 = P ⋅ L = MgLsin α
A外
=
∆E
=
1 2
Mυ02
}
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
注意：把炮和弹看成质点系。未包括地球，则重力为外力，无内保守力，无势能。
用机械能守恒分析过程一：把炮和弹和地球看成质点系。过 程中 M 仅受到支撑力一个外力，支撑力垂直运动方向，不 作功。外力作功为 0，无非保守内力，则机械能守恒。
⇒
υ
=
att
a 45° at
an
=
υ2 R
an
总加速度恰与半径成45°角，说明：an = at
at
=
at2t 2 R
得出：
t ＝ 1s
υ = att = 3×1 = 3m / s a = at2 + an2 = 3 2 = 4.24m / s2
4.质量为 为时间。
0.25kg 的质点，受力
t = 0 时该质点以 υ =
∆E = 0
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
过垂程 直二x：方发向炮，。则由沿于x爆方炸向产动生量的守作恒用。力很大，重力可x 忽略。N由于支撑力
px0 = px
m
α
υ
Mυ0 = mυ cos α （2）
由式（1）、（2）解出 υ = M
2gL sin α
m cos α
四、证明题
一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度 方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dυ = −kυ2
(A) µg (B) µg R
(C) g µR
(D) g R
解: 受力分析。摩擦力与 重力平衡
f r = mg
fr = µmRω 2
ω= g µR
故选[ C ]
。
6.一光滑的内表面半径为10cm的半球形 碗，以匀角速度ω绕其对称轴OC旋转， 已知放在碗内表面上的一个小球P相对 碗静止，其位置高于碗底4cm，则由此 可推知碗旋转的角速度约为 [A]
(A)13rad ⋅ s −1(B)17rad ⋅ s −1 (C)10rad ⋅ s −1 (D)18rad ⋅ s −1
解: 受力分析。
N cosθ = mrω2
N sinθ = mg
r = R cosθ
sinθ = R − h R
∴
ω＝12.78rad·s-1≈13 rad·s-1
故选[ A ]
t 时刻质点的切向加速度 t 时刻质点的法向加速度
at＝________________； an ＝________________。
解: ⑴ ∵
dS = ct 2 dt
dS = ct 2dt
∫ ∫ S
dS =
t ct 2dt
0
0
⑵
at
=
dυ dt
=
2ct
⑶
an
=
υ2 R
=
c2t 4 R
S = 1 ct 3 3